%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx,array} \usepackage{colortbl} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{enumerate} %\usepackage{variations} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} %Tapuscrit : Denis Vergès %Assemblage des corrigés : François Hache %\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node} \usepackage{pst-eucl} %\usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-all} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{vmargin} %\setmarginsrb{3cm}{2cm}{3cm}{2cm}{0cm}{1cm}{0cm}{1.5cm} %% 1 est la marge gauche %% 2 est la marge en haut %% 3 est la marge droite %% 4 est la marge en bas %% 5 fixe la hauteur de l'entéte %% 6 fixe la distance entre l'entéte et le texte %% 7 fixe la hauteur du pied de page %% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal \newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent \newcommand{\dc}{\Longrightarrow} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S - Corrigés}, pdftitle = {Baccalauréat S - 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \renewcommand{\d}{\,\text{d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale des corrigés 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Corrigés du baccalauréat S 2015~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2015 à mars 2016}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \hypertarget{Retour}{} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry -- 17 avril 2015} \dotfill \pageref{Pondichery} \medskip \hyperlink{Liban}{Liban -- 27 mai 2015} \dotfill \pageref{Liban} \medskip \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord -- 2 juin 2015} \dotfill \pageref{AmeriqueNord} \medskip \hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers -- 10 juin 2015} \dotfill \pageref{Centres etrangers} \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie -- 12 juin 2015} \dotfill \pageref{Polynesie} \medskip \hyperlink{Asie}{Asie -- 16 juin 2015} \dotfill \pageref{Asie} \medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane -- 22 juin 2015} \dotfill \pageref{Antilles} \medskip \hyperlink{Metropole}{Métropole -- 22 juin 2015} \dotfill \pageref{Metropole} \medskip \hyperlink{Metropolesep}{Métropole -- 9 septembre 2015} \dotfill \pageref{Metropolesep} \medskip \hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie -- 9 septembre 2015} \dotfill \pageref{Polynesiesep} \medskip \hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane -- 12 septembre 2015} \dotfill \pageref{Antillessep} \medskip \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie -- 19 novembre 2015} \dotfill \pageref{Caledonienov} \medskip \hyperlink{AmeriSud}{Amérique du Sud -- 24 novembre 2015} \dotfill \pageref{AmeriSud} \medskip \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie -- 5 mars 2016} \dotfill \pageref{Caledoniemars} \medskip } %\vspace{1cm}\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées} % %À la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l'index \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%% Pondichéry 17 avril 2015 \hypertarget{Pondichery}{} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{17 avril 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Pondichéry 17 avril 2015~\decofourright}} \end{center} \phantomsection \label{Pondichery} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par % %\[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\] % %Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal \Oij, la courbe %représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$. \begin{center} \psset{unit=1.3cm} \def\pshlabel#1{\small#1} \def\psvlabel#1{\small#1} \begin{pspicture}(-2.75,-1)(5,4) \psframe(-2.75,-1)(5,4) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2.75,-0.99)(4.99,3.99) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psline[linewidth=1.25pt](-2.75,3)(5,3) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.75}{4}{3 2.71828 x 2 neg mul exp 1 add div} \uput[u](-1,0.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](-2,3){$\Delta$} \psline[linestyle=dotted](2.4,0)(2.4,3)\uput[d](2.4,0){$a$} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psline(0,3)2.4,3) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.4}{0}{3 2.71828 x 2 neg mul exp 1 add div} } \end{pspicture} \end{center} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$. On sait que $\text{e}^{- 2x} > 0$ quel que soit le réel $x$, donc $1 + \text{e}^{- 2x} > 1 > 0$. Le dénominateur étant non nul, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle la fonction étant de la forme $\dfrac{3}{u(x)}$, avec $u(x) = 1 + \text{e}^{- 2x}$, donc $u'(x) = - 2 \text{e}^{- 2x}$ on a : $f'(x) = - \dfrac{3u'(x)}{(1 + u(x))^2} = - \dfrac{3 \times (- 2)\text{e}^{- 2x}}{\left(1 + \text{e}^{- 2x} \right)^2} = \dfrac{6\text{e}^{- 2x}}{\left(1 + \text{e}^{- 2x} \right)^2} > 0$ car quotient de deux nombres supérieurs à zéro. la fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$ (comme le laisse supposer le graphique). \item %Justifier que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 2x = - \infty$ et en posant $X = - 2x$, \:$\displaystyle\lim_{X \to - \infty}\text{e}^X = 0$, d'où $\displaystyle\lim_{X \to - \infty}1 + \text{e}^X = 1$ et enfin par quotient de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 3$ : ceci montre que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 3$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini. \item %Démontrer que l'équation $f(x) = 2,999$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$. Sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ est continue car dérivable, strictement croissante de $f(0) = \dfrac{3}{1 + 1} = 1,5$ à 3 : il existe donc un réel unique $\alpha \in [0~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 2,999$. La calculatrice donne: $f(4) \approx \np{2,99899}$ et $f(5) \approx \np{2,9999}$, donc $4 < \alpha < 5$ ; $f(4,0) \approx \np{2,99899}$ et $f(4,1) \approx \np{2,9992}$, donc $4,0 < \alpha < 4,1$ ; $f(4,00) \approx \np{2,99899}$ et $f(4,01) \approx \np{2,99901}$, donc $4,00 < \alpha < 4,01$ (encadrement à $10^{-2}$ près). %Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = 3 - f(x)$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\R$. On a vu dans la partie A que $0 < f(x) < 3 \iff - f(x) < 0 < 3 - f(x)$, soit $h(x) > 0$ sur $\R$. \item %On désigne par $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)$. %Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$. La fonction $H$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $H'(x) = - \dfrac{3}{2} \times \dfrac{ - 2\text{e}^{- 2x} }{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\text{e}^{- 2x}}{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\text{e}^{- 2x} + 3 - 3}{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\text{e}^{- 2x} + 3 }{1 + \text{e}^{- 2x}} - \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\left(\text{e}^{- 2x} + 1\right) }{1 + \text{e}^{- 2x}} - \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}} = 3 - f(x) = h(x)$. Donc $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$. \item %Soit $a$ un réel strictement positif. \begin{enumerate} \item %Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x$. On a vu que sur $\R$ donc en particulier sur l'intervalle $[0~;~a]$ (avec $a > $), la fonction $h$ est positive, donc l'intégrale $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x$ est égale en unités d'aire à la mesure de la surface limitée par la représentation graphique de $h$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$. Mais comme $h(x) = 3 - f(x)$, cette surface est la surface limitée par la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ (voir l'aire hachurée ci-dessus. \item %Démontrer que $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$. D'après la question \textbf{B. 2.}, on a : $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x = [H(x)]_0^a = H(a) - H(0) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2\times a}\right) + \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2\times 0}\right) = $ $\dfrac{3}{2} \ln 2 - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2\times a}\right) = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$. \item %On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan défini par %$\left\{\begin{array}{l c l} %x&\geqslant & 0\\ %f(x) &\leqslant y&\leqslant 3 %\end{array}\right.$ %Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$. D'après la question précédente, on sait que l'aire de $\mathcal{D}_a$, surface limitée par la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ est égale à $\dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$. Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{- 2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \text{e}^{- 2x} = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2x}}\right) = 2$, donc finalement par composition, l'aire de $\mathcal{D}$ est égale à $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2x}}\right) = \dfrac{3}{2} \ln 2 \approx 1,04$ (u. a.) \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation % %\[u_{n+1} = au_n + b\quad (a \:\:\text{et}\:\: b\:\: \text{réels non nuls tels que }\:a \ne 1).\] % %On pose, pour tout entier naturel $n,\quad v_n = u_n - \dfrac{b}{1 - a}$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$. On a pour tout naturel $n, \: v_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{b}{1 - a} = au_n + b - \dfrac{b}{1 - a} =$ $au_n + \dfrac{b(1 - a) - b}{1 - a} = au_n - a\dfrac{b}{1 - a} = a \left[u_n - \dfrac{b}{1 - a}\right] = av_n$. L'égalité $v_{n+1} = a v_n$, vraie pour tout naturel $n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$. \item %En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle $]-1~;~1[$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $\dfrac{b}{1 - a}$. On sait que $v_n = v_0 \times a^n$ ; donc si $a \in ]-1~;~1[$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 0 \iff \displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n - \dfrac{b}{1 - a}$ soit $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \dfrac{b}{1 - a}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80~cm. On lui conseille de la tailler tous %les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30~cm %au cours des douze mois suivants. % %Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ? Après la taille la plante mesure $80 \times \left(1 - \dfrac{1}{4} \right) = 80 \times \dfrac{3}{4} = 60$~(cm). Au bout de 1~an elle a poussé de 30 cm ; elle mesurera donc en mars 2016 avant la tailles $60 + 30 = 90$~cm. \item %Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année $(2015 + n)$. \begin{enumerate} \item %Justifier que, pour tout entier naturel $n,\quad h_{n+1} = 0,75h_n + 30$. D'une année sur l'autre, tailler le quart revient à multiplier par $\dfrac{3}{4} = 0,75$ et la pousse annuelle est de 30~cm, donc : $h_{n+1} = 0,75h_n + 30$. \item %Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variations de la suite $\left(h_n\right)$. Mars 2015 correspondant à $n = 0$, on a : $h_0 = 80$ ; $h_1 = 90$, $h_2 = 0,75 \times 90 + 30 = 67,5 + 30 = 97,5$ : la suite semble être croissante. %Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). \emph{Initialisation} : on sait déjà que $h_0 < h_1$ ; \emph{Hérédité } : supposons qu'il existe $p \in \N$ tel que $h_p < h_{p+1}$, alors $0,75h_p < 0,75h_{p+1} \iff 0,75h_p + 30 < 0,75h_{p+1} + 30 \iff h_{p+1} < h_{p+2}$ : l'hérédité est démontrée, donc la suite $\left(h_n \right)$ est croissante. \item %La suite $\left(h_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse. Si la suite $\left(h_n\right)$ converge vers $\ell$, par continuité l'égalité : $h_{p+1} = 0,75h_p + 30$ donne en passant aux limites à l'infini : $\ell = 0,75\ell + 30 \iff 0,25\ell = 30 \iff \ell = 120$. La plante aura donc une taille inférieure à 120~cm. (À la calculatrice $h_{20} \approx 119,873$~cm). On utilise le résultat de la partie A avec la suite $\left(h_n \right)$ et les coefficients $a = 0,75$ et b = 30. Comme $- 1 < 0,75 < 1$, la suite $\left(h_n \right)$ converge vers $\dfrac{b}{1 - a} = \dfrac{30}{1 - 0,75} = \dfrac{30}{0,25} = 120$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment} \medskip \textbf{Partie A \quad Étude de la durée de vie d'un appareil électroménager} \medskip %Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle %par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~ \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 84$ et d'écart-type $\sigma$. De plus, on a $P(X \leqslant 64) = 0,16$. % %La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $X$ est donnée ci-dessous. % %%\begin{center} %%\psset{xunit=0.075cm,yunit=5cm} %%%algebraic=true %%\begin{pspicture}(-80,-0.1)(80,1.1) %%\psframe(-80,-0.1)(80,1.1) %%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1000](0,0)(-75,0)(75,0) %%\multido{\n=-75+10,\na=10+10}{15}{\uput[d](\n,0){\na}} %%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-80}{80}{2.71828 x dup mul 0.00125 mul neg exp} %%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ %%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.45pt,linecolor=blue]{-80}{-21}{2.71828 x dup mul 0.00125 mul neg exp} %%\psline(-21,0)(-80,0)} %%\uput[d](-20,0){\blue 64}\rput(-35,0.1){16\,\%} %%\end{pspicture} %%\end{center} % %\begin{center} %\psset{xunit=0.07cm, yunit=200cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true} %\def\xmin {5} \def\xmax {165} %\def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.02} %\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\def\m{84}% moyenne %\def\s{20}% écart type %\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} % %\def\inf{\xmin} \def\sup{64} %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20] %{ %\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] %\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) %\closepath % indispensable ! %} %\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f} %\uput{12pt}[d](\sup,0){\footnotesize \blue \sup} %%\uput[d](\inf,0){\footnotesize \blue \inf} %\multido{\n=10+10}{15} %{ %\uput[d](\n,0){\footnotesize \n} %\psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005) %} %\psline(\m,0.0007)(\m,-0.0007) %\rput(55,0.003){\bf 16\,\%} %\end{pspicture*} %\end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %En exploitant le graphique, déterminer $P(64 \leqslant X \leqslant 104)$. Par symétrie $P(104\leqslant X) = 0,16$ et donc $P(64 \leqslant X \leqslant 104) = 1 - 2 \times 0,16 = 1 - 0,32 = 0,68$. \item %Quelle valeur approchée entière de $\sigma$ peut-on proposer ? On vient donc de trouver que $P(\mu - 20 \leqslant X \leqslant \mu + 20) = 0,68$ : donc $\sigma \approx 20$. \end{enumerate} \item %On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{X - 84}{\sigma}$. \begin{enumerate} \item %Quelle est la loi de probabilité suivie par $Z$ ? La variable $Z$ est centrée et réduite : elle suit donc une loi normale centrée réduite. \item %Justifier que $P(X \leqslant 64) = P \left(Z \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)$. On part de $P(X \leqslant 64) = 0,16$, d'où $P(X \leqslant 64) = P(X - 84 \leqslant - 20) =$ $ P\left( \dfrac{X - 84}{\sigma} \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right) = P\left(Z \leqslant - \dfrac{20}{\sigma}\right)$. Finalement $P\left(Z \leqslant - \dfrac{20}{\sigma}\right) = 0,16$ \item %En déduire la valeur de $\sigma$, arrondie à $10^{-3}$. Le résultat précédent entraîne que $- \dfrac{20}{\sigma} \approx \np{- 0,9945} \iff \sigma \approx \dfrac{20}{\np{0,9945}}$ soit $\sigma \approx 20,111$ à $10^{- 3}$ près. \end{enumerate} \item Dans cette question, on considère que $\sigma = 20,1$. %Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$. \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5~ans. Il faut trouver : $P(24 \leqslant X \leqslant 60) \approx 0,115$ (calculatrice) \item %Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans. On a $P(X \geqslant 120) = 0,5 - P(84 \leqslant X \leqslant 120) \approx 0,037$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Étude de l'extension de garantie d'El'Ectro} \medskip %Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années. % %L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans %supplémentaires. % %Des études statistiques menées \textbf{sur les clients qui prennent l'extension de garantie} %montrent que 11,5\,\% d'entre eux font jouer l'extension de garantie. % %\medskip \begin{enumerate} \item %On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut %assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients). \begin{enumerate} \item %Quelle est la probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette %extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité %utilisée. Arrondir à $10^{-3}$. Si $G$ est la variable aléatoire donnant le nombre de clients ayant pris l'extension de garantie, puisque les tirages sont indépendants et de même probabilité 0,115, $G$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(12,~0,115)$. La probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie est égale à : $P(G = 3) = \binom{12}{3} \times 0,115^3 \times (1 - 0,115)^9 \approx \np{0,1114}$ soit 0,111 au millième près. \item %Quelle est la probabilité qu'au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à $10^{-3}$. On a $P(G \geqslant 6) = 1 - P(G \leqslant 5) \approx \np{0,001}$ au millième près. \end{enumerate} \item %L'offre d'extension de garantie est la suivante : pour 65~euros supplémentaires, %El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399~euros, \textbf{si %une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la %cinquième année}. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la %panne est réparable. % %On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie, %et on note $Y$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur %ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie. $\bullet~~$Si le client utilise l'extension le gain algébrique est $65 - 399 = - 334$ ; $\bullet~~$Si le client n'utilise pas l'extension le gain algébrique est $65$ \medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que $Y$ prend les valeurs $65$ et $- 334$ puis donner la loi de probabilité de $Y$. $\bullet~~$Si le client utilise l'extension le gain algébrique est $65 - 399 = - 334$ ; $\bullet~~$Si le client n'utilise pas l'extension le gain algébrique est $65$. La variable aléatoire $Y$ prend donc deux valeurs $65$ et $- 334$ avec les probabilités respectives 0,885 et 0,115. \item %Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour %l'entreprise ? Justifier. On a E$(Y) = 65 \times 0,885 + (- 334) \times 0,115 = 19,115 \approx 19,12$~\euro au centime près. L'offre est donc avantageuse pour l'entreprise puisque celle gagne presque 20~\euro{} par client. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1. Dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées respectives M$\left(1~;~1~;~\dfrac{3}{4}\right)$,\: N$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$,\: P$\left(1~;~0~;~- \dfrac{5}{4}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item %Placer M, N et P sur la figure donnée en annexe. Voir la figure à la fin. \item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{MN}}$ et $\vect{\text{MP}}$. $\vect{\text{MN}}\left(- 1~;~- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{4}\right)$ et $\vect{\text{MP}}\left(0~;~- 1~;~- 2\right)$. Les vecteurs $\vect{\text{MN}}$ et $\vect{\text{MP}}$ ne sont pas colinéaires, les droites (MN) et (MP) ne sont pas parallèles donc les points M, N et P ne sont pas alignés. %En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés. \item %On considère l'algorithme 1 donné en annexe. \begin{enumerate} \item %Exécuter \emph{à la main} cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P %données ci-dessus. $- 1 \times 0 + \left(- \dfrac{1}{2} \right) \times (- 1) + \left(\dfrac{1}{4} \right) \times \left(- 2\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$ \item %À quoi correspond le résultat affiché par l'algorithme ? Qu'en déduire pour le %triangle MNP ? L'algorithme 1 calcule le produit scalaire $\vect{\text{MN}} \cdot \vect{\text{MP}} = 0$, donc les vecteurs sont orthogonaux donc les droites (MN) et (MP) sont perpendiculaires : le triangle MNP est donc rectangle en M. \end{enumerate} \item %On considère l'algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu'il teste %et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M. \item %On considère le vecteur $\vect{n}(5~;~- 8~;~4)$ normal au plan (MNP). \begin{enumerate} \item %Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP). Si $n$ est un vecteur normal au plan (MNP) une équation de celui-ci est : $5x - 8y + 4z = d$, avec $d \in \R$ ; N $\in (\text{MNP}) \iff - 8 \times \dfrac{1}{2} + 4 \times 1 = d = \iff 0 = d$ Une équation cartésienne du plan (MNP) est donc $5x - 8y + 4z = 0$. \item %On considère la droite $\Delta$ passant par F et de vecteur directeur $\vect{n}$. %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. On traduit la relation vectorielle : $M(x~;~y~;~z) \in \Delta \iff \vect{\text{F}M} = t \vect{n}, t \in \R$ soit $\left\{\begin{array}{l c l} x - 1&=&5t\\ y - 0&=&- 8t\\ z - 1&=&4t \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + 5t\\ y &=&\phantom{1+}- 8t\\ z &=&1 + 4t \end{array}\right.$ \end{enumerate} \item %Soit K le point d'intersection du plan (MNP) et de la droite $\Delta$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35}\right)$. Les coordonnées de K vérifient l'équation du plan et l'équation paramétrique de $\Delta$, soit : $\left\{\begin{array}{l c l} 5x - 8y + 4z&=&0\\ x &=&1 + 5t\\ y &=&\phantom{1+}- 8t\\ z &=&1 + 4t \end{array}\right. \Rightarrow 5(1 + 5t) - 8 \times (- 8t) + 4(1 + 4t) = 0 \iff 105t + 9 = 0 \iff$ $ t = - \dfrac{9}{105} \iff t = - \dfrac{3}{35}$. D'où $x = 1 + 5 \times \left(- \dfrac{3}{35} \right) = 1 - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{7}$ ; $y = - 8\times \left(- \dfrac{3}{35} \right) = \dfrac{24}{35}$ ; $z = 1 + 4\times \left(- \dfrac{3}{35} \right) = 1 - \dfrac{12}{35} = \dfrac{23}{35}$. Donc F$\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35} \right)$. \item %On donne FK $= \sqrt{\dfrac{27}{35}}$. %Calculer le volume du tétraèdre MNPF{}. Puisque (FK) est orthogonale au plan MNP, [FK] est hauteur du tétraèdre MNPF, donc $V_{\text{MNPF}} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}(\text{MNP} \times \text{FK})$. Or MNP est rectangle en M, donc $\mathcal{A}(\text{MNP} = \dfrac{\text{MN}\times \text{MP}}{2}$. MN$^2 = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{21}{16}\Rightarrow \text{MN} = \dfrac{\sqrt{21}}{4}$ ; MP$^2 = 1 + 4 = 5\Rightarrow \text{MP} = \sqrt{5}$ ; Donc $V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{\sqrt{21}}{4} \times \dfrac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \sqrt{\dfrac{27}{35}} = \dfrac{1}{24} \times \sqrt{\dfrac{21 \times 27}{35}}\times \sqrt{5} = $ $\dfrac{1}{24} \times \sqrt{\dfrac{81}{5}} \times\sqrt{5} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidat ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Les nombres de la forme $2^n - 1$ où $n$ est un entier naturel non nul sont appelés \textbf{nombres de Mersenne}. % %\medskip \begin{enumerate} \item %On désigne par $a,\: b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls tels que %PGCD$(b~;~c) = 1$. %Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que : % %\begin{center}si $b$ divise $a$ et $c$ divise $a$ alors le produit $bc$ divise $a$.\end{center} Voir le cours. \item On considère le nombre de Mersenne $2^{33} - 1$. %Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous. % %\begin{center} %\renewcommand\arraystretch{1.25} %\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline %$\left(2^{33} - 1 \right)\div 3$&\\ %&2863311530\\ %$\left(2^{33} - 1 \right)\div 4$&\\ %&2147483648\\ %$\left(2^{33} - 1 \right)\div 12$&\\ %&715827882,6\\\hline %\end{tabularx} %\renewcommand\arraystretch{1} %\end{center} % %Il affirme que 3 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 4 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 12 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$. \begin{enumerate} \item %En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question \textbf{1.} ? Si 3 divise $2^{33} - 1$ et 4 divise $2^{33} - 1$, comme 3 et 4 sont premiers entre eux, d'après le \textbf{1.} 12 devrait diviser $2^{33} - 1$ ce qui est contradictoire avec ce que dit l'élève : il a donc tort. \item %Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$. $2^{33}$ est un naturel pair donc $2^{33} - 1$ est impair donc 4 ne peut le diviser. \item %En remarquant que $2 \equiv - 1\quad [3]$, montrer que, en réalité, 3 ne divise pas $2^{33} - 1$. $2 \equiv - 1\quad [3] \Rightarrow 2^3 \equiv (- 1)^3 \quad [3] \iff 2^3 \equiv - 1 \quad [3] \Rightarrow \left(2^3 \right)^{11} \equiv (- 1)^{11} \quad [3] \iff 2^{33} \equiv - 1 \quad [3]$ donc $2^{33} -1\equiv - 2 \quad [3]$ ce qui prouve que 3 ne divise pas $2^{33} - 1$. \item %Calculer la somme $S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \cdots + \left(2^3\right)^{10}$. $S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \cdots + \left(2^3\right)^{10}$ ; $2^3S = 2^3+2^4 + \left(2^3\right)^3 + \left(2^3\right)^3 + \cdots + \left(2^3\right)^{11}$, d'où par différence : $7S = \left(2^3\right)^{11} - 1 \iff S = \dfrac{\left(2^3\right)^{11} - 1}{7}$. \item %En déduire que 7 divise $2^{33} - 1$. $S$ est une somme d'entiers naturels donc est un entier naturel ; le résultat précédent montre que $\left(2^3\right)^{11} - 1$ est donc un multiple de 7. Finalement $2^{33} - 1$ est divisible par 7. \end{enumerate} \item %On considère le nombre de Mersenne $2^7 - 1$. Est-il premier ? Justifier. $2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$. Ce nombre n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 (dans la division reste 1), ni par 11 (dans la division reste 7), ni par 13 (dans la division reste 10) et comme $13^2 = 169$, il est inutile de continuer : 127 est premier. \item %On donne l'algorithme suivant où MOD$(N,~k)$ représente le reste de la division %euclidienne de $N$ par $k$. %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline %Variables :& $n$ entier naturel supérieur ou égal à 3\\ %&$k$ entier naturel supérieur ou égal à 2\\ %Initialisation :& Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ %&Affecter à $k$ la valeur 2.\\ %Traitement :& Tant que MOD$\left(2^n - 1,~k\right) \ne 0$ et $k \leqslant \sqrt{2^n -1}$\\ %&\hspace{1cm} Affecter à $k$ la valeur $k + 1$\\ %&Fin de Tant que.\\ %Sortie :&\textbf{Afficher} $k$.\\ %&Si $k > \sqrt{2^n -1}$\\ %&\hspace{1cm}\textbf{Afficher} \og CAS 1 \fg\\ %&Sinon\\ %&\hspace{1cm}\textbf{Afficher} \og CAS 2 \fg\\ %&Fin de Si\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} \begin{enumerate} \item %Qu'affiche cet algorithme si on saisit $n = 33$ ? Et si on saisit $n = 7$ ? Comme on vient de le voir pour 127, l'algorithme cherche le reste de la division de $2^{33} - 1$ par les naturels 2, 3, 4, etc., $k \leqslant \ds\sqrt{2^n -1}$ tant que le reste est non nul. On a vu que le nombre $2^{33} - 1$ n'était divisible ni par 2 ni par 3, donc il n'est divisible ni par 4 ni par 6. Il faut regarder si ce nombre est divisible par 5. $2^{11}=\np{2048}$ donc $2^{11} \equiv 3 \quad [5]$ donc $\left (2^{11}\right )^3 \equiv 3^3 \quad [5]$; $3^3= 27 \equiv 2 \quad [5]$ donc $\left (2^{11}\right )^3 \equiv 2 \quad [5]$ ce qui entraine que $2^{33} \equiv 2 \quad [5]$ et donc que $2^{33}-1 \equiv 1 \quad [5]$. On a donc démontré que 5 ne divisait pas $2^{33}-1$. On a vu dans une question précédente que le nombre $2^{33} - 1$ était divisible par 7, donc l'algorithme va afficher son premier diviseur 7 et \og CAS 2 \fg. Si on entre $n = 7$, l'algorithme affiche 12 et \og CAS 1 \fg. \item %Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente %alors le nombre $k$ affiché pour le nombre de Mersenne étudié ? Le CAS 2 concerne donc les nombres de Mersenne non premiers et le nombre $k$ est le plus petit de ses diviseurs (différent de 1). \item %Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ? Le CAS 1 concerne les nombres de Mersenne premiers comme $2^7 - 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE à remettre avec la copie} \vspace{0,25cm} \textbf{EXERCICE 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{0,25cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.9cm} \begin{pspicture}(0,-6.5)(7.6,8) \pspolygon(0.5,6)(0.5,0.8)(4.8,0.2)(4.8,5.4)%EABF \psline(4.8,0.2)(7,1.6)(7,6.8)(4.8,5.4)%BCGF \psline(7,6.8)(2.7,7.4)(0.5,6)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.5,0.8)(2.7,2.2)(2.7,7.4)%ADH \psline[linestyle=dashed](2.7,2.2)(7.,1.6)%DC \uput[dl](0.5,0.8){A} \uput[d](4.8,0.2){B} \uput[r](7,1.6){C} \uput[ul](2.7,2.2){D} \uput[ul](0.5,6){E} \uput[u](4.8,5.4){F} \uput[ur](7,6.8){G} \uput[u](2.7,7.4){H} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.25](1.6,6.7)(7,5.5)(4.8,-6.3) \uput[l](4.8,-6.3){P} \uput[ul](1.6,6.7){N} \uput[r](7,5.5){M} \end{pspicture} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.2cm}|X|} \multicolumn{1}{c}{Algorithme 1}&\multicolumn{1}{m{0.2cm}}{}&\multicolumn{1}{c}{Algorithme 2 (à compléter)}\\ \cline{1-1}\cline{3-3} Saisir $x_{\text{M}}, y_{\text{M}}, z_{\text{M}}, x_{\text{N}}, y_{\text{N}}, z_{\text{N}}, x_{\text{P}}, y_{\text{P}}, z_{\text{P}}$&&Saisir $x_{\text{M}}, y_{\text{M}}, z_{\text{M}}, x_{\text{N}}, y_{\text{N}}, z_{\text{N}}, x_{\text{P}}, y_{\text{P}}, z_{\text{P}}$\\ $d$ prend la valeur $x_{\text{N}} - x_{\text{M}}$&&$d$ prend la valeur $x_{\text{N}} - x_{\text{M}}$\\ $e$ prend la valeur $y_{\text{N}} - y_{\text{M}}$&&$e$ prend la valeur $y_{\text{N}} - y_{\text{M}}$\\ $f$ prend la valeur $z_{\text{N}} - z_{\text{M}}$&&$f$ prend la valeur $z_{\text{N}} - z_{\text{M}}$\\ $g$ prend la valeur $x_{\text{P}} - x_{\text{M}}$&&$g$ prend la valeur $x_{\text{P}} - x_{\text{M}}$\\ $h$ prend la valeur $y_{\text{P}} - y_{\text{M}}$&&$h$ prend la valeur $y_{\text{P}} - y_{\text{M}}$\\ $i$ prend la valeur $z_{\text{P}} - z_{\text{M}}$&&$i$ prend la valeur $z_{\text{P}} - z_{\text{M}}$\\ $k$ prend la valeur $d \times g + e \times h + f \times i$&&$k$ prend la valeur $d \times g + e \times h + f \times i$\\ Afficher $k$&&$l$ prend la valeur $d^2 + e^2 + f^2$\\ \cline{1-1} \multicolumn{1}{c}{}&&$m$ prend la valeur $g^2 + h^2 + i^2$ \\ \multicolumn{1}{c}{}&&Si $k = 0$ et si $l = m$\\ \multicolumn{1}{c}{}&&\hspace{1cm}Afficher : « Le triangle MNP est rectangle isocèle en M »\\ \multicolumn{1}{c}{}&&Sinon Afficher : « Le triangle MNP n'est pas rectangle ou n'est pas isocèle en M »\\ \cline{3-3} \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Pondichéry 17 avril 2015 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %%%%%%%%%%% Liban 27 mai 2015 \hypertarget{Liban}{} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{27 mai 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Liban 27 mai 2015 ~\decofourright}} \end{center} \phantomsection \label{Liban} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points} %\begin{center} %\begin{tikzpicture}[scale=4] %\draw [dashed] (0,0,0) edge (1,0,0) edge (0,1,0) edge (0,0,1); %\draw (1,0,0) -- (1,1,0); %\draw (1,1,0) -- (0,1,0) ; % face arriere %\draw (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle; %% face avant %% aretes horizontales, de l'arriere vers l'avant %\draw (1,0,0) -- (1,0,1); %\draw (1,1,0) -- (1,1,1); %\draw (0,1,0) -- (0,1,1); %\draw node(A) at (0,0,0)[anchor=south west]{\large{A}}; %\draw node(C) at (1,0,1)[anchor=north west]{\large{C}}; %\draw node(H) at (1,1,0)[anchor=south west]{\large{H}}; %\draw node(G) at (1,1,1)[anchor=north west]{\large{G}}; %\draw node(E) at (0,1,0)[anchor=south west]{\large{E}}; %\draw node(F) at (0,1,1)[anchor=north east]{\large{F}}; %\draw node(D) at (1,0,0)[anchor=south west]{\large{D}}; %\draw node(B) at (0,0,1)[anchor=north east]{\large{B}}; %\draw [fill=black] (0,0,0.5) circle (0.5pt); %\draw node(I) at (0,0,0.5)[anchor=south east]{\large{I}}; %\draw [fill=black] (0.5,1,0) circle (0.5pt); %\draw node(J) at (0.5,1,0)[anchor=south east]{\large{J}}; %\draw [fill=black] (0.5,0,1) circle (0.5pt); %\draw node(K) at (0.5,0,1)[anchor=north east]{\large{K}}; %\draw [fill=black] (1,0.5,1) circle (0.5pt); %\draw node(L) at (1,0.5,1)[anchor=south west]{\large{L}}; %\end{tikzpicture} %\end{center} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7.5,6.5) \psframe(0.5,0.5)(4.5,4.5)%BCGF \psline(4.5,0.5)(6.4,1.9)(6.4,5.9)(4.5,4.5)%CDHG \psline(6.4,5.9)(2.4,5.9)(0.5,4.5)%HEF \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](0.5,0.5)(2.4,1.9)(2.4,5.9)% BAE \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](2.4,1.9)(6.4,1.9)% AD \uput[ur](2.4,1.9){$A$} \uput[dl](0.5,0.5){$B$} \uput[dr](4.5,0.5){$C$} \uput[r](6.4,1.9){$D$} \uput[u](2.4,5.9){$E$} \uput[l](0.5,4.5){$F$} \uput[dr](4.5,4.5){$G$} \uput[ur](6.4,5.9){$H$} \uput[ul](1.45,1.2){$I$} \uput[u](4.4,5.9){$J$} \uput[d](2.5,0.5){$K$} \uput[r](4.5,2.5){$L$} \psdots(2.4,1.9)(0.5,0.5)(4.5,0.5)(6.4,1.9)(2.4,5.9)(0.5,4.5)(4.5,4.5)(6.4,5.9) (1.45,1.2)(4.4,5.9)(2.5,0.5)(4.5,2.5) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Par lecture sur le dessin ci-dessus on détermine facilement les coordonnées des points représentés: \[A(0,~0,~0) ;\;B(1,~0,~0) ;\;C(1,~1,~0) ;\;D(0,~1,~0) ;\;E(0,~0,~1) ;\;F(1,~0,~1) ;\;G(1,~1,~1) ;\;H(0,~1,~1).\] On obtient alors les coordonnées des quatre points restants \[I\left(\dfrac12,~0,~0\right);\;J\left(0,~\dfrac12,~1\right);\;K\left(1,~\dfrac12,~0\right);\;L\left(1,~1,~\dfrac12\right).\] D'où \[\vect{FD}\left( -1,~1,~-1\right);\;\vect{IJ}\left( -\dfrac12,~\dfrac12,~1\right);\;\vect{IK}\left( \dfrac12,~\dfrac12,~0\right)\] et donc \[\vect{FD}\cdot\vect{IJ}=\dfrac12+\dfrac12-1=0\quad\text{et}\quad\vect{FD}\cdot\vect{IK}=-\dfrac12+\dfrac12+0=0.\] Le vecteur $\vect{FD}$ est donc normal au plan (IJK), il s'ensuit que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK). \medskip \item Le vecteur $\vect{FD}$ étant normal au plan (IJK), celui-ci a une équation cartésienne de la forme \[-x+y-z+d=0.\] Or $I\left(\dfrac12,~0,~0\right)$ appartient à ce plan donc \[-\dfrac12+d=0\iff d=\dfrac12\] le plan $(IJK)$ a donc pour équation \[-x+y-z+\dfrac12=0\quad\text{ou encore}\quad-2x+2y-2z+1=0.\] \end{enumerate} \newpage \item La droite $(FD)$ étant dirigée par le vecteur $\vect{FD}\left(-1,~1,~-1\right)$ et passant par le point $F(1,~0,~1)$ admet comme représentation paramétrique le système \[\begin{cases} x&=1-t\\ y&=t\qquad \text{avec}\quad t\in\R\\ z&=1-t\\ \end{cases} \] \item Les coordonnées $(x,~y,~z)$ du point d'intersection de la droite $(FD)$ et du plan $(IJK)$ vérifient les deux relations \[\begin{cases} x&=1-t\\ y&=t\qquad (S)\quad \text{et}\quad -2x+2y-2z+1=0\quad (E) \\ z&=1-t\\ \end{cases} \] Dans (E), on obtient \[-2(1 - t) + 2t - 2(1 - t) + 1 = 0\iff 6t - 3 = 0\iff t =\dfrac12.\] Ce qui donne, en remplaçant dans (S) \[x=\dfrac12\quad y=\dfrac12\quad z=\dfrac12.\] \item Comme $$\vect{IK}\cdot\vect{IJ}=-\dfrac14+\dfrac14+0$$ les vecteurs $\vect{IK}$ et $\vect{IJ}$ sont orthogonaux, le triangle IJK est donc rectangle. Son aire est \[\mathcal{A}=\dfrac12\times IJ\times IK = \dfrac12\times\sqrt{\dfrac14+\dfrac14+1}\times \sqrt{\dfrac14+\dfrac14+0}=\dfrac12\times\sqrt{\dfrac32} \times\sqrt{\dfrac12}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\] \item Le volume du tétraèdre $FIJK$ est \[\mathcal{V}=\dfrac13\times FM\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}= \dfrac13\times \sqrt{\dfrac14+\dfrac14+\dfrac14}\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac13\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{8}\] \item On détermine un système d'équations paramétriques des droites $(IJ)$ et $(KL)$ \[(IJ)\begin{cases} x&=\dfrac12-\dfrac12t\\[0.2cm] y&=\dfrac12t \\ z&=t\\ \end{cases} \quad \text{et}\quad (KL)\begin{cases} x&=1\\ y&=\dfrac12+\dfrac12t' \\[0.2cm] z&=\dfrac12t'\\ \end{cases} \] Ce qui donne le système \[\begin{cases} \dfrac12-\dfrac12t&=1\\[0.2cm] \hspace*{0.8cm}\dfrac12t&=\dfrac12+\dfrac12t' \\[0.2cm] \hspace*{0.8cm}t&=\dfrac12t'\\ \end{cases} \] qui admet pour unique solution $t = -1$ et $t' = - 2$, ce qui prouve que les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont sécantes au point $P\left(1,~-\dfrac12,~-1\right)$ \end{enumerate} %\newpage %\vspace{0.5cm} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} \medskip \begin{enumerate} \item $u_0=\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x=\big[~\ln(x+1)~\big]_0^1=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)$ \item \begin{enumerate} \item \begin{align*} u_{n+1}+u_n&=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n+1}}{1+x}\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}\dfrac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n+1}}{1+x}+\dfrac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x\quad\text{par linéarité}\\ &=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n+1}+x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{1}x^n\dfrac{x+1}{1+x}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{1}x^n\,\mathrm{d}x\\ &=\left[~\dfrac{x^{n+1}}{n+1}~\right]_0^1\\ &=\dfrac{1}{n+1} \end{align*} \item Il résulte de la question précédente que $u_1 + u_0 = 1$, or $u_0 = \ln(2)$, donc \[u_1 = 1-\ln(2).\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On peut modifier l'algorithme de la façon suivante %\renewcommand{arraystretch}{1.2} \begin{tabular}{|rll|} \hline Variables: & & $i$ et $n$ sont des entiers naturels \\ & & $u$ est un réel \\ Entrée : & & Saisir $n$ \\ Initialisation: & & Affecter à $u$ la valeur $\mathbf{\ln(2)}$ \\ Traitement: & & Pour $i$ variant de 1 à $\mathbf{n}$ \\ & & |\hspace{0.2cm} Affecter à $u$ la valeur $\mathbf{\dfrac{1}{i}-u}$ \\ & & Fin de pour \\ Sortie : & & Afficher $u$ \\ \hline \end{tabular} \medskip \item On peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et qu'elle converge vers 0. \medskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n+1}}{1+x}\,\mathrm{d}x-\int_{0}^{1}\dfrac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n+1}}{1+x}-\dfrac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x\quad\text{par linéarité}\\ &=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n+1}-x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{1}x^n\dfrac{x-1}{1+x}\,\mathrm{d}x\\ \end{align*} Or $x\in[0,~1]$ donc $x^n$ et $1+x$ sont positifs, mais $x-1$ est négatif , donc \[\int_{0}^{1}x^n\dfrac{x-1}{1+x}\,\mathrm{d}x<0\] et par conséquent $u_{n+1}-u_n < 0$, la suite $(u_n)$ est donc décroissante. \item Tous les termes de cette suite étant positifs, la suite $\left(u_n\right)$ est donc minorée par 0. Comme elle est également décroissante, il en résulte d'après le théorème de la convergence monotone qu'elle est convergente. \medskip \end{enumerate} \item Soit $\ell$ sa limite, on a donc \[ \lim_{n\to+\infty}u_{n+1}=\lim_{n\to+\infty}u_{n}=\ell, \] soit \[ \lim_{n\to+\infty}u_{n+1}+u_{n}=2\ell \] Or \[\lim_{n\to+\infty}u_{n+1}+u_n=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}=0\] donc \[2\ell=0\iff \ell=0\] La suite $\left(u_n\right)$ converge donc vers 0. \end{enumerate} %\newpage \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 3 points} %\begin{center} %\begin{tikzpicture}[scale=1.2] %\draw[dashed,step=1cm, lightgray, very thin] (-5,-2) grid (3,5); %\draw[domain=-5:1.6,line width=1.2pt] plot (\x,{exp(\x)}); %\draw[very thick,->](-5,0) -- (3,0); %\draw[very thick,->](0,-2) -- (0,5); %\foreach\x in{-5,-4,-3,-2,-1,1,2} %\draw (\x,1pt) -- (\x,-1pt) node[below]{$\x$}; %\foreach\y in{-2,-1,1,2,3,4} %\draw (-1pt,\y)-- (1pt,\y) node[left]{$\y$}; %\draw node(C) at (2,4.8) {$\mathcal{C}$}; %\end{tikzpicture} %\end{center} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-2)(3,5) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt,gridcolor=cyan] \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-2)(3,5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3,5) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1.6}{2.71828 x exp} \psplot[linecolor=red]{-0.5}{1.7}{2.71828 x mul} \uput[l](1.4,4){$\blue \mathcal C$} \end{pspicture} \end{center} Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathcal{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$. \medskip \begin{enumerate} \item Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1 est donné par \[y=\mathrm{e}^1\left(x-1\right)+\mathrm{e}^1 \iff y=\mathrm{e}x.\] La droite $\mathcal{D}_{\mathrm{e}}:\,y=\mathrm{e}x$ est donc tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1. \item On conjecture que : \begin{description} \item[\textbullet\;] Si $m <\mathrm{e}$ il n'y a aucun point d'intersection. \item[\textbullet\;] Si $m =\mathrm{e}$ il y a un point d'intersection. \item[\textbullet\;] Si $m >\mathrm{e}$ il y a deux points d'intersection. \end{description} \item \textbf{Première solution} Le point M de coordonnées $(x,~y)$ est un point d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{D}_m$ si et seulement si \[\mathrm{e}^x=mx\iff \mathrm{e}^x-mx=0.\] Posons $f(x) = \mathrm{e}^x - mx$, alors \[\mathrm{e}^x=mx\iff f(x)=0.\] Étudions cette fonction $f$, il vient: \begin{description} \item[\textbullet\;] $f'(x)=\mathrm{e}^x-m$ \item[\textbullet\;] $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x) = +\infty}$ car $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}\mathrm{e}^x=0}$ et $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}-mx=+\infty}$ car $m>0$ \item[\textbullet\;] $f(x)=x\left(\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}- m \right)$, or $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x} = +\infty}$, donc $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty}$ \item[\textbullet\;] $f'(x)>0\iff\mathrm{e}^x > m\iff x>\ln(m)$ \item[\textbullet\;] $f\left(\ln(m)\right)=m-m\ln(m) = m\left(1-\ln(m)\right)$ \end{description} D'où le tableau de variations %\begin{center} %\begin{tikzpicture} %\tkzTabInit{$x$/1,$f'(x)$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$\ln(m)$,$+\infty$} %\tkzTabLine{,-,z,+} %\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/$m(1-\ln(m))$,+/$+\infty$} %\end{tikzpicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{25pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *4{c} c|} \hline x & -\infty & \hspace*{\esp} & \ln m & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline g'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & \Rnode{max1}{+\infty} & & & & \Rnode{max2}{+\infty} \\ g(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min}{m(1-\ln m)} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} Il résulte de ce tableau de variations que \begin{description} \item[\textbullet\;] si $m(1 - \ln(m)) > 0$ alors l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution; \item[\textbullet\;] si $m(1 - \ln(m)) = 0$ alors l'équation $f(x) = 0$ admet une seule solution; \item[\textbullet\;] si $m(1 - \ln(m)) < 0$ alors l'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions \end{description} Or comme $m > 0$, \[m(1-\ln(m))>0\iff 1-\ln(m)>0\iff 1>\ln(m)\iff \mathrm{e}>m,\] d'où, en définitive \begin{description} \item[\textbullet\;] si $m<\mathrm{e}$ alors la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}_m$ n'auront aucun point d'intersection; \item[\textbullet\;] si $m=\mathrm{e}$ alors la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}_m$ auront un seul point d'intersection; \item[\textbullet\;] si $m>\mathrm{e}$ alors la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}_m$ auront deux points d'intersection. \end{description} \textbf{Deuxième solution} On veut déterminer dans $\R$ le nombre de solutions de l'équation $\e^x = mx$. On sait que $m>0$ et que, pour tout $x$, $\e^x>0$ donc les solutions de cette équation seront strictement positives. Sur $\R_+^*$, $\e^x = mx \iff \dfrac{\e^x}{x} = m$. Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+^*$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$. Cette fonction est dérivable comme quotient de fonctions dérivables et: \[f'(x) = \dfrac{x\e^x-\e^x}{x^2} = \dfrac{\e^x(x-1)}{x^2}\] Le signe de $f'(x)$ est le même que le signe de $x-1$ donc négatif sur $]0\,,\,1[$ puis positif sur $]1\,,\,+\infty[$. La fonction $f$ admet donc un minimum pour $x=1$ égal à $f(1)=\dfrac{\e^1}{1}=\e$. D'après le cours, $\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$. $\ds\lim_{x\to 0}\e^x=1 \implies \ds\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ \medskip On établit le tableau de variation de la fonction $f$: \begin{center} { \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| l*3{c} c|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline f'(x) & \vline\;\vline\; & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & \vline\;\vline\; \Rnode{max1}{+\infty} & & & & \Rnode{max2}{+\infty} \\ f(x) & \vline\;\vline\; & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \vline\;\vline\; & & \Rnode{min}{\e} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} Déterminer le nombre de solutions $f(x)=m$ revient à déterminer le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal C_f$ représentant la fonction $f$ et de la droite horizontale $\mathcal D$ d'équation $y=m$. \begin{list}{\textbullet}{D'après le tableau de variation de $f$:} \item si $m<\e$, la courbe $\mathcal C_f$ et la droite $\mathcal D$ n'ont pas de point d'intersection donc la droite $\mathcal D_m$ et la courbe $\mathcal C$ n'ont pas de point d'intersection; \item si $m=\e$, la droite $\mathcal D$ est tangente à la courbe $\mathcal C_f$, donc $\mathcal D$ et $\mathcal C_f$ ont un seul point d'intersection, et donc la droite $\mathcal D_m$ et la courbe $\mathcal C$ ont un seul point d'intersection; \item si $m>\e$, la droite $\mathcal D$ et la courbe $\mathcal C_f$ ont deux points d'intersection, donc la droite $\mathcal D_m$ et la courbe $\mathcal C$ ont deux points d'intersection. \end{list} \end{enumerate} %\newpage \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item On obtient l'arbre suivant %\begin{center} %\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped] %\tikzstyle{level 1}=[level distance=2.5cm, sibling distance=3cm] %\tikzstyle{level 2}=[level distance=2.5cm, sibling distance=1.5cm] %\node[]{} % child{node{B}%A barre % child{node{$\overline{V}$}%B barre % edge from parent node[draw, rectangle, color=white,fill=white,,text=red,rotate=15]{\np{0,20}}} % child{node{$V$}%B % edge from parent node[draw, rectangle, color=white,fill=white,,text=red,rotate=-15]{\np{0,80}}} % edge from parent node[draw, rectangle, color=white,fill=white,,text=blue,rotate=30]{\np{0,53}}} % child{node{A}%A % child{node{$\overline{V}$}%B barre % edge from parent node[draw, rectangle, color=white,fill=white,,text=red,rotate=15]{\np{0,10}}} % child{node{$V$}%B % edge from parent node[draw, rectangle, color=white,fill=white,text=red,rotate=-15]{\np{0,90}}} % edge from parent node[draw, rectangle, color=white,fill=white,text=blue,rotate=-30]{\np{0,47}}}; %\end{tikzpicture} %\end{center} \begin{center} \psset{levelsep=3cm,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,treesep=12mm} \pstree[treemode=R]% ,nrot=:U {\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\ncput*{\blue 0,47}} { \TR{$V$}\ncput*{\red 0,90} \TR{$\overline{V}$}\ncput*{\red 0,10} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\ncput*{\blue 0,53}} { \TR{$V$}\ncput*{\red 0,80} \TR{$\overline{ V}$}\ncput*{\red 0,20} } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item D'après l'arbre \[p(V)=\np{0,47}\times\np{0,90}+\np{0,53}\times\np{0,80}=\np{0,847}.\] \item $p_{V}(A)=\dfrac{p(V\cap A)}{p(V)} = \dfrac{\np{0,47}\times\np{0,90}}{\np{0,847}}=\np{0,499}$ \end{enumerate} \item La personne interrogée vote effectivement pour le candidat A si elle dit la vérité et dit voter pour le candidat A ou bien si elle ment et dit voter pour le candidat B, soit d'après l'arbre : \[p(A)=\np{0,47}\times\np{0,90}+\np{0,53}\times\np{0,20}=\np{0,529}.\] \item On détermine un intervalle de confiance au seuil de confiance de $95\%$, par \[I=\left[\np{0,529}-\dfrac{1}{\sqrt{1200}} ;~\np{0,529}+\dfrac{1}{\sqrt{1200}}\right]=\big[\np{0,5001} ;~\np{0,5579} \big]\] Les conditions d'applications étant vérifiées \[1200>30\quad\text{et}\quad 1200\times\np{0,5579}>5\quad\text{et}\quad 1200\times\np{0,4421}>5.\] La borne inférieur de l'intervalle de confiance au seuil de $95\%$ étant supérieure à $\np{0,5}$, le candidat A peut raisonnablement croire qu'il sera élu. \item Par demi-heure, il y a en moyenne $\np{0,4}\times 10=4$ personnes qui répondent, soit 8 personnes par heure. Comme on a besoin d'avoir \np{1200} réponses, il faudra en moyenne $\dfrac{\np{1200}}{8} = 150$ heures pour parvenir à cet objectif. \end{enumerate} %\newpage \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item Puisque $q_0 = 1$, cela signifie que le fumeur a fumé le jour où il a décidé d'arrêter de fumer ! Donc il aura une probabilité de \np{0,6} de fumer le lendemain, et donc $q_1 = \np{0,6}$ soit $p_1=\np{0,4}$. \item On peut modéliser la situation par un arbre : %\begin{center} %\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped] %\tikzstyle{level 1}=[level distance=2.5cm, sibling distance=3cm] %\tikzstyle{level 2}=[level distance=2.5cm, sibling distance=1.5cm] %\node[]{} % child{node{F}%A barre % child{node{$F$}%B barre % edge from parent node[draw, rectangle, color=white,fill=white,,text=red,rotate=15]{\np{0,6}}} % child{node{$\overline{F}$}%B % edge from parent node[draw, rectangle, color=white,fill=white,,text=red,rotate=-15]{\np{0,4}}} % edge from parent node[draw, rectangle, color=white,fill=white,,text=blue,rotate=30]{$q_n$}} % child{node{$\overline{F}$}%A % child{node{$F$}%B barre % edge from parent node[draw, rectangle, color=white,fill=white,,text=red,rotate=15]{\np{0,1}}} % child{node{$\overline{F}$}%B % edge from parent node[draw, rectangle, color=white,fill=white,text=red,rotate=-15]{\np{0,9}}} % edge from parent node[draw, rectangle, color=white,fill=white,text=blue,rotate=-30]{$p_n$}}; %\end{tikzpicture} %\end{center} \begin{center} \psset{levelsep=3cm,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,treesep=12mm} \pstree[treemode=R]% ,nrot=:U {\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{F}$}\ncput*{\blue $p_n$}} { \TR{$\overline{F}$}\ncput*{\red 0,9} \TR{$F$}\ncput*{\red 0,1} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$F$}\ncput*{\blue $q_n$}} { \TR{$\overline{F}$}\ncput*{\red 0,4} \TR{$F$}\ncput*{\red 0,6} } } \end{center} d'où \[p_{n+1}=\np{0,9}p_n+\np{0,4}q_n\quad\text{ et}\quad q_{n+1}=\np{0,1} p_n+\np{0,6}q_n.\] Ce qui se traduira par les formules: \begin{description} \item[\textbullet\;] En B3 : $= \np{0,9}\times B2+\np{0,4}\times C2$ \item[\textbullet\;] En C3 : $ =\np{0,1}\times B2+\np{0,6}\times C2 $ \end{description} \item \begin{enumerate} \item $A+\np{0,5}B=\begin{pmatrix} \np{0,8} & \np{0,8} \\ \np{0,2} & \np{0,2} \end{pmatrix}+\np{0,5}\times \begin{pmatrix} \np{0,2} & -\np{0,8} \\ -\np{0,2} & \np{0,8} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \np{0,8} & \np{0,8} \\ \np{0,2} & \np{0,2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \np{0,1} & -\np{0,4} \\ -\np{0,1} & \np{0,4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \np{0,9} & \np{0,4} \\ \np{0,1} & \np{0,6} \end{pmatrix}= M $ \item d'une part \[A^2=\begin{pmatrix} \np{0,8} & \np{0,8} \\ \np{0,2} & \np{0,2} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \np{0,8} & \np{0,8} \\ \np{0,2} & \np{0,2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \np{0,64}+\np{0,16} & \np{0,64}+\np{0,16} \\ \np{0,16}+\np{0,04} & \np{0,16}+\np{0,04} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \np{0,8} & \np{0,8} \\ \np{0,2} & \np{0,2} \end{pmatrix} =A \] d'autre part \[A\times B=\begin{pmatrix} \np{0,8} & \np{0,8} \\ \np{0,2} & \np{0,2} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \np{0,2} & -\np{0,8} \\ -\np{0,2} & \np{0,8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \np{0,16}-\np{0,16} & -\np{0,64}+\np{0,64} \\ \np{0,04}-\np{0,04} & -\np{0,16}+\np{0,16} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] On vérifie de même que \[B\times A= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \item On procède par récurrence: \textbullet\; Initialisation: C'est vrai pour $n = 0$, en effet: \[M^0= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad A+\np{0,5}^0B=A+B= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] \textbullet\; Hérédité : supposons que $M^n = A + \np{0,5}^nB$, alors il vient \begin{align*} M^{n+1}&=M^n\times M=(A+\np{0,5}^nB)\times (A+\np{0,5}B)\\ &=A^2+\np{0,5}^nB\times A+\np{0,5}A\times B +\np{0,5}^{n+1}B^2\\ &=A+\np{0,5}^{n+1}\times B \end{align*} \textbullet\; Conclusion: pour tout $n$ \[M^n=A+\np{0,5}^nB.\] \item Comme $ X_n=\begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix} $ et que $X_n=M^n\times X_0$, il vient \[X_n=\left(A+\np{0,5}^nB\right)\times X_0= \begin{pmatrix} \np{0,8}+\np{0,5}^n\times\np{0,2} & \np{0,8}-\np{0,5}^n\times\np{0,8} \\ \np{0,2}-\np{0,5}^n\times\np{0,2} & \np{0,2}+\np{0,5}^n\times\np{0,8} \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \np{0,8}-\np{0,5}^n\times\np{0,8} \\ \np{0,2}+\np{0,5}^n\times\np{0,8} \end{pmatrix} \] Donc \[p_n=\np{0,8}-\np{0,8}\times \np{0,5}^n\] \item Comme $0<\np{0,5}<1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\np{0,5}^n=0$ et donc \[\lim_{n\to+\infty}p_n=\np{0,8}.\] À long terme la probabilité qu'il arrête de fumer va se stabiliser vers \np{0,8}. On n'a pas la certitude qu'il arrêtera de fumer. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Liban 27 mai 2015 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %%%%%%%%%%% Amérique du Nord - 2 juin 2015 \hypertarget{AmeriqueNord}{} %Corrigé : Pierre-Alexandre Fournié \newcommand{\coord}[2]{ \begin{pmatrix}#1\\#2\end{pmatrix} } \newcommand{\coorde}[3]{ \begin{pmatrix}#1\\#2\\#3\end{pmatrix} } \lfoot{\small Amérique du Nord} \rfoot{\small 2 juin 2015} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} %Corrigé : Pierre-Alexandre Fournié %\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } % \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Amérique du Nord 2 juin 2015 ~\decofourright}} \end{center} \phantomsection \label{AmeriqueNord} \subsection*{Exercice 1} %\textbf{Commun à tous les candidats} % %\medskip % %Dans l'espace, on considère une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point de l'espace tel que $\left(\text{O}~;~ \vec{\text{OA}},~ \vec{\text{OB}}, \vec{\text{OD}}\right)$ soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0~;~0~;~3) dans ce repère. % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(3.5,6) %%\psgrid %\pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.4,2)(1.95,5.6)%ABCS %\psline(2.5,0.5)(1.95,5.6)%BS %\psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(1.4,2)(1.95,5.6)%AES %\psline[linestyle=dotted](1.4,2)(3.4,2)%EC %\psline{->}(1.95,1.25)(0.5,0.5) %\psline{->}(1.95,1.25)(2.5,0.5) %\psline{->}(1.95,1.25)(1.95,2.7) %\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[ur](3.4,2){C} %\uput[ul](1.4,2){E} \uput[ur](1.95,1.25){O} \uput[l](1.95,2.7){D} %\uput[u](1.95,5.6){S} %\end{pspicture} %\end{center} \medskip \subsubsection*{Partie A} \medskip \begin{enumerate} %\item Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure jointe en \textbf{annexe 1, (à rendre avec la copie)}. \item On peut utiliser ici le théorème de Thalès pour prouver que $\vect{BU} = \dfrac{1}{3}\vect{BS}$ et ainsi construire le point. Pour cela considérons le triangle $SOB$.\\ Nous savons que $(DU)$ est parallèle à $(OB)$ car $D$ et $U$ partagent la même cote et $O$ et $B$ sont également de même cote. Nous savons également que $\dfrac{OD}{OS} = \dfrac{1}{3}$, là encore en raison de la cote de $D$ et $S$. On en déduit, par application de l'antique théorème, que $\dfrac{BU}{BS} = \dfrac{OD}{OS} = \dfrac{1}{3}$. %\item Soit V le point d'intersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le point V sur la figure jointe en \textbf{annexe 1, (à rendre avec la copie)}. \item Considérons les plans $(AUE)$ et $(BCS)$. Ces plans sont sécants en la droite $(UV)$. Or, $(BC)$, incluse dans $(BCS)$, est parallèle à $(AE)$, incluse dans $(AEU)$; puisque $ABCE$ est un carré.\\ Par application du théorème du toit, on en déduit que $(UV)$ est parallèle à $(BC)$. Cette dernière propriété permet de construire le point $V$. %Là encore, par application du théorème de Thalès dans le triangle $SBC$ où l'on a $(UV)$ parallèle à $(BC)$, on prouve que $\vecteur{C}{V}= \dfrac{1}{3}\vecteur{C}{S}$. %\item Soit K le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{6}~;~ - \dfrac{1}{6}~;~0\right)$. % %Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE. \item Il nous faut prouver d'une part que $K$ appartient à $(AE)$ et d'autre part que $(KU)$ est perpendiculaire à $(AE)$.\\ On lit les coordonnées de $A \, \coorde{1}{0}{0}$ et celles de $E \, \coorde{0}{-1}{0}$ et on calcule ainsi $\vect{AE} \, \coorde{-1}{-1}{0}$. D'autre part on détermine $\vect{AK} \, \coorde{\frac{-1}{6}}{\frac{-1}{6}}{0}$.\\ On en déduit que $\vect{AK} = \dfrac{1}{6} \vect{AE}$, ce qui prouve que $K$ est un point de $[AE]$.\\ Déterminons les coordonnées de $U$. On a démontré dans la question 1 que $\vect{BU} = \dfrac{1}{3}\vect{BS}$, ce qui donne un système portant sur les coordonnées de $U$: \[ \left \{ \begin{array}{lcl} x_u-0 & = & \dfrac{1}{3}\left(0-0\right) \\ y_u-1 & = & \dfrac{1}{3}\left(0-1\right) \\ z_u & = & 1 \end{array} \right . \Longleftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} x_u & = & 0 \\ y_u & = & \dfrac{2}{3}\\ z_u & = & 1 \end{array} \right . \] On peut maintenant déterminer les coordonnées de $\vect{KU} \, \coorde{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}{1}$.\\ On obtient ainsi, sachant que le repère est orthonormé: $\vect{KU} \cdot \vect{AE} = \dfrac{-5}{6} \times (-1) + \dfrac{5}{6} \times (-1) + 1 \times 0 = 0$, ce qui permet de conclure. Le point $K$ est bien le pied de la hauteur issue de $U$ dans le trapèze $AUVE$. \medskip \fcolorbox{black}{lightgray}{\parbox{\linewidth}{ On pouvait également déterminer une équation paramétrique de $(BS)$ afin de calculer les coordonnées de $U$.\\ Une telle méthode revient à chercher le réel $t$ tel que $\vect{BU} = t \vect{BS}$ avec la cote de $U$ égale à $1$. }} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{Partie B} % %\medskip % %Dans cette partie, on admet que l'aire du quadrilatère AUVE est $\dfrac{5\sqrt{43}}{18}$. \medskip \begin{enumerate} %\item On admet que le point U a pour coordonnées $\left(0~;~\dfrac{2}{3}~;~ 1\right)$. % %Vérifier que le plan (EAU) a pour équation $3x - 3y + 5z - 3 = 0$. \item Il suffit de s'assurer que les points $A$, $E$ et $U$ vérifient bien l'équation proposée.\\ Pour le point $A$, on a bien $3 \times 1 - 3 \times 0 + 5 \times 0 - 3 =0$.\\ De même pour le point $E$, il est clair que $3 \times 0 - 3 \times (-1) + 5 \times 0 - 3 =0$.\\ Et enfin, pour le point $U$, on vérifie mentalement que $3 \times 0 - 3 \times \dfrac{2}{3} + 5 \times 1 - 3 =0$.\\ Cette équation de plan convient donc. %\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (EAU) passant par le point S. \item Puisque l'on a muni l'espace d'un repère orthonormé, on déduit de l'équation cartésienne proposée les coordonnées d'un vecteur normal au plan $(EAU)$. Notons $\vec{n} \, \coorde{3}{-3}{5}$ ce vecteur.\\ C'est un vecteur directeur de $(d)$ puisque $(d)$ est orthogonale au plan $(EAU)$. À partir des coordonnées du point $S$ et de celles de ce vecteur, on en déduit une équation paramétrique de $(d)$: \[ \left \{ \begin{array}{lcl} x & = & 3t\\ y & = & -3t\\ z & = & 3+5t \end{array} \right . \quad t \, \in \, \R \] %\item Déterminer les coordonnées de H, point d'intersection de la droite $(d)$ et du plan (EAU). \item Les coordonnées $\coorde{x}{y}{z}$ de ce point satisfont simultanément une équation paramétrique de $(d)$ ainsi qu'une équation cartésienne du plan $(EAU)$. On cherche donc $x$, $y$, $z$ et $t$ tels que: \[ \left \{ \begin{array}{lcl} x & = & 3t\\ y & = & -3t\\ z & = & 3+5t\\ 0 & = & 3x-3y+5z-3 \end{array} \right . \] À partir de l'équation cartésienne du plan, en substituant $x$, $y$ et $z$ on en déduit le système équivalent: \[ \left \{ \begin{array}{lcl} x & = & 3t\\ y & = & -3t\\ z & = & 3+5t\\ 0 &= & 3(3t)-3(-3t)+5(3+5t)-3 \end{array} \right . \] La dernière équation permet de déterminer $t = \dfrac{-12}{43}$ et, par suite, on peut déterminer les coordonnées de $H \, \coorde{\frac{-36}{43}}{\frac{36}{43}}{\frac{69}{43}}$. %\item Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume ? \item Le plan $(EAU)$ coupe le tétraèdre $SABCE$ en un prisme $ABUECV$ d'une part et un tétraèdre $SAUVE$ d'autre part. Il nous faut donc déterminer si ces deux solides ont le même volume; ce qui revient à déterminer si le volume de l'un des deux solides correspond à la moitié de celui de $SABCE$.\\ Or toutes les questions précédentes nous ont permis de rassembler des éléments permettant de calculer le volume du tétraèdre $SAUVE$. Nous connaissons en effet l'aire de sa base $\mathcal{A}_{AUVE} = \dfrac{5\sqrt{43}}{18}$. Reste à calculer sa hauteur $SH$. On a ainsi: \begin{align*} SH & = \sqrt{\left(\dfrac{-36}{43}-0\right)^2+\left(\dfrac{36}{43}-0\right)^2+\left(3-\dfrac{69}{43}\right)^2} \\ & = \dfrac{12}{\sqrt{43}} \end{align*} Le volume du tétraèdre $SAUVE$ est donc $\mathcal{V}_{SAUVE} = \dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{AUVE} \times SH $, ce qui donne après calcul: $\mathcal{V}_{SAUVE} = \dfrac{10}{9}$.\\ Pour finir, déterminons le volume de la grande pyramide $SABCE$. On peut, par application du théorème de Pythagore au triangle $ABO$ rectangle en $O$ prouver que $AB = \sqrt{2}$. Sa base a donc pour aire $AB^2=2$. D'autre part, sa hauteur est $SO=3$. Le volume de la grosse pyramide est donc $\mathcal{V}_{SABCE} = \dfrac{1}{3} AB^2 \times SO = 2$.\\ On constate que $\dfrac{1}{2} \mathcal{V}_{SABCE} \neq \mathcal{V}_{SAUVE}$, ce qui permet de conclure. \end{enumerate} \bigskip \subsection*{Exercice 2} %\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel $n$, on définit les points $\left(A_n\right)$ par leurs coordonnées $\left(x_n~;~y_n\right)$ de la façon suivante: % %\[\left\{\begin{array}{l c l} %x_0 &=&- 3\\ %y_0 &=&\phantom{-}4 %\end{array}\right. \quad \text{et pour tout entier naturel }\:n : \left\{\begin{array}{l c l} %x_{n+1}&=&0,8x_n - 0,6y_n\\ %y_{n+1}&=&0,6x_n + 0,8y_n %\end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} % \item Déterminer les coordonnées des points $A_0,\: A_1$ et $A_2$. \item On applique les formules de récurrence proposées en utilisant un petit programme fait à la calculatrice.\\ On obtient: \[ A_0 \, \coord{-4,8}{1,4} \qquad A_1 \, \coord{-4,68}{-1,76} \qquad A_2 \, \coord{-2,688}{-4,216} \] \medskip \fcolorbox{black}{lightgray}{\parbox{\linewidth}{ Ceux qui font l'option mathématiques auront reconnu qu'on peut définir matriciellement la suite des coordonnées. C'est d'ailleurs comme cela que l'on peut rapidement calculer les termes de la suite à la calculatrice. }} \medskip % \item Pour construire les points $A_n$ ainsi obtenus, on écrit l'algorithme suivant : \item Voir plus bas: \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|X|}\hline Variables : \\ $i, x, y, t$ : nombres réels\\ \\ Initialisation :\\ $x$ prend la valeur $- 3$\\ $y$ prend la valeur 4 \\ \\ Traitement :\\ Pour $i$ allant de 0 à 20\\ \hspace{1cm}Construire le point de coordonnées $(x~;~y)$\\ \hspace{1cm}$t$ prend la valeur $x$\\ \hspace{1cm}$x$ prend la valeur $\red 0,8 \times x - 0,6 \times y$\\ \hspace{1cm}$y$ prend la valeur $\red 0,6 \times t + 0,8 \times y$\\ Fin Pour \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \fcolorbox{black}{lightgray}{\parbox{\linewidth}{ L'erreur à ne pas commettre ici était d'utiliser $x$ dans le calcul de $y$. En effet, à ce stade, $x$ a déjà été modifié. C'est d'ailleurs pour cela que l'algorithme propose de stocker temporairement l'ancienne valeur de $x$ dans la variable $t$. }} \medskip %Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points $A_0$ à $A_{20}$. % \item À l'aide d'un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant: % %\begin{center} %\psset{unit=0.5cm} %\begin{pspicture}(-7,-6)(8,6) %\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7,-6)(8,6) %%\multido{\n=0+1}{20}{\psdots(5;36.8 \n mul)} %\psdots(5;126.87)(5;163.74)(5;200.61)(5;237.48)(5;274.35)(5;311.22)(5;348.09)(5;24.96)(5;61.83)(5;98.7)(5;135.57)(5;172.44)(5;209.31)(5;246.18)(5;283.05)(5;319.92)(5;356.79)(5;33.66)(5;70.53) %%(5;107.4)(5;144.27) %\end{pspicture} %\end{center} % Identifier les points $A_0,\: A_1$ et $A_2$.. On les nommera sur la figure jointe en \textbf{annexe 2, (à rendre avec la copie)}. %Quel semble être l'ensemble auquel appartiennent les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel ? \item On a identifié les points sur l'annexe en fonction de leurs coordonnées. Ils semblent appartenir à un cercle de centre $O$ et de rayon $5$. \end{enumerate} %\item Le but de cette question est de construire géométriquement les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel. % %Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel $n,\: z_n = x_n + \text{i}y_n$ l'affixe du point $A_n$. \begin{enumerate} % \item Soit $u_n = \left|z_n\right|$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 5$. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ? \item Faisons une démonstration par récurrence puisque la suite $z$ est définie par récurrence.\\ Au rang $0$, $\lvert z_0 \rvert = \sqrt{(-3)^2+4^2}=5$. La propriété est vérifiée.\\ Fixons un entier $p$ et supposons que $\lvert z_p \rvert = \sqrt{x_p^2+y_p^2}= 5$.\\ Au rang $p+1$: \begin{align*} \lvert z_{p+1} \rvert & = \sqrt{x_{p+1}^2+y_{p+1}^2} \\ & = \sqrt{\left(0,8x_p-0,6y_p\right)^2 + \left(0,6x_p+0,8y_p\right)^2} \\ & = \sqrt{(0,8^2+0,6^2)x_p^2+(0,6^2+0,8^2)y_p^2+(0,8 \times 0,6 - 0,6 \times 0,8)x_py_p} \\ & = \sqrt{x_p^2+y_p^2}. \text{ Or, par hypothèse, $\sqrt{x_p^2+y_p^2}= 5$. Donc:} \\ \lvert z_{p+1} \rvert & = 5 \end{align*} La propriété est donc héréditaire et initialisée.\\ Ainsi, pour tout $n$, on a bien $u_n = \lvert z_n \rvert = 5$, ce qui prouve notre conjecture concernant le lieu des points. % \item On admet qu'il existe un réel $\theta$ tel que $\cos(\theta) = 0,8$ et $\sin(\theta) = 0,6$. % %Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $\text{e}^{\text{i}\theta }z_n = z_{n+ 1}$. \item Calculons, pour tout $n$, la forme algébrique de $\e^{\i \theta}z_n$: \begin{align*} \e^{\i \theta}z_n & = \left(\cos(\theta) + \i \sin(\theta)\right)(x_n + \i y_n) \\ & = (0,8 + \i 0,6)(x_n + \i y_n) \\ & = (0,8x_n+\i^2 0,6 y_n) + (0,6x_n+0,8y_n)\i \\ & = (0,8x_n-0,6y_n) + (0,6x_n+0,8y_n) \i\\ & \text{ On reconnaît les formules de récurrence de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$:} \\ \e^{\i \theta}z_n & = x_{n+1} + y_{n+1} \i \\ & = z_{n+1} \end{align*} % \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $z_n = \text{e}^{\text{i}n\theta }z_0$. \item $z$ est une suite géométrique de raison $\e^{\i \theta}$ sur des complexes. Comme cette notion n'est pas au programme, nous allons redémontrer la formule explicite. Pour $n=0$ la formule est bien sûr vraie. Supposons-la vraie à un rang $p$ fixé: $z_p = \e^{\i p \theta} z_0$.\\ Mais nous savons que $z_{p+1} = \e^{\i \theta}z_p = \e^{\i \theta} \e^{\i p \theta} z_0$. On a ainsi:\\ $z_{p+1} = \e^{\i p \theta + \i \theta} z_0 = \e^{\i (p+1) \theta} z_0$.\\ La propriété est donc héréditaire et initialisée.\\ Ainsi, pour tout $n$, on a bien $z_n = \e^{\i n \theta} z_0$. % \item Montrer que $\theta + \dfrac{\pi}{2}$ est un argument du nombre complexe $z_0$. \item Posons $\theta_0 = \arg\left(z_0\right)$. Par définition: \begin{align*} \dfrac{z_0}{\lvert z_0 \rvert} & = \cos\left(\theta_0\right) + \i \sin\left(\theta_0\right). \text{ Or}:\\ \dfrac{z_0}{\lvert z_0 \rvert} & = \dfrac{-3}{5} + \i \dfrac{4}{5} \\ & = -0,6 + \i 0,8. \text{ On reconnaît les valeurs de $\cos$ et $\sin$ de $\theta$:} \\ & = -\sin\left(\theta\right) + \i \cos\left(\theta\right). \text{ En utilisant les formules de trigonométrie, on a:} \\ \dfrac{z_0}{\lvert z_0 \rvert} & = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right) + \i \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right) \end{align*} On a donc bien, en identifiant la première et la dernière ligne, $\arg(z_0) = \theta_0 = \dfrac{\pi}{2} + \theta$ \medskip \fcolorbox{black}{lightgray}{\parbox{\linewidth}{ On pouvait également calculer le forme algébrique de $\lvert z_0 \rvert \e^{\i \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}$ et montrer qu'elle était identique à celle de $z_0$. Cette méthode est d'ailleurs certainement plus « facile » à mettre en œuvre. }} \medskip % \item Pour tout entier naturel $n$, déterminer, en fonction de $n$ et $\theta$, un argument du nombre complexe $z_n$. % Représenter $\theta$ sur la figure jointe en \textbf{annexe 2, (à rendre avec la copie).} % %Expliquer, pour tout entier naturel $n$, comment construire le point $A_{n+ 1}$ à partir du point $A_n$. \item On utilise les propriétés de l'argument: \[\arg(z_n)= \arg\left(\e^{\i n \theta}z_0\right) = \arg\left(\e^{\i n \theta}\right) + \arg(z_0) = n \theta + \dfrac{\pi}{2} + \theta = (n+1) \theta + \dfrac{\pi}{2}\] \smallskip On représente $\theta$ en utilisant le point $A_0$. En effet, ce point vérifie $\left(\vec{\imath};~\vect{OA_0} \right) = \arg(z_0) = \theta + \dfrac{\pi}{2}$.\\ Ainsi, on obtient facilement, par différence, que $\left(\vec{\jmath};~\vect{OA_0} \right) = \theta$.\\ On a tracé $\theta$ en annexe en utilisant cette dernière remarque. \smallskip Pour obtenir $A_{n+1}$:\\ À partir du point $A_{n}$, on se déplace d'un angle $\theta$ sur le cercle de rayon $5$ et de centre $O$ pour obtenir $A_{n+1}$. Cette opération peut se faire à l'aide d'un compas en reportant une longueur correspondant à $\theta$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsection*{Exercice 3} %\textbf{Commun à tous les candidats} % %\medskip % %Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100~grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle. \bigskip \subsubsection*{Partie A Contrôle avant la mise sur le marché} %\medskip % % %Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes. % %La masse (exprimée en grammes) d'une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 1$. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de $\sigma$. \medskip \begin{enumerate} %\item Calculer la probabilité de l'évènement $M$ : \og la tablette est mise sur le marché \fg. \item À l'aide de la calculatrice, on calcule $P\left(98 \leq X \leq 102\right) \simeq 0,9545$ à $10^{-4}$ près. %\item On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet évènement atteigne 0,97. %Déterminer la valeur de $\sigma$ pour que la probabilité de l'évènement \og la tablette est mise sur le marché\fg soit égale à $0,97$. \item Centrons et réduisons l'évènement afin d'obtenir l'intervalle équivalent portant sur la variable centrée réduite: \begin{align*} 98 \leq X \leq 102 & \Longleftrightarrow 98 - 100 \leq X-100 \leq 102-100 \\ & \Longleftrightarrow \dfrac{-2}{\sigma} \leq \dfrac{X-100}{\sigma} \leq \dfrac{2}{\sigma} \end{align*} Posons $Z = \dfrac{X-100}{\sigma}$. Nous savons que $Z \sim \mathcal{N}(0;~1)$ et que $P\left(\dfrac{-2}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{2}{\sigma}\right) = 2P\left(Z \leq \dfrac{2}{\sigma}\right) - 1$. \medskip Cherchons $u$ tel que $2P\left(Z \leq u\right) - 1 = 0,97$, soit $P\left(Z \leq u\right) = 0,985$. À la calculatrice, on obtient $u \simeq 2,1701$ à $10^{-4}$ près. \medskip Ainsi, $\dfrac{2}{\sigma} = u$, ce qui donne $\sigma = \dfrac{2}{u} \simeq 0,9216$ à $10^{-4}$ près. \end{enumerate} \medskip \fcolorbox{black}{lightgray}{\parbox{\linewidth}{ Il faut absolument retenir le lien entre la probabilité sur un intervalle centré $P\left(Z \, \in \, [-u_{\alpha};~u_{\alpha}]\right) = 1- \alpha$ et la valeur de la fonction de répartition:\\ $P\left(Z \leq u_{\alpha}\right) = 1-\dfrac{\alpha}{2}$.\\ On peut retrouver rapidement cette formule en faisant un petit dessin permettant de déterminer les probabilités des queues de distribution, toutes deux égales à $\dfrac{\alpha}{2}$. }} \bigskip \subsubsection*{Partie B Contrôle à la réception} %\medskip % %Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de 7\,\%. On dit alors que la fève est conforme. % %L'entreprise a trois fournisseurs différents : % %le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30\,\% et le dernier apporte 20\,\% du stock. % %Pour le premier, 98\,\% de sa production respecte le taux d'humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90\,\% de sa production est conforme, et le troisième fournit 20\,\% de fèves non conformes. % %On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note $F_i$ l'évènement \og la fève provient du fournisseur $i$ \fg, pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et $C$ l'évènement \og la fève est conforme \fg. \medskip \begin{enumerate} %\item Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme. Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$. \item On cherche à déterminer $P_C(F_1) = \dfrac{P\left(C \cap F_1\right)}{P(C)}$.\\ Faisons un arbre afin de modéliser la situation. On donne les probabilités à partir des hypothèses de l'énoncé. \psset{nodesep=2mm,levelsep=25mm,treesep=8mm} \begin{center} \pstree[treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$F_1$}\taput{$0,5$}} { \TR{$C$} \taput{$0,98$} \TR{$\overline{C}$} \tbput{$0,02$} } \pstree{\TR{$F_2$} \tbput{$0,3$}} { \TR{$C$} \taput{$0,90$} \TR{$\overline{C}$} \tbput{$0,10$} } \pstree{\TR{$F_3$} \tbput{$0,2$}} { \TR{$C$} \taput{$0,80$} \TR{$\overline{C}$} \tbput{$0,20$} } } \end{center} Calculons $P(C)$ à l'aide de la formule des probabilités totales: \[ P(C) = P_{F_1}(C) P(F_1) + P_{F_2}(C) P(F_2) + P_{F_3}(C) P(F_3) \] On obtient, après calcul, $P(C)=0,92$. \medskip D'autre part, $P\left(C \cap F_1\right) = P_{F_1}(C) P(F_1)$, ce qui donne, après calcul, $P\left(C \cap F_1\right) = 0,49$. \medskip Finalement, on obtient $P_C(F_1) = \dfrac{0,49}{0,92} \simeq \np{0,5326}$ à $10^{-4}$ près. %\item Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, L’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92\,\% de fèves qu'elle achète soient conformes. % %Quelle proportion $p$ de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ? \item Faisons un arbre qui résume la nouvelle situation: \begin{center} \pstree[treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$F_1$}\taput{$p$}} { \TR{$C$} \taput{$0,98$} \TR{$\overline{C}$} \tbput{$0,02$} } \pstree{\TR{$F_2$} \tbput{$1-p$}} { \TR{$C$} \taput{$0,90$} \TR{$\overline{C}$} \tbput{$0,10$} } } \end{center} En reprenant la formule des probabilité totale, on cherche $p$ tel que $P(C)=0,92$, ce qui s'écrit: \begin{align*} 0,98p+0,9(1-p)=0,92 & \Longleftrightarrow 0,08p = 0,02 \\ & \Longleftrightarrow p = \dfrac{0,02}{0,08} = 0,25 \end{align*} L'entreprise doit donc acheter au minimum 25\% de ses fèves au premier fournisseur. \end{enumerate} \bigskip \subsection*{Exercice 4} % %\textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \subsubsection*{Partie A} \medskip %Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par % %\[u(x) = \ln(x) + x - 3.\] \begin{enumerate} %\item Justifier que la fonction $u$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item La fonction est la somme des fonctions $x \mapsto \ln(x)$ et $x \mapsto x-3$, toutes deux strictement croissantes sur $]0;~+\infty[$, elle est donc strictement croissante sur cet intervalle. %\item Démontrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ comprise entre 2 et 3. \medskip \fcolorbox{black}{lightgray}{\parbox{\linewidth}{ On pouvait également dériver la fonction $u$ et constater que la dérivée est strictement positive sur l'intervalle considéré. }} \medskip \item Remarquons que la fonction $\ln$ conserve les inégalités strictes puisqu'elle est strictement croissante.\\ Calculons $u(2) = \ln(2)-1$ or $\ln(2) < \ln(\e)=1$ car $\e > 2$. On prouve ainsi que $u(2)<0$.\\ D'autre part, $u(3) = \ln(3)$ or $\ln(3) > \ln(1) = 0$ car $3 > 1$, ce qui montre que $u(3)>0$.\\ Notons également que $u$ est continue comme somme de fonctions continues.\\ Nous sommes donc dans les conditions d'application du théorème des valeurs intermédiaires.\\ $0$ possède ainsi un antécédent par $u$ dans l'intervalle $[2;~3]$. Comme $u$ est strictement monotone sur $]0;~+\infty[$, cet antécédent $\alpha$ est unique sur $]0;~+\infty[$. \medskip \fcolorbox{black}{lightgray}{\parbox{\linewidth}{ Ici, on pouvait également expliquer que l'on constate à la calculatrice que $u(2)<0$ et $u(3)>0$. Mais cet argument est nettement moins satisfaisant d'un point de vue du raisonnement. }} \medskip %\item En déduire le signe de $u(x)$ en fonction de $x$. \item Compte-tenu du sens de variation de $u$, on a: %\begin{tikzpicture} %\tkzTabInit{$x$/1,$u(x)$/1}{$0$, $\alpha$, $+\infty$} %\tkzTabLine{ d, $-$, z, $+$, } %%\tkzTabVar{+/, -/$-\frac{5}{3}$, +/} %\end{tikzpicture} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & \alpha & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline u(x) & \vline\;\vline & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B} %\medskip % %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par % %\[f(x) = \left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) [\ln(x) - 2] + 2.\] % % On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} %\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. \item Nous savons que $\lim \limits_{\substack{x \to 0\\x>0}} \dfrac{1}{x} = +\infty$ et $\lim \limits_{\substack{x \to 0\\x>0}} \ln(x) = -\infty$. Par opérations sur les limites, on en déduit que:\\ $\lim \limits_{\substack{x \to 0\\x>0}} f(x) = +\infty$ \item \begin{enumerate} % \item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $f’(x) = \dfrac{u(x)}{x^2}$ où $u$ est la fonction définie dans la partie A. \item $f$ est dérivable sur $]0;~+\infty[$ comme sommes et produits de fonctions dérivables sur $]0;~+\infty[$.\\ Pour tout $x>0$: \begin{align*} f'(x) & = \dfrac{1}{x^2}(\ln(x)-2) + \left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{1}{x}. \text{ En réduisant au dénominateur $x^2$:}\\ & = \dfrac{1}{x^2}(\ln(x)-2+x-1) \\ & = \dfrac{1}{x^2}(\ln(x)+x-3) \\ & = \dfrac{1}{x^2}u(x) \end{align*} % \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Pour tout $x>0$, $x^2>0$. Ainsi le signe de $f'$ est celui de $u$. On en déduit que $f$ est strictement décroissante sur $]0;~\alpha]$ et strictement croissante sur $]\alpha;~+\infty]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie C} %\medskip % %Soit $\mathcal{C}’$ la courbe d'équation $y = \ln (x)$. \medskip \begin{enumerate} %\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \:$f(x) - \ln(x) = \dfrac{2 - \ln (x)}{x}$. % %En déduire que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}’$ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées. \item Un point $M \coord{x}{y}$ appartient aux deux courbes à la fois lorsque: \[ \left \{ \begin{array}{lcl} y & = & f(x) \\ y & = & \ln(x) \end{array} \right . \Longleftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} y & = & \ln(x) \\ f(x) & = & \ln(x) \end{array} \right . \Longleftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} y & = & \ln(x) \\ 0 & = & f(x)-\ln(x) \end{array} \right . \] On calcule: \begin{align*} f(x)-\ln(x) & = \left(1-\dfrac{1}{x}\right)(\ln(x)-2)+2-\ln(x). \text{ On réduit au dénominateur $x$:} \\ & = \dfrac{1}{x}\left[(x-1)(\ln(x)-2)+2x-x\ln(x)\right] \\ & = \dfrac{1}{x}\left[x\ln(x)-2x-\ln(x)+2+2x-x\ln(x)\right] \\ & = \dfrac{1}{x}\left(2-\ln(x)\right) \end{align*} Or $2-\ln(x)=0$ n'a qu'une solution qui est $x = \e^2$.\\ Les deux courbes se coupent donc en un unique point d'abscisse $x=\e^{2}$ et d'ordonnée $y=\ln\left(\e^2\right)=2$. %\item On admet que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par % %\[H(x) = \dfrac{1}{2} [\ln (x)]^2\] % % est une primitive de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$. % %Calculer $I = \displaystyle\int_1^{\text{e}^2}\dfrac{2 - \ln x}{x}\:\text{d}x$. % %Interpréter graphiquement ce résultat. \item On utilise la linéarité de l'intégrale: \begin{align*} I & = \displaystyle{\int_1^{\e^2}} \, \dfrac{2-\ln(x)}{x} \mathrm{d}x \\ & = 2 \displaystyle{\int_1^{\e^2}} \, \dfrac{1}{x} \mathrm{d}x - \displaystyle{\int_1^{\e^2}} \, \dfrac{\ln(x)}{x} \mathrm{d}x\\ & \text{ Or $\ln$ est une primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ et $H$ est une primitive de $x \mapsto \dfrac{\ln(x)}{x}$. Ainsi:}\\ I & = 2\left[\ln(x)\right]_1^{\e^{2}} - \left[H(x)\right]_1^{\e^{2}} \\ & = 2\left(\ln\left(\e^2\right)-\ln\left(1\right)\right)-\dfrac{1}{2}\left(\ln\left(\e^2\right)^2-\ln(1)^2\right)\\ & = 2 \end{align*} L'aire délimitée par $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$, et les deux droites d'équations $x=1$ et $x=\e^2$ est donc égale à $2$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Annexe} \vspace{1cm} \textbf{Annexe 1 (Exercice 1) } \vspace{2cm} \psset{unit=2.5cm,arrowsize=3pt 4} \begin{pspicture}(3,6) \pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.4,2)(1.95,5.6)%ABCS \psline(2.5,0.5)(1.95,5.6)%BS \psdots[dotstyle=x](2.3166667,2.2)(2.9166667,3.2)%U et V \psline(2.3166667,2.2)(2.9166667,3.2) \rput[bl](2.36,2.25){$U$} \rput[bl](2.96,3.25){$V$} \psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(1.4,2)(1.95,5.6)%AES \psline[linestyle=dotted](1.4,2)(3.4,2)%EC \psline{->}(1.95,1.25)(0.5,0.5) \psline{->}(1.95,1.25)(2.5,0.5) \psline{->}(1.95,1.25)(1.95,2.7) \uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[ur](3.4,2){C} \uput[ul](1.4,2){E} \uput[ur](1.95,1.25){O} \uput[l](1.95,2.7){D} \uput[u](1.95,5.6){S} \end{pspicture} \newpage \textbf{Annexe 2 (Exercice 2)} \vspace{2cm} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-7,-6)(8,6) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7,-6)(8,6) \psdots(5;126.87)(5;163.74)(5;200.61)(5;237.48)(5;274.35)(5;311.22)(5;348.09)(5;24.96)(5;61.83)(5;98.7)(5;135.57)(5;172.44)(5;209.31)(5;246.18)(5;283.05)(5;319.92)(5;356.79)(5;33.66)(5;70.53) \rput[bl](-2.95,4.05){$A_0$} \rput[bl](-4.75,1.45){$A_1$} \rput[bl](-4.63,-1.71){$A_2$} \rput[br](-1.597,4.791){\blue{$\theta$}} \psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt](-3,4)(-4.8,1.4)(-4.68,-1.76) \psarc[linewidth=0.8pt,linecolor=blue]{->}(0,0){5}{90}{126.86989765} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord 2 juin 2015 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %%%%%%%%%%% Centres étrangers \hypertarget{Centres etrangers}{} \lfoot{\small Centres étrangers} \rfoot{\small 10 juin 2015} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Centres étrangers 10 juin 2015~\decofourright}} \end{center} \phantomsection \label{Centres etrangers} %\vspace{0,25cm} % %\emph{Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements %entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.} \subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %\emph{Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.\\ %Les parties A, B et C sont indépendantes.} % %\medskip % %Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont premier prix, et les autres sont haut de gamme. Un magasin de bricolage dispose d'un stock de cadenas provenant de ce fournisseur; ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type. % %\bigskip \subsubsection*{Partie A} %\medskip \begin{enumerate} \item %Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas haut de gamme, il n'y a pas plus de 3\,\% de cadenas défectueux dans sa production. Le responsable du magasin de bricolage désire vérifier la validité de cette affirmation dans son stock ; à cet effet, il prélève un échantillon aléatoire de 500~cadenas haut de gamme, et en trouve 19 qui sont défectueux. %\medskip % %Ce contrôle remet-il en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3\,\% de cadenas %défectueux ? % %On pourra pour cela utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%. On a $p=0,03$ et $n=500$. Un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% est: \[I= \left[ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\,;\, p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\right] \approx \cd 0,015\,;\,0,045 \cg\] La fréquence observée est $f=\dfrac{19}{500\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}=0,038$; $f\in I$ donc ce contrôle ne remet pas en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3\,\% de cadenas défectueux. \medskip \textbf{Remarque} -- En fait le corrigé de cette question répond plus à une question du type: \og{}Le fournisseur affirme que le stock comporte 3\,\% de cadenas défectueux. Est-ce qu'il faut remettre en doute cette affirmation?\fg{} La question posée dans le sujet parle de \og{}plus de 3\,\% de cadenas défectueux\fg{}. Cela veut dire qu'un test par intervalle de fluctuation asymptotique (test bilatéral) n'est sans doute pas le plus adapté à cette question. Que pourrait-on en effet répondre si la fréquence de cadenas défectueux était très faible, voire nulle ? Pourtant, dans ce cas, le fournisseur aurait livré un \og{}bon\fg{} lot de cadenas, mais la fréquence de cadenas défectueux dans ce lot ne serait pas dans l'intervalle de fluctuation. \smallskip Dans le cas de ce sujet, pour répondre correctement à la question, il faudrait pratiquer un test unilatéral\ldots{} totalement hors du programme de la classe de terminale S. \item %Le responsable du magasin souhaite estimer la proportion de cadenas défectueux dans son stock de cadenas \emph{premier prix}. Pour cela il prélève un échantillon aléatoire de 500~cadenas \emph{premier prix}, parmi lesquels 39 se révèlent défectueux. % %\medskip % %Donner un intervalle de confiance de cette proportion au niveau de confiance 95\,\%. % %\bigskip La fréquence de cadenas défectueux dans l'échantillon de taille $n=500$ observé est $f=\dfrac{39}{500} = 0,078$. Les trois conditions $n=500 \pg 30$, $nf=39 \pg 5$ et $n(1-f)=461 \pg 5$ sont vérifiées. Donc un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95\,\% est donné par: \[ \left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \,;\, f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \right ] = \left [ 0,078-\dfrac{1}{\ds\sqrt{500}} \,;\, 0,078-\dfrac{1}{\ds\sqrt{500}} \right ] \approx \cd 0,033\,;\, 0,123\cg \] \end{enumerate} \subsubsection*{Partie B} %\medskip % %D'après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre X de cadenas %\emph{premier prix} vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 750$ et d'écart-type $\sigma = 25$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer $P(725 \leqslant X \leqslant 775)$. Le nombre de cadenas \emph{premier prix} est modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=725$ et d'écart type $\sigma=25$. On cherche $P(725 \pp X \pp 775)$. Or $725 = \mu-\sigma$ et $775=\mu+\sigma$; on cherche donc $P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma)$ dont on connaît une valeur approchée au centième: 0,68 (d'après le cours). Pour avoir le résultat au millième, on utilise la calculatrice: $P(725 \pp X \pp 775) \approx 0,683$ \item %Le responsable du magasin veut connaître le nombre $n$ de cadenas premier prix qu'il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d'être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05. \emph{On ne réalimente pas le stock en cours de mois}. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X>n)<0,05$; or $P(X>n)<0,05 \iff P(X\pp n) \pg 0,95$ Pour $P(X\pp b) = 0,95$, on obtient à la calculatrice: $b\approx 791,12$. Donc le plus petit nombre $n$ de cadenas nécessaires en début de mois pour avoir une probabilité de rupture de stock inférieure à $0,05$ est $n=792$. %\medskip % %Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n$ remplissant cette condition. \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie C} %\medskip %On admet maintenant que, dans le magasin : % %\setlength\parindent{1cm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] 80\,\% des cadenas proposés à la vente sont premier prix, les autres haut de gamme ; %\item[$\bullet~~$] 3\,\% des cadenas haut de gamme sont défectueux ; %\item[$\bullet~~$] 7\,\% des cadenas sont défectueux. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0cm} % %On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note : % %\setlength\parindent{1cm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$]$p$ la probabilité qu'un cadenas premier prix soit défectueux ; %\item[$\bullet~~$]$H$ l'évènement : \og le cadenas prélevé est haut de gamme \fg{} ; %\item[$\bullet~~$]$D$ l'évènement : \og le cadenas prélevé est défectueux \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0cm} % %\medskip \begin{enumerate} \item% Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré. On représente la situation à l'aide d'un arbre pondéré: \medskip \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nrot=:U,levelsep=3cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt, treesep=1cm] {\Tr{}} { \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$H$}\naput{ \red$1-0,8=0,2$}} { \TR{$D$}\naput{0,03} \TR{$\overline{D}$}\nbput{\red $1-0,03=0,97$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline H$}\nbput{$0,8$}} { \TR{$D$}\naput{$p$} \TR{$\overline{D}$}\nbput{\red $1-p$} } } \end{center} \medskip \item% Exprimer en fonction de $p$ la probabilité $P(D)$. En déduire la valeur du réel $p$. D'après la formule des probabilités totales: $P(D)=P(D \cap H)+P(D\cap \overline{H})= 0,2 \times 0,03 + 0,8 \times p = 0,006 + 0,8p$ On sait que 7\,\% des cadenas sont défectueux donc $P(D)=0,07$. Donc: $0,07=0,006 + 0,8p \iff \dfrac{0,07-0,006}{0,8}=p \iff p=0,08$ %Le résultat obtenu est-il cohérent avec celui de la question A - 2. ? Le résultat obtenu est cohérent avec la question A.2 car $0,08 \in \cd 0,033\,;\, 0,123\cg$. \item Le cadenas prélevé est en bon état. La probabilité que ce soit un cadenas \emph{haut de gamme} est $P_{\overline D}(H)$: $P_{\overline D}(H) = \dfrac{P(H \cap \overline D)}{P(\overline D)} = \dfrac{P(H \cap \overline D)}{1-P(D)} = \dfrac{0,2 \times 0,97}{1-0,07} = \dfrac{0,194}{0,93} \approx 0,209$ \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip % %\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\ %Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.\\ %Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} % %\medskip %\parbox{0.6\linewidth}{\textbf{1.} Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $S$ %l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie les deux conditions : %\[|z - 1| = |z - \text{i}|\quad \text{et} \quad |z - 3 - 2\text{i}| \leqslant 2.\] % %Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre le %point de coordonnées (3~;~2) et de rayon 2, et la droite d'équation $y = x$. % %Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.}\hfill %\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.65cm} \textbf{1.} \textbf{Affirmation 1 :} l'ensemble $S$ est le segment [AB] -- \textbf{VRAI} % %\medskip \begin{minipage}{0.65\linewidth} Soit $M$ le point d'affixe $z$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $|z-1| = |z-\i| \iff MC=MD$ où $C$ est le point d'affixe 1 et $D$ est le point d'affixe $\i$. L'ensemble des points $M$ tels que $|z-1| = |z-\i|$ est donc la médiatrice du segment $\cd{}CD\cg$. C'est donc la droite d'équation $y=x$, donc la droite $(AB)$. \item $|z - 3 - 2\i| \pp 2 \iff MI \pp 2$ où $I$ est le point d'affixe $3+2\i$. L'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - 3 - 2\i| \pp 2$ est donc le disque $\mathcal D$ de centre $I$ et de rayon 2. \item L'ensemble des points $M(z)$ vérifiant à la fois $|z-1| = |z-\i|$ et $|z - 3 - 2\i| \pp 2$ est l'intersection de la droite $(AB)$ et du disque $\mathcal D$; c'est donc le segment $\cd AB\cg$. \end{list} \end{minipage} \begin{minipage}{0.34\linewidth} \begin{center} \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture*}(-0.8,-1)(6,5.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(6,5.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.8,-0.9)(6,5.5) \psline(-0.5,-0.5)(5.5,5.5) \pscircle(3,2){2} \uput[dl](0,0){\small $O$} \uput[r](1.177,1.177){\small $A$} \uput[d](3.823,3.823){\small $B$} \uput[ur](1,0){\small $C$} \uput[ur](0,1){\small $D$} \uput[ur](3,2){\small $I$} \psdots(3,2)(1.177,1.177)(3.823,3.823)(1,0)(0,1) \end{pspicture*} \end{center} \end{minipage} \medskip \textbf{2.} \textbf{Affirmation 2 :} le nombre complexe $\left(\sqrt{3} +\i\right)^{\np{1515}}$ est un réel -- \textbf{FAUX} Pour qu'un nombre non nul soit réel, il faut et il suffit qu'il ait pour argument 0 ou $\pi$, à $2\pi$ près. On écrit le nombre $z=\sqrt{3} +\i$ sous forme exponentielle: $|z|=\ds\sqrt{3+1}=2$, donc $z=2\left ( \dfrac{\ds\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\i\right )$. On cherche un réel $\theta$ tel que $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} \cos \theta & \dfrac{\ds\sqrt 3}{2}\\[7pt] \sin \theta & \dfrac{1}{2} \end{array} \right. $ Donc $\sqrt{3} +\i$ a pour argument $\dfrac{\pi}{6}$; on en déduit que $\left (\sqrt{3} +\i\right )^{\np{1515}}$ a pour argument $\np{1515}\times \dfrac{\pi}{6}$. Or $\dfrac{\np{1515}\pi}{6}=126\times 2\pi + \dfrac{3\pi}{6}$ donc $\left (\ds\sqrt{3}+\i\right )^{\np{1515}}$ a pour argument $\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$. Donc $\left (\ds\sqrt{3}+\i\right )^{\np{1515}}$ est un imaginaire pur non nul, donc ce n'est pas un réel. \medskip % %\emph{Pour les questions 3 et 4, on considère les points} E (2 ; 1 ; - 3), F (1 ; -1 ; 2) \emph{et} G (-1 ; 3 ; 1) \emph{dont les coordonnées sont définies dans un repère orthonormé de l'espace.} \textbf{3.} \textbf{Affirmation 3 :} une représentation paramétrique de la droite $(EF)$ est donnée par: $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x & 2t\\ y & -3 + 4t\\ z & 7-10t \end{array}\right., t\: \in \R$. -- \textbf{VRAI} Soit $d$ la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x & 2t\\ y & -3 + 4t\\ z & 7-10t \end{array}\right., t\: \in \R$. On regarde si le point $E$ appartient à cette droite, autrement dit s'il existe une valeur de $t$ pour laquelle $\left\{\begin{array}{l !{=} r} 2 & 2t\\ 1 & -3 + 4t\\ -3 & 7-10t \end{array}\right.$ La valeur $t=1$ convient. \smallskip On regarde si le point $F$ appartient à cette droite, autrement dit s'il existe une valeur de $t$ pour laquelle $\left\{\begin{array}{l !{=} r} 1 & 2t\\ -1 & -3 + 4t\\ 2 & 7-10t \end{array}\right.$ La valeur $t=\dfrac{1}{2}$ convient. \smallskip Donc la droite $(EF)$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x & 2t\\ y & -3 + 4t\\ z & 7-10t \end{array}\right., t\: \in \R$. \medskip \textbf{4.} \textbf{Affirmation 4 :} une mesure en degré de l'angle $\widehat{FEG}$, arrondie au degré, est 50\degres -- \textbf{VRAI} Pour déterminer une mesure de l'angle $\widehat{FEG}$, on va utiliser le produit scalaire des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{EG}$. $\vect{EF}$ a pour coordonnées $(-1\,;\, -2\,;\, 5)$ et $\vect{EG}$ a pour coordonnées $(-3\,;\, 2\,;\, 4)$ ; donc $\vect{EF}.\vect{EG} = -1\times (-3) + (-2)\times 2 + 5\times 4 = 19$ On sait aussi que $\vect{EF}.\vect{EG} = EF \times EG\times \cos \widehat{FEG}$. On calcule $EF^2 = 1+4+25=30$ donc $EF = \ds\sqrt{30}$ et $EG^2=9+4+16=29$ donc $EG=\ds\sqrt{29}$.\\[5pt] On a donc $\cos \widehat{FEG} = \dfrac{\vect{EF}.\vect{EG}}{EF\times EG} = \dfrac{19}{\ds\sqrt{30}\times \sqrt{29}\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}\approx 0,644$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\widehat{FEG} \approx 49,9$\,° dont 50\,° est une valeur arrondie au degré près. %\vspace{0,5cm} \subsection*{Exercice 3 \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $a$ un nombre réel fixé non nul. Soit $(u_n)$ la suite définie par: $\left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} u_0 & a\\ u_{n+1} & \e^{2u_n} - \e^{u_n} \text{ pour tout } n \in \N \end{array} \right .$ \smallskip On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : $u_{n+1} = \e^{u_n}\left(\e^{u_n} - 1\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $g(x) = \e^{2x} - \e^{x} - x$ \begin{enumerate} \item% Calculer $g '(x)$ et prouver que, pour tout réel $x $ : $g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right)$. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x)= 2\e^{2x} -\e^{x} -1$. Or $\left(\e^{x} - 1\right)\left(2\e^{x} + 1\right) = 2\e^{2x} -2\e^{x} +\e^{x} -1 = 2\e^{2x} -\e^{x}-1$ Donc $g'(x)= \left(\e^{x} - 1\right)\left(2\e^{x} + 1\right)$. \item %Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum. Les variations de la fonction $g$ dépendent du signe de $g'$ sur $\R$. Pour tout réel $x$, $\e^{x}>0$ donc $2\e^x+1>0$; donc $g'(x)$ est du signe de $\e^x-1$: $\e^x-1 >0 \iff \e^x >1 \iff x>0$ $g(0)=\e^0 - \e^0 -0=0$ La fonction $g$ est strictement décroissante sur $\cg -\infty\,;\,0\cg$, strictement croissante sur $\cd 0\,;\, +\infty\cd$ et admet un minimum égal à 0 pour $x=0$. \item %En remarquant que $u_{n+1} - u_n = g\left(u_n\right)$, étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. $u_{n+1}-u_{n}= \e^{2u_n} - \e^{u_n}-u_n = g(u_n)$. Or la fonction $g$ a pour minimum 0 sur $\R$ donc $g(u_n)\pg 0$ pour tout $n$ et donc $u_{n+1}-u_{n} \pg 0$ pour tout $n$. La suite $(u_n)$ est donc croissante. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $a \leqslant 0$. \begin{enumerate} \item% Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \leqslant 0$. Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n \pp 0$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $u_0=a$; or $a\pp 0$ donc $u_0 \pp 0$. La propriété est vraie au rang 0. \item On suppose la propriété vraie au rang $p$ (où $p \pg 0$), c'est-à-dire $u_p \pp 0$; c'est l'hypothèse de récurrence. On sait que $u_{p+1}=\e^{u_{p}}(\e^{u_p}-1)$ D'après l'hypothèse de récurrence, $u_p \pp 0$ donc $\e^{u_p}\pp 1$ donc $\e^{u_p}-1\pp 0$. Comme $\e^{u_p}>0$ on déduit que $u_{p+1}\pp 0$ et la propriété est vraie au rang $p+1$. \item La propriété $u_n\pp 0$ est vraie en $0$; elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n$. \end{list} \item% Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 0, donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente. \item% Dans le cas où $a$ vaut $0$, donner la limite de la suite $\left(u_n\right)$. La suite est croissante donc, pour tout $n$, $u_n\pg u_0$. Si $a=0$, $u_0=0$; comme, pour tout $n$, $u_n \pg u_0$ donc $u_n\pg 0$. Or on a vu que, pour tout $n$, $u_n\pp 0$. Donc pour tout $n$, $u_n=0$. On peut déduire que la suite $(u_n)$ est constante et égale à 0 donc sa limite est 0. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $a > 0$. La suite $\left(u_n\right)$ étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout $n$, $u_n \pg a$; comme $a>0$, on peut en déduire que, pour tout $n$, $u_n>0$. \begin{enumerate} \item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n \pg g(a)$. On a vu que, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n = g(u_n)$. Or $00$ donc $g(a)>0$ car 0 est le minimum de la fonction $g$, atteint en 0. Donc $\ds\lim_{n \to +\infty} (n\times g(a))=+\infty$ et donc $\ds\lim_{n \to +\infty} (a+ n\times g(a)) = +\infty$ Comme $u_n \pg a+ n\times g(a)$ et $\ds\lim_{n \to +\infty} (a+ n\times g(a)) = +\infty$, on peut déduire que $\ds\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on prend $a = 0,02$. L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n > M$, où $M$ désigne un réel positif. %Cet algorithme est incomplet. \begin{enumerate} \item% Sur la copie, recopier la partie \og Traitement \fg{} en la complétant. On complète l'algorithme: \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline \textbf{Variables}& $n$ est un entier, $u$ et $M$ sont deux réels\\ \hline &$u$ prend la valeur $0,02$\\ \textbf{Initialisation}& $n$ prend la valeur 0\\ &Saisir la valeur de $M$\\ \hline \textbf{Traitement}&Tant que {\red $u \pp M$}\\ & \hspace{1cm} {\red $u$ prend la valeur $\e^{2u}-\e^{u}$}\\ & \hspace{1cm} {\red $n$ prend la valeur $n+1$} \\ &Fin tant que\\ \hline \textbf{Sortie}& Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On suppose $M=60$. % À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si $M = 60$. On trouve à la calculatrice $u_{35}\approx 2,13$ et $u_{36}\approx 62,35$; donc la valeur affichée par l'algorithme pour $M=60$ est 36. \end{enumerate} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} %\medskip % %\emph{Les parties A et B sont indépendantes} % %\medskip % %Le fabricant de cadenas de la marque \og K \fg désire imprimer un logo pour son entreprise. % %Ce logo a la forme d'une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité %de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes: % %$\bullet~~$Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes : % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item une des lignes est le segment [AD] ; %\item une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC) ; %\item la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %$\bullet~~$Condition C2 : l'aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans h %le carré doit être comprise entre $0,3$ et $0,4$, l'unité d'aire étant celle du carré. Ces aires sont notées $r$, $s$, $t$ sur les figures ci-après. % %\medskip Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous: \begin{center} \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.1,1.1) \psframe(1,1)%ABCD \psline(0,0)(0.6666,1)%AE \psline(1,0)(0.438,0.666)%BG \uput[dl](0,0){$A$} \uput[dr](1,0){$B$} \uput[ur](1,1){$C$} \uput[ul](0,1){$D$} \uput[u](0.666,1){$E$} \uput[r](0.438,0.666){$G$} \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.444,0.6667)(0.444,0) \uput[d](0.444,0){\red $H$} \rput(0.3,0.8){$r$}\rput(0.5,0.36){$s$}\rput(0.8,0.6){$t$} \rput(0.5,-0.2){Proposition A} \end{pspicture}\hfill \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.1,1.1) \psframe(1,1)%ABCD \uput[dl](0,0){$A$} \uput[dr](1,0){$B$} \uput[ur](1,1){$C$} \uput[ul](0,1){$D$} \uput[u](0.859,1){$E$} \uput[r](0.5,0.693){$G$} \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.859,1)(0.859,0) \uput[d](0.859,0){\red $K$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt]{0}{0.859}{x 2 mul 1 add ln} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt]{0.5}{1}{1 x sub x div 0.693 mul} \rput(0.25,0.7){$r$}\rput(0.3,0.25){$s$}\rput(0.8,0.6){$t$} \rput(0.5,-0.2){Proposition B} \end{pspicture} \end{center} Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé $\left(A~;~\vect{AB},~\vect{AD}\right)$. %\bigskip \subsubsection*{Partie A : étude de la proposition A} %\medskip Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : $r = s = t = \dfrac{1}{3}$. %Déterminer les coordonnées des points E et G. \begin{list}{\textbullet}{} \item Le point $E$ est situé sur la droite $(CD)$ donc son ordonnée vaut 1. Le nombre $r$ est l'aire du triangle $ADE$ qui est égale à $\dfrac{AD\times DE}{2}$. De plus, cette aire doit valoir $\dfrac{1}{3}$ et on sait que $AD=1$. Donc $\dfrac{AD\times DE}{2} = \dfrac{1}{3}$ entraîne $DE=\dfrac{2}{3}$. Les coordonnées de $E$ sont donc $\left ( \dfrac{2}{3}\,;\, 1\right )$. \item Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $G$ dans le triangle $ABG$; donc $GH$ est l'ordonnée du point $G$. L'aire $s$ du triangle $ABG$ est: $\dfrac{AB \times GH}{2}$. Or $AB=1$ et $s=\dfrac{1}{3}$, donc: $\dfrac{1 \times GH}{2}= \dfrac{1}{3}$ donc $GH=\dfrac{2}{3}$. L'ordonnée $y_G$ de $G$ est $\dfrac{2}{3}$. \smallskip Le point $G$ est situé sur la droite $(AE)$. Les points $A$ et $E$ ont pour coordonnées respectives $(0\,;\,0)$ et $\left ( \dfrac{2}{3}\,;\, 1 \right )$. Donc la droite $(AE)$ a pour équation $y=\dfrac{3}{2}x$. $G\in (AE)$ d'équation $y=\dfrac{3}{2}x$ donc $y_G=\dfrac{3}{2}x_G$. Comme $y_G=\dfrac{2}{3}$, on déduit que $x_G=\dfrac{4}{9}$. Le point $G$ a pour coordonnées $\left ( \dfrac{4}{9} \,;\, \dfrac{2}{3}\right )$. \end{list} %\bigskip \subsubsection*{Partie B : étude de la proposition B} %\medskip % %Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes: % %$\bullet~~$la ligne d'extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction $f$ définie pour tout réel $x \geqslant 0$ par : $f(x) = \ln (2x + 1)$ ; % %$\bullet~~$la ligne d'extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction $g$ définie pour tout réel $x > 0$ par : $g(x) = k\left(\dfrac{1 - x}{x}\right)$, où $k$ est un réel positif qui sera déterminé. % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Déterminer l'abscisse du point E. D'après le texte, l'ordonnée $y_E$ du point $E$ est égale à 1 et ce point appartient à $\mathcal C_f$ donc $f(x_E)=y_E \iff \ln (2x_E+1) = 1 \iff 2x_E+1 = \e \iff x_E=\dfrac{\e-1}{2}$ \item% Déterminer la valeur du réel $k$, sachant que l'abscisse du point G est égale à $0,5$. L'abscisse du point $G$ vaut 0,5 et le point $G$ appartient à $\mathcal C_f$; donc: $f(x_G)=y_G \iff f(0,5) = y_G \iff \ln 2 = y_G$ Le point $G$ appartient aussi à $\mathcal C_g$ donc: $g(x_G)=y_G \iff k\left ( \dfrac{1-x_G}{x_G}\right ) = y_G \iff k\left ( \dfrac{1-0,5}{0,5} \right ) = \ln 2 \iff k=\ln 2$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Démontrer que la fonction $f$ admet pour primitive la fonction $F$ définie pour tout réel $x \geqslant 0$ par : Soit $F$ la fonction définie sur $\R_+^*$ par $F(x) = (x + 0,5) \times \ln (2x + 1) - x$. $F$ est dérivable sur $\R_+^*$ et: $F'(x)=1\times \ln(2x+1) +(x+0,5)\times \dfrac{2}{2x+1}-1 = \ln(2x+1) +1-1=\ln(2x+1)=f(x)$ Donc $f$ a pour primitive $F$ sur $\R_+^*$. \item% Démontrer que $r = \dfrac{\text{e}}{2} - 1$. Soit $K$ le projeté orthogonal de $E$ sur $(AB)$. Comme le point $E$ a pour abscisse $\dfrac{\e-1}{2}$, et que la fonction $f$ est positive, l'aire sous la courbe entre 0 et $\dfrac{\e -1}{2}$ est donnée par: $\ds\int_0^{\frac{\e - 1}{2}} f(x)= \d x = \left [ F(x)\right ]_0^{\frac{\e - 1}{2}} = F\left (\frac{\e - 1}{2} \right ) - F(0) = \dfrac{\e}{2}\ln \e -\dfrac{\e -1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}$ L'aire du rectangle $ADEK$ est $AD\times DE = 1 \times \dfrac{\e - 1}{2} = \dfrac{\e - 1}{2}$. Donc $r= \dfrac{\e - 1}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\e}{2} - 1$ \end{enumerate} \item% Déterminer une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~:~+ \infty[$. $g(x)=\ln 2 \times \dfrac{1-x}{x} = \ln 2 \times \left ( \dfrac{1}{x} - 1\right )$ Donc une primitive de $g$ sur $\cg 0\,;\, +\infty\cd$ est donnée par: $G(x)=\ln 2 \times (\ln x - x)$. \item On admet que les résultats précédents permettent d'établir que $s = [\ln(2)]^2 + \dfrac{\ln (2) - 1}{2}$. %La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant? $r = \dfrac{\e}{2}-1 \approx 0,36 \in \cg 0,3\,;\, 0,4 \cd$. $s = [\ln(2)]^2 + \dfrac{\ln (2) - 1}{2} \approx 0,33 \in \cg 0,3\,;\, 0,4 \cd$ $t=1-r-s \approx 0,31 \in \cg 0,3\,;\, 0,4 \cd$ Donc la proposition B vérifie les conditions imposées par le fabriquant. \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls $(x,~y,~z)$ tels que $x ^2 + y^2 = z^2$. Ces triplets seront nommés \og triplets pythagoriciens \fg{} et notés en abrégé \og TP \fg. % Ainsi (3,~4,~5) est un TP car $3^2 +4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. % %\bigskip \subsubsection*{Partie A : généralités} %\medskip \begin{enumerate} \item Soit $(x,~y,~z)$ un TP; alors $x^2+y^2=z^2$. Soit $p$ un entier naturel non nul. Alors $p^2 \times x^2+ p^2 \times y^2= p^2 \times z^2$ ce qui équivaut à $(px)^2+(py)^2=(pz)^2$. Donc $(px,~py,~pz)$ est aussi un TP. \item % Démontrer que, si $(x,~y,~z)$ est un TP, alors les entiers naturels $x$, $y$ et $z$ ne peuvent pas être tous les trois impairs. Soit $(x,~y,~z)$ un TP. On va utiliser deux résultats connus du cours: un nombre et son carré ont la même parité, et la somme de deux nombres impairs est un nombre pair. $\left. \begin{array}{l} x \text{ impair} \ssi x^2 \text{ impair}\\ y \text{ impair} \ssi y^2 \text{ impair} \end{array} \right\rbrace \dc x^2+y^2 \text{ pair} \iff z^2 \text{ pair} \iff z \text{ pair}$ Donc $x$, $y$ et $z$ ne peuvent pas être tous les trois impairs. \item Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul $n$ peut s'écrire d'une façon unique sous la forme du produit d'une puissance $\alpha$ de 2 par un entier impair $k$: $n = 2^{\alpha} \times k$ %$n = 2^{\alpha} \times k$ où $\alpha$ est un entier naturel (éventuellement nul) et $k$ un entier naturel impair. %L'écriture $n = 2^{\alpha} \times k$ est nommée \emph{décomposition} de $n$. % %Voici par exemple les \emph{décompositions} des entiers 9 et 120 : $9 = 2^{0} \times 9,$ %$ 120 = 2^3 \times 15$. \begin{enumerate} \item% Donner la décomposition de l'entier $192$. La décomposition en facteurs premiers de 192 est $2^6 \times 3$; c'est aussi la \emph{décomposition} de 192 au sens donné dans cet exercice. \item Soient $x$ et $z$ deux entiers naturels non nuls, dont les \emph{décompositions} sont $x = 2^{\alpha} \times k$ et $z=2^{\beta} \times m$. %Écrire la \emph{décomposition} des entiers naturels $2 x^2$ et $z^2$. $x = 2^{\alpha} \times k \dc x^2 = 2^{2\alpha} \times k^2 \dc 2x^2 = 2^{2\alpha+1} \times k^2$ $z=2^{\beta} \times m \dc z^2 = 2^{2\beta} \times m^2$ \item% En examinant l'exposant de 2 dans la \emph{décomposition} de $2x^2$ et dans celle de $z^2$ , montrer qu'il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nuls $(x,~z)$ tels que $2x^2 = z^2$. Pour que les deux nombres $2x^2$ et $z^2$ soient égaux, il faut et il suffit que leurs \emph{décompositions} soient les mêmes (puisque cette \emph{décomposition} est unique); l'un a pour \emph{décomposition} $2^{\alpha+1}\times k^2$ et l'autre $2^{\beta}\times m^2$. Ces deux décompositions ne peuvent être les mêmes car $2\alpha+1$ est impair et $2\beta$ est pair. Donc il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nuls $(x,~z)$ tels que $2x^2 = z^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} On admet que la question \textbf{A - 3.} permet d'établir que les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels $x,~y$ jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP $(x,~y,~z)$, les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ seront rangés dans l'ordre suivant: $x < y < z$. %\bigskip \subsubsection*{Partie B : recherche de triplets pythagoriciens contenant l'entier 2015} %\medskip \begin{enumerate} \item% Décomposer en produit de facteurs premiers l'entier \np{2015} puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme $(x,~y,~\np{2015})$. $\np{2015} = 5 \times 13 \times 31$; on en déduit que $\np{2015} = 5 \times 403$. On sait que $(3,~4,~5)$ est un TP donc, d'après la question \textbf{1.} $(3\times 403,~4\times 403,~5\times 403)$ est aussi un TP. Donc $(\np{1209},~\np{1612},~\np{2015})$ est un TP. \item On admet que, pour tout entier naturel $n$ ,\: $(2n + 1)^2 + \left(2n^2 + 2n\right)^2 = \left(2n^2 + 2n + 1\right)^2$. Si $2n+1=\np{2015}$, alors $n=\np{1007}$. Pour $n=\np{1007}$, on a: $(2n^2 + 2n)^2 = \np{2030112}$ et $(2n^2 + 2n + 1)^2+1= \np{2030113}$. Donc $(\np{2015},~\np{2030112},~\np{2030113})$ est un TP. %Déterminer un TP de la forme $(\np{2015},~y,~z)$. \item \begin{enumerate} \item% En remarquant que $403^2 =169 \times 961$, déterminer un couple d'entiers naturels non nuls $(x,~z)$ tels que : $z^2 - x^2 = 403^2$, avec $x < 403$. On cherche deux entiers $x$ et $z$ tels que: $z^2-x^2=403^2 \iff (z-x)(z+x)=403^2$; or $403^2= 169\times 961$. Donc $z^2-x^2=403^2 \iff (z-x)(z+x) = 169 \times 961$. Les nombres $x$ et $z$ tels que $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} z-x & 169\\ z+x & 961 \end{array} \right.$ répondent à la question. $\left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} z-x & 169\\ z+x & 961 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} 2x & 961-169\\ 2z & 169+961 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} 2x & 792\\ 2z & \np{1130} \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} x & 396\\ z & 565 \end{array} \right. $ Donc $565^2 - 396^2 = 403^2$. \item% En déduire un TP de la forme $(x,~ \np{2015},~z)$. D'après la question \textbf{B 3.a)}: $396^2 + 403^2 = 565^2$; on en déduit que $(396,~403,~565)$ est un TP. En multipliant par 5 on obtient le TP cherché: $(5\times 396,~5\times 403,~5\times 565) = (\np{1980},~\np{2015},~2825)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Centres étrangers 10 juin 2015 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie juin 2015 \hypertarget{Polynesie}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{12 juin 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie 12 juin 2015~\decofourright}}} \end{center} \phantomsection \label{Polynesie} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB = 6, AD = 4 et % %AE = 2. % %I, J et K sont les points tels que $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{6} \vect{\text{AB}},\:\: \vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{AD}},\:\: \vect{\text{AK}} = \dfrac{1}{2} \vect{\text{AE}}$. % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(10,4) %%\psgrid %\psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE %\psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF %\psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE %\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC %\psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH %\uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} %\uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} \uput[u](7,2.2){F} %\uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} %\uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K} %\psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1) %\end{pspicture} %\end{center} % %\medskip % %On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AI}},~ \vect{\text{AJ}},~\vect{\text{AK}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item %Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\\- 9\end{pmatrix}$ est normal au plan (IJG). $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{6} \vect{\text{AB}} \iff \vect{\text{AB}} = 6\vect{\text{AI}}\iff \text{B}(6~;~0~;~0)$ ; $\vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{AD}} \iff \vect{\text{AD}} = 4\vect{\text{AJ}} \iff \text{D}(0~;~4~;~0)$ ; $\vect{\text{AK}} = \dfrac{1}{2} \vect{\text{AE}} \iff \vect{\text{AE}} = 2\vect{\text{AK}} \iff\text{K}(0~;~0~;~2)$. Comme $\vect{\text{AG}} = \vect{\text{AC}} + \vect{\text{CG}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AE}} = 6\vect{\text{AI}} + 4\vect{\text{AJ}} + 2\vect{\text{AK}}$, donc G(6~;~4~;~2). On en déduit que $\vect{\text{IG}}(- 1~;~1~;~0)$ et $\vect{\text{JG}}(6~;~3~;~2)$. Or $\vect{n} \cdot \vect{\text{IG}} = - 2 + 2 + 0 = 0$ et $\vect{n} \cdot \vect{\text{JG}} = 12 + 6 - 18 = 0$. Le vecteur $\vect{n}$ est donc normal à deux vecteurs manifestement non colinéaires du plan (IJG) est normal à ce plan. \item %Déterminer une équation du plan (IJG). On sait qu'alors une équation du plan (IJG) est : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJG}) \iff 2x + 2y - 9z + d = 0$. En particulier : $\text{I}(1~;~0~;~0) \in (\text{IJG}) \iff 2 + 0 - 0 + d = 0 \iff d = - 2$. Une équation du plan (IJG) est : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJG}) \iff 2x + 2y - 9z - 2 = 0$. \item %Déterminer les coordonnées du point d'intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF). On a$\vect{\text{AF}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{BF}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AE}}$, donc F(6~;~0~;~2). Or $M(x~;~y~;~z) \in (\text{BF}) \iff $ il existe $t \in \R$ tel que $\vect{\text{B}M} = t\vect{\text{BF}} \iff $ $\left\{\begin{array}{l c l} x - 6&=&t(6 - 6)\\ y - 0&=&t(0 - 0)\\ z - 0&=&t(2 - 0) \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&6\\ y &=&0\\ z &=&2t \end{array}\right.$ Donc si $M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJG}) \cap (\text{BF})$ ses coordonnées vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&6\\ y &=&0\\ z &=&2t\\ 2x + 2y - 9z - 2 &=& 0 \end{array}\right. \Rightarrow 2 \times 6 + 0 - 9 \times 2t - 2 = 0 \iff 10 - 18t = 0 \iff 10 = 18t \iff t = \dfrac{5}{9}$. En remplaçant $t$ par $\dfrac{5}{9}$ dans l'équation de la droite (BF), on obtient : L$\left(6~;~0~;~ \dfrac{10}{9}\right)$. \item %Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la figure donnée en \textbf{annexe à rendre avec la copie)}. On ne demande pas de justification. La section avec (ABCD) est la droite (IJ). La section avec (ABFE) est la droite (IL). La section avec (BCGF) est la droite (LG). Il reste à trouver l'intersection P du plan (IJG) avec la droite (HD) : comme les plans (ABFE) et (DCGH) sont parallèles, les droites (IJ) et (GP) sont parallèles. On trace donc la parallèle à (IL) contenant G qui coupe (HD) en P. La section est donc le pentagone JILGP (voir à la fin). \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$ %du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par: % %\[z' = z^2 + 4z + 3.\] % %\medskip \begin{enumerate} \item %Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé. %Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle. $M(z)$ est invariant si $M' = M \iff z' = z \iff z^2 + 4z + 3 = z \iff z^2 + 3z + 3 = 0$. $\Delta = 3^2 - 4 \times 3 = 9 - 12 = - 3 = \left(\text{i}\sqrt{3}\right)^2$. Cette équation a deux solutions : $z_1 = \dfrac{ - 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \dfrac{ - 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$. On a $\left|z_1\right|^2 = \left(- \frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3 \Rightarrow \left|z_1\right| = \sqrt{3}$. Le même calcul donne $\left|z_2\right| = \sqrt{3}$. On a donc $z_1 = \dfrac{ - 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{3}\left(\cos \frac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$. On trouve de la même façon que $z_2 = \sqrt{3}\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$. \item %Soit A le point d'affixe $\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et B le point d'affixe %$\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$. On a $z_{\text{A}} = z_2$, donc $\left|z_{\text{A}} \right| = \text{OA} = \left|z_2 \right| = \sqrt{3}$. De même $z_{\text{B}} = z_1$, donc $\left|z_{\text{B}} \right| = \text{OB} = \left|z_1 \right| = \sqrt{3}$. Enfin $\text{AB} = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right| = \left|\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2} - \left(\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2} \right) \right| = \left|\text{i}\sqrt{3} \right| = \sqrt{3}$. %Montrer que OAB est un triangle équilatéral. On a donc $\text{OA} = \text{OB} = \text{AB} = \sqrt{3}$ : le triangle OAB est un triangle équilatéral. \item %Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels. Soit $M(x~;~y)$ et $M'(x'~;~y')$ son point associé. $M'$ est sur l'axe des réels si $y' = 0$. Or on sait que l'affixe du point $M$ est : $z^2 + 4z + 3 = (x + \text{i}y)^2 + 4(x + \text{i}y) + 3 = x^2 - y^2 + 2\text{i}xy + 4x + 4\text{i}y + 3 = x^2 - y^2 + 3 + \text{i}(2xy + 4y)$. On a donc $y' = 0 \iff 2xy + 4y = 0 \iff 2y(x + 2) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} y&=&0\\ x + 2&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} y&=&0\\ x &=&- 2 \end{array}\right.$ Conclusion : l'ensemble $\mathcal{E}$ est constitué des points d'ordonnée nulle donc de l'axe des abscisses et des points de la droite verticale dont une équation est $x = - 2$ (droites en bleu). \item ~%Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\mathcal{E}$. \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-3,-1.8)(2,1.8) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3,-1.8)(2,1.8) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \pscircle(0,0){1.73205} \psline[linestyle=dotted](1.5;180)(1.73205;150) \psline[linestyle=dotted](1.5;180)(1.73205;-150) \uput[ur](0,0){O} \uput[ul](1.73205;150){A}\uput[dl](1.73205;-150){B} \pspolygon(1.73205;150)(1.73205;-150)(0;0) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-3,0)(2,0) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-2,-1.73205)(-2,1.73205) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65~ans peut être modélisée par une %variable aléatoire $X_1$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_1 = 165$~cm et d'écart-type$\sigma_1 = 6$~cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire $X_2$ suivant la loi normale %d'espérance $\mu_2 = 175$~cm et d'écart-type $\sigma_2 = 11$~cm. % %Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Quelle est la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre %1,53~mètre et 1,77~mètre ? On sait que $P\left(\mu_1 - 2 \sigma_1 \leqslant X_1 \leqslant \mu_1 + 2 \sigma_1\right) \approx 0,95$, soit $P\left(1,53 \leqslant X_1 \leqslant 1,77\right) \approx 0,95$. \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la probabilité qu'un homme choisi au hasard dans ce pays mesure %plus de 1,70~mètre. On sait que $P\left(X_2 \geqslant 170\right) = 0,5 + P\left(170 \leqslant X_2 \leqslant 175\right) \approx 0,5 + 0,18 \approx 0,68$. \item %De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52\,\% de la population %des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit au hasard %une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de $1,70$~m. Quelle est la %probabilité que cette personne soit une femme ? Soit $F$ l'évènement \og la personne choisie est une femme \fg{} et $S$ l'évènement \og la personne choisie mesure plus de $1,70$~m \fg{}. On a $P(F) = 0,52$ et donc $P\left(\overline{F}\right) = 0,48$. La probabilité cherchée est $P_S(F)$. De même qu'à la question \textbf{2. a.} la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70~mètre est $P\left(X_1 \geqslant 170\right) = 0,5 - P\left(165 \leqslant X_2 \leqslant 170\right) \approx 0,2$. Soit $P_F(S) \approx 0,2$. D'après la formule des probabilités totales : $P(S) = P(S \cap F) + P\left(S \cap \overline{F} \right) = P(F) \times P_F(S) + P\left(\overline{F}\right) \times P_{\overline{F}}(S) \approx 0,52 \times0,2 + 0,48 \times 0,68 \approx \np{0,4304}$. Donc $P_S(F) = \dfrac{P(S \cap F)}{P(S)} = \dfrac{P_F(S) \times P(F)}{P(S)} \approx \dfrac{0,2 \times 0,52}{\np{0,4304}} \approx \dfrac{\np{0,104}}{\np{0,4304}} \approx 0,24$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le %schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière. % %Voici ce schéma : % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(8.5,5.5) %\psline(1,3.679)(1,0)(8,0) %\psline(1,3.679)(1.5,4.879) %\psline(8,0)(8.5,1.2) %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div} %\def\courbe{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div}} %\rput(0.5,1.2){\courbe} %\pscustom[fillstyle=hlines]{ %\courbe %\psline(8,0)(1,0) %} %\end{pspicture} %\end{center} %\medskip \textbf{Partie A Modélisation} \medskip %Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~8] par % %\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x}\quad \text{où }\: a\:\: \text{et }\: b\: \text{sont deux entiers naturels.}\] % %La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre. % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5) %\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(8.5,5.5) %\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(8.5,5.5) %\psline(0,3.679)(0,0)(8,0) %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div} %\end{pspicture} % %\end{center} % %\medskip \begin{enumerate} \item %On souhaite que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1 soit horizontale. %Déterminer la valeur de l'entier $b$. On sait que le coefficient directeur de la tangente en un point est égal au nombre dérivé de la fonction en ce point. Il faut donc que $f'(1) = 0$. Or $f$ est dérivable sur [1~;~8] et sur cet intervalle : $f'(x) = a\text{e}^{- x} + (ax + b) \times (- 1)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}(a - ax - b)$. Donc $f'(1) = 0 \iff \text{e}^{- 1}(a - a - b) = 1 \iff - b \text{e}^{- 1} = 0 \iff b = 0$, car $\text{e}^{- 1} \ne 0$. \item %On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre $3,5$ et $4$ mètres de haut. %Déterminer la valeur de l'entier $a$. Le haut de la courbe est obtenu pour $x = 1$. Or : $3,5 < f(1) < 4 \iff 3,5 < a\text{e}^{- 1} < 4 \iff 3,5\text{e} < a < 4\text{e}$. Or $3,5\text{e} \approx 9,5$ et $4\text{e} \approx 10,9$ : le seul entier compris entre ces deux valeurs est $a = 10$. On a donc sur [1~;~8], \:$f(x) = 10x\text{e}^{- x}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Un aménagement pour les visiteurs} \medskip %On admet dans la suite que la fonction $f$ introduite dans la partie A est définie pour tout réel %$x \in [1~;~8]$ par % %\[f(x) = 10x \text{e}^{- x}.\] % %Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée %sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de %300~euros augmenté de 50~euros par mètre carré peint. \medskip \begin{enumerate} \item %Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~8] par %\[g(x) = 10(- x - 1)\text{e}^{-x}.\] % %Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$. En dérivant $g$ comme un produit, on a pour tout réel de [1~;~8] : $g'(x) = 10\times (- 1)\text{e}^{-x} + 10(- x - 1)\times (- 1)\text{e}^{-x} = - 10\text{e}^{-x}(1 - x - 1) = 10x\text{e}^{-x} = f(x)$. $g$ est donc une primitive de $f$ sur [1~;~8]. \item %Quel est le montant du devis de l'artiste ? Comme $x > 0$ et $\text{e}^{- x} > 0$, on a $f(x) > 0$ sur [1~;~8]. Donc l'aire de la surface hachurée est égale en unités d'aire $\left(\text{soit}\: 1 \times 1 = 1~\text{m}^2\right)$ à l'intégrale : $\displaystyle\int_1^8 f(x)\:\text{d}x = [g(x)]_1^8 = g(8) - g(1) = 10(- 8 - 1)\text{e}^{-8} - 10(- 1 - 1)\text{e}^{-1} = 20\text{e}^{-1} - 90\text{e}^{-8}$. D'après les conditions du peintre son devis sera donc d'un montant de : $D = 300 + 50\left(20\text{e}^{-1} - 90\text{e}^{-8} \right) \approx 666,37$~\euro. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C Une contrainte à vérifier} \medskip %Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan. % %On considère un point $M$ de la courbe $\mathcal{C}$, d'abscisse différente de 1. On appelle $\alpha$ l'angle aigu formé par la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses. % %La figure suivante illustre la situation. % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5) %%\psgrid %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(8.5,5.5) %\psline(0,3.679)(0,0)(8,0) %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8.5}{10 x mul 2.71828 x exp div} %\psplot[plotpoints=200]{2}{4}{5.412 1.353 x mul sub} %%\psplot[plotpoints=5]{0.5}{2}{5.412 1.353 x mul sub} %%\psplot[plotpoints=3]{4}{5}{5.412 1.353 x mul sub} %\psline[linestyle=dotted](0.5,4.72)(2,2.7) %\psline[linestyle=dotted](4,0)(4.72,-1) %\psarc(4,0){0.6}{124.5}{180}\rput(3.3,0.4){$\alpha$} %\psline(2,0)(2,2.7) %\psline[linestyle=dotted](2,2.7)(2,3.679) %\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,-0.9) %\uput[ur](2,2.7){$M$}\uput[ur](2,0){$P$}\uput[ur](4,0){$L$} %\end{pspicture} %\end{center} % %Les contraintes imposent que l'angle $\alpha$ soit inférieur à 55 degrés. % %\medskip \begin{enumerate} \item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~8]. On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~8], $f'(x) = 10(1- x)\text{e}^{-x}$. La fonction $f'$ est dérivable sur [1~;~8] et sur cet intervalle [1~;~8] : $f''(x) = 10 \times (- 1)\text{e}^{-x} + 10(1- x) \times (- 1)10\text{e}^{-x} = 10\text{e}^{-x}(- 1 - 1 + x = 10(x - 2)\text{e}^{-x}$. Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f''(x)$ est celui de $x - 2$. $\bullet~~$Si $1 \leqslant x < 2$, \: $x - 2 < 0$ : la fonction $f'$ est donc décroissante sur [1~;~2[ ; $\bullet~~$Si $2 < x \leqslant 8$, \: $x - 2 > 0$ : la fonction $f'$ est donc croissante sur ]2~;~8[ ; $\bullet~~$Si $x = 2$,\: $f'(2) = - 10\text{e}^{-2} \approx - 1,35$ est donc le minimum de la fonction $f'$ sur [1~;~8]. %Étudier les variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle [1~;~8]. \item %Soit $x$ un réel de l'intervalle ]1~;~8] et soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$. Justifier que $\tan \alpha = \left|f'(x)\right|$. Une équation de la tangente $\left(T_M\right)$ au point $M(x~;~y)$ est : $P(X~;~Y) \in \left(T_M\right) \iff Y - f(x) = f'(x) (X - x)$. Le point L est le point de cette droite d'ordonnée nulle donc son abscisse$X$ vérifie : $- f(x) = f'(x) (X - x) \iff X - x = \dfrac{- f(x)}{f'(x)} \iff X = x - \dfrac{f(x)}{f'(x)}$. Dans le triangle $MLP$, on $\tan \alpha = \dfrac{PM}{PL} = \dfrac{f(x)}{\left|x - \dfrac{f(x)}{f'(x)} - x \right|} = \dfrac{f(x)}{\left|- \dfrac{f(x)}{f'(x)}\right|} =$ $ |- f'(x)| = |f'(x)|$. \item %Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ? On a vu dans l'étude de la fonction $f'$ que celle-ci décroit de $f'(1) = 10(1 - 1)\text{e}^{-1} = 0$ à $- 1,35$ puis croissante de $f'(2)$ à $f'(8) = 10(1 - 8)\text{e}^{-8} = - 70\text{e}^{-8} \approx - 0,023$. Le maximum de la fonction $|f'(x)|$ est donc $1,35 \approx \tan 53,47$~\degres Cette valeur est bien inférieure à la valeur 55~\degres. Le e toboggan est conforme. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip %Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par % %\[v_1 = \ln (2) \quad \text{et, pour tout entier naturel }\: n \:\text{non nul},\: v_{n+1} = \ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right).\] % %On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ non nul. % %On définit ensuite la suite $\left(S_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ non nul par : % %\[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\] % %Le but de cet exercice est de déterminer la limite de $\left(S_n\right)$. % %\bigskip \textbf{Partie A -- Conjectures à l'aide d'un algorithme} \medskip \begin{enumerate} \item ~%Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de $S_n$ pour %une valeur de $n$ choisie par l'utilisateur : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|lX|}\hline Variables : & $n$, $k$ entiers\\ &$S$, \:$v$ réels\\ Initialisation :& Saisir la valeur de $n$\\ &$v$ prend la valeur $\ln (2)$\\ &$S$ prend la valeur $v$\\ Traitement : & Pour $k$ variant de 2 à $n$ faire\\ &\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $v$ prend la valeur $\ln \left(2 - \text{e}^{v_n}\right)$\\ $S$ prend la valeur $S + v$ \end{tabular}\\ &Fin Pour\\ Sortie : & Afficher $S$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \item %À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de $S_n$. Les valeurs arrondies au %dixième sont données dans le tableau ci-dessous : %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %$n$ &10 &100 &\np{1000} & \np{10000} & \np{100000} & \np{1000000}\\ \hline %$S_n$ &2,4&4,6 &6,9 &9,2 &11,5 &13,8\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} % %En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la %suite $\left(S_n\right)$. D'après les valeurs affichées il semble que la suite $\left(S_n\right)$ soit croissante. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B -- Étude d'une suite auxiliaire} \medskip %Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \text{e}^{v_n}$. \medskip \begin{enumerate} \item %Vérifier que $u_1 = 2$ et que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{u_n}$. On a $u_1 = \text{e}^{v_1} = \text{e}^{\ln (2)} = 2$. Pour tout entier naturel $n$, \:$ u_{n+1} = \text{e}^{v_{n+1}} = \text{e}^{\ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right)} = \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right) =$ $ 2 - \dfrac{1}{\text{e}^{v_n}} = 2 - \dfrac{1}{u_n}$. \item %Calculer $u_2,\: u_3$ et $u_4$. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. D'après le résultat précédent : $u_2 = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ ; $u_3 = 2 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$ ; $u_4 = 2 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4}$. \item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$. Démonstration par récurrence : \emph{Initialisation :} la relation est vraie pour $n = 4$ ; \emph{Hérédité :} Supposons qu'il existe un naturel $p > 4$ tel que $u_p = \dfrac{p+1}{p}$. On a $u_{p+1} = 2 - \dfrac{1}{u_p} = 2 - \dfrac{p}{p+1} = \dfrac{2p + 2 - p}{p+1} = \dfrac{p+2}{p+1}$ : la relation est donc vraie au rang $p + 1$. On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C -- Étude de }\boldmath $\left(S_n\right)$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \text{e}^{v_n} \iff v_n = \ln u_n$. De la question précédente on peut écrire : $ v_n = \ln \dfrac{n+1}{n} = \ln (n + 1) - \ln n = - \ln n + \ln (n + 1)$. \item %Vérifier que $S_3 = \ln (4)$. $S_3 = v_1 + v_2 + v_3 = - \ln 1 + \ln 2 - \ln 2 + \ln 3 - \ln 3 + \ln 4 = \ln 4 - \ln 1 = \ln 4$ (ou $2\ln 2$). \item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $S_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(S_n\right)$. $S_n = v_1 + v_2 + \cdots + v_n = - \ln 1 + \ln 2 - \ln 2 + \ln 3 - \ln 3 + \ln 4 + \cdots - \ln (n - 1) + \ln n - \ln n + \ln (n + 1) = - \ln 1 + (\ln 2 - \ln 2) + (\ln 3 - \ln 3) + (\ln 4 - \ln 4)+ \cdots + (\ln (n - 1)- \ln (n - 1)) + (\ln n - \ln n) + \ln (n + 1) = - \ln 1 + \ln (n + 1) = \ln (n + 1)$. On a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = + \infty$. La suite $\left(S_n\right)$ est divergente. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} %\medskip % On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix}$ % %\medskip \begin{enumerate} \item %On appelle $I$ la matrice identité d'ordre 2. %Vérifier que $A^2 = A + 2I$. $A^2 = \begin{pmatrix}16 -18&-24+30\\12-15&-18+25\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- 2&6\\- 3&7\end{pmatrix}$ $A + 2I = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & 0 \\- 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 + 2&6\\- 3& 5 + 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- 2&6\\- 3&7\end{pmatrix} = A^2$ \item %En déduire une expression de $A^3$ et une expression de $A^4$ sous la forme %$\alpha A + \beta I$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels. En partant de l'égalité $A^2 = A + 2I$, on obtient en multipliant chaque membre par $A$ : $A^3 = A(A + 2I) = A^2 + 2A = A + 2I + 2A = 3A + 2I$ et on recommence: $A^4 = A\times A^3 = A(3A + 2I) = 3A^2 + 2A = 3(A + 2I) + 2A = 5A + 6I$ \item %On considère les suites $\left(r_n\right)$ et $\left(s_n\right)$ définies par $r_0 = 0$ et $s_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, %\[\left\{\begin{array}{l c l} %r_{n+1}&=&\phantom{2}r_n + s_n\\ %s_{n+1}&=&2r_n %\end{array}\right.\] % %Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: A^n = r_nA + s_nI$. \begin{list}{\textbullet}{Démonstration par récurrence} \item \emph{Initialisation:} Pour $n = 0$, \: $A^0 = I = 0A + 1I = r_0A + s_0I$. la relation est vraie au rang $0$. \item \emph{Hérédité:} Supposons qu'il existe un naturel $p$ non nul, tel que $A^p = r_pA + s_pI$. En multipliant chaque membre par $A$, on obtient : $A \times A^p = A\left(r_pA + s_pI \right) \iff A^{p+1} = r_pA^2 + s_pA = r_p(A + 2I) + s_pA = $ $\left(r_p + s_p \right)A + 2r_pI = r_{p+1}A + s_{p+1}I$ : la relation est donc vraie au rang $p + 1$. \item On a donc démontré par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $ A^n = r_nA + s_nI$. \end{list} %\item Démontrer que la suite $\left(k_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par %$k_n = r_n - s_n$ est géométrique de raison $- 1$. \item On a pour tout entier naturel $n$ non nul : $k_{n+1} = r_{n + 1} - s_{n + 1} = r_n + s_n - 2r_n = s_n - r_n = -\left(r_n - s_n\right) = - k_n$. L'égalité $k_{n+1} = - k_n$ montre que la suite $\left(k_n\right)$ est géométrique de raison $- 1$. %En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $k_n$ en fonction de $n$. On sait qu'alors $k_n = k_0(- 1)^n = - (- 1)^n$. \item %On admet que la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par %$t_n = r_n + \dfrac{(- 1)^n}{3}$ est géométrique de raison 2. $r_1=r_0+s_0=1$ donc $t_1 = r_1 + \dfrac{(- 1)^1}{3} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ On sait qu'alors pour tout $n\geqslant 1$, $t_n = t_1\times q^{n-1} = \dfrac{2}{3}\,2^{n - 1} = \dfrac{1}{3}\,2^n$ %En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $t_n$ en fonction de $n$. \item %Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$. On a donc $r_n = t_n - \dfrac{(- 1)^n}{3} = \dfrac{1}{3}(- 1)^{n} - \dfrac{(- 1)^n}{3}$ %Or pour tout $n$ entier naturel non nul, $s_n = 2r_{n-1}$, % %donc %$s_n = 2\times \dfrac{1}{3}\, 2^{n-1} - 2\times \dfrac{(-1)^{n-1}}{3} %= \dfrac{1}{3}\,2^n - \dfrac{2}{3}(-1)^{n-1} %= \dfrac{1}{3}\,2^n + \dfrac{2}{3}(-1)^{n}$ Pour tout $n\geqslant 1$, $k_n=r_n-s_n$ et $k_n=-(-1)^n$; on en déduit que $s_n=r_n + (-1)^n = \dfrac{1}{3}\,2^n - \dfrac{1}{3}(-1)^n + (-1)^n = \dfrac{1}{3}\,2^n + \dfrac{2}{3}(-1)^n$ \item %En déduire alors, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression des coefficients %de la matrice $A^n$. $A_n=r_n A + s_n I$ donc $A_n = \begin{pmatrix} -4 r_n & 6 r_n \\ -3 r_n & 5 r_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} s_n & 0 \\ 0 & s_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 r_n + s_n & 6 r_n \\ -3 r_n & 5 r_n + s_n \end{pmatrix}$ \begin{list}{\textbullet}{} \item $- 4r_n + s_n = -\dfrac{4}{3}\,2^n +\dfrac{4}{3}\,(-1)^n + \dfrac{1}{3}\,2^n + \dfrac{2}{3}\,(-1)^n = -2^n+2(-1)^n$ \item $6r_n = \dfrac{6}{3}\,2^n -\dfrac{6}{3}\,(-1)^n = 2^{n+1} -2(-1)^n$ \item $- 3r_n = -3\left ( \dfrac{1}{3}\,2^n - \dfrac{1}{3}\,(-1)^n\right ) = -2^n+(-1)^n$ \item $5r_n + s_n = \dfrac{5}{3}\,2^n - \dfrac{5}{3}(-1)^n + \dfrac{1}{3}\,2^n + \dfrac{2}{3}(-1)^n = 2\times 2^n - (-1)^n = 2^{n+1}- (-1)^n$ \end{list} Conclusion: $A^n = \begin{pmatrix} -2^n+2(-1)^n & 2^{n+1} -2(-1)^n \\ -2^n+(-1)^n & 2^{n+1}- (-1)^n \end{pmatrix}$ \end{enumerate} \newpage \textbf{\large Annexe} \vspace{0.75cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{2cm} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1} \vspace{1cm} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture}(10,4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.9,0.275)(1.583,0)(7,1.111)(8.6,3.3)(2.1,2)%JILGP \psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE \psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF \psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE \psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC \psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH \uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} \uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} \uput[u](7,2.2){F} \uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} \uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K}\uput[r](7,1.111){L}\uput[l](2.1,2){P} \psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1)(7,2.444) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Polynésie 12 juin 2015 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %%%%%%%%%%% Asie 16 juin 2015 \hypertarget{Asie}{} \lfoot{\small Asie} \rfoot{\small 16 juin 2015} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Asie 16 juin 2015~\decofourright}}} \end{center} \phantomsection \label{Asie} %\vspace{0,25cm} \subsection*{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Les probabilités seront arrondies au millième.} %\bigskip \subsubsection*{Partie A} %\medskip Un concurrent participe à un concours de tir à l'arc, sur une cible circulaire. À chaque tir, la probabilité qu'il atteigne la cible est égale à $0$,8. %\medskip \begin{enumerate} \item Le concurrent tire quatre flèches. On considère que les tirs sont indépendants. %Déterminer la probabilité qu'il atteigne au moins trois fois la cible. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de flèches atteignant la cible. Pour un tir, la probabilité du succès est $p=0,8$. On répète 4 fois de façon indépendante le tir, donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,8$. Pour une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$, on a: $P(X=k)=\ds\binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}$. On cherche ici:\\ $P(X\pg 3) = P(x=3)+P(X=4)= \ds\binom{4}{3}\times 0,8^3 \times 0,2^1 + \ds\binom{4}{4}\times 0,8^4 \times 0,2^0 = \np{0,4096} + \np{0,4096} = \np{0,8192}\\ \phantom{P(X\pg 3)} \approx 0,819$ \item% Combien de flèches le concurrent doit-il prévoir pour atteindre en moyenne la cible douze fois ? La concurrent tire $n$ flèches de façon indépendante; donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,8$. Pour atteindre en moyenne 12 fois la cible, il faut que l'espérance mathématique de la variable $X$ soit égale à 12. Une variable aléatoire $X $ suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ a pour espérance mathématique $E(X)=np$. On doit donc chercher $n$ pour que $n\times 0,8=12 \iff n=\dfrac{12}{0,8}\iff n=15$. Il faut donc que le concurrent prévoie 15 flèches pour atteindre en moyenne la cible 12 fois. \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie B} %\medskip % %\parbox{0.55\linewidth}{Entre deux phases du concours, pour se perfectionner, le concurrent travaille sa précision latérale sur une autre cible d'entraînement, %représentée ci-contre. Pour cela, il tire des flèches pour essayer d'atteindre une bande verticale, de largeur $20$~cm (en grisé sur la figure), le plus près possible de la ligne verticale centrale. % %On munit le plan contenant la bande verticale d'un repère : la ligne centrale visée est l'axe des %ordonnées. % %On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute flèche tirée atteignant ce plan, associe l'abscisse de son point d'impact.}\hfill %\parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=0.125cm} %\begin{pspicture}(-18,-18)(22,18) %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-10,-18)(10,18) %\multido{\n=-15+5}{8}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,-18)(\n,18)} %\multido{\n=-15+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](-18,\n)(22,\n)} %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-18,-18)(22,18) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(22,18) %\psdots(-5,5)(10,-10)(15,10)%CBA %\uput[ur](-5,5){C}\uput[ur](10,-10){B}\uput[ur](15,10){A} %\psline[linewidth=1.25pt](-10,-18)(-10,18) %\psline[linewidth=1.25pt](10,-18)(10,18) % %\end{pspicture}} % %\medskip % %Ainsi, par exemple : %\begin{itemize} %\item si la flèche atteint le point A, le tireur a raté la bande, et $X$ prend la valeur $15$ ; %\item si elle atteint le point B, l'impact est à la limite de la bande, et $X$ prend la valeur $10$ ; %\item si elle atteint le point C, l'impact est dans la bande et $X$ prend la valeur $- 5$. %\end{itemize} % %\smallskip On suppose que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type $10$. %\medskip \begin{enumerate} \item% Lorsque la flèche atteint le plan, déterminer la probabilité que son point d'impact soit situé hors de la bande grisée. Pour que la flèche soit hors de la bande grisée, il faut que $(X<-10)$ ou $(X>10)$. On cherche donc $P\left ( (X<-10) \cup (X>10)\rule{0pt}{10pt}\right )$ qui est égale à $1-P(-10 \pp X \pp 10)$. $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=0$ et d'écart type $\sigma=10$, et on sait que pour toute loi normale, $P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma)\approx 0,683$ donc $P(-10 \pp X \pp 10)\approx 0,683$. On peut donc dire que la probabilité que la flèche soit hors de la bande grisée est approximativement de $1-0,683 = 0,317$. \emph{On peut également trouver ce résultat en utilisant la calculatrice.} \item% Comment modifier les bords de la bande grisée pour faire en sorte que, lorsque la flèche atteint le plan, son point d'impact soit situé à l'intérieur de la bande avec une probabilité égale à $0,6$ ? On cherche un nombre positif $t$ tel que $P(-t\pp X \pp t) = 0,6$. Cela correspond au schéma suivant, en tenant compte des propriétés de symétrie de la fonction de densité de la loi normale: \begin{center} \psset{xunit=0.9cm, yunit=5cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true} \def\xmin {-5} \def\xmax {5} \def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.33} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) \psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]% {->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax) \def\m{0}% moyenne \def\s{2}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f} \def\inf{-1.8} \def\sup{1.8} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } %\uput[d](\m,0){$\mu$} \psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax) \uput[d](\inf,0){$-t$} \uput[d](\sup,0){$t$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(1,0.25)(0.4,0.1) \uput[70](1,0.25){\red $60\,\%$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(3.5,0.2)(2.3,0.04) \uput[ur](3.5,0.2){$20\,\%$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-3.5,0.2)(-2.3,0.04) \uput[ul](-3.5,0.2){$20\,\%$} \end{pspicture*} \end{center} $\begin{array}{@{} l !{\iff} r !{=} l} P(-t \pp X \pp t) = 0,6 & P(X\pp t) - P(X\pp -t) & 0,6\\ & P(X\pp t) - P(X\pg t) & 0,6\\ & P(X\pp t) - \left (1-P(X\pp t)\right ) & 0,6\\ & 2P(X \pp t)-1 & 0,6\\ & 2P(X \pp t) & 1,6\\ & P(X \pp t) & 0,8 \end{array}$ À la calculatrice, on trouve $t \approx 8,416$. Les deux droites verticales délimitant la bande grise ont pour équations $x = -8,4$ et $x = 8,4$ ; alors la probabilité d'atteindre cette bande grisée est approximativement de 0,6. \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie C} \medskip La durée de vie (exprimée en heures) du panneau électrique affichant le score des concurrents est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 10^{-4}$ (exprimé en h$^{-1}$). D'après le cours, on peut dire que $P(T \pp t) = \ds\int_{0}^t \lambda \e^{-\lambda x} \d x = \left [ -\e^{-\lambda x} \right ]_{0}^t = 1 - \e^{-\lambda t}$ et que\\[3pt] $P(T \pg t) = 1- P(T \pp t) = 1- \left (1 - \e^{-\lambda t} \right ) = \e^{-\lambda t}$. %\medskip \begin{enumerate} \item% Quelle est la probabilité que le panneau fonctionne au moins pendant \np{2000}~heures ? La probabilité que le panneau fonctionne au moins \np{2000} heures est $P(T \pg 2000)$. $P(T \pg 2000) = \e^{-10^{-4}\times \np{2000}} \approx 0,819$ \item \emph{Restitution organisée des connaissances} Dans cette question, $\lambda$ désigne un réel strictement positif. On rappelle que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, est définie par : $E(T) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ds\int_{0}^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item On considère la fonction $F$, définie pour tout réel $t$ par : $F(t) = \left(- t - \dfrac{1}{\lambda}\right)\e^{- \lambda t}$. %Démontrer que la fonction $F$ est une primitive sur $\R$ de la fonction 1 définie pour tout réel $t$ par : $f(t) = \lambda t\text{e}^{- \lambda t}$. La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ et: $F'(x)=-1\times \e^{-\lambda t} + \left(- t - \dfrac{1}{\lambda}\right) \times (-\lambda)\e^{-\lambda t} = -\e^{-\lambda t} + \lambda t \e^{-\lambda t} + \e^{-\lambda t} = \lambda t \e^{-\lambda t} = f(t)$ Donc $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item% En déduire que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$. L'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ est: $E(T) = \ds\lim_{x \to + \infty} \ds\int_{0}^x \lambda t \e^{- \lambda t}\d t = \ds\lim_{x \to + \infty} \ds\int_{0}^x f(t) \d t = \ds\lim_{x \to + \infty} \left ( F(x)-F(0)\rule{0pt}{10pt}\right )\\[3pt] \phantom{E(T)} = \ds\lim_{x \to + \infty}\left ( \left [ \left ( -x - \dfrac{1}{\lambda}\right ) \e^{-\lambda x}\right ] - \left [ -\dfrac{1}{\lambda}\times 1 \right ]\right ) = \ds\lim_{x \to + \infty}\left (-x\e^{-\lambda x} - \dfrac{1}{\lambda} \e^{-\lambda x} +\dfrac{1}{\lambda} \right)$ $\ds\lim_{x \to + \infty} -x\e^{-\lambda x} = \ds\lim_{x \to + \infty} -\dfrac{1}{\lambda} \dfrac{\lambda x}{\e^{\lambda x}} $ donc $E(T) = \ds\lim_{x \to + \infty}\left (-\dfrac{1}{\lambda} \dfrac{\lambda x}{\e^{\lambda x}} - \dfrac{1}{\lambda} \e^{-\lambda x} +\dfrac{1}{\lambda} \right)$ \smallskip \begin{list}{\textbullet}{} \item \ \\[-23pt] $\left. \begin{array}{@{} l} \lambda >0 \Longrightarrow \ds\lim_{x \to + \infty} \lambda x = +\infty\\ \text{On pose } X=\lambda x\\ \text{On sait que } \ds\lim_{X \to + \infty} \dfrac{\e^{X}}{X} = +\infty \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \ds\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\e^{\lambda x}}{\lambda x} = +\infty \Longrightarrow\ds\lim_{x \to + \infty} -\dfrac{1}{\lambda} \dfrac{\lambda x}{\e^{\lambda x}}=0$ \smallskip \item \ \\[-23pt] $\left. \begin{array}{@{} l} \lambda >0 \Longrightarrow \ds\lim_{x \to + \infty} \lambda x = +\infty\\ \text{On pose } X=\lambda x\\ \text{On sait que } \ds\lim_{X \to + \infty} \e^{-X} = 0 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \ds\lim_{x \to + \infty} \e^{-\lambda x}=0 \Longrightarrow\ds\lim_{x \to + \infty} -\dfrac{1}{\lambda} \e^{-\lambda x}=0 $ \smallskip \item Par somme, $\ds\lim_{x \to + \infty}\left ( -x\e^{-\lambda x} - \dfrac{1}{\lambda} \e^{-\lambda x} +\dfrac{1}{\lambda} \right )= \dfrac{1}{\lambda}$ et donc $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}$. \end{list} \medskip L'espérance de durée de vie du panneau électrique affichant le score des concurrents est $\dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{10^{-4}}=10^{4}$ soit \np{10000} heures. \end{enumerate} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} % %\bigskip Dans les questions 1 et 2, on munit l'espace d'un repère orthonormé, et on considère les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ d'équations respectives $x+ y + z - 5 = 0$ et $7x - 2y + z - 2 = 0$. %\medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1 :} les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires. Le plan $\mathcal P_1$ a pour vecteur normal $\vect{n_1}\;:\;(1\,;\, 1\,;\, 1)$ et le plan $\mathcal P_2$ a pour vecteur normal $\vect{n_2}\;:\;(7\,;\, -2\,;\, 1)$. $\vect{n_1}.\vect{n_2} = 7 - 2 + 1 =6 \neq 0$ donc ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux et donc les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ ne sont pas perpendiculaires. \textbf{Affirmation 1: FAUSSE} \item \textbf{Affirmation 2 :} les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ se coupent suivant la droite de représentation paramétrique: \[\left\{\begin{array}{l !{=} l} x & \phantom{- 3}t\\ y & \phantom{-}2t + 1\\ z & - 3t + 4 \end{array}\right.\:, \:t \in \R.\] %Pour chercher l'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$, on résout le système %$\left\lbrace %\begin{array}{l !{=} l} %x+y+z-5 & 0\\ %7x - 2y + z - 2 & 0 %\end{array} %\right. $ On a vu dans la question précédente que les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ avaient respectivement pour vecteurs normaux $\vect{n_1}\;:\;(1\,;\, 1\,;\, 1)$ et $\vect{n_2}\;:\;(7\,;\, -2\,;\, 1)$; ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les plans ne sont pas parallèles. Les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ sont donc sécants. Soit $d$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x & \phantom{- 3}t\\ y & \phantom{-}2t + 1\\ z & - 3t + 4 \end{array}\right.\:, \:t \in \R$. Pour voir si cette droite est l'intersection des plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$, il suffit de déterminer deux points de cette droite et de vérifier s'ils appartiennent aux deux plans. %On cherche deux points appartenant à la droite $d$ et on regarde s'ils appartiennent aux deux plans. \begin{list}{\textbullet}{} \item En remplaçant $t$ par $0$ dans la représentation paramétrique de la droite $d$, on obtient le point $A\;(0\,;\,1\,;\, 4)$. Or $x_A+y_A+z_A-5 = 0+1+4-5=0$ donc $A\in \mathcal P_1$, et $7x_A-2y_A+z_A-2 = 0-2+4-2=0$ donc $A\in \mathcal P_2$. On peut dire que $A \in \mathcal P_1 \cap \mathcal P_2$. \item En remplaçant $t$ par $1$ dans la représentation paramétrique de la droite $d$, on obtient le point $B\;(1\,;\,3\,;\, 1)$. Or $x_B+y_B+z_B-5 = 1+3+1-5=0$ donc $B\in \mathcal P_1$, et $7x_B-2y_B+z_B-2 = 7-6+1-2=0$ donc $B\in \mathcal P_2$. On peut dire que $B \in \mathcal P_1 \cap \mathcal P_2$. \end{list} L'intersection des deux plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ est la droite $(AB)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x & \phantom{- 3}t\\ y & \phantom{-}2t + 1\\ z & - 3t + 4 \end{array}\right.\:, \:t \in \R$. \textbf{Affirmation 2: VRAIE} \item% Un joueur de jeux vidéo en ligne adopte toujours la même stratégie. Sur les 312 premières parties jouées, il en gagne 223. On assimile les parties jouées à un échantillon aléatoire de taille $312$ dans l'ensemble des parties. % %On souhaite estimer la proportion de parties que va gagner le joueur, sur les prochaines parties %qu'il jouera, tout en conservant la même stratégie. \textbf{Affirmation 3 :} au niveau de confiance de 95\,\%, la proportion de parties gagnées doit appartenir à l'intervalle \cd{}0,658~;~0,771\cg{}. Le joueur gagne avec une fréquence de $f=\dfrac{223}{312}\approx \np{0,7147}$. L'échantillon est de taille $n=312>30$; $n\times f = 223 >5$ et $n\times (1-f)= 89 >5$. \\ Donc on peut déterminer l'intervalle de confiance au seuil 95\,\%: \[I=\left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\,;\, f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\right ] = \left [ \dfrac{223}{312} - \dfrac{1}{\ds\sqrt{312}}\,;\, \dfrac{223}{312} + \dfrac{1}{\ds\sqrt{312}}\right ] \approx \cd{}0,658 \,;\, 0,771 \cg{}\] \textbf{Affirmation 3: VRAIE} \smallskip \textbf{Remarque du correcteur} -- En fait, les deux bornes de l'intervalle ont pour valeurs approchées à $10^{-4}$ les nombres \np{0,6581} et \np{0,7714}; la règle veut que l'on arrondisse par défaut la borne inférieure, et par excès la borne supérieure, pour que l'intervalle obtenu contienne l'intervalle donné par la formule ; l'intervalle obtenu serait alors \cd{}0,658\,;\,0,772\cg{} ce qui rendrait l'affirmation fausse. Mais était-ce vraiment l'intention du concepteur du sujet de \og{}jouer\fg{} sur la troisième décimale? \\ Il faudrait, pour en être sûr, avoir les consignes de correction. \item On considère l'algorithme suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|X|}\hline &$a$, $b$ sont deux nombres réels tels que $a < b$\\ VARIABLES & $x$ est un nombre réel\\ &$f$ est une fonction définie sur l'intervalle $[a~;~b]$\\ \hline &Lire $a$ et $b$\\ &Tant que $b-a > 0,3$\\ &\hspace{1cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{a+ b}{2}$\\ TRAITEMENT &\hspace{1cm} Si $f(x) f(a) > 0$, alors $a$ prend la valeur $x$\\ &\hspace{3.4cm}sinon $b$ prend la valeur $x$\\ &\hspace{1cm}Fin Si\\ &Fin Tant que\\ &Afficher $\dfrac{a+ b}{2}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Affirmation 4 :} si l'on entre $a = 1,\: b = 2$ et $f(x) = x^2 - 3$, alors l'algorithme affiche en sortie le nombre \np{1,6875}. On fait tourner l'algorithme avec les valeurs de $a$, de $b$ et l'expression de $f$ données dans le texte, et on va décrire ce qui se passe à chaque étape en affichant l'état des variables $a$, $b$ et $x$: \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{tabular}{|l |c |c|c|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{\null} & $a$ & $b$ & $x$ \\ \hline $a$ reçoit la valeur 1 & \red 1 & & \\ \hline $b$ reçoit la valeur 2 & 1 & \red 2 & \\ \hline $b-a=1 >0,3$ donc on entre dans la boucle & 1 & 2 & \\ \hline $x$ prend la valeur $\dfrac{a+b\rule{0pt}{10pt}}{2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}} = 1,5$ & 1 & 2 & \red 1,5\\ \hline $f(a)=1^2-3=-2$ & 1 & 2 & 1,5 \\ \hline $f(x)=1,5^2-3 = -0,75$ & 1 & 2 & 1,5\\ \hline $f(x)\times f(a) >0$ donc $a$ prend la valeur $x=1,5$ & \red 1,5 & 2 & 1,5 \\ \hline fin du tant que & 1,5 & 2 & 1,5 \\ \hline $b-a=0,5>0,3$ donc on entre dans la boucle & 1,5 & 2 & 1,5 \\ \hline $x$ prend la valeur $\dfrac{a+b\rule{0pt}{10pt}}{2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}} = 1,75$ & 1,5 & 2 & \red 1,75 \\ \hline $f(a)=1,5^2-3= -0,75$ & 1,5 & 2 & 1,75 \\ \hline $f(x)=1,75^2-3 = \np{0,0625}$ & 1,5 & 2 & 1,75 \\ \hline $f(x)\times f(a) <0$ donc $b$ prend la valeur $x=1,75$ & 1,5 & \red 1,75 & 1,75 \\ \hline fin du tant que & 1,5 & 1,75 & 1,75 \\ \hline $b-a = 0,25 \pp 0,3$ donc on n'entre pas dans la boucle & 1,5 & 1,75 & 1,75 \\ \hline On affiche $\dfrac{a+b\rule{0pt}{10pt}}{2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}=\dfrac{1,5+1,75}{2}= {\red 1,625}$ & 1,5 & 1,75 & 1,75 \\ \hline \end{tabular} \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} \textbf{Affirmation 4: FAUSSE} \medskip \emph{Il s'agit de l'algorithme de recherche par dichotomie de la solution positive de l'équation $x^2-3=0$.} \end{enumerate} \newpage %\vspace{0,5cm} \subsection*{Exercice 3 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour tout $n$ de $\N$, on définit la fonction $f_n$ pour tout réel $x$ de l'intervalle \cd{}0~;~1\cg{} par: $f_n(x) = x + \e^{n (x - 1)}$. %\parbox{0.5\linewidth}{Pour tout entier naturel $n$, on définit la fonction $f_n$ %pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par : % %\[f_n(x) = x + \e^{n (x - 1)}.\] % %On note $\mathcal{C}_n$ la représentation graphique de la %fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. % %Quelques-unes des courbes $\mathcal{C}_n$ sont représentées ci-contre. % %\medskip % %\subsubsection*{Partie A : généralités sur les fonctions \:\boldmath $f_n$\unboldmath} % %\medskip % %\begin{enumerate} %\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est croissante et positive sur l'intervalle [0~;~1]. %\item Montrer que les courbes $\mathcal{C}_n$ ont toutes un point commun A, et préciser ses coordonnées. %\item À l'aide des représentations graphiques, peut-on conjecturer le comportement des %coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes $\mathcal{C}_n$ pour les grandes valeurs de $n$ ? % %Démontrer cette conjecture. %\end{enumerate}}\hfill %\parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=5cm,comma=true} %\begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(1.1,2.1) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,griddots=8](0,0)(2,2) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(-0.1,-0.15)(1.1,2.09) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1.1,2.09) %%\multido{\n=0+1}{4}{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub \n mul exp x add} %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 x add} %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 1 mul exp x add} %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 2 mul exp x add} %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 3 mul exp x add} %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 10 mul exp x add} %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 50 mul exp x add} %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 100 mul exp x add} %\uput[l](0.1,1.1){$\mathcal{C}_0$}\uput[l](0.49,1.1){$\mathcal{C}_1$} %\uput[l](0.63,1.1){$\mathcal{C}_2$}\uput[r](0.68,1.1){$\mathcal{C}_3$} %\uput[l](0.78,0.86){$\mathcal{C}_{10}$}\uput[l](0.98,1.1){$\mathcal{C}_{50}$} %\uput[r](0.93,1){$\mathcal{C}_{100}$} %\end{pspicture*}} % %\medskip % \subsubsection*{Partie A : généralités sur les fonctions \:\boldmath $f_n$\unboldmath} % %\medskip \begin{enumerate} \item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est croissante et positive sur l'intervalle [0~;~1]. \begin{list}{\textbullet}{} \item On sait que, pour tout $X$, $\e^{X}>0$ donc $\e^{n(x-1)}>0$ pour tout $n \in \N$ et tout $x \in \R$. Sur \cd{}0~;~1\cg{}, $x\pg 0$, donc $x+\e^{n(x-1)}>0 \iff f_n(x)>0$ pour tout $n \in \N$. \item $f_n$ est dérivable sur $\R$ et $f'_n(x)=1+n\e^{n(x-1)}$. Pour pour tout $n \in \N$ et tout $x \in \R$, $n\e^{n(x-1)}>0$ donc $f'_n(x)>0$ donc la fonction $f_n$ est strictement croissante sur \cd{}0~;~1\cg{}. \end{list} \item% Montrer que les courbes $\mathcal{C}_n$ ont toutes un point commun A, et préciser ses coordonnées. $f_n(1)=1+\e^{0}=2$ donc toutes les courbes $\mathcal C_n$ passent par le point A de coordonnées $(1\,;\, 2)$. \item À l'aide des représentations graphiques, %peut-on conjecturer le comportement des coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes $\mathcal{C}_n$ pour les grandes valeurs de $n$ ? on peut conjecturer que le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$. %Démontrer cette conjecture. Le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_n$ est égal à $f'_n(x_{\text A}) = f'_n(2) = 1+ n\e^{n}$. $\left. \begin{array}{@{} l !{=} l} \ds\lim_{n \to +\infty} n & +\infty\\ \ds\lim_{n \to +\infty} \e^{n} & +\infty \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \stackrel{\text{par produit}}{\ds\lim_{n \to +\infty} n \e^{n} = +\infty} \ \Longrightarrow \ds\lim_{n \to +\infty} f'_n(2) = +\infty$ \end{enumerate} \subsubsection*{Partie B : évolution de \boldmath $f_n(x)$\unboldmath{} lorsque \boldmath$x$\unboldmath{} est fixé} %\medskip Soit $x$ un réel fixé de l'intervalle \cd{}0~;~1\cg. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = f_n (x)$. %\medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $x = 1$.% Étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$. Pour tout $n\in\N$, $f_n(1)=2$ donc la suite $(u_n)$ est constante et chacun de ses termes est égal à 2; la suite $(u_n)$ admet donc le nombre 2 comme limite. \item Dans cette question, on suppose que $0 \leqslant x < 1$.% Étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$. $x\in \cd{}0~;~1\cd{} \Longrightarrow x-1<0$ $\ds\lim_{n \to +\infty} n(x-1)=-\infty \Longrightarrow \ds\lim_{n \to +\infty} \e^{n(x-1)}=0$ (limite de fonctions composées) On en déduit que $\ds\lim_{n \to +\infty}\left ( x+\e^{n(x-1)}\right )=x$ et donc que $\ds\lim_{n \to +\infty} u_n= x$. \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie C : aire sous les courbes \boldmath$\mathcal{C}_n$ \unboldmath} %\medskip Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine situé entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_n$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$. À partir des représentations graphiques et particulièrement en regardant l'aire sous la courbe $\mathcal C_{100}$, on peut conjecturer que la limite de la suite $A_n$ est $\dfrac{1}{2}$. \smallskip Pour démontrer cette conjecture, on cherche une primitive de la fonction $f_n$: pour $n>0$, la fonction $F_n$ définie par $F_n(x)=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{\e^{n(x-1)}}{n}$ est une primitive de $f_n$ sur $\cd{}0\,;\,1\cg{}$. La fonction $f_n$ est positive sur $\cd{}0\,;\,1\cg{}$ donc l'aire $A_n$ est donnée par $\ds\int_{0}^1 f_n(t) \d t$. \smallskip Pour $n>0$, $A_n=\ds\int_{0}^1 f_n(t) \d t = F_n(1)-F_n(0) = \left [ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{n}\right ] - \left [ 0 + \dfrac{\e^{-n}}{n}\right ] = \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{n} - \dfrac{\e^{-n}}{n}$ \smallskip $\left. \begin{array}{@{} l} \ds\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0\\[5pt] \ds\lim_{n \to +\infty} \e^{-n} = 0 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \ds\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\e^{-n}}{n}=0 \Longrightarrow \ds\lim_{n \to +\infty} \left ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{n} - \dfrac{\e^{-n}}{n} \right ) = \dfrac{1}{2}$; donc $\ds\lim_{n \to +\infty} A_n=\dfrac{1}{2}$ %\vspace{0,5cm} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \renewcommand{\j}{\text{\,j}} \medskip Le plan est muni du repère orthonormé direct \Ouv. On donne le nombre complexe $\text{j} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. %Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux. %\bigskip \subsubsection*{Partie A : propriétés du nombre j} %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation \[z^2 + z + 1 = 0.\] On résout l'équation: $z^2 + z + 1 = 0$; $\Delta=-3<0$ donc cette équation admet deux solutions complexes conjuguées: $z_1=\dfrac{-1+\i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{-1-\i\sqrt{3}}{2}$ \item $\j = -\dfrac{1}{2}+\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{-1+\i\sqrt{3}}{2}=z_1$ donc $\j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$. \end{enumerate} \item% Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle. $\left |\j\right |^2=\left (-\dfrac{1}{2}\right )^2+ \left (\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$ donc $|\j|=1$ $\j=-\dfrac{1}{2}+\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$; on cherche $\theta$ tel que $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} \cos \theta & -\dfrac{1}{2}\\[8pt] \sin \theta & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right .$ Donc $\theta = \dfrac{2\pi}{3} \ \cd{}2\pi\cg$ La forme exponentielle de $\j$ est donc: $\j = \e^{\i\frac{2\pi}{3}}$ \item% Démontrer les égalités suivantes: \begin{enumerate} \item $\j^3 = \left ( \e^{\i\frac{2\pi}{3}} \right )^3 = \e^{\i\frac{2\pi\times 3}{3}} = \e^{\i\times 2\pi} = 1$ \item $\j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$ donc $\j^2+\j+1=0$ et donc $\j^2=-1-\j$. \end{enumerate} \item On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1,\:j et j$^2$ dans le plan. %Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse. P a pour affixe 1; Q a pour affixe $\j=-\dfrac{1}{2}+\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et R pour affixe $\j^2=-1-\j = -1 +\dfrac{1}{2} -\i\dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{1}{2}-\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ \smallskip $\text{PQ}^2 = \left | -\dfrac{1}{2} +\i\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right |^2= \left | -\dfrac{3}{2} +\i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right |^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4} = 3 \Longrightarrow \text{PQ} = \ds\sqrt{3}$ $\text{QR}^2 = \left | -\dfrac{1}{2} -\i\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} -\i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right |2 = \left | -\i\sqrt{3} \right |^2 = 3 \Longrightarrow \text{QR} = \ds\sqrt{3}$ $\text{RP}^2 = \left | 1 + \dfrac{1}{2} + \i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right |^2 = \left | \dfrac{3}{2} + \i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right |^2 = \dfrac{9}{4}+ \dfrac{3}{4} = 3 \Longrightarrow \text{RP} = \ds\sqrt{3}$ $\text{PQ} = \text{QR} = \text{RP}$ donc le triangle PQR est équilatéral. \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie B} %\medskip Soit $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a+ \text{j}b + \text{j}^2 c = 0$. On note A, B, C les images respectives des nombres $a$, $b$, $c$ dans le plan. %\medskip \begin{enumerate} \item% En utilisant la question A - 3. b., démontrer l'égalité : $ a - c = \text{j}(c - b)$. On sait que $a+b\j +c\j^2=0$ donc $a=-\j b -\j^2 c$. Or, d'après la question \textbf{A. 3. b.}, $\j^2 = -1-\j$ donc:\\ $a=-\j b -\j^2 c = -\j b -(-1-\j)c = -\j b + c +\j c \iff a-c = \j(c-b)$ \item% En déduire que AC = BC . $a-c = \j(c-b) \Longrightarrow \left |a-c\right | = \left |\j(c-b)\right | \iff \left |a-c\right | = \left |\j \right | \times \left |c-b\right |$ On a vu précédemment que $\left |\j\right |=1$; de plus $\left |a-c\right | = \text{AC}$ et $\left |c-b\right |=\text{BC}$. On a donc démontré que $\text{AC}=\text{BC}$. \item% Démontrer l'égalité : $a - b = \text{j}^2 (b - c)$. On sait que $a=-\j b - \j^2 c$. On sait aussi que $\j^2 = -1-\j$ donc $\j=-1-\j^2$. On a donc $a=-(-1-\j^2) b - \j^2 c= b +\j^2 b - \j^2 c$ ce qui équivaut à $a-b = \j^2(b-c)$. \item% En déduire que le triangle ABC est équilatéral. On sait que $\left |\j\right |=1$ donc $\left |\j^2\right | = \left |\j\right |^2=1$. De plus $\left |a-b\right | = \text{AB}$ et $\left |b-c\right | = \text{CB}$. On a vu dans la question précédente que $a-b = \j^2(b-c)$ ce qui entraîne $\left |a-b\right | = \left |\j^2(b-c)\right |$ ou encore $\left |a-b\right | = \left |\j^2\right |\times \left |b-c\right |$. Cette dernière égalité équivaut à $\text{AB} = \text{CB}$. Comme $\text{AC}=\text{BC}$ et $\text{AB} = \text{CB}$, on a démontré que le triangle ABC était équilatéral. \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip On dit qu'un entier naturel non nul $N$ est un nombre triangulaire s'il existe un entier naturel $n$ tel que : $N = 1+2+ \ldots + n$. %Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car $10 = 1 + 2 + 3 + 4$. % %Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d'un entier. % %\medskip % %On rappelle que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : % %\[ 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.\] \subsubsection*{Partie A : nombres triangulaires et carrés d'entiers} %\medskip \begin{enumerate} \item% Montrer que $36$ est un nombre triangulaire, et qu'il est aussi le carré d'un entier. $36 = \dfrac{72}{2} = \dfrac{8\times 9}{2}= 1+2+3+4+5+6+7+8$ donc $36$ est un nombre triangulaire. De plus, $36=6^2$. \item \begin{enumerate} \item% Montrer que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $n^2 + n - 2 p^2 = 0$. $1 + 2 + \ldots + n = p^2 \iff \dfrac{n(n+1)}{2}=p^2 \iff n(n+1)=2p^2 \iff n^2+n-2p^2=0$. Donc le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $n^2 + n - 2 p^2 = 0$. \item% En déduire que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $(2n + 1)^2 - 8 p^2 = 1$. $n^2 + n - 2 p^2 = 0 \iff 4n^2 + 4n - 8 p^2 = 0 \iff 4n^2 + 4n +1 - 8 p^2 = 1 \iff (2n+1)^2 - 8p^2=1$ Donc le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $(2n + 1)^2 - 8 p^2 = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie B : étude de l'équation diophantienne associée} %\medskip On considère (E) l'équation diophantienne $x^2 - 8 y^2 = 1$, où $x\in \N$ et $y\in \N$. %\medskip \begin{enumerate} \item% Donner deux couples d'entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solution de (E). Deux couples solution sont, par exemple, $(3\,;\,1)$ et $(1\,;\,0)$. \item% Démontrer que, si un couple d'entiers relatifs non nuls $(x~;~y)$ est solution de (E), alors les entiers relatifs $x$ et $y$ sont premiers entre eux. Soit $(x~;~y)$ un couple d'entiers relatifs non nuls $(x~;~y)$ solution de (E). Soit $d$ un diviseur commun à $x$ et $y$. Alors $d$ divise $x^2$, $y^2$, $8y^2$ et donc $d$ divise $x^2-8y^2$ donc $d$ divise 1. On en déduit que $d=1$ ou $d=-1$ ce qui veut dire que $x$ et $y$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie C : lien avec le calcul matriciel} %\medskip Soit $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$. On définit les entiers relatifs $x'$ et $y'$ par l'égalité : $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$. %\medskip \begin{enumerate} \item% Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et de $y$. $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x+8y\\x+3y\end{pmatrix} \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} x' & 3x+8y\\ y' & x+3y \end{array} \right. $ \item% Déterminer la matrice $A^{-1}$, puis exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$. La matrice $A$ a un déterminant égal à 1, donc non nul, donc elle admet une matrice inverse $A^{-1}$. Pour déterminer $A^{-1}$ on peut chercher la matrice carrée $A'=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ et résoudre le système de 4 équations à 4 inconnues $A\times A'= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$; enfin il faut vérifier que $A'\times A = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. On peut également déterminer $A^{-1}$ à la calculatrice et on trouve: $A^{-1} = \begin{pmatrix}3&-8\\-1&3\end{pmatrix}$. $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \iff A^{-1}\times\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix}3&-8\\-1&3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix}3x'-8y'\\-x'+3y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\ \phantom{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}} \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} x & 3x'-8y'\\ y & -x'+3y' \end{array} \right. $ \item% Démontrer que $(x~;~y)$ est solution de (E) si et seulement si $(x'~;~y')$ est solution de (E). $\begin{array}[t]{@{} l !{\Longleftrightarrow} l} (x~;~y) \text{ est solution de (E)} & x^2-8y^2=1\\ & \left(3x'-8y'\right)^2 - 8\left(-x'+3y'\right)^2=1\\ & 9x'^2 - 48 x'y' + 64y'^2 -8\left(x'^2-6x'y'+9y'^2\right)=1\\ & 9x'^2 - 48 x'y' + 64y'^2 -8x'^2 +48x'y' - 72y'^2 =1\\ & x'^2-8y'^2 = 1\\ & (x'~;~y') \text{ est solution de (E)} \end{array}$ \item On considère les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par $x_0 = 3$,\: $y_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$. %On admet que, ainsi définis, les nombres $x_n$ et $y_n$ sont des entiers naturels pour toute valeur de l'entier $n$. %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ est solution de (E). Soit $\mathcal P_n$ la propriété: $(x_n\,;\,y_n)$ est solution de (E). \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour $n=0$: $x_0=3$ et $y_0=1$ donc $x_0^2-8y_0^2=9-8=1$ donc $(x_0\,;\,y_0)$ est solution de (E). La propriété est vraie au rang 0. \item On suppose que la propriété est vraie à un rang $p$ ($p\pg 0$) c'est-à-dire que $(x_p\,;\,y_p)$ est solution de (E); c'est l'hypothèse de récurrence. On veut démontrer que $(x_{p+1}\,;\,y_{p+1})$ est solution de (E). On a vu dans la question précédente que si $(x\,;\, y)$ était solution de (E), alors $(x'\,;\, y')$ défini par $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ est aussi solution de (E). Comme $(x_{n}\,;\,y_{n})$ est solution de (E), on peut dire que $(x_{n+1}\,;\,y_{n+1})$ est solution de (E) puisque $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$. Donc la propriété est vraie au rang $p+1$. \item La propriété est vraie au rang 0; elle est héréditaire. Donc elle est vraie pour tout $n$. \end{list} Pour tout entier naturel $n$, le couple $(x_n\,;\,y_n)$ est solution de (E). \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie D : retour au problème initial} %\medskip %À l'aide des parties précédentes, déterminer un nombre triangulaire supérieur à \np{2015} qui est le carré d'un entier. On cherche un nombre triangulaire supérieur à \np{2015} qui est le carré d'un entier. \begin{list}{\textbullet}{} \item On cherche $n$ entier naturel tel que: $1+2+3+ \ldots +n \pg \np{2015}$.\\ Ce qui équivaut à $\dfrac{n(n+1)}{2}\pg \np{2015} \iff n^2+n-\np{4030}\pg 0$. L'équation $x^2+x-\np{4030}=0$ a pour solutions $\dfrac{-1-2\ds\sqrt{329}}{2}\approx -63,98$ et $\dfrac{-1+2\ds\sqrt{329}}{2}\approx 62,98$.\\[5pt] Pour que le nombre triangulaire soit supérieur à \np{2015}, il faut que $n\pg 63$. \item Dans la partie \textbf{A} on a vu qu'un nombre triangulaire $1+2+\ldots +n$ était un carré si et seulement s'il existait un entier $p$ tel que $(2n+1)^2-8p^2=1$. \item Dans la partie \textbf{C} on a déterminé une suite de couples $(x_n\,;\,y_n)$ qui étaient tous solutions de l'équation $x^2 - 8y^2 = 1$. \item On va donc chercher $n\pg 63$ tel que $(2n + 1)^2 - 8p^2=1$; si $n\pg 63$, alors $2n+1\pg 127$. Ce qui revient à chercher les couples $(x_n\,;\,y_n)$ solutions de (E) avec $x_n\pg 127$. \item En partant de $\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}$ et en multipliant successivement par la matrice $A$, on trouve comme solutions $\begin{pmatrix} 17\\6 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 99\\35 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 577\\204 \end{pmatrix}$ \ldots \item $577 = 2\times 288 +1$ donc un nombre triangulaire supérieur à \np{2015} est $1+2+3+ \ldots + 288 = \dfrac{288\times 289}{2} = \np{41616}$. \item On peut vérifier que $\np{41616} = 204^2$ (résultat en conformité avec la question \textbf{A. 2. a.}). \end{list} %%%%%%%%%%% fin Asie 16 juin 2015 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %%%%%%%%%%% Antilles-Guyane 22 juin 2015 \hypertarget{Antilles}{} \rfoot{\small 22 juin 2015} \lfoot{\small Antilles-Guyane} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Antilles-Guyane 22 juin 2015~\decofourright }}} \end{center} \phantomsection \label{Antilles} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$. % %Pour tout réel $a$ strictement positif, on définit sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction $g_a$ par % %$g_a(x) = ax^2$. % %On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Gamma_a$ celle de la fonction $g_a$ dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs du réel strictement positif $a$. % %\bigskip \textbf{Partie A} \medskip %On a construit en \textbf{annexe 1} (\emph{à rendre avec la copie}) les courbes $\mathcal{C}$, $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$. \medskip \begin{enumerate} \item %Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n'est demandée. Pour toutes les courbes, on a $g_a(1) = a$. Donc on a de bas en haut les courbes $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$. \item %Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de %$\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs (à préciser) du réel $a$. Les courbes $\Gamma_{0,05}$ et $\Gamma_{0,1}$ semblent sécantes à $\mathcal{C}$ en deux points ; La courbe $\Gamma_{0,19}$ semble être tangente à $\mathcal{C}$ ; La courbe $\Gamma_{0,4}$ et $\mathcal{C}$ semblent ne pas être sécantes. Il semble donc que : \begin{itemize} \item si $0< a < 0,19$, $\Gamma_a$ et $\mathcal{C}$ ont deux points communs ; \item si $a = 0,19$, $\Gamma_{0,19}$ et $\mathcal{C}$ ont un point commun ; \item si $a > 0,19$, $\Gamma_a$ et $\mathcal{C}$ n'ont pas de point commun. \end{itemize} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %Pour un réel $a$ strictement positif, on considère la fonction $h_a$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par % %\[h_a(x) = \ln x - ax^2.\] \begin{enumerate} \item %Justifier que $x$ est l'abscisse d'un point $M$ appartenant à l'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ si et seulement si $h_a (x) = 0.$ Si $m(x~;~y) \in \mathcal{C} \cap \Gamma_a$, alors $\ln x = ax^2 \iff \ln x- ax^2 = 0 \iff h_a(x) = 0$. Le nombre de points communs à $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ est donc égal au nombre de solutions de l'équation $h_a(x) = 0$. \item \begin{enumerate} \item ~%On admet que la fonction $h_a$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, et on note $h'_a$ la dérivée de la fonction $h_a$ sur cet intervalle. %Le tableau de variation de la fonction $h_a$ est donné ci-dessous. %Justifier, par le calcul, le signe de $h'_a(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3.25) \psframe(7,3.25)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3.25) \psline(1.1,0)(1.1,2.5)\psline(1.15,0)(1.15,2.5) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.125,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$\frac{1}{\sqrt{2a}}$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$h'_a(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$-$} \rput(0.5,1){$h_a(x)$} \uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$\frac{- 1 - \ln (2a)}{2}$} \psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} On a en fait : $h'_a(x) = \dfrac{1}{x} - 2ax = \dfrac{1 - 2ax^2}{x}$. Comme $x > 0$ et $a > 0$, le signe de $h'_a(x)$ est celui de $1 - 2ax^2$. Or $1 - 2ax^2 = 0 \iff 1 = 2ax^2 \iff \dfrac{1}{2a} = x^2 \iff x = \dfrac{1}{\sqrt{2a}}$. D'où le tableau de variation de $h_a$. \item %Rappeler la limite de $\frac{\ln x}{x}$ en $+ \infty$. En déduire la limite de la fonction $h_a$ en $+ \infty$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$. Comme $h_a(x) = x\left(\frac{\ln x}{x} - 2ax \right)$, on a donc : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\frac{\ln x}{x} - 2ax = - \infty$ et par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x\left(\frac{\ln x}{x} - 2ax \right) = - \infty$. %On ne demande pas de justifier la limite de $h_a$ en $0$. \end{enumerate} \item Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = 0,1$. \begin{enumerate} \item %Justifier que, dans l'intervalle $\left]0~;~\frac{1}{\sqrt{0,2}}\right]$, l'équation $h_{0,1}(x) = 0$ admet une unique solution. $h_{0,1}(x) = 0 \iff \ln x - 0,1 x^2 = 0$. Soit $i$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $i(x) = \ln x - 0,1 x^2$ ; cette fonction est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle : $i'(x) = \dfrac{1}{x} - 0,2x$. or $i'(x) = 0 \iff \dfrac{1}{x} - 0,2x = 0 \iff 1 = 0,2x^2 \iff 5 = x^2 \iff x = \sqrt{5}$. On a de même $i'(x) > 0 \iff \dfrac{1}{x} - 0,2x > 0 \iff 1 > 0,2x^2 \iff 5 > x^2 \iff x < \sqrt{5}$. Sur l'intervalle $\left]0~;~\sqrt{5}\right[$, la fonction $i$ est continue et strictement croissante de $- \infty$ à $\ln \sqrt{5} - 0,1 \times \left(\sqrt{5} \right)^2 = \dfrac{1}{2}\ln 5 - 0,5 \approx 0,3 > 0$ : la fonction $i$ s'annule donc une seule fois sur cet intervalle. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle $\left]\sqrt{5}~;~+ \infty \right[$. \item %Quel est le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{0,1}$ ? D'après la question précédente la courbe $\Gamma_{0,}$ et $\mathcal{C}$ ont deux points communs : l'un sur $]0~;~\sqrt{5}[$ et l'autre sur $\left]\sqrt{5}~;~+ \infty \right[$. \end{enumerate} \item Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = \frac{1}{2\text{e}}$. \begin{enumerate} \item %Déterminer la valeur du maximum de $h_{\frac{1}{2\text{e}}}$. Le tableau de variations montre que le maximum de $h_{\frac{1}{2\text{e}}}$ est égal à $\dfrac{- 1 - \ln \frac{1}{\text{e}}}{2} = \dfrac{- 1 + \ln \text{e}}{2} = 0$. \item %En déduire le nombre de points d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}$. Justifier. Le maximum étant nul, on en déduit que $h_{\frac{1}{2\text{e}}}(x) \leqslant 0 \iff \ln x \leqslant \frac{1}{2\text{e}}x^2$ ; autrement dit $\mathcal{C}$ est sous $\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}$, sauf pour $x = \dfrac{1}{\sqrt{2\frac{1}{2\text{e}}}} = \sqrt{\text{e}}$ où elles ont un seul point commun. \end{enumerate} \item %Quelles sont les valeurs de $a$ pour lesquelles $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{a}$ n'ont aucun point d'intersection ? %Justifier. On a vu que $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{a}$ n'ont aucun point d'intersection lorsque l'équation $h_a(x) = 0$ n'a pas de solution, c'est-à-dire lorsque le maximum de la fonction $h_a$ est inférieur à zéro, soit : $\dfrac{- 1 - \ln (2a)}{2} < 0 \iff - 1 - \ln (2a) < 0 \iff \ln 2a > - 1 \iff \text{e}^{\ln 2a} > \text{e}^{- 1} \iff$ $2a > \text{e}^{- 1} \iff a > \dfrac{1}{2\text{e}} \approx \np{0,18394} \approx 0,19$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip %On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. % %On rappelle que, pour tout réel $a$ strictement positif, % %\[P(X \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a \lambda\text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] % %On se propose de calculer l'espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$, et définie par % %\[E(X) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] % %On note $\R$ l'ensemble des nombres réels. % %On admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(t) = - \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t}$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t) = \lambda t \text{e}^{- \lambda t}$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Vérifier que %\[\displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}\left(- \lambda x \text{e}^{- \lambda x} - \text{e}^{- \lambda x} + 1\right).\] D'après l'indication : $\displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \left[- \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t} \right]_0^x = - \left(x + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda x} - \left[- \left(0 + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda \times 0}\right] = $ $\dfrac{1}{\lambda} - \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t} = \dfrac{1}{\lambda}\left[1 - x \lambda \text{e}^{- \lambda x} + \text{e}^{- \lambda x}\right]$ \item %En déduire que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$. De $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = 0$, on en déduit avec $\lambda > 0$, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- \lambda x} = 0$ et aussi $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x \lambda \text{e}^{- x} = 0$. Conclusion : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = \displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %La durée de vie, exprimée en années, d'un composant électronique peut être modélisée par une %variable aléatoire notée $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. % %La courbe de la fonction densité associée est représentée en \textbf{annexe 2}. % %\medskip \begin{enumerate} \item Sur le graphique de l'annexe 2 (à rendre avec la copie) : \begin{enumerate} \item %Représenter la probabilité $P(X \leqslant 1)$. Voir la surface hachurée sur l'annexe 2 à la fin. \item %Indiquer où se lit directement la valeur de $\lambda$. On lit comme ordonnée à l'origine $\lambda = 0,5$. \end{enumerate} \item On suppose que $E(X) = 2$. \begin{enumerate} \item %Que représente dans le cadre de l'exercice la valeur de l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ? $E(X) = 2$ signifie que la durée de vie d'un composant est en moyenne égale à 2 ans. \item %Calculer la valeur de $\lambda$. On a vu que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = 2 \iff \lambda = 0,5$. \item %Calculer $P(X \leqslant 2)$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $0,01$ près. On a : $P(X \leqslant 2) = \displaystyle\int_0^2 \lambda\text{e}^{- 0,5 t}\:\text{d}t = \left[- \text{e}^{- 0,5 t} \right]_0^2 = - \text{e}^{- 0,5 \times 2} - \left(\text{e}^{- 0,5 \times 0} \right) = 1 - \text{e}^{- 1} = \dfrac{\text{e} - 1}{\text{e}} \approx 0,632 \approx 0,63$ au centième près. %Interpréter ce résultat. Ce résultat est la probabilité qu'un composant ait une durée de vie inférieure à l'espérance $E(X)$. \item %Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d'au moins trois années ? On donnera la valeur exacte. Il faut trouver : $P_{(X \geqslant 1)}(X \geqslant 3) = P_{(X \geqslant 1)}(X \geqslant 2) = P(X \geqslant 2) = 1 - P(X \leqslant 2) = 1 - \left(1 - \text{e}^{- 1}\right) = \text{e}^{- 1}\approx 0,368$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip %Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2. %On note $D_1$ l'évènement \og le composant 1 est défaillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'évènement \og le composant 2 est défaillant avant un an \fg. % %On suppose que les deux événements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que % %$P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$. % %Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous : % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(10,3.4) %%\psgrid %\psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2) %\psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2) %\rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2} %\rput(2.5,0.2){Circuit en parallèle A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en série B} %\psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5) %\rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2} %\end{pspicture} %\end{center} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Lorsque les deux composants sont montés \og en parallèle \fg, le circuit A est défaillant %uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité %que le circuit A soit défaillant avant un an. Les évènements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants, donc : $P\left(D_1 \cap D_2 \right) = P\left(D_1\right) \times P\left(D_2 \right) = 0,39 \times 0,39 = \np{0,1521}$. \item %Lorsque les deux composants sont montés \og en série \fg, le circuit B est défaillant dès que l'unau moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit %défaillant avant un an. Ici la probabilité est égale à : $P\left(D_1 \cup D_2 \right) = P\left(D_1\right) + P\left(D_2\right) - P\left(D_1 \cap D_2 \right) = 0,39 + 0,39 - \np{0,1521} = \np{0,6279}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 4 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %On appelle $\C$ l'ensemble des nombres complexes. % %Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \Ouv{} on a placé un point $M$ d'affixe $z$ %appartenant à $\C$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre O passant par $M$ et du demi-axe %$\left[\text{O}~;~ \vect{u}\right)$. % \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-3,-2.7)(3,2.7) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-2.7)(3,2.7) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(1,1) \pscircle(0,0){2.6} \psdots(2.6;63)(2.6;0)(0;0)(1.879,1.158)(0.939,0.579) \uput[u](1.879,1.158){$I$}\uput[ul](0.939,0.579){$M'$} \uput[ur](2.6;63){$M$} \uput[dr](2.6;0){$R$}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psline(2.6;63)(2.6;0) \psline(2.6;31.5) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item %Exprimer l'affixe du point $R$ en fonction de $z$. Puisque O$M$ = O$R$, on a $\left|z_M \right| = \left|z_R \right| = |z|$. Comme $R$ a un argument égal à $0$ à $2\pi$ près on a $z_R = |z|$. \item %Soit le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .\] %Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M'$. L'affixe de $\dfrac{z + |z|}{2}$ est égale à la demi-somme des affixes de celles de $M$ et de $R$. Le point ayant cette affixe est donc le milieu $I$ du segment $[MR]$. Finalement le point $M'$ est le milieu de [O$I$]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\C$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence : % %\[z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.\] % %Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ? Si $z_0$ est un nombre réel négatif, on a $\left|z_0 \right| = - z_0$. D'où $z_1 = \dfrac{z_0 + \left|z_0 \right|}{4} = \dfrac{z_0 - z_0 }{4} = 0$ et tous les termes suivants de la suite sont nuls. La suite converge vers $0$. \item %Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ? Si $z_0$ est un nombre réel positif, on a $\left|z_0 \right| = z_0$. D'où $z_1 = \dfrac{z_0 + \left|z_0 \right|}{4} = \dfrac{z_0 + z_0}{4} = \dfrac{z_0}{2}$, puis $z_2 = \dfrac{z_1 + \left|z_1 \right|}{4} = \dfrac{\frac{z_0 }{2} + \frac{z_0 }{2}}{4} = \dfrac{z_0}{4}$. Montrons par récurrence que $z_n = \dfrac{z_0}{2^n}$. Initialisation : on vu que la relation est vraie pour $n = 0$. Hérédité : supposons qu'il existe $p \in \N$ tel que $z_p = \dfrac{z_0}{2^p}$ ; alors $z_{p+1} = \dfrac{z_p + \left|z_p \right|}{4} = \frac{\frac{z_0}{2^p} + \frac{z_0}{2^p} }{4} = \frac{\frac{z_0}{2^{p - 1}}}{2^2} = \frac{z_0}{2^{p+1}}$ : la relation est vraie au rang $p + 1$. On a donc démontré que pour tout naturel $u_n = \dfrac{z_0}{2^n}$. La suite $\left(z_n\right)$ est donc une suite géométrique de premier terme $z_0$ et de raison $\frac{1}{2}$. Comme $- 1 < \frac{1}{2} < 1$, on sait que cette suite converge vers $0$. \item %On suppose désormais que $z_0 $n'est pas un nombre réel. \begin{enumerate} \item %Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite %$\left(\left|z_n\right|\right)$ ? D'après la première construction, le module de $z_M'$ est inférieur à celui de $z_M$ et son argument est égal à la moitié. On peut donc conjecturer que la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ va elle aussi converger vers $0$. \item %Démontrer cette conjecture, puis conclure. On sait (inégalité triangulaire) que pour tous complexes $z_1$ et $z_2$, que $\left|z_1 + z_2 \right|\leqslant \left|z_1 \right| + \left|z_2 \right|$. En appliquant cette inégalité à $\frac{z_n}{4}$ et à $\frac{|z_n|}{4}$, on obtient : $\left|z_{n+1} \right| \leqslant \left|\frac{z_n}{4} \right| + \left| \frac{|z_n|}{4}\right|$ ou encore $\left|z_{n+1} \right| \leqslant \dfrac{2\left|z_n \right|}{4} $ ou $\left|z_{n+1} \right| \leqslant \dfrac{\left|z_n \right|}{2}$. On montre de la même façon que précédemment par récurrence que $\left|z_n \right| \leqslant \dfrac{\left|z_0 \right|}{2^n}$. La suite $\left(\dfrac{\left|z_0 \right|}{2^n} \right)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ qui converge vers $0$. Donc d'après le théorème des gendarmes la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ converge elle aussi vers $0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline Variables : &$k$ et $p$ sont des entiers naturels\\ &$u$ est un réel\\ Entrée : & Demander la valeur de $p$\\ Traitement :& Affecter à $u$ la valeur $5$\\ &\hspace{0.3mm}Pour $k$ variant de 1 à $p$\\ &\hspace{0.6mm}Affecter à $u$ la valeur $0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5$\\ &\hspace{0.3mm}Fin de pour\\ Sortie:& Afficher $u$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %Faire fonctionner cet algorithme pour $p = 2$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline valeur de $k$& &1&2\\ \hline valeur de $u$&5 &1&$-0,5$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %Quel nombre obtient-on en sortie ? On obtient en sortie : $- 0,5$. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par \[u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5.\] \begin{enumerate} \item %Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de 1 à $p$. Algorithme modifié : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline Variables : &$k$ et $p$ sont des entiers naturels\\ &$u$ est un réel\\ Entrée : & Demander la valeur de $p$\\ Traitement :& Affecter à $u$ la valeur $5$\\ &\hspace{0.3mm}Pour $k$ variant de 1 à $p$\\ &\hspace{0.6mm}Affecter à $u$ la valeur $0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5$\\ &\hspace{0.6mm}Afficher $u$\\ Sortie: &\hspace{0.3mm}Fin de pour \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item %À l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants : %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %$n$ &1 &2 &3 &4\\ \hline %$u_n$ &1 &$- 0,5$ & $-0,75$ &$- 0,375$\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} %Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ? %Justifier. Puisque $u_4 > u_3$ la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas décroissante, du moins pas avant le rang 4. \item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$. \emph{Initialisation} On vient de voir que $u_4 > u_3$ : la relation est vraie pour $n = 3$. \emph{Hérédité} On suppose qu'il existe un naturel $p$ tel que $u_{p+1} > u_p$. D'où $0,5u_{p+1} > 0,5u_p$ ; D'autre part : $p+1 > p \Rightarrow 0,5(p + 1) > 0,5p$ d'où par somme des ces deux dernières inégalités : $0,5u_{p+1} + 0,5(p + 1) > 0,5u_p + 0,5p$ et en ajoutant $- 1,5$ à chaque membre : $0,5u_{p+1} + 0,5(p + 1) - 1,5 > 0,5u_p + 0,5p - 1,5$ soit $u_{p+2} > u_{p+1}$ : la relation est vraie au rang $p + 1$. On a donc démontré que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$ ce qui montre que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante à partir du rang 4. %Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ? \item %Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$. %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$. Pour tout naturel $n$, on a : $v_{n+1} = 0,1u_{n+1} - 0,1(n + 1) + 0,5 = 0,1u_{n+1} - 0,1n + 0,4 = 0,1\left(0,5u_n + 0,5n - 1,5 \right) - 0,1n + 0,4 = 0,05u_n + 0,05n - 0,15 - 0,1n + 0,4 = 0,05u_n - 0,05n + 0,25 = 0,5\left(0,1u_n - 0,1n + 0,5 \right) = 0,5v_n$ : la suite $\left(v_n\right)$ rdy donc géométrique de raison 0,5. Le premier terme est : $v_0 = 0,1 \times 5 - 0,1 \times 0 + 0,5 = 1$. On a donc pour tout naturel $n$, \: $v_n = 1 \times 0,5^n = 0,5^n = \dfrac{1}{2^n}$. \item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$, %\[u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5.\] On a $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5 \iff 0,5^n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5 \iff 10\times 0,5^n = u_n - n + 5 \iff u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5$. \item % Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Comme $- 1 < 0,5 < 1$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,5^n = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n = + \infty$, on a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = + \infty$. La suite $\left(u_n\right)$ ne converge pas. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %Pour deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, on note $r(a,~b)$ le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$. % %On considère l'algorithme suivant : % %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline %Variables :&$c$ est un entier naturel\\ % &$a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls\\ %Entrées : &Demander $a$\\ % &Demander $b$\\ %Traitement: &Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\ % &Tant que $c \ne 0$\\ % &\hspace{0.5cm}Affecter à $a$ le nombre $b$\\ % &\hspace{0.5cm}Affecter à $b$ la valeur de $c$\\ % &\hspace{0.5cm}Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\ % &Fin Tant que\\ %Sortie : &Afficher $b$\\ \hline % \end{tabularx} % \end{center} \begin{enumerate} \item ~%Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 26$ et $b = 9$ en indiquant les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à chaque étape. \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline valeur de $a$&26&9&8\\ \hline valeur de $b$&9&8&1\\ \hline valeur de $c$&8&1&0\\ \hline Affichage &&&1\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item ~%Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls $a$ et $b$. %Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre %eux ou non. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline Variables :&$c$ est un entier naturel\\ &$a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls\\ Entrées : &Demander $a$\\ &Demander $b$\\ Traitement: &Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\ &Tant que $c \ne 0$\\ &\hspace{0.5cm}Affecter à $a$ le nombre $b$\\ &\hspace{0.5cm}Affecter à $b$ la valeur de $c$\\ &\hspace{0.5cm}Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\ &Fin Tant que\\ \hline Sortie : &Si $b = 1$\\ &\hspace{0.5cm}Afficher \og les nombres entrés sont premiers entre eux \fg\\ &Sinon \\ &\hspace{0.5cm}Afficher \og les nombres entrés ne sont pas premiers entre eux \fg\\ &Fin de Si\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %À chaque lettre de l'alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre %0 et 25. % %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline %0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline %N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline %13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} % %On définit un procédé de codage de la façon suivante : % %\textbf{Étape 1 :} on choisit deux entiers naturels $p$ et $q$ compris entre $0$ et $25$. % %\textbf{Étape 2 :} à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier $x$ correspondant dans le tableau ci-dessus. % %\textbf{Étape 3 :} on calcule l'entier $x'$ défini par les relations % %\[x' \equiv px + q\quad [26]\quad \text{et}\quad 0 \leqslant x' \leqslant 25.\] % %\textbf{Étape 4 :} à l'entier $x'$, on associe la lettre correspondante dans le tableau. % %\medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on choisit $p = 9$ et $q = 2$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J. Dans le tableau V correspond à 21, or $9 \times 21 + 2 = 189 + 2 = 191$ et $191 = 26 \times 7 + 9$ ; donc $x' \equiv 9\quad [26]$. Dans le tableau 9 correspond à la lettre J. \item %Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$. Donner sans justifier un couple $(u,~v)$ qui convient. 9 et 26 étant premiers entre eux, le théorème de Bezout permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$. Le couple $(3~;~- 1)$ est un couple simple solution de cette équation. \item %Démontrer que $x' \equiv 9x + 2\quad [26]$ équivaut à $x \equiv 3x' + 20\quad [26]$. On a $x' \equiv 9x + 2\quad [26] \iff $ il existe $k \in \Z,\:\: x' = 26k + 9x + 2 \iff $ $3x' = 26k' + 27x + 6\iff 3x' = 26k' + 26x + x + 6\iff 3x' = 26r'' + x + 6 \iff x = 26(- r'') + 3x' - 6 \iff x = 26(- r'') + 3x' + 20$, soit $x \equiv 3x' + 20\quad [26]$ \item %Décoder la lettre R. R correspond à $x' = 17$, donc $3x' + 20 = 51 + 20 = 71$ et $71 = 26 \times 2 + 19$, soit $71 \equiv 19 \quad [26]$. On a donc $x = 19$ qui correspond à la lettre T. \end{enumerate} \item %Dans cette question, on choisit $q = 2$ et $p$ est inconnu. On sait que J est codé par D. J correspond à $x = 9$ et D correspond à $x' = 3$. de plus $q = 2$ ; on a donc : $3 = 9p + 2 \quad [26] \iff 9p \equiv 1 \quad [26]$ ou encore $27p \equiv 3 \quad [26]$, mais on sait que $27 \equiv 1 \quad [26]$ ; il en résulte que $p \equiv 3 \quad [26]$ et comme $p$ est compris entre 0 et 25, on a donc $p = 3$. %Déterminer la valeur de $p$ (on admettra que $p$ est unique). \item %Dans cette question, on choisit $p = 13$ et $q = 2$. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ? B correspond à $x = 1$, d'où $x' = 13x + 2 \equiv 15 \quad [26]$ et 15 correspond à la lettre P. D correspond à $x = 3$, d'où $x' = 13x + 2 \equiv 41 \quad [26]$ et $41 \equiv 15 \quad [26]$ et 15 correspond à la lettre P. Conclusion : deux lettres différentes sont codées par la même lettre. Ce codage n'est pas bon puisque le décryptage donnera plusieurs solutions. \end{enumerate} %\vspace*{-15cm} \pagebreak \begin{landscape} \begin{center} \psset{unit=2.2cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.5,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=12](-0.5,-0.5)(7,5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(7,5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(7,5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.05 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.1 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.19 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.4 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.4}{7}{x ln} \rput{-90}(7.5,2.5){\textbf{\large ANNEXE 1 de l'exercice 1}} \uput[d](6.9,2.3){$\Gamma_{0,05}$} \uput[d](6.95,4.7){$\Gamma_{0,1}$} \uput[d](5.1,4.7){$\Gamma_{0,19}$} \uput[d](3.5,4.5){$\Gamma_{0,4}$} \rput{-90}(8,2.5){\textbf{\large À RENDRE AVEC LA COPIE}} \end{pspicture*} \end{center} \end{landscape} \newpage \begin{center} \textbf{\large à RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{0.5cm} \textbf{\large ANNEXE 2 de l'exercice 2} \vspace{0.5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=10cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-1,-0.1)(10.5,0.8) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,0.7)} \multido{\n=0.0+0.1}{8}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.15pt](0,\n)(10,\n)} %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=25] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(10.5,0.72) \psaxes[linewidth=0pt,Dy=0.1](0,0)(10.5,0.75) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.5}{0.5 2.71828 0.5 x mul exp div} \uput[u](10.3,0){$x$}\uput[r](0,0.68){$y$} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{0.5 2.71828 0.5 x mul exp div} \psline(1,0)(0,0)} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Antilles 22 juin 2015 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %%%%%%%%%%% Métropole--La Réunion 22 juin 2015 \hypertarget{Metropole}{} \lfoot{\small Métropole -- La Réunion} \rfoot{\small 22 juin 2015} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Métropole 22 juin 2015~\decofourright}}} \end{center} \phantomsection \label{Metropole} \subsection*{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}} %\textbf{Commun à tous les candidats} % %\medskip % %\emph{Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3}$ près.} % %\bigskip \subsubsection*{Partie 1} \medskip \begin{enumerate} \item %Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif donné. %On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction $f$ définie sur %$[0~;~+ \infty[$ par %\[f(x) = \lambda\text{e}^{- \lambda x}.\] \begin{enumerate} \item Soient $c$ et $d$ deux réels tels que $0 \leqslant c < d$. %Démontrer que la probabilité $P( c \leqslant X \leqslant d)$ vérifie $P(c \leqslant X \leqslant d) = \text{e}^{- \lambda c} - \text{e}^{- \lambda d}$. Par définition, $P(c\leqslant X\leqslant d)=\int_c^df(x)\text{ d}x=\int_c^d\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}=\left[-\mathrm{e}^{-\lambda x}\right]_c^d\\ =-\mathrm{e}^{-\lambda d}-\left(-\mathrm{e}^{-\lambda c}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{-\lambda c}-\mathrm{e}^{-\lambda d}}}$. \item %Déterminer une valeur de $\lambda$ à $10^{-3}$ près de telle sorte que la probabilité $P(X > 20)$ soit égale à 0,05. $P(X>20)=0,05\iff P(0\leqslant X\leqslant 20)=0,95\iff \mathrm{e}^{-\lambda\times 0}-\mathrm{e}^{-\lambda\times 20}=0,95\iff 1-\mathrm{e}^{-20\lambda}=0,95\iff \mathrm{e}^{-20\lambda}=0,05\iff -20\lambda=\ln 0,05\iff \lambda=\dfrac{\ln 0,05}{-20} \approx \boxed{\textcolor{red}{0,150}}$. \item %Donner l'espérance de la variable aléatoire $X$ On sait que l'espérance d'une loi exponentielle est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\approx \boxed{\textcolor{red}{6,676}}$. \medskip \textbf{Dans la suite de l'exercice on prend } \boldmath$\lambda = 0,15$\unboldmath. \item %Calculer $P(10 \leqslant X \leqslant 20)$. $P(10 \leqslant X \leqslant 20)=\mathrm{e}^{-10\lambda}-\mathrm{e}^{-20\lambda}=\mathrm{e}^{-1,5}-\mathrm{e}^{-3}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,173}}$. \item %Calculer la probabilité de l'évènement $(X > 18)$. $P(X>18)=1-P(0\leqslant X\leqslant 18)=\mathrm{e}^{-18\lambda}=\mathrm{e}^{-27}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,067}}$. \end{enumerate} \item Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $16$ et d'écart type $1,95$. \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité de l'évènement $(20 \leqslant Y \leqslant 21)$. $P(20 \leqslant Y \leqslant 21)\approx \boxed{\textcolor{red}{0,015}}$. \item %Calculer la probabilité de l'évènement $(Y < 11) \cup (Y > 21)$. $P((Y < 11) \cup (Y > 21))=1-P(11\leqslant Y\leqslant 21)\approx \boxed{\textcolor{red}{0,010}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie 2} \medskip %Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients %privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant. % %Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts. % %Les bons d'achat verts prennent la valeur de $30$~euros avec une probabilité égale à $0,067$ ou des valeurs comprises entre $0$ et $15$~euros avec des probabilités non précisées ici. % %De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs $30$ ou $100$~euros avec des probabilités respectivement égales à $0,015$ et $0,010$ ou des valeurs comprises entre $10$ et $20$~euros avec des probabilités non précisées ici. \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à $30$~euros sachant qu'il est rouge. Notons : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item R l'évènement \og{}le bon d'achat est rouge\fg. \item V l'évènement \og{}le bon d'achat est vert\fg. \item T : l'évènement \og{}avoir un un bon d'achat de trente \euro\fg. \item C : l'évènement \og{}avoir un un bon d'achat de cent \euro\fg. \item A : l'évènement \og{}avoir un un bon d'achat d'une autre valeur\fg. \item S : l'évènement \og{}avoir un un bon d'achat d'un montant supérieur ou égal à 30 \euro\fg. \end{enumerate} ,L'arbre correspondant est alors : \begin{center} %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \psset{nodesep=0mm,levelsep=40mm,treesep=10mm,nrot=:U} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\naput{ $0,75$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\naput{ $0,067$} \Tdot~[tnpos=r]{autre montant}\nbput{ $0,933$} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\nbput{ $0,25$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\naput{ $0,015$} \Tdot~[tnpos=r]{$C$}\naput{\hspace{15mm} $0,010$} \Tdot~[tnpos=r]{autre montant}\nbput{ $0,975$} } } \end{center} On a : $P_R(S)=P_R(T\cup C)=p_R(T)+P_R(C)=0,015+0,010 = \boxed{\textcolor{red}{0,025}}$. \item %Montrer qu'une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à $30$~euros vaut $0,057$. $P(S) = P(R\cap S)+ P(V\cap S)=0,75\times 0,067+0,25\times 0,025 = 0,0566\approx \boxed{\textcolor{red}{0,057}}$. \textbf{Pour la question suivante, on utilise cette valeur.} \item %Dans un des magasins de cette chaîne, sur $200$ clients privilégiés, $6$ ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à $30$~\euro. %\smallskip % %Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition %au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne. %Ses doutes sont-ils justifiés ? La probabilité d'avoir un bon d'un montant supérieur ou égal à 30 \euro est $p=0,057$. \noindent La fréquence observée est $f=\dfrac{6}{200}=\dfrac{3}{100}=0,03$. \noindent La taille de léchantillon est $n=200$. \noindent On a $n=200\geqslant 30$ ; $np=11,4\geqslant 5$ et $n(1-p)=188,6\geqslant 5$. \noindent On peut donc utiliser la formule donnant l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\%. $I_{200}=\left[p-1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,024~;~0,090]}}$. \noindent $f=0,03\in I$. Les doutes du directeur du magasin ne sont donc pas justifiés au seuil de confiance de 95\:\%. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 2 \hfill 3 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans un repère orthonormé (O,~I,~J,~K) d'unité 1 cm, on considère les points A$(0~;~-1~;~5)$, B$(2~;~-1~;~5)$, C$(11~;~0~;~1)$, D$(11~;~4~;~4)$. %\medskip % %Un point $M$ se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1~cm par seconde. % %Un point $N$ se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1~cm par seconde. % %À l'instant $t = 0$ le point $M$ est en A et le point $N$ est en C. % %On note $M_t$ et $N_t$ les positions des points $M$ et $N$ au bout de $t$ secondes, $t$ désignant un nombre réel positif. % %On admet que $M_t$ et $N_t$, ont pour coordonnées : $M_t(t~;~-1~;~5)$ et $N_t(11~;~0,8t~;~1 + 0,6 t)$. % %\medskip % %\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.} % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ? Un vecteur directeur de la droite (AB) est $\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=2\overrightarrow{\text{OI}}$. La droite (AB) est donc parallèle à l'axe (OI). \item %La droite (CD) se trouve dans un plan $\mathcal{P}$ parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). %Lequel ? On donnera une équation de ce plan $\mathcal{P}$. On a $x_C=x_D=11$ donc la droite (CD) est incluse dans le plan $\mathcal{P}$ d'équation $\boxed{\textcolor{red}{x=11}}$. \item %Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan $\mathcal{P}$, coupe ce plan au point E$(11~;~-1~;~5)$. (AB) est parallèle à (OI) et (OI) est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ donc (AB) est orthogonale à $\mathcal{P}$. Le point d'intersection E a des coordonnées $(x~;~y~;~z) $ qui vérifient l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$ et la représentation paramétrique de $\mathcal{P}$. On doit avoir : $\left\{\begin{array}{l}x=11\\x=t\\y=-1\\z=5\end{array}\right.$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{E}(11~;~-1~;~5)}}$. \item %Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ? Une représentation paramétrique de (AB) est $\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=-1\\z=5\end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$ et une représentation paramétrique de (CD) est $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&11\\y&=&0,8t'\\z&=&1+0,6t'\end{array}\right.,~t'\in~\mathbb{R}$. On résout le système $\left\{\begin{array}{l c l} t&=&11\\-1&=&0,8t'\\5z&=&1+0,6t'\end{array}\right.$ qui n'a pas de solutions, car on trouve $t'$ négatif, donc $1+0,6t'<5$. Les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que $M_tN_t^2 = 2 t^2 - 25,2 t + 138$. $\overrightarrow{M_tN_t}\begin{pmatrix}11-t\\0,8t+1\\0,6t-4\end{pmatrix}$ donc $M_tN_t=\sqrt{(11-t)^2+(0,8t+1)^2+(0,6t-4)^2}\\ =\sqrt{121-22t+t^2+0,64t^2-1,6t+1+0,36t^2-4,8t+16}=$ $\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2t^2-25,2t+138}}}$. \item %À quel instant $t$ la longueur $M_tN_t$ est-elle minimale? $M_tN_t$ est positif, donc est minimale quand son carré est minimal. \noindent On considère la fonction $f:t\mapsto 2t^2-25,2t+138$ ; $f$ est une fonction du second degré ; le coefficient de $t^2$ est 2. Le minimum est atteint pour $t=\dfrac{25,2}{4}=6,3$. \noindent La distance est \textbf{\textcolor{red}{minimale}} pour $\boxed{\textcolor{red}{t=6,3~ \text{s}}}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation CE) d'inconnue $z$ : %\[z^2 - 8z + 64 = 0.\] Soit l'équation $z^2 - 8z + 64 = 0$. \noindent $\Delta=64-4\times 64=-3\times 64<0$. \noindent L'équation a deux solutions complexes conjuguées : \noindent $z_1=\dfrac{8+\mathrm{i}\sqrt{3\times 64}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{4+4\sqrt{3}}}$ et $z_2=\overline{z_1}=\boxed{\textcolor{red}{4-4\mathrm{i}\sqrt{3}}}$. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. \item On considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 4 + 4\text{i}\sqrt{3}$,\: \\ $b = 4 - 4\text{i}\sqrt{3}$ et $c = 8\text{i}$. (figure à la fin de l'exercice) \begin{enumerate} \item %Calculer le module et un argument du nombre $a$. $\vert a\vert=\vert 4+4\mathrm{i}\sqrt{3}\vert=4\vert1+\mathrm{i}\sqrt{3}\vert=4\times 2=\boxed{\textcolor{red}{8}}$. On en déduit $a=8\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi{3}}$. un argument de $a$ est donc $\dfrac{\pi}{3}$. \item %Donner la forme exponentielle des nombres $a$ et $b$. On a trouvé $a=4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$ et $b = \overline{a}=4\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$. \item %Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle ce de centre O dont on déterminera le rayon. $\vert a\vert=8$~;~$\vert b\vert=\left\vert \overline{a}\right\vert=\vert a\vert=8$ et $\vert c\vert=\vert8\mathrm{i}\vert=8$. Les points A, B et C sont donc sur le cercle de centre 0 et de rayon 8. \item %Placer les points A, B et C dans le repère -$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. Voir figure en fin d'exercice. \end{enumerate} \smallskip %Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question \textbf{2. d.} complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions. \item On considère les points A$'$, B$'$ et C$'$ d'affixes respectives $a' = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, $b' = b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $c' = c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \begin{enumerate} \item %Montrer que $b' = 8$. $b'=b\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}=8\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi3}\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}=\boxed{\textcolor{red}{8}}$. \item %Calculer le module et un argument du nombre $a'$. $\vert a' \vert=\left\vert a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3} \right\vert=\vert a \vert\times \left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3} \right\vert=\vert a \vert=\boxed{\textcolor{red}{8}}$ car $\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right \vert=1$ pour tout $\theta$ réel. $\arg(a')=\arg\left(a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}\right)=\arg(a)+\arg\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}\right)=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2\pi}{3}}}$ \end{enumerate} Pour la suite on admet que $a' = -4 + 4\text{i}\sqrt{3}$ et $c' = - 4\sqrt{3} + 4\text{i}$. \item %On admet que si $M$ et $N$ sont deux points du plan d'affixes respectives $m$ et $n$ alors le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour affixe $\dfrac{m + n}{2}$ et la longueur $MN$ est égale à $|n - m|$. \begin{enumerate} \item On note $r$, $s$ et $t$ les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A$'$B],\: [B$'$C] et [C$'$A]. %Calculer $r$ et $s$. On admet que $t = 2 - 2\sqrt{3} + \text{i}\left(2 + 2\sqrt{3}\right)$. On a : $r=\dfrac{a'+b}{2}=\dfrac{-4+4\mathrm{i}\sqrt{3}+4-4\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{0}}$. \noindent $s=\dfrac{b'+c}{2}=\dfrac{8+8\mathrm{i}}{2}=4+4\mathrm{i}$. \noindent On a admis que $t = 2 - 2\sqrt{3} + \text{i}\left(2 + 2\sqrt{3}\right)$. \item %Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat. Il semble que la figure que RST soit un triangle équilatéral. \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $RS=\vert s-r \vert=\vert 4+4\mathrm{i} \vert=4\vert 1+\mathrm{i} \vert=\boxed{\textcolor{red}{4\sqrt{2}}}$. \item $ST=\vert t-s \vert=\vert -2-2\sqrt{3}+\mathrm{i}\left(-2+2\sqrt{3}\right) \vert=2\vert -1-\sqrt{3}+\mathrm{i}\left(-1+\sqrt{3}\right) \vert\\ =2\sqrt{\left(-1-\sqrt{3}\right)^2+\left(-1+\sqrt{3}\right)^2}=2\sqrt{\left(1+2\sqrt{3}+3+1-2\sqrt{3}+3\right)}=2\sqrt{8}\\ =\boxed{\textcolor{red}{4\sqrt{2}}}$. \item $RT=\vert t-s \vert=\vert -2-2\sqrt{3}+\mathrm{i}(-2+2\sqrt{3}) \vert\\ =2\vert -1-\sqrt{3}+\mathrm{i}(-1+\sqrt{3}) \vert=2\sqrt{1+2\sqrt{3}+3+1-2\sqrt{3}+3}=2\sqrt{8}\\ =\boxed{\textcolor{red}{4\sqrt{2}}}$. \end{enumerate} $RS=ST=RT=4\sqrt{2}$ donc le triangle RST est \textbf{\textcolor{red}{équilatéral}}. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-9.,-9.)(9.,9.) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid,opacity=0.3](0.,0.)(4.,4.)(-1.4641016151377544,5.464101615137755) \psellipse(0.,0.)(8.,8.) \psline(-4.,6.92820323027551)(4.,-6.928203230275509) \psline(8.,0.)(0.,8.) \psline(-6.928203230275509,4.)(4.,6.928203230275509) \psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(4.,4.) \psline[linecolor=zzttqq](4.,4.)(-1.4641016151377544,5.464101615137755) \psline[linecolor=zzttqq](-1.4641016151377544,5.464101615137755)(0.,0.) \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,6.928203230275509) \rput[bl](4.169401790290362,7.161121938954711){\blue{$A$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,-6.928203230275509) \rput[bl](4.169401790290362,-6.701250295749133){\blue{$B$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,8.) \rput[bl](0.14612708998838755,8.236650819233457){\blue{$C$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.) \rput[bl](0.14612708998838755,0.22993582160278905){\blue{$O=R$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4.,6.92820323027551) \rput[bl](-3.8373132073402996,7.161121938954711){\blue{$A'$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.,0.) \rput[bl](8.15284208761905,0.22993582160278905){\blue{$B'$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-6.928203230275509,4.) \rput[bl](-6.785059027363528,4.253210521904767){\blue{$C'$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.) %\rput[bl](0.14612708998838755,0.22993582160278905){\darkgray{$R$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.,4.) \rput[bl](4.169401790290362,4.253210521904767){\darkgray{$S$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1.4641016151377544,5.464101615137755) \rput[bl](-1.28791141704994,5.6872490289430955){\darkgray{$T$}} \psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=gray](-9.,-9.)(9.,9.) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0, subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-9.,-9.)(9.,9.) \end{pspicture*} \end{center} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %\begin{enumerate} %\item On considère l'équation (E) à résoudre dans $\Z$ : % %\[7 x - 5 y = 1.\] % % \begin{enumerate} % \item Vérifier que le couple (3~;~4) est solution de (E). % \item Montrer que le couple d'entiers (x~;~y) est solution de (E) si et seulement si %$7(x - 3) = 5(y - 4)$. % \item Montrer que les solutions entières de l'équation CE) sont exactement les couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs tels que : % %\[\left\{\begin{array}{l c l} %x &=&5k + 3\\ %y &=&7k + 4 %\end{array}\right.\:où k \in \Z.\] % \end{enumerate} %\item Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons il y a $x$ jetons rouges et $y$ jetons verts. Sachant que $7x - 5 y = 1$, quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs ? % %\smallskip % %Dans la suite, on supposera qu'il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts. %\item On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC. A chaque étape, on tire %au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte. %Lorsqu'on est en A : % %Si le jeton tiré est rouge, le pion va en B. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en A. % %Lorsqu'on est en B : % %Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en B. % %Lorsqu'on est en C : Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en B. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en C. % %Au départ, le pion est sur le sommet A. % %Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$,\: $b_n$ et $c_n$ les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape $n$. % %On note $X_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n& b_n& c_n\end{pmatrix}$ et $T$ la matrice $\begin{pmatrix}0,72 &0,12 &0,16\\ %0,12 &0,72 &0,16\\ %0,12& 0,16& 0,72\end{pmatrix}$. % %Donner la matrice ligne $X_0$ et montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: % %$X_{n+1} = X_nT$. %\item On admet que $T = PDP^{-1}$ où $P^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{3}{10}&\frac{37}{110}&\frac{4}{11}\\ \frac{1}{10}&- \frac{1}{10}&0\\0&\frac{1}{11}&- \frac{1}{11}\end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}1&0&0&\\0&0,6&0\\0&0&0,56\end{pmatrix}$. % \begin{enumerate} % \item À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice $P$. On pourra remarquer qu'ils sont entiers. % \item Montrer que $T^n = PD^nP^{-1}$. % \item Donner sans justification les coefficients de la matrice $D^n$. % %On note $\alpha_n,\:\beta_n,\:\gamma_n$ les coefficients de la première ligne de la matrice $T^n$ ainsi : % %\[T^n = \begin{pmatrix}\alpha_n&\beta_n&\gamma_n\\\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots\end{pmatrix}.\] % %On admet que $\alpha_n = \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10} \times 0,6^n$ et $\beta_n = \dfrac{37 - 77 \times 0,6^n + 40 \times 0,56^n}{110}$. % %On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne. % \end{enumerate} %\item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$,\: $X_n = X_0T^n$. % \begin{enumerate} % \item Déterminer les nombres $a_n$,\: $b_n$, à l'aide des coefficients $\alpha_n$ et $\beta_n$. En déduire $c_n$. % \item Déterminer les limites des suites $\left(a_n\right)$,\: $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$. % \item Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire? % \end{enumerate} %\end{enumerate} %\subsection*{Exercice 3 \hfill (5 points) \hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) à résoudre dans $\Z$: $7x-5y=1$. \begin{enumerate} \item $7 \times 3 - 5\times 4 = 21-20=1$ donc $(3\,;\,4)$ est solution de (E). \item% \null\\[-10pt] %\begin{list}{\textbullet}{} %\item %$\begin{array}[t]{@{} l c !{-} c !{=} l} %\text{Le couple } (x\,;\,y) \text{ est solution de (E) donc: } & 7\times x & 5 \times y & 1\\ %\text{Le couple } (3\,;\,4) \text{ est solution de (E) donc: } & 7\times 3 & 5 \times 4 & 1\\ %\cline{2-4} %\text{Par soustraction membre à membre: } & 7(x-3) & 5(y-4) & 0 %\end{array}$ \\ %donc $7(x-3)=5(y-4)$. % % \item Réciproquement, si le couple $(x\,;\,y)$ est tel que $7(x-3)=5(y-4)$, on peut dire que $7(x-3)-5(y-4) = 0 \iff 7x-21-5y+20 = 0 \iff 7x-5y=1$, et donc que le couple $(x\,;\,y)$ est solution de (E). % \item Donc le couple d'entiers $(x\,;\,y)$ est solution de (E) si et seulement si $7(x-3)=5(y-4)$. % %\end{list} $(x\,;\,y)$ solution de (E) $\iff 7x-5y=1 \iff 7x-21=5y-20 \iff 7(x-3)=5(x-4)$ \item \begin{list}{\textbullet}{} \item Soit $(x\,;\, y)$ un couple d'entiers solution de (E), ce qui équivaut à $7(x-3)=5(y-4)$. $7(x-3)=5(y-4)$ entraîne que 7 divise $5(y-4)$; or 7 et 5 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise $y-4$. Donc il existe un entier relatif $k$ tel que $y-4=7k$ ce qui équivaut à $y=7k+4$ avec $k\in \Z$. \smallskip Comme $7(x-3)=5(y-4)$ et $y-4=7k$, cela implique que $7(x-3)=5\times 7k$ ce qui équivaut à $x-3=5k$ ou encore $x=5k+3$. \smallskip Donc si $(x\,;\, y)$ est solution de (E), alors $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x & 5k+3\\ y & 7k+4 \end{array} \right. \text{ où } k \in \Z$ \item Réciproquement, si le couple d'entiers $(x\,;\, y)$ est tel que $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x & 5k+3\\ y & 7k+4 \end{array} \right. \text{ où } k \in \Z$, alors $7x-5y= 7(5k+3)-5(7k+4) = 35k + 21 -35k -20 = 1$ donc $(x\,;\, y)$ est solution de (E). \item Donc les solutions entières de l'équation (E) sont exactement les couples $(x\,;\, y)$ d'entiers relatifs tels que $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x & 5k+3\\ y & 7k+4 \end{array} \right. \text{ où } k \in~\Z$ \end{list} \end{enumerate} \item Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons il y a $x$ jetons rouges et $y$ jetons verts. On sait que $7x-5y=1$. D'après la question \textbf{1}, on peut dire que $x=5k+3$ et $y=7k+4$ avec $k$ entier relatif. Le nombre de jetons est un nombre positif, et ne doit pas dépasser 25 qui est le nombre total de jetons dans la boîte. Pour $k=0$, $x=3$ et $y=4$; il peut donc y avoir 3 jetons rouges, 4 jetons verts et $25-3-4=18$ jetons blancs. Pour $k=1$, $x=8$ et $y=11$; il peut donc y avoir 8 jetons rouges, 11 jetons verts et $25-8-11=6$ jetons blancs. Les autres valeurs de $k$ ne donnent pas de résultats répondant au problème. \end{enumerate} \textbf{Dans la suite, on supposera qu'il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts.} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item Comme au départ c'est-à-dire pour $n=0$, le pion est en A, on peut dire que $X_0=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. D'après le texte, on tire au hasard un pion dans la boîte, donc il y a équiprobabilité. Il y a 3 pions rouges sur 25 donc la probabilité de tirer un pion rouge est $\dfrac{3}{25}=0,12$. On calcule de même la probabilité de tirer un pion vert: $\dfrac{4}{25}=016$ et la probabilité de tirer un pion blanc: $\dfrac{18}{25}=0,72$. On cherche la probabilité $a_{n+1}$ qu'à l'étape $n+1$ le pion soit en A. S'il était en A à l'étape $n$, il faut tirer une boule blanche pour qu'il y reste, ce qui se fait avec une probabilité de 0,72. Comme il avait une probabilité égale à $a_{n}$ d'être en A à l'étape $n$, on retient $0,72a_{n}$. S'il était en B à l'étape $n$, il faut tirer une boule rouge pour qu'il passe en A, ce qui se fait avec une probabilité de 0,12. Comme il avait une probabilité égale à $b_{n}$ d'être en B à l'étape $n$, on retient $0,12b_{n}$. S'il était en C à l'étape $n$, il faut tirer une boule rouge pour qu'il passe en A, ce qui se fait avec une probabilité de 0,12. Comme il avait une probabilité égale à $c_{n}$ d'être en C à l'étape $n$, on retient $0,12c_{n}$. On peut donc dire que: $a_{n+1}=0,72a_n+0,12b_n+0,12c_n$. On justifie de la même façon $b_{n+1}$ et $c_{n+1}$ et l'on a: $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} c !{+} c !{+} c} a_{n+1} & 0,72 a_n & 0,12 b_n & 0,12 c_n\\ b_{n+1} & 0,12 a_n & 0,72 b_n & 0,16 c_n\\ c_{n+1} & 0,16 a_n & 0,16 b_n & 0,72 c_n \end{array} \right.$ ce qui donne sous forme matricielle $\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} & c_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} & c_{n} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,72 & 0,12 & 0,16 \\ 0,12 & 0,72 & 0,16 \\ 0,12 & 0,16 & 0,72 \end{pmatrix}$ soit $X_{n+1}=X_{n}T$ où $T= \begin{pmatrix} 0,72 & 0,12 & 0,16 \\ 0,12 & 0,72 & 0,16 \\ 0,12 & 0,16 & 0,72 \end{pmatrix}$ \emph{La situation décrite dans le texte peut être modélisée par le graphe ci-dessous:} \begin{center} \begin{pspicture}(-2,-6)(8,1) %\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1) \psnode(0,0){A}{\red \boldmath A} \psnode(6,0){B}{\boldmath B} \psnode(3,-4.2){C}{\blue \boldmath C} \psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3} \ncarc[linecolor=red]{->}{A}{B} \Aput{\red 0,12} \ncarc[linecolor=red]{->}{A}{C} \Aput{\red 0,16} \nccircle[angleA=60,linecolor=red]{->}{A}{.5cm} \Bput{\red 0,72} \ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,12} \ncarc{->}{B}{C} \Aput{0,16} \nccircle[angleA=-60]{->}{B}{.5cm} \Bput{0,72} \ncarc[linecolor=blue]{->}{C}{A} \Aput{\blue 0,12} \ncarc[linecolor=blue]{->}{C}{B} \Aput{\blue 0,16} \nccircle[angleA=180,linecolor=blue]{->}{C}{.5cm} \Bput{\blue 0,72} \end{pspicture} \end{center} \emph{La matrice $T$ est alors la matrice de transition de ce graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre A, B, C.} \item On admet que $T=PDP^{-1}$ où $P^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{3}{10} & \dfrac{37}{110} & \dfrac{4}{11} \\[7pt] \dfrac{1}{10} & -\dfrac{1}{10} & 0 \\[7pt] 0 & \dfrac{1}{11} & -\dfrac{1}{11} \end{pmatrix}$ et $D= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,6 & 0 \\ 0 & 0 & 0,56 \end{pmatrix}$ \begin{enumerate} \item On sait que $P=\left (P^{-1}\right )^{-1}$; on cherche donc à la calculatrice l'inverse de la matrice $P^{-1}$ et on trouve: $P= \begin{pmatrix} 1 & 7 & 4 \\ 1 & -3 & 4 \\ 1 & -3 & -7 \end{pmatrix}$ \item On va démontrer par récurrence sur $n$ ($n \geqslant 1$) la propriété $\mathcal P_n$: $T^n=PD^nP^{-1}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item On sait que $T=PDP^{-1}$ donc $T=PD^1P^{-1}$ et donc la propriété est vraie au rang $n=1$. \item On suppose la propriété vraie à un rang $p$ ($p \geqslant 1)$, c'est-à-dire $T^p=PD^pP^{-1}$; c'est l'hypothèse de récurrence. On veut démontrer que la propriété est vraie au rang $p+1$. $T^{p+1} = T^p\times T$; d'après l'hypothèse de récurrence, $T^p=PD^nP^{-1}$ et on sait que $T=PDP^{-1}$. Donc $T^{p+1} = PD^pP^{-1}\times PDP^{-1} = PD^pP^{-1}PDP^{-1}= PD^{p+1}P^{-1}$ et donc la propriété est vraie au rang $p+1$. \item La propriété est vraie au rang 1, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n \geqslant 1$. \end{list} On a donc démontré que, pour tout $n\in \N^*$, $T^n=PD^nP^{-1}$. \item La matrice $D$ est une matrice diagonale; $D^n= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,6^n & 0 \\ 0 & 0 & 0,56^n \end{pmatrix}$ \end{enumerate} \end{enumerate} On note $\alpha_n$, $\beta_n$, $\gamma_n$ les coefficients de la première ligne de la matrice $T^n$; ainsi $T^n= \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n & \gamma_n \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{pmatrix}$ On admet que $\alpha_n = \dfrac{3}{10}+\dfrac{7}{10}\times 0,6^n$ et $\beta_n=\dfrac{37-77\times 0,6^n +40\times 0,56^n}{110}$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{4} \item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, $X_n=X_0T^n$. \begin{enumerate} \item $X_n = \begin{pmatrix} a_n & b_n & c_n \end{pmatrix}$ et $X_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ $X_n=X_0T^n \iff \begin{pmatrix} a_n & b_n & c_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n & \gamma_n \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{pmatrix}\\ \phantom{X_n=X_0T^n} \iff \begin{pmatrix} a_n & b_n & c_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n & \gamma_n \end{pmatrix} $ Donc $a_n=\alpha_n$ et $b_n=\beta_n$. Or comme à chaque étape, le pion est soit en A, soit en B, soit en C, $a_n+b_n+c_n=1$ et donc $c_n=1-a_n-b_n=1-\alpha_n-\beta_n$. \item $a_n=\dfrac{3}{10}+\dfrac{7}{10}\times 0,6^n$; or $-1<0,6<1$ donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}0,6^n=0$ d'où l'on déduit que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n=\dfrac{3}{10}$. $b_n==\dfrac{37-77\times 0,6^n +40\times 0,56^n}{110}$; or $- 1 < 0,56 < 1$ donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}0,56^n=0$ et comme $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}0,6^n=0$, on peut en déduire que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}b_n=\dfrac{37}{110}$. $c_n=1-a_n-b_n$ donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}c_n = 1-\dfrac{3}{10} - \dfrac{37}{110} = \dfrac{4}{11}$. \item $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}a_n=\dfrac{3}{10}=\dfrac{33}{110}$; $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}b_n=\dfrac{37}{110}$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}c_n=\dfrac{4}{11}=\dfrac{40}{110}$ Le sommet sur lequel on a le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations est le sommet qui a la plus grande probabilité au rang $n$; c'est donc le sommet C. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 4 \hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \parbox{0.63\linewidth}{\psset{unit=0.3cm} \begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(29,19) \psaxes[linewidth=1.pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add} \rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}} \pspolygon(20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C \psline(0,7.07)(7.07,14.14)%BB' \psline[linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07) \psline[linestyle=dashed](7.07,7.07)(7.07,14.14) \uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){A} \uput[l](0,7.07){B} \uput[ul](7.07,14.14){B$'$} \uput[dr](20,10.935){C} \uput[dr](27.07,18.005){C$'$} \uput[d](20,0){D} \uput[dr](27.07,7.07){D$'$} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \end{pspicture} }\hfill \parbox{0.35\linewidth}{Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune. Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD$'$D, DD$'$C$'$C, et OAB$'$B sont des rectangles. Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD$'$ = 10, sa longueur OD est de 20~mètres.} \bigskip \textbf{Le but dit problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.} \medskip Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par $f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - 3x + 7$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère (O, I, J). \medskip \subsubsection*{Partie 1} \begin{enumerate} \item %Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle %[0~;~20], on a $f'(x) = \ln (x + 1) -2$. $f=u\ln(u)+v$ avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=-2x+7$. \noindent $f$ est dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables. \noindent $f'=u'\ln(u)+u\times \dfrac{u'}{u}+v'$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=-3$ d'où $f'(x)=1\times \ln(x+1)+(x+1)\dfrac{1}{x+1}-3=\ln(x+1)+1-3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\ln(x+1)-2}}$. \item %En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; 20] %et dresser son tableau de variation. $f'(x)=0\iff \ln(x+1)=2\iff x+1-\mathrm{e}^{2}\iff x=\mathrm{e}^{2}-1$. \noindent $f'(x)>0\iff \ln (x+1)>2\iff x+1>\mathrm{e}^{2}$ (croissance de la fonction $\exp$) d'où $x>\mathrm{e}^{2}$-1. \noindent On en déduit le tableau de variation de $f$ : %\begin{center} %\begin{variations} %x&0&&\mathrm{e}^{2}-1&&20\\ %\filet %f'(x)&&-&\z&+&\\ %\filet %\m{f(x)}&\h{7}&\d&f\left(\mathrm{e}^{2}-1\right)\approx 2,6&\c&\h{f(20)\approx 10,93}\\ %\filet %\end{variations} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *4{c} c|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & \e^{2}-1 & \hspace*{\esp} & 20 \\ \hline f'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & \Rnode{max1}{7} & & & & \Rnode{max2}{f(20)\approx 10,93} \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min}{f(\e^{2}-1)\approx 2,6} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item %Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. $f'(0)=1\ln(1)-2=\boxed{\textcolor{red}{-2}}$. \end{enumerate} \medskip La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3} \item On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par \[g(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x\] a pour dérivée la fonction $g'$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par \\ $g'(x) = (x + 1)\ln (x + 1)$. $g$ est donc une primitive de $x\mapsto (x+1)\ln(x+1)$. %Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20]. Une primitive de $x\mapsto 3x-7$ est $x\mapsto \dfrac{3x^2}{2}+7x$. \noindent Une primitive de $f$ est donc définie par : \noindent $F(x)=g(x)-\dfrac{3x^2}{2}+7x= \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x-\dfrac{3x^2}{2}+7x=$ $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) -\dfrac{7x^2}{4}+\dfrac{13}{2}x}}$. \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie 2} \medskip \emph{Les trois questions de cette partie sont indépendantes} \medskip \begin{enumerate} \item Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses. \setlength\parindent{9mm} \begin{description} \item[ ] P$_1$ : %La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres. La différence entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est $f(20)-f\left(\mathrm{e}^{2}-1\right)\approx 10,93-2,6\approx 8,3>8$ donc $P_1$ est \textbf{\textcolor{red}{vraie}}; \item[ ] P$_2$ : %L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C. L'inclinaison en B est 2. L'inclinaison en 20 est $f'(20)=\ln(21)-2\\ \approx 1,04$, donc $P_2$ est \textbf{\textcolor{red}{vraie}}. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \item %On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m$^2$ par litre. %Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires. $f$ est continue, donc la face avant, en unités d'aire, vaut \noindent $\mathcal{A}_1=\int_0^{20}f(x)\text{ d}x=F(20)-F(0)$. \noindent $F(21)=\dfrac{21^2\ln 21}{2}-700+130=\dfrac{441\ln 21}{2}-570$. \noindent $F(0)=0$. \noindent On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\mathcal{A}_1=\dfrac{441\ln 21}{2}-570\approx 101,3}}$. \noindent L'aire latérale gauche vaut $\mathcal{A}_2=\mathcal{A}(OAB'B)=\boxed{\textcolor{red}{10f(0)=70}}$. \noindent L'aire latérale droite vaut $\mathcal{A}_3=\mathcal{A}(DD'C'C)=\boxed{\textcolor{red}{10f(20)=\approx 109,3}}$. L'aire à peindre en rouge est donc $\mathcal{A}=2\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2+\mathcal{A}_3\approx \boxed{\textcolor{red}{381,9~\text{m}^2}}$ . \noindent Le nombre de litres de peinture à prévoir est $\dfrac{381,9}{5}\approx \boxed{\textcolor{red}{77~\text{l}}}$ \medskip \parbox{0.35\linewidth}{ \textbf{3.} On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points $B_k(k~;~f(k))$ pour $k$ variant de 0 à 20. Ainsi, $B_0 =$ B. }\hfill \parbox{0.63\linewidth} {\psset{unit=0.3cm} \begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(29,19) \psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add} \rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}} \pspolygon(20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C \psline(0,7.07)(7.07,14.14)%BB' \psline[linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07) \psline[linestyle=dashed](7.07,7.07)(7.07,14.14) \uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){\footnotesize A} \uput[l](0,7.07){\footnotesize B} \uput[ul](7.07,14.14){\footnotesize B$'$} \uput[dr](20,10.935){\footnotesize C} \uput[dr](27.07,18.005){\footnotesize C$'$} \uput[d](20,0){\footnotesize D} \uput[dr](27.07,7.07){\footnotesize D$'$} \uput[d](1,0){\footnotesize I} \psline[linestyle=dotted](1,5.39)(8.07,12.46)\uput[dl](1,5.39){\footnotesize $B_1$}\uput[ur](8.07,12.46){\footnotesize $B'_1$} \psline[linestyle=dotted](2,4.3)(9.07,11.37) \uput[dl](2,4.3){\footnotesize $B_2$}\uput[ur](9.07,11.37){\footnotesize $B'_2$} \psline[linestyle=dotted](7,2.64)(14.07,9.71)\uput[dl](7,2.64){\footnotesize $B_k$}\uput[ul](14.07,9.71){\footnotesize $B'_k$} \psline[linestyle=dotted](8,2.78)(15.07,9.85)\uput[dr](9,3.03){\footnotesize $B_{k+1}$}\uput[u](16.07,10.1){\footnotesize $B'_{k+1}$} \uput[l](0,1){J} \end{pspicture} } \medskip %On décide d'approcher l'arc de la courbe $\mathcal{C}$ %allant de $B_k$ à $B_{k+1}$ par le segment $\left[B_kB_{k+1}\right]$. % %Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des %rectangles du type $B_k B_{k+1} B'_{k+1}B_k$ (voir figure). \begin{enumerate} \item %Montrer que pour tout entier $k$ variant de 0 à 19, % $B_kB_{k+1} = \sqrt{1 + [f(k + 1) - f(k)]^2}$. $B_kB_{k+1}=\sqrt{1^2+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{1+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}}}$. \item% Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante. % %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline %Variables &$S$ : réel\\ % &$K$ : entier\\ %Fonction &$f$ : définie par $f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7$\\ \hline %Traitement &$S$ prend pour valeur $0$\\ % &Pour $K$ variant de \ldots à \ldots\\ % &\hspace{1cm}$S$ prend pour valeur \ldots \ldots\\ % &Fin Pour\\ \hline %Sortie &Afficher \ldots\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} La partie de l'algorithme à compléter est : \noindent $S$ prend la valeur 0. \noindent Pour $K$ allant de 0 à 19 $S$ prend la valeur $S+10\sqrt{1+\left(f(k+1)-k(k)\right)^2}$ Afficher $S$ \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Métropole--La Réunion 22 juin 2015 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %%%%%%%%%%% Métropole--La Réunion 9 septembre 2015 \hypertarget{Metropolesep}{} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small{9 septembre 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Métropole - La Réunion ~\decofourright \\[4pt]9 septembre 2015}}} \end{center} \phantomsection \label{Metropolesep} %\vspace{0,5cm} \subsection*{Exercice 1 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points} %\textbf{Commun à tous les candidats} % %\medskip %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. On ne demande pas de justification. Il est attribué $1$ point si la réponse est exacte. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.} % %\medskip \subsubsection*{Question 1} \parbox{0.6\linewidth}{On considère l'arbre de probabilités ci-contre :}\hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1.5cm} \pstree[treemode=R,nodesepB=4pt,levelsep=2.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\ncput*{0,6}} { \TR{$B$}\ncput*{0,2} \TR{$\overline{B}$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}} { \TR{$B$}\ncput*{0,3} \TR{$\overline{B}$} } } } \medskip Quelle est la probabilité de l'événement B ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,12&\textbf{b.~~} 0,2&\fbox{\textbf{c.~~} 0,24} &\textbf{d.~~} 0,5 \end{tabularx} \medskip $P(B)=0,6 \times 0,2 + (1-0,6)\times 0,3=0,24$ \subsubsection*{Question 2} Le césium 137 est un élément radioactif qui constitue une des principales sources de radioactivité des déchets des réacteurs nucléaires. Le temps $T$, en années, durant lequel un atome de césium 137 reste radioactif peut être assimilé à une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$.\\[5pt] Quelle est la probabilité qu'un atome de césium 137 reste radioactif durant au moins 60 ans ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,125& \fbox{\textbf{b.~~} 0,25} &\textbf{c.~~} 0,75 &\textbf{d.~~} 0,875 \end{tabularx} \medskip Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on sait que $P(X \pg a) = \e^{-\lambda a}$. Donc $P(T\pg 60) = \e^{-\frac{\ln 2}{30}\times 60}=0,25$ \subsubsection*{Question 3} Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 110$ et d'écart-type $\sigma = 25$. Quelle est la valeur arrondie au millième de la probabilité $P( X \geqslant 135)$ ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \fbox{\textbf{a.~~} 0,159}&\textbf{b.~~} 0,317 &\textbf{c.~~} 0,683 &\textbf{d.~~} 0,841 \end{tabularx} \medskip On peut faire le calcul à la machine ou utiliser le fait que $P(X \pg 135)= P(X\pg \mu + \sigma)$. Et comme on sait que $P(\mu-\sigma) \pp X \pp \mu+\sigma)\approx 0,68$, on déduit aisément $P(X \pg \mu+\sigma)$. \subsubsection*{Question 4} On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 100 fois de suite. Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence d'apparition de la face pile de cette pièce ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}[0,371~;~0,637] &\textbf{b.~~}[0,480~;~0,523]&\fbox{\textbf{c.~~}[0,402~;~0,598]}&\textbf{d.~~} [0,412~;~0,695] \end{tabularx} \medskip Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence d'apparition de la face pile est $\left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\,;\, p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}} \right ] = \cd{} 0,402\,;\,0,598\cg$ \emph{Des quatre intervalles proposés, c'est le seul centré sur 0,5.} \subsubsection*{Question 5} Une entreprise souhaite obtenir une estimation de la proportion de personnes de plus de 60 ans parmi ses clients, au niveau de confiance de 95\,\%, avec un intervalle d'amplitude inférieure à 0,05. Quel est le nombre minimum de clients à interroger ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 400 &\textbf{b.~~} 800 &\fbox{\textbf{c.~~} \np{1600}}&\textbf{d.~~} \np{3200} \end{tabularx} \medskip L'intervalle de confiance généralement utilisé est $\left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\,;\, f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \right ]$ d'amplitude $\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}}$. $\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}} < 0,05 \iff \dfrac{2}{0,05} < \ds\sqrt{n} \iff \np{1600} < n$ %\vspace{0,5cm} \newpage \subsection*{Exercice 2 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 7 points} %\textbf{Commun à tous les candidats} % %\medskip Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ telle que : $f(x) = \dfrac{x}{\e^x - x}$ %On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. % %On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan. % %La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe, \textbf{à rendre avec la copie}. %\bigskip \subsubsection*{Partie A} %\medskip Soit la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \ds\int_0^n f(x) \d x$. %\smallskip % %On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_n$ en fonction de $n$. %\medskip \begin{enumerate} \item% Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est croissante. $I_{n} = \ds\int_0^n f(x) \d x$ donc, pour tout $n$ de $\N$, $I_{n+1} - I_{n} = \ds\int_0^{n+1} f(x) \d x - \ds\int_0^n f(x) \d x = \ds\int_n^{n+1} f(x) \d x$ On admet dans le texte que la fonction $f$ est positive sur $\cd{}0\,;\,+\infty\cd$ donc sur $\cd{}n\,;\,n+1\cg$; on peut en déduire que $\ds\int_n^{n+1} f(x) \d x >0$ et donc que $I_{n+1}-I_n>0$ pour tout $n$. La suite $(I_n)$ est donc croissante. \item On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cd{}0~;~+ \infty\cd$, $\e^x - x \geqslant \dfrac{\e^x}{2}$. \begin{enumerate} \item% Montrer que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant \displaystyle\int_0^n 2x \e^{-x} \d x$. Sur $\cd{}0~;~+ \infty\cd$, on sait que $\e^x - x \geqslant \dfrac{\e^x}{2}$; de plus, pour tout $x$, $\e^x-x>0$. donc $\dfrac{1}{\e^x-x} \pp \dfrac{2}{\e^x}$. On multiplie cette inégalité par $x\pg 0$ donc: $\dfrac{x}{\e^x-x} \pp \dfrac{2x}{\e^x}$ D'après la positivité de l'intégration: $\ds\int_0^n \dfrac{x}{\e^x-x} \d x \pp \ds\int_0^n \dfrac{2x}{\e^x} \d x$ ce qui équivaut à $I_n \pp \ds\int_0^n 2x\e^{-x} \d x$ \item Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\cd{}0~;~+ \infty\cd$ telle que : $H(x) = (- x - 1)\e^{-x}$ La fonction $H$ est dérivable sur $\cd{}0~;~+ \infty\cd$ comme produit de fonctions dérivables et $H'(x)=-1\times \e^{-x} + (-x-1)(-1)\e^{-x} = -\e^{-x} + x\e^{-x} +\e^{-x} = x\e^{-x}$ %Déterminer la fonction dérivée $H'$ de la fonction $H$. \item% En déduire que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant 2$. On déduit de la question précédente que la fonction $2H$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto 2x\e^{-x}$. Donc $\ds\int_0^n 2x\e^{-x} \d x= \left [ 2(-x-1)\e^{-x}\rule{0pt}{12pt} \right ]_0^n = 2(-n-1)\e^{-n} - \left [ 2(-1)\e^{0}\right ] = 2 - 2(n+1)\e^{-n}$ Pour tout $x$, $\e^{x}>0$ donc $2(n+1)\e^{-n}>0$ donc $2 - 2(n+1)\e^{-n} \pp 2$ $\left. \begin{array}{@{} l} I_n \pp \ds\int_0^n 2x\e^{-x} \d x\\ \ds\int_0^n 2x\e^{-x} \d x \pp 2 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow I_n \pp 2$ \end{enumerate} \item% Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite. La suite $(I_n)$ est croissante et majorée par 2 donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(i_n)$ est convergente. \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie B} %\medskip %On considère l'algorithme suivant dans lequel les variables sont % %\setlength\parindent{1cm} %\begin{itemize} %\item $K$ et $i$ des entiers naturels, $K$ étant non nul; %\item $A,\: x$ et $h$ des réels. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0cm} % %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline %Entrée : &Saisir $K$ entier naturel non nul\\ \hline %Initialisation & Affecter à $A$ la valeur $0$\\ % &Affecter à $x$ la valeur 0\\ % &Affecter à $h$ la valeur $\dfrac{1}{K}$\\[7pt] \hline %Traitement &Pour $i$ variant de 1 à $K$\\ % &\hspace{0,4cm}\begin{tabular}{|l} % Affecter à $A$ la valeur $A + h \times f(x)$\\ % Affecter à $x$ la valeur $x + h$\\ % \end{tabular}\\ % &Fin Pour\\ \hline %Sortie &Afficher $A$\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} \begin{enumerate} \item% Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $K = 4$. Les valeurs successives de $A$ seront arrondies au millième. On fait fonctionner l'algorithme pour $K=4$ donc pour $h=0,25$: \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $i$ & $A$ & $x$\\ \hline 1 & 0 & 0,25\\ \hline 2 & 0,060 & 0,5\\ \hline 3 & 0,169 & 0,75\\ \hline 4 & 0,306 & 1\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item% En l'illustrant sur l'annexe \textbf{à rendre avec la copie}, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour $K = 8$. Pour $K=8$, l'algorithme donne la somme des aires des rectangles hachurés sur le graphique du bas de la page \pageref{metro_S_0915_annexe}. \item% Que donne l'algorithme lorsque $K$ devient grand ? Quand $K$ devient grand, l'algorithme donne une valeur approchée par défaut de l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal C$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ (voir page \pageref{metro_S_0915_annexe}, le graphique du haut). \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \newpage \subsection*{Exercice 3 \hfill Candidats n'ayant pas suivi la spécialité \hfill 5 points} %\textbf{Candidats n'ayant pas suivi la spécialité} % %\medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère : \setlength\parindent{0.5cm} \begin{itemize} \item les points $A\,(0~;~1~;~-1)$ et $B\,(- 2~;~2~;~- 1)$. \item la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l !{=} l} x&-2 + t\\ y& \phantom{-}1 + t\\ z&-1 - t \end{array}\right. , \:t \in \R$. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item% Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$. La droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x\,;\,y)$ tels que les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AM}$ soient colinéaires doc tels que $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ où $k\in \R$. $\vect{AB}$ a pour coordonnées $(-2-0\,;\, 2-1 \,;\, -1-(-1) = (-2\,;\, 1 \,;\, 0)$. $\vect{AM}$ a pour coordonnées $(x-0\,;\, y-1 \,;\, z-(-1) = (x\,;\, y-1 \,;\, z+1)$. $\vect{AM}=k\,\vect{AB} \iff \left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x & -2k\\ y-1 & k\\ z+1 & 0 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l !{=} r} x & \phantom{0} -2k\\ y & 1+ k\\ z & -1 \phantom{+k} \end{array} \right.$ Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est: $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} r} x & \phantom{0} -2k\\ y & 1+ k\\ z & -1 \phantom{+k} \end{array} \right. \text{ où } k\in \R$ \item \begin{enumerate} \item% Montrer que les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles. La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\vect{AB}\,(-2\,;\, 1 \,;\, 0)$. La droite $\mathcal D$ a pour vecteur directeur $\vect{v}\,(1\,;\, 1 \,;\, -1)$. Les deux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{v}$ ne sont pas colinéaires donc les droites $(AB)$ et $\mathcal D$ ne sont pas parallèles. \item% Montrer que les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes. Les droites $(AB)$ et $\mathcal D$ sont sécantes si elles admettent un point d'intersection, autrement dit s'il existe un réel $t$ et un réel $k$ tels que $\left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} -2+t & -2k \\ 1+t & 1+k \\ -1-t & -1 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{c !{=} c} -2 & -2k \\ 0 & k \\ t & 0 \end{array} \right. $ Il n'y a donc pas de solution. Les droites $(AB)$ et $\mathcal D$ ne sont pas sécantes. \end{enumerate} \emph{Les deux droites n'étant ni parallèles ni sécantes, elles sont non coplanaires.} \end{enumerate} Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel. On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées $(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item% Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$ et passe par le point $M$. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + y - z - 3u = 0$. $x_M + y_M - z_M - 3u = -2+u + 1+u -(-1-u) -3u = -2+u + 1+u +1+u -3u=0$ donc $M\in \mathcal P$ Le plan $\mathcal P$ a pour vecteur normal $\vect{n}\,(1\,;\, 1 \,;\, -1)$, qui est un vecteur directeur de la droite $\mathcal D$; donc le plan $\mathcal P$ est orthogonal à la droite $\mathcal D$. \item% Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite $(AB)$ sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$. Pour déterminer si le plan $\mathcal P$ et la droite $(AB)$ sont sécants, on résout le système $\left\lbrace \begin{array}{l} x = -2k \\ y = 1+k\\ z = -1\\ x+y-z-3u=0 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l} x = -2k \\ y = 1+k\\ z = -1\\ -2k +1+k+1-3u=0 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l} x = -2(2-3u) \\ y = 1+2-3u\\ z = -1\\ 2-3u=k \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l} x = -4+6u \\ y = 3-3u\\ z = -1\\ 2-3u=k \end{array} \right.$ Donc le plan $\mathcal P$ et la droite $(AB)$ sont sécants au point $N\,(-4+6u\,;\,3-3u\,;\,-1)$. \item \begin{enumerate} \item% Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$. La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale en $M$ au plan $\mathcal P$; donc la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire à toute droite du plan $\mathcal P$ passant par $M$, donc elle est perpendiculaire à la droite $(MN)$ contenue dans $\mathcal P$ puisque $N\in \mathcal P$. \item% Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ ? La droite $(MN)$ a pour vecteur directeur $\vect{MN}$ de coordonnées $(-4+6u - (-2+u)\,;\, 3-3u - (1+u)_,;\, -1-(-1-u))= (-2+5u\,;\, 2-4u\,;\, u)$. La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\vect{AB}$ de coordonnées $(-2\,;\,1\,;\,0)$. Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont orthogonales si et seulement si le produit scalaire de $\vect{MN}$ et de $\vect{AB}$ est nul. $\vect{MN}.\vect{AB}= (-2+5u)\times (-2) + (2-4u)\times 1 + u \times 0 = 4-10u+2-4u=6-14u$ $\vect{MN}.\vect{AB}=0 \iff 6-14u=0 \iff \dfrac{3}{7}=u$ De plus, les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont sécantes en $M$; elles sont donc perpendiculaires si et seulement si $u=\dfrac{3}{7}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$. $MN^2= \parallel MN \parallel^2 = (-2+5u)^2+(2-4u)^2 + u^2 = 4 - 20u + 25u^2 +4 - 16u + 16u^2 + u^2 = 42u^2 - 36u +8$ \item% En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale. $MN^2$ est un trinôme du second degré en $u$ de la forme $au^2+bu+c$, et le coefficient de $u^2$ est $a=42>0$; ce polynôme admet donc un minimum pour $u=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-36}{2\times 42}=\dfrac{3}{7}$. La distance $MN$ est minimale quand le nombre $MN^2$ est minimal, c'est-à-dire pour $u=\dfrac{3}{7}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \newpage \subsection*{Exercice 3 \hfill Candidats ayant suivi la spécialité \hfill 5 points} %\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} % %\medskip \subsubsection*{Partie A} %\medskip On considère l'équation (E) : $15x - 26k = m$ où $x$ et $k$ désignent des nombres entiers relatifs et $m$ est un paramètre entier non nul. %\medskip \begin{enumerate} \item% Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tel que $15u - 26v = 1$. %Trouver un tel couple. $15=3\times 5$ et $26=2\times 13$; les deux nombres 15 et 26 sont donc premiers entre eux. D'après le théorème de Bézout, on peut déduire qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u\,;\,v)$ tel que $15u-26v=1$. On cherche un tel couple en utilisant l'algorithme d'Euclide et en écrivant les restes successifs comme combinaisons linéaires de 15 et de 26: \begin{center} $\begin{array}{r !{=} l @{\hspace*{1cm}} r !{=} r} 26 & 1\times 15 + 11 & \red -1\times 15 + 1 \times 26 & \red 11\\ 15 & 1\times 11 + 4 & 15 - 1\times 11 & 4\\ \multicolumn{2}{c}{} & 15 - (-1\times 15+1\times 26) & 4\\ \multicolumn{2}{c}{} & \red 2 \times 15 - 1 \times 26 & \red 4\\ 11 & 2\times 4 +3 & 11 - 2\times 4 & 3\\ \multicolumn{2}{c}{} & (-1\times 15 + 1\times 26)-2(2\times 15 - 1 \times 26) & 3\\ \multicolumn{2}{c}{} & \red -5\times 15 + 3\times 26 & \red 3\\ 4 & 1\times 3 +1 & 4 - 1\times 3 & 1\\ \multicolumn{2}{c}{} & (2\times 15 -1\times 26)-1(-5\times 15 + 3\times 26) & 1\\ \multicolumn{2}{c}{} & \red 7\times 15 - 4\times 26 & \red 1 \end{array}$ \end{center} Donc le couple $(7\,;\,4)$ est solution de l'équation $15u-26v=1$. \item% En déduire une solution particulière $\left(x_0~;~k_0\right)$ de l'équation (E). $15\times 7-26\times 4=1$ donc $15\times (7m)-26\times (4m)=m$ Le couple $(7m\,;\,4m)$ est une solution particulière de l'équation (E) : $15x-26k=m$. \item% Montrer que $(x~;~k)$ est solution de l'équation (E) si et seulement si $15\left(x - x_0\right) - 26\left(k - k_0\right) = 0$. \begin{list}{\textbullet}{} \item On suppose que $15\left(x - x_0\right) - 26\left(k - k_0\right) = 0$ avec $x_0=7m$ et $k_0=4m$, donc $15\left(x - 7m\right) - 26\left(k - 4m\right) = 0$ Alors $15 x - 15\times 7m - 26k + 26\times 4m = 0$, ce qui implique $15x -26k = 15\times 7m - 26\times 4m$ ou encore $15x-26k=m$ Donc le couple $(x\,;\,k)$ est solution de (E). \item \begin{tabular}[t]{@{} l l c l c l} On suppose que $(x\,;\,k)$ est solution de (E): & $15x$ & $-$ & $26k$ & $=$ & $m$\\ On sait que $(x_0\,;\,k_0)$ est une solution de (E): & $15x_0$ & $-$ & $26k_0$ & $=$ & $m$\\ \cline{2-6} On soustrait membre à membre: & $15(x-x_0)$ & $-$ & $26(k-k_0)$ & $=$ & 0 \end{tabular} Donc $15(x-x_0)-26(k-k_0)=0$ \end{list} On peut dire que $(x~;~k)$ est solution de l'équation (E) si et seulement si $15\left(x - x_0\right) - 26\left(k - k_0\right) = 0$. \item% Montrer que les solutions de l'équation (E) sont exactement les couples $(x~;~k)$ d'entiers relatifs tels que : \begin{list}{\textbullet}{} \item Si le couple $(x\,;\,k)$ vérifie le système $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& 26q + 7m \\ k& 15q +4m \end{array}\right.$ où $q\in \Z$, alors: $15x -26k = 15(26q+7m)-26(15q+4m) = 15\times 26q +105m -26\times 15q - 104m = m$. Donc le couple $(x\,;\,k)$ est solution de (E). \item Si le couple $(x\,;\,k)$ est solution de (E), on sait que $15\left(x - 7m\right) - 26\left(k - 4m\right) = 0 \iff 15\left(x - 7m\right) = 26\left(k - 4m\right)$ Donc 15 divise $26\left(k - 4m\right)$. Or 15 et 26 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gausse, 15 divise $k - 4m$; donc il existe un entier relatif $q$ tel que $k - 4m=15q$ et donc $k=15q+4m$. $\left. \begin{array}{l} 15\left(x - 7m\right) = 26\left(k - 4m\right)\\ k - 4m=15q \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow 15\left(x - 7m\right) = 26\times 15q \iff x-7m = 26q$ donc $x=26q+7m$ Donc, si $(x\,;\,k)$ est solution de l'équation (E), on a: $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& 26q + 7m \\ k& 15q +4m \end{array}\right.$ \end{list} Les solutions de l'équation (E) sont donc exactement les couples $(x~;~k)$ d'entiers relatifs tels que: $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& 26q + 7m \\ k& 15q +4m \end{array}\right.\text{ où } q \in \Z$ \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie B} %\medskip %On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous. %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M \\ \hline %0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 \\ \hline\hline %N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline %13&14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} % %On définit un système de codage : % %\setlength\parindent{0.5cm} %\begin{itemize} %\item à chaque lettre de l'alphabet, on associe l'entier $x$ correspondant, %\item on associe ensuite à $x$ l'entier $y$ qui est le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$, %\item on associe à $y$ la lettre correspondante. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0cm} % %Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à 4, 4 est transformé en 15 et 15 correspond à la lettre P et donc la lettre E est codée par la lettre P. % %\medskip \begin{enumerate} \item On code le mot \textbf{MATHS}: \begin{center} \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline lettre & $x$ & $15x+7$ & reste & lettre\\ \hline M & 12 & 187 & 5 & F\\ \hline A & 0 & 7 & 7 & H\\ \hline T & 19 & 292 & 6 & G\\ \hline H & 7 & 112 & 8 & I\\ \hline S & 18 & 277 & 17 & R\\ \hline \end{tabular} \end{center} Donc le mot \textbf{MATHS} se code en \textbf{FHGIR}. \item Soit $x$ le nombre associé à une lettre de l'alphabet à l'aide du tableau initial et $y$ le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$. \begin{enumerate} \item% Montrer alors qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $15x - 26k = y -7$. Si $y$ est le reste de la division de $15x+7$ par 26, cela signifie que $(15x+7)-y$ est un multiple de 26, donc qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $(15x+7)-y=26k$, ce qui équivaut à \hfill{}$15x-26k=y-7$\hfill{} \item% En déduire que $x = 7y + 3$\:\: (mod $26$). $15x-26k=y-7 \iff 7\times 15 x - 7\times 26k = 7\times y -7\times 7 \iff 105x -7\times 26k = 7y-49$ $\left. \begin{array}{@{} r} 105=4\times 26+1 \Rightarrow 105 \equiv 1 \pmod{26} \Rightarrow 105x \equiv x \pmod{26}\\ 7\times 26\equiv 0\pmod{26} \Rightarrow 7\times 26 k \equiv 0 \pmod{26}\\ -49=-2\times 26 +3 \equiv 3\pmod{26} \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow x \equiv 7y+3 \pmod{26}$ \item% En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré. Voici donc un système de décodage d'une lettre: \setlength\parindent{0.5cm} \begin{itemize} \item à cette lettre, on associe l'entier $y$ correspondant, \item on associe ensuite à $y$ l'entier $x$ qui est le reste de la division euclidienne de $7y+3$ par le nombre $26$, \item on associe à $x$ la lettre correspondante. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \end{enumerate} \item% Expliquer pourquoi la lettre W dans un message codé sera décodée par la lettre B. On décode les trois lettres W, H et L: \begin{center} \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline lettre & $y$ & $7y+3$ & reste & lettre\\ \hline W & 22 & 157 & 1 & B \\ \hline H & 7 & 52 & 0 & A \\ \hline L & 11 & 80 & 2 & C \\ \hline \end{tabular} \end{center} Donc le mot \textbf{WHL} se décode en \textbf{BAC}. \item% Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes. \`A chaque lettre de l'alphabet, on fait correspondre une seule lettre de l'alphabet par le système de codage décrit dans le texte, celui qui fait passer de la lettre correspondant au nombre entier $x$ à la lettre correspondant au nombre entier $y$. Réciproquement, chaque lettre de l'alphabet est l'image d'une unique lettre de l'alphabet que l'on obtient par le système de décodage expliqué à la question \textbf{2.c.} Le système de codage réalise donc une bijection sur l'ensemble des lettres de l'alphabet. Donc deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes. \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \newpage \subsection*{Exercice 4 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points} %\textbf{Commun à tous les candidats} % %\medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)$ \begin{enumerate} \item% Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et une courbe $\mathcal{C}_F$. Dans une seule situation, la courbe $\mathcal{C}_F$ est la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier la réponse. Comme $F$ est une primitive de $f$, alors $f$ est la dérivée de $F$ donc les variations de $F$ sont données par le signe de $f$: $F$ est croissante si et seulement $f$ est positive C'est donc dans la situation 2 que la courbe $C_F$ est la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$. %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}} %\bigskip % %\hspace*{2cm} Situation 1 \hspace*{6cm} Situation 2 % %\medskip % %\psset{unit=1.6cm,comma=true} %\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(3.5,2) %\def\pshlabel#1{\footnotesize #1} %\def\psvlabel#1{\footnotesize #1} %\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2) %\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{x ln 1 add x div} %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.5}{x ln x dup mul div neg} %\uput[u](2.75,0.75){\blue $\mathcal{C}_f$} %\uput[d](2.75,-0.2){$\mathcal{C}_F$} %\end{pspicture*} %\hfill %\psset{unit=1.6cm,comma=true} %\begin{pspicture*}(-0.75,-0.6)(3.5,2) %\def\pshlabel#1{\footnotesize #1} %\def\psvlabel#1{\footnotesize #1} %\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2) %\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{x ln 1 add x div} %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.5}{x ln 1 add dup mul 0.5 mul 0.5 sub} %\uput[u](2.75,0.75){\blue $\mathcal{C}_f$} %\uput[u](2.75,1.52){$\mathcal{C}_F$} %\end{pspicture*} %%\end{tabularx} % %\bigskip % %\hspace*{6cm} Situation 3 % %\begin{center} % %\psset{unit=1.6cm,comma=true} %\begin{pspicture*}(-0.75,-0.6)(3.5,2) %\def\pshlabel#1{\footnotesize #1} %\def\psvlabel#1{\footnotesize #1} %\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2) %\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{x ln 1 add x div} %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.1}{3.5}{x 2 mul x dup mul sub 0.75 sub 2 mul} %\uput[u](2.75,0.75){\blue $\mathcal{C}_f$} %\uput[ur](1.5,0){$\mathcal{C}_F$} %\end{pspicture*} %\end{center} \item Dans la situation 2, on appelle : \setlength\parindent{0.5cm} \begin{itemize} \item $K$ le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de l'axe des abscisses et $\mathcal{D}$ la droite passant par $K$ et parallèle à l'axe des ordonnées. Ce point $K$ a pour abscisse la solution de l'équation $f(x)=0$ ce qui équivaut à $\dfrac{1}{x}(1+\ln x)=0 \iff \ln x = -1 \iff x=\e^{-1}$; donc $K\left ( \e^{-1}\,;\, 0 \right )$. \item $L$ le point d'intersection de $\mathcal{C}_F$ et de l'axe des abscisses, ayant une abscisse supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et $\Delta$ la droite passant par $L$ et parallèle à l'axe des ordonnées. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \begin{enumerate} \item L'aire du domaine du plan délimité par les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, par la courbe $\mathcal{C}_f$ et par l'axe des abscisses a une valeur approchée de 0,5 (aire du rectangle coloré en gris sur le graphique). \item Les primitives d'une fonction étant définies à une constante près, on ne peut pas déterminer l'expression de $F$, primitive de $f$, et on ne peut donc pas déterminer la valeur exacte de l'abscisse du point $L$. On ne peut donc pas calculer la valeur exacte de l'aire du domaine défini précédemment. \emph{Il serait intéressant de savoir ce que les consignes officielles de correction proposaient comme réponse à cette question!} \setcounter{enumii}{1} \item {\red \bf Solution alternative} Le graphique proposé dans le texte suggère que l'abscisse de $L$ est égale à 1; en faisant cette hypothèse, on peut calculer la valeur exacte de l'aire définie plus haut. La fonction $f$ est positive sur $\cd{}\e^{-1}\,;\,1\cg{}$, donc l'aire du domaine hachuré est $\ds\int_{\e^{-1}}^1 f(x) \d x$. Pour avoir la valeur exacte de l'aire, il faut déterminer une expression d'une primitive de $f$. On écrit $f(x)$ sous la forme: $f(x)= \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x}\times \ln x$ \begin{list}{\textbullet}{} \item La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ a pour primitive sur $\cg{}0\,;\,\infty\cd$ la fonction $x \mapsto \ln x$. \item La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}\times \ln x$ est de la forme $u'u$, où $u(x)=\ln x$, donc a pour primitive $\dfrac{u^2}{2}$ soit la fonction $x \mapsto \dfrac{(\ln x)^2}{2}$. \item Donc la fonction $f$ a pour primitive $F\;:\; x \mapsto \ln x + \dfrac{(\ln x)^2}{2}$. \end{list} $\ds\int_{\e^{-1}}^1 f(x) \d x = \left [F(x)\right ]_{\e^{-1}}^1= \left [ \ln x + \dfrac{(\ln x)^2}{2} \right ]_{\e^{-1}}^1 = \left ( \ln 1 + \dfrac{(\ln 1)^2}{2}\right ) - \left ( \ln \e^{-1} + \dfrac{(\ln \e^{-1})^2}{2} \right )$ Or $\ln 1=0$ et $\ln \e^{-1}=-1$ donc $\ds\int_{\e^{-1}}^1 f(x) \d x = 0 - \left (-1 + \dfrac{1}{2} \right ) = \dfrac{1}{2}$ \medskip L'aire du domaine est donc de 0,5 unité d'aire. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \psset{unit=4cm,comma=true,arrowsize=3pt 3} \begin{pspicture*}(-0.25,-0.6)(3.5,2) \def\pshlabel#1{\small #1} \def\psvlabel#1{\small #1} \def\f{x ln 1 add x div} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(1,1) \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45] { \psplot{0.368}{1}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(1,0)\lineto(0.368,0) \closepath % indispensable ! } \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=10](0,-0.5)(3.5,2) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{\f} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.5}{x ln 1 add dup mul 0.5 mul 0.5 sub} \uput[ul](2.75,0.75){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[ul](2.75,1.52){$\mathcal{C}_F$} \uput[ul](0.368,0){$K$} \psline[linecolor=red](0.368,-0.6)(0.368,2) \uput[l](0.368,1.25){$\red \mathcal D$} \uput[ul](1,0){$L$} \psline[linecolor=red](1,-0.6)(1,2) \uput[r](1,1.25){\red $\Delta$} \end{pspicture*} \end{center} \newpage \subsection*{\centering ANNEXE Exercice 2} \label{metro_S_0915_annexe} \begin{center} \textbf{À rendre avec la copie} \medskip Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur \cd{}0~;~6\cg \medskip \psset{xunit=2.2cm,yunit=9cm,comma=true} \begin{pspicture}(0,-0.3)(6,0.7) \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45] { \psplot{0}{1}{x 2.71828 x exp x sub div} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(1,0)\lineto(0,0) \closepath % indispensable ! } \multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.3)(\n,0.7)} \multido{\n=-0.3+0.1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(0,-0.3)(6,0.7) \multido{\i=0+1}{7}{\uput[d](\i,0){\i}} \uput[l](0,0.2){$0,2$} \uput[l](0,0.7){$0,7$} \uput[l](0,-0.3){$-0,3$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{x 2.71828 x exp x sub div} \uput[u](2.75,0.22){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \vfill Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur \cd{}0~;~1\cg \medskip \psset{xunit=10.8cm,yunit=14.6cm,comma=true} \begin{pspicture}(0,-0.05)(1.1,0.62) \multido{\n=0.00+0.125}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.6)} \multido{\n=0+0.1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(1,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.25,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.05,-0.025)(1.1,0.62) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 2.71828 x exp x sub div} \uput[u](0.55,0.465){\blue $\mathcal{C}$} \psset{fillstyle=vlines,hatchcolor=red} \psframe[hatchangle=45](0.125,0.124)(0.25,0) \psframe[hatchangle=-45](0.25,0.242)(0.375,0) \psframe[hatchangle=45](0.375,0.347)(0.5,0) \psframe[hatchangle=-45](0.5,0.435)(0.625,0) \psframe[hatchangle=45](0.625,0.503)(0.75,0) \psframe[hatchangle=-45](0.75,0.549)(0.875,0) \psframe[hatchangle=45](0.875,0.574)(1,0) %\psframe[hatchangle=-45](0.125,0.124)(0.25,0) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Métropole--La Réunion 9 septembre 2015 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie 9 septembre 2015 \hypertarget{Polynesiesep}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{9 septembre 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S (spécialité) -- Polynésie ~\decofourright\\[4pt]9 septembre 2015}}} \end{center} \phantomsection \label{Polynesiesep} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 7 points} %\medskip % %\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.} % %\medskip \subsubsection*{Partie A} %\medskip % %On rappelle que la partie réelle d'un nombre complexe $z$ est notée $\Re (z)$. % %\medskip \begin{enumerate} \item% Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe $u = 1 - \text{i}$. Soit $u$ le nombre complexe $1-\i$. $|u|=\ds\sqrt{1^2+(-1)^2}=\ds\sqrt{2}$; donc $u=\ds\sqrt{2}\left ( \dfrac{1}{\ds\sqrt{2}} - \dfrac{1}{\ds\sqrt{2}} \i\right )= \ds\sqrt{2}\left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2} \i\right )$ On cherche le réel $\alpha$ tel que $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} \cos (\alpha) & \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\\[7pt] \sin (\alpha) & -\dfrac{\ds\sqrt{2}}{2} \end{array} \right. $ Donc $\alpha = -\dfrac{\pi}{4} + k2\pi$ où $k \in \Z$ L'écriture complexe du nombre $u=1-\i$ est donc $\ds\sqrt{2} \e^{-\frac{\i\pi}{4}}$. \item% Déterminer, pour tout réel $\theta$, la forme algébrique et l'écriture exponentielle du nombre complexe $\text{e}^{\text{i} \theta} (1 - \text{i})$. $\e^{\i\theta} = \cos (\theta) + \i \sin (\theta)$ donc $\e^{\i\theta} (1-\i) = (\cos (\theta) + \i \sin (\theta)) (1-\i) = \cos(\theta) + \i \sin (\theta) - \i\cos(\theta) -\i^2 \sin(\theta)\\ \phantom{\e^{\i\theta} (1-\i)} = (\cos(\theta) + \sin(\theta)) +\i \left ( \sin(\theta) - \cos(\theta) \right )$ (forme algébrique) $1-\i = \ds\sqrt{2} \e^{-\frac{\i\pi}{4}}$ donc $\e^{\i\theta} (1-\i) = \e^{\i\theta} \times \ds\sqrt{2} \e^{-\frac{\i\pi}{4}} = \ds\sqrt{2} \e^{\i \left ( \theta-\frac{\pi}{4}\right )}$ (écriture exponentielle) \item% Déduire des questions précédentes que, pour tout réel $\theta$,\: %$\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$. Le nombre complexe $\e^{\i\theta} (1-\i)$ s'écrit d'une part $(\cos(\theta) + \sin(\theta)) +\i \left( \sin(\theta) - \cos(\theta) \right)$ et d'autre part $\ds\sqrt{2} \e^{\i \left ( \theta-\frac{\pi}{4}\right )}$, c'est-à-dire $\ds\sqrt{2}\left( \cos\left(\theta -\dfrac{\pi}{4}\right) + \i \sin \left(\theta - \dfrac{\pi}{4} \right)\right)$. En identifiant les parties réelles, on obtient: $\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$. \emph{C'est un résultat que l'on peut retrouver directement en développant $\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$ au moyen de la formule \mbox{$\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$}.} \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie B} %\medskip % %Dans cette partie, on admet que, pour tout réel $\theta,\: \cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$. % %\medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par: $f(x) = \e^{-x} \cos(x)$ $g(x) = \e^{-x}$. On définit la fonction $h$ sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = g(x) - f(x)$. Les représentations graphiques $\mathcal{C}_f,\: \mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ des fonctions $f,\: g$ et $h$ sont données, en annexe, dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item D'après les graphiques: \begin{enumerate} \item% les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$ ; On peut conjecturer que les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$ sont égales à 0. \item% la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{C}_g$ ; La courbe $\mathcal{C}_f$ semble située en dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$. \item% la valeur de l'abscisse $x$ pour laquelle l'écart entre les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ est maximal. L'écart entre les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ semble maximal pour $x=2$. \end{enumerate} \item% Justifier que $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. $g(x)-f(x)=\e^{-x} - \e^{-x}\cos(x) = (1-\cos(x))\e^{-x}$ Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ et $\cos(x)\pp 1$ donc $(1-\cos(x)) \pg 0$; donc, pour tout $x$, $g(x)-f(x) \pg 0$ et donc la courbe $\mathcal C_g$ est située au-dessus de la courbe $\mathcal C_f$ sur l'intervalle $\cd 0\,;\, +\infty\cd$. \item% Démontrer que la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \begin{list}{\textbullet}{} \item On sait que $\ds\lim_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$; donc la courbe $\mathcal C_g$ admet la droite d'équation $y=0$ comme asymptote horizontale en $+\infty$. \item Pour tout $x$, $-1\pp \cos(x) \pp +1$ et comme $\e^{-x}>0$, $-\e^{-x} \pp \e^{-x}\cos(x) \pp \e^{-x}$. $\ds\lim_{x \to +\infty} -\e^{-x}= \lim_{x \to +\infty} \e^{-x}= 0$ donc, d'après le théorème des gendarmes, $\ds\lim_{x \to +\infty} \e^{-x} \cos(x)= 0$, c'est-à-dire $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$. $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$ donc la courbe $\mathcal C_f$ admet la droite d'équation $y=0$ comme asymptote horizontale en $+\infty$. \end{list} \item \begin{enumerate} \item On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. %Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\: Les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\cd 0\,;\, +\infty\cd$ donc la fonction $h$ est dérivable sur $\cd 0\,;\, +\infty\cd$: $h'(x)=g'(x)-f'(x) = -\e^{-x} -\left ( -\e^{-x}\cos(x) + \e^{-x}(-\sin(x))\right ) = \e^{-x}\left ( -1 +\cos(x) +\sin(x) \right )$ On a vu dans la partie A que, pour tout réel $\theta$, $\ds\sqrt{2}\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos(\theta) + \sin(\theta)$, donc $\ds\sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos(x) + \sin(x)$. On peut donc en déduire que $h'(x) = \e^{-x} \left[\sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1\right]$. \item % Justifier que, sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,\: $\sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \geqslant 0$ et que, sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right]$, $\sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \leqslant 0$. \ \null %\fbox{ \begin{minipage}[b][5.5cm][t]{0.55\linewidth} \vspace{0pt} \textbullet\ \ On se place dans l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.\\ $\hspace*{0.4cm} 0 \pp x \pp \dfrac{\pi}{2}\\[8pt] \hspace*{1cm}\iff -\dfrac{\pi}{4} \pp x-\dfrac{\pi}{4} \pp \dfrac{\pi}{4}\\[8pt] \hspace*{1cm}\Longrightarrow \cos\left ( x-\dfrac{\pi}{4}\right ) \pg \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\\[8pt] \hspace*{1cm}\iff \ds\sqrt{2}\cos\left ( x-\dfrac{\pi}{4}\right ) \pg 1\\[8pt] \hspace*{1cm}\iff \ds\sqrt{2}\cos\left ( x-\dfrac{\pi}{4}\right ) - 1 \pg 0$ \par\vspace{0pt} \end{minipage}%} \hfill %\fbox{ \begin{minipage}[b][5.5cm][t]{0.4\linewidth} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-2.5,-2.8)(2.5,2.7) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(2,2) %\psset{dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,labels=none,ticksize=0,subticks=0,arrowsize=3pt 2]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5) \uput[-135](0,0){$O$} \pscircle(0,0){2} %\psdots(1.414,1.414)(1.414,-1.414) \psline[linestyle=dashed,showpoints=true](0,0)(1.414,1.414)(1.414,-1.414)(0,0) \uput[30](1.414,1.414){$\frac{\pi}{4}$} \uput[-30](1.414,-1.414){$-\frac{\pi}{4}$} \uput[ul](1.414,0){$\frac{\sqrt{2}}{2}$} \psarc[linewidth=2pt](0,0){2}{-45}{45} \psline[linewidth=2pt,linecolor=red](1.414,0)(2,0) \end{pspicture} \end{minipage}%} \bigskip \begin{minipage}[b][5.5cm][t]{0.55\linewidth} \vspace{0pt} \textbullet\ \ On se place dans l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right]$.\\ $\hspace*{0.4cm} \dfrac{\pi}{2} \pp x \pp 2\pi\\[8pt] \hspace*{1cm}\iff \dfrac{\pi}{4} \pp x-\dfrac{\pi}{4} \pp 2\pi-\dfrac{\pi}{4}\\[8pt] \hspace*{1cm}\Longrightarrow \cos\left ( x-\dfrac{\pi}{4}\right ) \pp \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\\[8pt] \hspace*{1cm}\iff \ds\sqrt{2}\cos\left ( x-\dfrac{\pi}{4}\right ) \pp 1\\[8pt] \hspace*{1cm}\iff \ds\sqrt{2}\cos\left ( x-\dfrac{\pi}{4}\right ) - 1 \pp 0$ \par\vspace{0pt} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[b][5.5cm][t]{0.4\linewidth} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-2.5,-2.8)(2.5,2.7) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(2,2) %\psset{dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,labels=none,ticksize=0,subticks=0,arrowsize=3pt 2]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5) \uput[-135](0,0){$O$} \uput[ul](1.414,0){$\frac{\sqrt{2}}{2}$} \pscircle(0,0){2} %\psdots(1.414,1.414)(1.414,-1.414) \psline[linestyle=dashed,showpoints=true](0,0)(1.414,1.414)(1.414,-1.414)(0,0) \uput[30](1.414,1.414){$\frac{\pi}{4}$} \uput[-30](1.414,-1.414){\footnotesize $2\pi-\dfrac{\pi}{4}$} \psarc[linewidth=2pt](0,0){2}{45}{315} \psline[linewidth=2pt,linecolor=red](1.414,0)(-2,0) \end{pspicture} \end{minipage} \item $h(x)=g(x)-f(x)=\e^{-x} (1-\cos(x))$ $h(0)=\e^{0}(1-\cos(0)) = 1(1-1)=0$ $h(2\pi)=\e^{-2\pi}(1-\cos(2\pi)) = \e^{-2\pi}(1-1)=0$ $h \left( \frac{\pi}{2}\right) = \e^{-\frac{\pi}{2}} \left (1-\cos\left (\frac{\pi}{2} \right )\right ) = \e^{-\frac{\pi}{2}} \left(1- 0 \right) = \e^{-\frac{\pi}{2}} \approx 0,21$ On en déduit le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & \frac{\pi}{2}\rule[-8pt]{0pt}{0pt} & \hspace*{\esp} \hspace*{\esp} & 2\pi \\ \hline \e^{-x} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\ \hline \ds\sqrt{2}\cos\left ( x-\dfrac{\pi}{4} \right ) -1 \rule[-10pt]{0pt}{25pt} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline h'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{\e^{-\frac{\pi}{2}}}\rule{0pt}{15pt} & & \\ h(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \end{enumerate} \item On admet que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $H$ définie par $H(x) = \dfrac{1}{2} \e^{-x} [- 2 + \cos (x) - \sin (x)]$ est une primitive de la fonction $h$. On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2\pi$. %Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unités d'aire. On a démontré dans la question \textbf{2.} que, pour tout $x$, $g(x)-f(x)\pg 0$ donc on peut en déduire que $h(x)\pg 0$ sur $\cd 0\,;\, +\infty\cd$. Donc l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unités d'aire, est donnée par: $\mathcal{A}= \ds\int_{0}^{2\pi} h(x) \d x$ On sait que la fonction $h$ est une primitive de la fonction $h$, donc: $\mathcal{A}= \ds\int_{0}^{2\pi} h(x) \d x = H(2\pi) - H(0) = \left [ \dfrac{1}{2} \e^{-x} [- 2 + \cos (x) - \sin (x)] \right ]_{0}^{2\pi}\\[5pt] \phantom{\mathcal{A}} = \dfrac{1}{2} \e^{-2\pi} [- 2 + \cos (2\pi) - \sin (2\pi)] - \dfrac{1}{2} \e^{0} [- 2 + \cos (0) - \sin (0)] = \dfrac{1}{2} \e^{-2\pi} [- 2 + 1] - \dfrac{1}{2} [- 2 + 1]\\[5pt] \phantom{\mathcal{A}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \e^{-2\pi}$ unité d'aire \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points} %\textbf{Commun à tous les candidats} % %\medskip \subsubsection*{Partie A} %\medskip On étudie une maladie dans la population d'un pays. On a constaté que le taux, en nanogrammes par millilitre $\left(\text{ng.mL}^{-1}\right)$, d'une substance Gamma présente dans le sang est plus élevé chez les personnes atteintes de cette maladie que chez les personnes qui n'en sont pas atteintes. \medskip \begin{enumerate} \item Le taux de cette substance Gamma dans la population des personnes qui ne sont pas atteintes par la maladie est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 40$ et d'écart-type $\sigma = 8$. On choisit au hasard une personne parmi celles qui ne sont pas atteintes par la maladie étudiée. La probabilité que le taux dans le sang de la substance Gamma soit supérieur à 60 ng.mL$^{-1}$ est $P(T \pg 60)$. \`A la calculatrice, on trouve: $P(T \pg 60) \approx 0,006$. \item Des études ont mis en évidence que le taux moyen de la substance Gamma chez les personnes atteintes par la maladie étudiée est de 50 ng.mL$^{-1}$ et que 10\,\% d'entre elles ont un taux de substance Gamma inférieur à 43 ng.mL$^{-1}$. On appelle $T'$ la variable aléatoire qui modélise le taux de la substance Gamma en ng.mL$^{-1}$ chez une personne atteinte par la maladie étudiée. On admet que $T'$ suit la loi normale d'espérance $\mu'$ et d'écart-type $\sigma'$. D'après le texte, $\mu'=50$; et il faut chercher $\sigma'$ pour que $P(T' \pp 43)=0,1$. D'après le cours, on sait que si $T'$ suit la loi normale de paramètres $\mu'=50$ et $\sigma'$, alors la variable aléatoire $Z'=\dfrac{T'-50}{\sigma'}$ suit la loi normale centrée réduite (moyenne 0 et d'écart type 1). %Préciser la valeur de $\mu'$ et déterminer la valeur de $\sigma'$. $T' \pp 43 \iff T'-50 \pp -7 \iff \dfrac{T'-50}{\sigma'} \pp \dfrac{-7}{\sigma'}$ donc $P(T' \pp 43)=0,1 \iff P\left ( \dfrac{T'-50}{\sigma'} \pp \dfrac{-7}{\sigma'} \right )=0,1 \iff P\left ( Z' \pp \dfrac{-7}{\sigma'} \right )=0,1$ sachant que la variable aléatoire $Z'$ suit la loi normale centrée réduite. \`A la calculatrice, pour $P(Z' \pp \beta) = 0,1$, on trouve $\beta \approx \np{-1,2816}$; on a donc: $\np{-1,2816} = \dfrac{-7}{\sigma'}$ ce qui donne $\sigma'\approx 5,46$. La variable aléatoire $T'$ suit donc la loi normale de moyenne $\mu'=50$ et d'écart type $\sigma' \approx 5,46$. \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie B} %\medskip Pour dépister chez une personne la maladie étudiée, on effectue une prise de sang. On considère que le dépistage est positif si le taux de la substance Gamma est supérieur ou égal à 45 ng.mL$^{-1}$. Une personne étant choisie au hasard dans la population, on appelle: \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement \og le patient est atteint par la maladie étudiée \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og le patient a un dépistage positif\fg. \end{itemize} On admet que : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]82\,\% des personnes atteintes par la maladie étudiée ont un dépistage positif ; \item[$\bullet~~$]73\,\% des personnes non atteintes par cette maladie ont un dépistage négatif. \end{itemize} On sait de plus que 10\,\% de la population étudiée est atteinte par cette maladie. On regroupe ces données dans un arbre pondéré: \medskip \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nrot=:U,levelsep=4cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt, treesep=1cm] {\Tr{}} { \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$M$}\naput{$0,1$}} { \TR{$D$}\naput{$0,82$} \TR{$\overline D$}\nbput{\red $1-0,82=0,18$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline M$}\nbput{\red $1-0,1=0,9$}} { \TR{$D$}\naput{\red $1-0,73=0,27$} \TR{$\overline{D}$}\nbput{$0,73$} } } \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item% Démontrer que la probabilité qu'un patient ait un dépistage positif est de $0,325$. On cherche $P(D)$; d'après la formule des probabilités totales: $P(D)=P(M \cap D) + P(\overline{M} \cap D) = P(M)\times P_M(D) + P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(D)\\ \phantom{P(D)} = 0,1\times 0,82 + 0,9 \times 0,27 = 0,082 + 0,243 = 0,325$ \item% Calculer $P_{\overline{D}}(M)$. Interpréter ce résultat. $P_{\overline{D}}(M) = \dfrac{P(\overline{D} \cap M)}{P(\overline{D})}$ $P(\overline{D} \cap M) = P(M) \times P_{M}(\overline{D}) = 0,1\times 0,18 = 0,018$ et $P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1-0,325 = 0,675$ Donc $P_{\overline{D}}(M) = \dfrac{0,018}{0,675} \approx 0,027$ La probabilité que le patient soit malade sachant que son test de dépistage est négatif est d'environ $0,027$. \item Un patient a un dépistage positif. Le médecin le rassure en lui indiquant qu'il n'a qu'une chance sur quatre d'avoir contracté la maladie. Il faut donc déterminer $P_{D}(M)$. $P_{D}(M) = \dfrac{P(D \cap M)}{P(D)} = \dfrac{0,082}{0,325} \approx 0,252$ Une chance sur 4 correspond à 25\,\% soit 0,25 donc le malade a un peu plus d'une chance sur 4 d'avoir contracté la maladie. \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie C} %\medskip Lors du dépistage précédent, la prise de sang est effectuée chez des sujets à jeun. Les données montrent que 82\,\% des patients malades ont un dépistage positif. Pour améliorer le confort des personnes susceptibles de subir cet examen sanguin, on souhaite vérifier si le fait d'être à jeun est une condition indispensable dans le protocole. On considère un groupe de $300$~personnes malades sur lesquelles la prise de sang n'est pas effectuée à jeun. La proportion $p$ de patients malades qui ont un dépistage positif est égale à 0,82; l'échantillon est de taille $n=300$. Donc $n=300 \pg 30$; $np=300 \times 0,82 = 246 \pg 5$ et $n(1-p)=300 \times 0,18 = 54 \pg 5$ Les conditions sont donc vérifiées pour que l'on établisse un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des patients malades qui ont un test positif dans un échantillon de taille 300: \medskip $I = \left [ p-1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\,;\, p+1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}} \right ] = \left [ 0,82-1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,82\times 0,18}}{\ds\sqrt{300}}\,;\, 0,82+1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,82\times 0,18}}{\ds\sqrt{300}} \right ]\\[8pt] \phantom{I} \approx \cd 0,77\,;\,0,87 \cg$ \medskip Le dépistage se révèle positif pour 74\,\% de personnes à jeun soit avec une fréquence de $f=0,74$. %Ce dépistage peut-il être effectué sur des personnes qui ne sont pas à jeun ? $f =0,74 \not\in I$ donc il ne faut pas pratiquer le test sur des personnes qui ne sont pas à jeun. \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points} %\textbf{Commun à tous les candidats} % %\medskip \parbox{0.47\linewidth}{ $ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ est le milieu de $[HD]$ et $K$ est le milieu de $[HG]$. On se place dans le repère $\left(A~;~ \vect{AB},~ \vect{AD},~ \vect{AE}\right)$.}\hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(6,5.7) \psframe(0.2,0.2)(3.7,3.7) \psline(3.7,0.2)(5.6,1.4)(5.6,4.9)(3.7,3.7) \psline(5.6,4.9)(2.1,4.9)(0.2,3.7) \psline[linestyle=dotted](0.2,0.2)(2.1,1.4)(2.1,4.9) \psline[linestyle=dotted](2.1,1.4)(5.6,1.4) \uput[dl](0.2,0.2){$A$} \uput[dr](3.7,0.2){$B$} \uput[r](5.6,1.4){$C$} \uput[ur](2.1,1.4){$D$} \uput[ul](0.2,3.7){$E$} \uput[ul](3.7,3.7){$F$} \uput[ur](5.6,4.9){$G$} \uput[u](2.1,4.9){$H$} \uput[d](1.95,0.2){$I$} \uput[l](2.1,3.15){$J$} \uput[u](3.9,4.9){$K$} \psdots(1.95,0.2)(2.1,3.15)(3.9,4.9) \end{pspicture} } \bigskip On détermine les coordonnées tous les points de la figure dans le repère donné: $A\left( 0 \,;\, 0 \,;\, 0 \right) $\hfill $B\left( 1 \,;\, 0 \,;\, 0 \right)$\hfill $D\left( 0 \,;\, 1 \,;\, 0 \right)$\hfill $E\left( 0 \,;\, 0 \,;\, 1 \right)$\\[5pt] $\vect{AC} = \vect{AB} + \vect {BC} = \vect{AB} + \vect {AD} \Longrightarrow C\left( 1 \,;\, 1 \,;\, 0 \right)$\hfill $\vect{AF} = \vect{AB} + \vect {BF} = \vect{AB} + \vect {AE} \Longrightarrow F\left( 1 \,;\, 0 \,;\, 1 \right)$\\[5pt] $\vect{AH} = \vect{AD} + \vect {DH} = \vect{AD} + \vect {AE} \Longrightarrow H\left( 0 \,;\, 1 \,;\, 1 \right)$\hfill $\vect{AG} = \vect{AB} + \vect {BC} +\vect{CG} = \vect{AB} + \vect {AD} + \vect{AE} \Longrightarrow G\left( 1 \,;\, 1 \,;\, 1 \right)$ \medskip $I$ est le milieu de $[AB]$ donc $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x_I & \dfrac{x_A+x_B}{2}\\[7pt] y_I & \dfrac{y_A+y_B}{2}\\[7pt] z_I & \dfrac{z_A+z_B}{2} \end{array} \right. $ et donc $I\left( \dfrac{1}{2} \,;\, 0 \,;\, 0 \right)$ \medskip On trouve de même: $J\left( 0 \,;\, 1 \,;\, \dfrac{1}{2} \right)$ et $K\left( \dfrac{1}{2} \,;\, 1 \,;\, 1 \right)$ \begin{enumerate} \item% Démontrer que le vecteur $\vect{CE}$ est un vecteur normal au plan $(IJK)$. Les coordonnées de $\vect{CE}$ sont $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x_E-x_C & -1\\ y_E-y_C & -1\\ z_E-z_C & 1 \end{array} \right. $; celles de $\vect{IJ}$ sont $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x_J-x_I & -\dfrac{1}{2}\\[7pt] y_J-y_I & 1\\ z_J-z_I & \dfrac{1}{2} \end{array} \right. $ et celles de $\vect{IK}$ sont $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x_K-x_I & 0\\ y_K-y_I & 1\\ z_K-z_I & 1 \end{array} \right. $ $\vect{CE}.\vect{IJ} = (-1)\left ( -\dfrac{1}{2}\right ) + (-1)\times 1 + 1\times \dfrac{1}{2} = 0$ donc $\vect{CE} \perp \vect{IJ}$ $\vect{CE}.\vect{IK} = 0 + (-1)\times 1 + 1\times 1 = 0$ donc $\vect{CE} \perp \vect{IK}$ Le vecteur $\vect{CE}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IK}$ du plan $(IJK)$, donc il est normal au plan $(IJK)$. \item% Démontrer que la droite $(BD)$ est parallèle au plan $(IJK)$. Les coordonnées de $\vect{BD}$ sont $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} r} x_D-x_B & -1\\ y_D-y_B & 1\\ z_D-z_B & 0 \end{array} \right. $ $\vect{CE}.\vect{BD} = (-1)(-1) + (-1)\times 1 + 1\times 0 = 0$ donc $\vect{CE} \perp \vect{BD}$ Le vecteur $\vect{BD}$ est orthogonal au vecteur $\vect{CE}$ qui est un vecteur normal au plan $(IJK)$ donc la droite $(BD)$ est parallèle au plan $(IJK)$. \emph{On pourrait préciser la réponse en démontrant que la droite $(BD)$ n'est pas contenue dans le plan $(IJK)$ mais ce n'est pas explicitement demandé dans le texte.} \emph{Si le point $B$ appartient au plan $(IJK)$, on peut dire que le point $A$, appartenant à la droite $(BI)$, appartient aussi à ce plan donc les plans $(ABD)$ et $(IJK)$ sont confondus, ce qui est faux.} \item Soit $M$ un point de la droite $(CE)$ donc les vecteurs $\vect{CM}$ et $\vect{CE}$ sont colinéaires.% Quelle est la position du point $M$ sur la droite $(CE)$ pour laquelle le plan $(BDM)$ est parallèle au plan $(IJK)$ ? On a donc $\vect{CM}=k\,\vect{CE}$ (où $k \in \R$), ce qui équivaut à $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x_M - x_C & k \times (-1)\\ y_M - y_C & k \times (-1)\\ z_M - z_C & k \times 1$ $ \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x_M & 1-k\\ y_M & 1-k\\ z_M & k \end{array} \right. $ Le plan $(BDM)$ et le plan $(IJK)$ sont parallèles, s'ils ont les mêmes vecteurs normaux; autrement dit pour que le plan $(BDM)$ soit parallèle au plan $(IJK)$ il faut et il suffit que le vecteur $\vect{CE}$ qui est normal au plan $(IJK)$ soit également normal au plan $(BDM)$. Comme ce vecteur est déjà orthogonal au vecteur $\vect{BD}$, il suffit qu'il soit orthogonal à un deuxième vecteur directeur du plan $(BDM)$ non colinéaire à $\vect{BD}$, soit $\vect{BM}$. Le vecteur $\vect{BM}$ a pour coordonnées $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} r !{=} l} x_M-x_B & 1-k-1 & -k\\ y_M-y_B & 1-k-0 & 1-k\\ z_M-z_B & k-0 & k \end{array} \right. $ $\vect{BM} \perp \vect{CE} \iff \vect{BM}\,.\,\vect{CE} = 0 \iff (-k)\times (-1) + (1-k)\times (-1) + k \times 1 = 0 \iff k -1+k +k = 0\\ \phantom{\vect{BM} \perp \vect{CE}} \iff k=\dfrac{1}{3}$ Donc $M$ a pour coordonnées $\left ( 1-\dfrac{1}{3}\,;\,1-\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right ) = \left( \dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3} \right ) $ \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} % %\medskip Pour tout entier naturel $n$ de $\N^*$, on appelle $S(n)$ le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de $n$. \medskip \begin{enumerate} \item% Vérifier que $S(6) = 12$ et calculer $S(7)$. Le nombre 6 a pour diviseurs positifs 1, 2, 3 et 6; donc $S(6)=1+2+3+6=12$. Le nombre 7 n'a que 2 diviseurs, 1 et 7; donc $S(7)=1+7=8$. \item \begin{enumerate} \item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $S(n) \geqslant 1 + n$. Tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 2 a au moins 2 diviseurs, 1 et lui-même; \\ donc $S(n) \pg 1+n$. \item% Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $S(n) = 1 + n$ ? Les entiers naturels $n$ tels que $S(n) = 1 + n$ sont les entiers qui ont exactement 2 diviseurs: 1 et $n$; ce sont donc tous les nombres premiers. \end{enumerate} \item On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p \times q$ où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts. \begin{enumerate} \item% Démontrer que $S(n) = (1 + p)(1 + q)$. Si $n=p \times q$ où $p$ et $q$ sont deux nombres premiers distincts, alors les seuls diviseurs de $n$ sont: $1$, $p$, $q$ et $p\times q$. Donc $S(n)=1+p+q+pq = (1+p) + q(1+p) = (1+p)(1+q)$. \item On considère la proposition suivante : \og Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ non nuls distincts, $S(n \times m) = S(n) \times S(m)$ \fg. L'ensemble des diviseurs de 4 est $\left\lbrace 1\,;\, 2 \,;\, 4 \right\rbrace $ donc $S(4)=1+2+4=7$. On a déjà vu que $S(6)=12$. $4\times 6 = 24$; les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24, donc $S(24)= 1+ 2+ 3+ 4+ 6+ 8+ 12 + 24 = 60$. $S(4)\times S(6)=7\times 12 = 84$ est différent de $S(4\times 6) = 60$. La proposition est donc fausse. %Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier. \end{enumerate} \item On suppose dans cette question que l'entier $n$ s'écrit $p^k$, où $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item% Quels sont les diviseurs de $n$ ? Les diviseurs de $n=p^k$ sont $1$, $p$, $p^2$,\ldots{}, $p^k$. \item% En déduire que $S(n) = \dfrac{1- p^{k+1}}{1- p}$. La suite $(1,\, p,\, p^2,\,\ldots,\, p^k,\,\ldots)$ est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $p$; on en déduit que $s(n)=1+p+p^2+\ldots+ p^k = \dfrac{1-p^{k+1}}{1-p}$ d'après la formule qui donne la somme des premiers termes d'une suite géométrique: $\text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}$ \end{enumerate} \item On suppose que $n$ s'écrit $p^{13} \times q^7$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts. \begin{enumerate} \item% Soit $m$ un entier naturel. %Démontrer que $m$ divise $n$ si, et seulement si, il existe deux nombres entiers $s$ et $t$ avec $0 \leqslant s \leqslant 13$ et $0 \leqslant t \leqslant 7$ tels que $m = p^s \times q^t$. \begin{list}{\textbullet}{} \item On suppose que l'entier naturel $m$ s'écrit $p^s \times q^t$ avec $0 \pp s \pp 13$ et $0 \pp t \pp 7$. $\left ( p^s \times p^{13-s} \right )\left (q^t \times q^{7-t} \right ) = p^{13} \times q^{7} \ssi \left( p^s \times q^t \right )\left ( p^{13-s} \times q^{7-t} \right )=n \ssi m\left ( p^{13-s} \times q^{7-t} \right )=n$. On peut donc dire que $m$ est un diviseur de $n$. \item Soit $m$ est un diviseur de $n$. On décompose $m$ en produit de facteurs premiers; si $r$ est un facteur premier de la décomposition de $m$, alors $r$ divise $p^{13}q^{7}$ donc, d'après le théorème de Gauss, $r$ divise $p^{13}$ ou $r$ divise $q^7$, donc $r=p$ ou $r=q$. Donc $m$ s'écrit $p^s \times q^t$ avec $s\in \N $ et $t\in \N$. Comme $m$ est un diviseur de $n$, on peut écrire $n=m\times m'$ où $m'$ est un autre diviseur de $n$ qui peut donc s'écrire $m'= p^{s'}\times q^{t'}$. Or $n=p^{13}\times q^{7}$ et $n=m\times m'$. On a donc $p^{13}q^{7} = p^{s}q^{t} \times p^{s'}q^{t'}$ ce qui équivaut à $p^{13}q^{7} = p^{s+s'}q^{t+t'}$. D'après l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers, on peut dire que $s+s'=13$ et que $t+t'=7$ et comme $s$, $s'$, $t$ et $t'$ sont des entiers naturels, on peut en déduire que $s\pp 13$ et que $t\pp 7$. Donc tout diviseur $m$ de $n$ s'écrit $p^s \times q^t$ avec $0 \pp s \pp 13$ et $0 \pp t \pp 7$. \end{list} \medskip Tous les diviseurs de $n$ sont: \hspace*{1cm} $\begin{array}[t]{*7{c}} 1 & p & p^2 & \ldots & p^i & \ldots & p^{13}\\[5pt] q & pq & p^2q & \ldots & p^iq & \ldots & p^{13}q\\[5pt] %q^2 & pq^2 & p^2q^2 & \ldots & p^iq^2 & \ldots & p^{13}q^2\\[5pt] \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\[5pt] q^j & pq^j & p^2q^j & \ldots & p^iq^j & \ldots & p^{13}q^j\\[5pt] \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\[5pt] q^7 & pq^7 & p^2q^7 & \ldots & p^iq^7 & \ldots & p^{13}q^7\\[5pt] \end{array}$ \item% Démontrer que $S(n) = \dfrac{1 - p^{14}}{1 - p} \times \dfrac{1 - q^8}{1 - q}$. La somme des $14\times 8=112$ diviseurs de $n$ est: $S(n)= \left (1 + p + p^2 + \ldots + p^{13}\right ) + \left (q + pq + p^2q + \ldots + p^{13}q\right ) + \ldots + \left (q^7 + pq^7 + p^2q^7 + \ldots + p^{13}q^7\right )\\[5pt] \phantom{S(n)} = \left (1 + p + p^2 + \ldots + p^{13}\right ) + \left (1 + p + p^2 + \ldots + p^{13}\right )q + \ldots + \left (1 + p + p^2 + \ldots + p^{13}\right )q^7\\[5pt] \phantom{S(n)} = \left ( 1+p+p^2+ \ldots + p^{13}\right )\left (1+q+q^2+ \ldots + q^7 \right ) = \dfrac{1-p^{14}}{1-p} \times \dfrac{1-p^{8}}{1-p}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \subsection*{\hfill{} Annexe \hfill{} } \begin{center} \vspace{1cm} {\textbf{Exercice 1}} \vspace{1cm} \psset{xunit=1.7cm,yunit=6.8cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-0.15)(6.5,1.1) \multido{\n=0.0+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,-0.15)(\n,1.1)} \multido{\n=-0.1+0.1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(6.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.2,-0.1)(6.5,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(6.5,1.1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.1}{x 57 mul cos 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6.1}{1 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{0}{6.1}{1 x 57 mul cos sub 2.71828 x exp div} \uput[l](0.5,0.5){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[ur](1,0.38){\red $\mathcal{C}_g$} \uput[ul](0.5,0.08){\black $\mathcal{C}_h$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Polynésie 9 septembre 2015 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %%%%%%%%% début Antilles-Guyane 12 septembre 2015 \hypertarget{Antillessep}{} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{12 septembre 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2015~\decofourright}} \end{center} \phantomsection \label{Antillessep} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ par $f_n(x) = x^2 \text{e}^{- 2nx}$ On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\: \text{d}x$. \bigskip \subsubsection*{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f_1$ \unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $f_1$ est définie sur $\R$ par $f_1(x) = x^2\text{e}^{-2x}$. On admet que $f_1$ est dérivable sur $\R$ et on note $f_1'$ sa dérivée. \begin{enumerate} \item% Justifier que pour tout réel $x,\: f_1'(x) = 2x\text{e}^{-2x}(1 - x)$. $f_1'(x)=2x\times \e^{-2x} + x^2\times (-2)\e^{-2x}=2x\e^{-2x}-2x^2\e^{-2x}=2x\e^{-2x}(1-x)$ \item% Étudier les variations de la fonction $f_1$ sur $\R$. Pour déterminer les variations de la fonction $f_1$, on étudie le signe de $f_1'$ sur $\R$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *6{c} c|} \hline x & -\infty & \hspace*{\esp} & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline x & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\ \hline \e^{-2x} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\ \hline 1-x & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline f_1'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline % & \Rnode{max1}{A} & & & & \Rnode{max2}{C} & & \\ %f (x) & & & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ % & & & \Rnode{min1}{B} & & & & \Rnode{min2}{D} \rule{0pt}{\hauteur} %\ncline{->}{max1}{min1} %\ncline{->}{min1}{max2} %\ncline{->}{max2}{min2} \\ %\hline \end{array}$ } \end{center} Donc la fonction $f_1$ est strictement décroissante sur les intervalles $\cg -\infty\,;\, 0\cg$ et $\cd 1\,;\, +\infty\cd$, et elle est strictement croissante sur l'intervalle $\cd0\,;\,1\cg$. \item% Déterminer la limite de $f_1$ en $- \infty$. On calcule la limite de $f_1$ en $\-\infty$: $\left. \begin{array}{r} \ds\lim_{x\to -\infty}x^2 = +\infty\\ \left. \begin{array}{r} \ds\lim_{x\to -\infty} -2x = +\infty\\ \text{On pose }X =-2x\\ \ds\lim_{X\to +\infty} \e^{X} = +\infty \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{x\to -\infty} \e^{-2x}=+\infty \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{x\to -\infty} f_1(x)=+\infty $ \item% Vérifier que pour tout réel $x,\: f_1(x) = \left(\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)^2$. En déduire la limite de $f_1$ en $+ \infty$. Pour tout réel $x$, $f_1(x)=x^2\e^{-2x} = x^2 \left (\e^{-x}\right )^2 = \left (x\e^{-x}\right )^2 = \left ( \dfrac{x}{\e^{x}}\right )^2$ On sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x} = +\infty$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^{x}} = 0$ et donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \left (\dfrac{x}{\e^{x}}\right )^2 = 0$: $\ds\lim_{x\to +\infty} f_1(x)=0$ \end{enumerate} \item En utilisant un système de calcul formel, on trouve qu'une primitive $F_1$ de la fonction $f_1$ est donnée par $F_1(x) = - \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4}\right)$. %En déduire la valeur exacte de $I_1$. $F_1$ est une primitive de $f_1$ donc: $I_1=\ds\int_0^1 f_1(x) \d x = F_1(1)-F_1(0) =\left ( -\e^{-2}\left ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right )\right ) - \left ( -\e^{0}\left ( 0+0+\dfrac{1}{4}\right )\right ) = -\dfrac{5\e^{-2}}{4} +\dfrac{1}{4}$ \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B : Étude de la suite \boldmath $\left(I_n\right)$\unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item% Interpréter graphiquement la quantité $I_n$. $I_n= \ds\int_0^1 f_n(x)\d x = \ds\int_0^1 x^2\e^{-2nx}\d x$ Sur $\cd 0\,;\, 1\cg$, $x^2 \pg 0$ et $\e^{-2nx}>0$ donc $f_n(x)\pg 0$ On en déduit que $I_n$ représente, en unités d'aire, l'aire du domaine défini par l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x\,;\,y)$ telles que $0 \pp x \pp 1$ et $0 \pp y \pp f_n(x)$. \item% Émettre alors une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite $\left(I_n\right)$. Expliciter la démarche qui a mené à cette conjecture. \begin{minipage}[t]{0.55\linewidth} \vspace*{0pt}\par Si on trace sur une calculatrice les représentations graphiques des fonctions $f_1$, $\red f_2$ et $\blue f_3$, on voit que sur $\cd 0\,;\, 1\cg$, $f_1(x) > {\red f_2(x)} > {\blue f_3(x)} >0$. Les intégrales entre 0 et 1 sont rangées dans le même ordre que les fonctions donc la suite $(I_n)$ semble décroissante et semble tendre vers 0. \par\vspace*{0pt} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\linewidth} \par\vspace*{0pt} \begin{flushright} \psset{xunit=4cm, yunit=13cm} \def\xmin {-0.1} \def\xmax {1.1} \def\ymin {-0.03} \def\ymax {0.15} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin} %\psgrid[subgriddiv=1, griddots=7, gridlabels=0, gridcolor=black] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,-0.01)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){$O$} %\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,180] \psplot[plotpoints=2000]{0}{1}{x x 2.718 -2 x mul exp mul mul} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=red]{0}{1}{x x 2.718 -4 x mul exp mul mul} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{1}{x x 2.718 -6 x mul exp mul mul} \psline[linestyle=dashed,linecolor=gray](1,0)(1,0.135) \uput[d](1,0){1} \end{pspicture} \end{flushright} \par\vspace*{0pt} \end{minipage} \medskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], $f_{n+1}(x) = \text{e}^{-2x}f_n(x)$ $f_{n+1}(x)=x^2 \e^{-2(n+1)x} = x^2 \e^{-2nx -2x} = x^2 \e^{-2nx}\times \e^{-2x} = \e^{-2x} f_n(x)$ \item% En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], \[f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x).\] $x\in \cd 0\,;\, 1\cg \iff 0 \pp x \pp 1 \iff -2 \pp -2x \pp 0 \iff \e^{-2} \pp \e^{-2x} \pp \e^{0} \implies \e^{-2x}\pp 1$ Sur $\cd 0\,;\, 1\cg$ $\left. \begin{array}{@{} l} f_n(x) \pg 0\\ \e^{-2x}\pp 1 \end{array} \right\rbrace \implies \e^{-2x} f_n(x)\pp f_n(x) \iff f_{n+1}(x) \pp f_n(x)$ \item% Déterminer alors le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$. Sur $\cd 0\,;\, 1\cg$ et pour tout $n\pg 1$, $f_{n+1}(x) \pp f_n(x)$ donc, d'après la positivité de l'intégration: $\ds\int_0^1 f_{n+1}(x) \d x \pp \ds\int_0^1 f_{n}(x) \d x$ ou autrement dit $I_{n+1} \pp I_n$. La suite $(I_n)$ est donc décroissante. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item% Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], \[0 \leqslant f_n(x) \leqslant \text{e}^{-2x}.\] %On a déjà vu que, pour tout $x$ de $\cd 0\,;\, 1\cg$, $f_n(x) \pg 0$. Sur $\cd 0\,;\, 1\cg$, $0\pp x^2 \pp 1$ donc, en multipliant par $\e^{-2x}>0$, on obtient $0 \pp x^2 \e^{-2nx} \pp \e^{-2nx}$ autrement dit: $0 \pp f_n(x) \pp \e^{-2nx}$ \item% En déduire un encadrement de la suite $\left(I_n\right)$, puis sa limite. $0 \pp f_n(x) \pp \e^{-2nx}$ donc, d'après la positivité de l'intégration: $\ds\int_0^1 0 \d x \pp \ds\int_0^1 f_n(x) \d x \pp \ds\int_0^1 \e^{-2nx} \d x \iff 0 \pp I_n \pp \ds\int_0^1 \e^{-2nx} \d x$ La fonction $x \longmapsto \e^{-2nx}$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto -\dfrac{\e^{-2nx}}{2n}$. Donc $\ds\int_0^1 \e^{-2nx} \d x = \left [ -\dfrac{\e^{-2nx}}{2n} \right ]_0^1 = -\dfrac{\e^{-2n}}{2n} + \dfrac{1}{2n}$ $\left. \begin{array}{@{} r} \left. \begin{array}{@{} r} \ds\lim_{n\to+\infty} \e^{-2n} =0\\ \ds\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{2n}=0 \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{n\to+\infty} -\dfrac{\e^{-2n}}{2n}=0\\ \ds\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{2n}=0 \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{n\to+\infty} -\dfrac{\e^{-2n}}{2n} + \dfrac{1}{2n}=0$ donc $\ds\lim_{n\to+\infty} \int_0^1 \e^{-2nx} \d x=0$ On sait que pour tout $n\pg 1$, $0 \pp I_n \pp \ds \int_0^1 \e^{-2nx} \d x$ et que $\ds\lim_{n\to+\infty} 0= \ds\lim_{n\to+\infty} \int_0^1 \e^{-2nx} \d x=0$; donc, d'après le théorème des gendarmes, la suite $(I_n)$ est convergente et $\ds\lim_{n\to+\infty} I_n =0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points} \medskip Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois. \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]40\,\% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d'orange ; \item[$\bullet~~$]25\,\% des bouteilles de jus d'orange vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de \og pur jus \fg{} est notée $x$, où $x$ est un réel de l'intervalle [0~;~1]. Par ailleurs, 20\,\% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg. On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants : $R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange; $J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de \og pur jus \fg. \bigskip \subsubsection*{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On représente cette situation à l'aide d'un arbre pondéré: \bigskip \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,nrot=:U,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$R$}\naput{0,4}} {\TR{$J$}\naput{0,25} \TR{$\overline{J}$}\nbput{\red $1-0,25=0,75$} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{R}$}\nbput{\red $1-0,4=0,6$}} {\TR{$J$}\naput{$x$} \TR{$\overline{J}$}\nbput{\red $1-x$} } } \end{center} \bigskip \item% Déterminer la valeur exacte de $x$. On sait que 20\,\% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg{} donc $P(J)=0,2$. D'après la formule des probabilités totales: $P(J)= P(R \cap J) + P(\overline R \cap J) = P(R)\times P_R(J) + P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(J) = 0,4\times 0,25 + 0,6\times x = 0,1+0,6x$ $\left. \begin{array}{@{} l !{=} l} P(J) & 0,2\\ P(J) & 0,1 + 0,6x \end{array} \right\rbrace \implies 0,2 = 0,1+ 0,6x \iff x=\dfrac{1}{6} $ \item Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de \og pur jus \fg. C'est une bouteille de jus d'orange avec la probabilité $P_J(R) = \dfrac{P(R \cap J)}{P(J)} = \dfrac{0,1}{0,2}= \dfrac{1}{2}$ \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B} \medskip Afin d'avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des $500$ dernières bouteilles de jus de fruits vendues. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de \og pur jus \fg{} dans ce lot. On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces $500$ bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise. \medskip \begin{enumerate} \item% Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. On en donnera les paramètres. On prend au hasard une bouteille dans un lot de 500; il n'y a que deux issues possibles: elle est \og pur jus\fg{} avec une probabilité égale à $p=0,2$ ou elle ne l'est pas avec la probabilité $1-p=0,8$. On répète de façon indépendante 500 fois cette épreuve donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de bouteilles \og pur jus\fg{} suit la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,2$. \item% Déterminer la probabilité pour qu'au moins 75 bouteilles de cet échantillon de $500$ bouteilles soient de \og pur jus \fg. On arrondira le résultat au millième. On cherche $P(X\pg 75)$ qui est égal à $1-P(X\pp 74)$. \`A la calculatrice on trouve $P(X\pp 74)\approx \np{0,0016}$ ce qui donne $0,998$ pour la probabilité cherchée. \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie C} \medskip Un fournisseur assure que 90\,\% des bouteilles de sa production de pur jus d'orange contiennent moins de 2\,\% de pulpe. Le service qualité du supermarché prélève un échantillon de 900 bouteilles afin de vérifier cette affirmation. Sur cet échantillon, $766$~bouteilles présentent moins de 2\,\% de pulpe. \medskip \begin{enumerate} \item Un intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de bouteilles contenant moins de 2\,\% de pulpe au seuil de 95\,\% est donné par: \[I=\left[ p-1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}} \,;\, p+1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}} \right] \] sous les conditions $n\pg 30$, $np\pg 5$ et $n(1-p)\pg 5$. Or $p=0,9$ et $n=900\pg 30$, donc $np=810\pg 5$ et $n(1-p)=90 \pg 5$ On peut déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% de la proportion de bouteilles contenant moins de 2\,\% de pulpe: $I= \left [ \np{0,8804}\,;\,0,9196 \right ]$ \item% Que penser de l'affirmation du fournisseur ? Dans l'échantillon, il y a 766 bouteilles présentant moins de 2\,\% de pulpe, donc la fréquence de bouteilles présentant moins de 2\,\% de pulpe est de $\dfrac{766}{900} \approx 0,851$. Cette fréquence observée est en dehors de l'intervalle $I$, donc l'affirmation du fournisseur semble erronée. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points} \medskip %\emph{Les trois questions sont indépendantes.} % %\smallskip % %\emph{Toute réponse doit être justifiée.} % %\medskip \begin{enumerate} \item On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $\ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) - 1$ %La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ? $\ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) - 1 \iff \ln \left(u_{n+1}\right) -\ln \left(u_{n}\right)= -1 \iff \ln \left(\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)= \ln(\e^{-1}) \iff \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \e^{-1}\\ \phantom{\ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) - 1} \iff u_{n+1} = \e^{-1} u_n $ Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $\e^{-1}$. \item Soit $\left(v_n\right)$ une suite à termes strictement positifs. On définit la suite $\left(w_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: w_n = 1 - \ln \left(v_{n}\right)$. On appelle $(\mathcal{P})$ la proposition suivante: si la suite $\left(v_{n}\right)$ est majorée alors la suite $\left(w_{n}\right)$ est majorée. Soit la suite définie pour tout naturel par $v_n = \dfrac{1}{n+1}$ : elle est bien à termes positifs et elle est majorée par 1. Or pour tout naturel $n$, \: $w_n = 1 -\ln \left(\dfrac{1}{n+1} \right) = 1 + \ln (n + 1)$ ; cette suite n'est pas majorée. La proposition $(\mathcal P)$ est fausse. \item La suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes est définie par $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} z_0 & 2 + 3\text{i}\\ z_{n+1} & \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \i \dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)z_n,\ \forall n\in \N \end{array} \right. $ %Pour quelles valeurs de $n$,\: $\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ? $z_{n+1} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \i \dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)z_n \implies \left |z_{n+1}\right | = \left |\left(\dfrac{\ds\sqrt{2}}{4} + \i \dfrac{\ds\sqrt{6}}{4} \right)z_n\right | \iff \left |z_{n+1}\right | = \left |\dfrac{\ds\sqrt{2}}{4} + \i \dfrac{\ds\sqrt{6}}{4} \right | \times \left |z_n\right | $ $\left |\dfrac{\ds\sqrt{2}}{4} + \i \dfrac{\ds\sqrt{6}}{4} \right |^2 = \left( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{4}\right) + \left( \dfrac{\ds\sqrt{6}}{4}\right)^2 = \dfrac{2}{16} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$ donc $\left |\dfrac{\ds\sqrt{2}}{4} + \i \dfrac{\ds\sqrt{6}}{4} \right | = \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}$ Pour tout $n$, $|z_{n+1}| = \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}|z_n|$ donc la suite $(|z_n|)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $|z_0|=\left |2+3\i\right | = \ds\sqrt{2^2+3^2} = \ds\sqrt{13}$ D'après les propriétés des suites géométriques, pour tout $n$, $|z_n| = |z_0|\times q^n = \ds\sqrt{13} \left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )^n$. Tous les termes de la suite géométrique $(|z_n|)$ sont positifs; la raison de cette suite est strictement comprise entre $0$ et $1$ donc cette suite est décroissante et converge vers 0. Il y aura donc un plus petit rang $n_0$ tel que $|z_{n_0}| \pp 10^{-20}$ et pour tout $n\pg n_0$ on aura $|z_{n}| \pp 10^{-20}$. On cherche donc $n$ tel que $|z_n| \pp 10^{-20}$ ce qui équivaut à: $\begin{array}{@{} l !{\iff} l l} \ds\sqrt{13} \left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )^n \pp 10^{-20} & \left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )^n \pp \dfrac{10^{-20}}{\ds\sqrt{13}} & \\[7pt] & \ln\left (\left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )^n\right ) \pp \ln \left ( \dfrac{10^{-20}}{\ds\sqrt{13}}\right ) & \text{croissance de la fonction ln} \\[7pt] & n\times \ln\left( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right) \pp \ln \left( \dfrac{10^{-20}}{\ds\sqrt{13}}\right) & \text{propriété de la fonction ln} \\[7pt] & n \pg \dfrac{\ln\left (\dfrac{10^{-20}}{\ds\sqrt{13}} \right )}{\ln\left (\dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )} & \text{car } \ln\left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )<0 \end{array}$ $\dfrac{\ln\left (\dfrac{10^{-20}}{\ds\sqrt{13}} \right )}{\ln\left (\dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )} \approx 136,6$ donc pour $n\pg 137$, on a $|z_n| \pp 10^{-20}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} \medskip Soit $ABCDEFGH$ le cube ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(8.5,8.5) \psframe(0.5,0.5)(5.5,5.5)%DCGH \psline(5.5,0.5)(7.6,2.3)(7.6,7.3)(5.5,5.5)%CBFG \psline(7.6,7.3)(2.6,7.3)(0.5,5.5)%FEH \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.6,2.3)(7.6,2.3)%DAB \psline[linestyle=dashed](2.6,2.3)(2.6,7.3)%AE \uput[dr](2.6,2.3){$A$} \uput[r](7.6,2.3){$B$} \uput[dr](5.5,0.5){$C$} \uput[dl](0.5,0.5){$D$} \uput[u](2.6,7.3){$E$} \uput[u](7.6,7.3){$F$} \uput[ul](5.5,5.5){$G$} \uput[ul](0.5,5.5){$H$} \end{pspicture} \end{center} On se place dans le repère orthonormé $\left(A~;~\vect{{AB}},\: \vect{{AD}},\: \vect{{AE}}\right)$. Donc $A\,(0\,;\,0\,;\,0)$, $B\,(1\,;\,0\,;\,0)$, $D\,(0\,;\,1\,;\,0)$ et $E\,(0\,;\,0\,;\,1)$ \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Montrer que la droite (DB) admet pour représentation paramétrique % \[\left\{\begin{array}{l c l} %x &=& \phantom{1 -}s\\ %y &=& 1 - s ,\\ %z &=& \phantom{1 -}0 %\end{array}\right.,\: \text{où s décrit l'ensemble } \R\: \text{des nombres réels}.\] La droite $(DB)$ a pour vecteur directeur $\vect{DB}\,( 1 \,;\, -1 \,;\, 0 )$. Elle passe par le point $D$. C'est donc l'ensemble des points $M\,(x\,;\,y\,;\,z)$ tels que $\vect{DM}$ et $\vect{DB}$ sont colinéaires, c'est-à-dire l'ensemble des points $M$ tels que $\vect{DM} = s\,\vect{DB}$ où $s \in \R$. Cela s'écrit $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x -0 & 1\times s\\ y -1 & (-1)\times s\\ z -0& 0 \times s \end{array}\right.$ ou encore $\left\{\begin{array}{l !{=} r l} x & s\\ y & 1 - s & \text{où } s \in \R\\ z & \phantom{1 -}0 \end{array}\right.$ \item% Montrer que les points de la droite (AG) sont les points de coordonnées $(t~;~t~;~t)$ où $t$ est un réel. La droite $(AG)$ est l'ensemble des points $M\,(x\,;\,y\,;\,z)$ tels que $\vect{AM}$ et $\vect{AG}$ soient colinéaires, c'est-à-dire tels que $\vect{AM} = t\,\vect{AG}$ où $t\in \R$. $\vect{AG} = \vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CG} = \vect{AB} + \vect{AD} + \vect{AE}$ donc $G$ a pour coordonnées $(1\,;\,1\,;\,1)$. $\vect{AM} = t\,\vect{AG} \iff \left\{\begin{array}{l !{=} r l} x-0 & 1\times t\\ y-0 & 1\times t \\ z-0 & 1\times t \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l !{=} r l} x & t\\ y & t & \text{où } t \in \R\\ z & t \end{array}\right. $ \end{enumerate} \item Soit $M$ un point quelconque de la droite (DB) et $N$ un point quelconque de la droite (AG). Le point $M$ a donc pour coordonnées $(s\,;\, 1-s\,;\, 0)$ où $s\in\R$, et le point $N$ a pour coordonnées $(t\,;\, t\,;\, t)$ où $t\in\R$. Alors $\vect{MN}$ a pour coordonnées $(t-s\,;\, t-1+s\,;\, t)$. La droite $(MN)$ est perpendiculaire aux deux droites $(AG)$ et $(DB)$ si et seulement si d'une part les vecteurs $\vect{MN}$ et $\vect{AG}$ sont orthogonaux, et si d'autre part les vecteurs $\vect{MN}$ et $\vect{DB}$ sont orthogonaux.; autrement dit si $\vect{MN}\,.\,\vect{AG}=0$ et $\vect{MN}\,.\,\vect{DB}=0$. $\vect{MN}\,.\,\vect{AG}=0 \iff (t-s)\times 1 + (t-1+s)\times 1 + t \times 1 = 0 \iff t-s+t-1+s+t=0 \iff 3t=1 \iff t=\dfrac{1}{3} $ $\vect{MN}\,.\,\vect{DB}=0 \iff (t-s)\times 1 + (t-1+s)\times (-1) + t \times 0 = 0 \iff t-s -t+1-s =0 \iff 1=2s \iff s=\dfrac{1}{2} $ Les coordonnées de $M$ sont donc $\left( \dfrac{1}{2}\,;\, \dfrac{1}{2}\,;\, 0\right )$ et celles de $N$ sont $\left( \dfrac{1}{3}\,;\, \dfrac{1}{3}\,;\, \dfrac{1}{3}\right )$. \item Soit $s$ et $t$ deux réels quelconques. On note $M(s~;~1 - s~;~0)$ un point de la droite $(DB)$ et $N(t~;~t~;~t)$ un point de la droite $(AG)$. \begin{enumerate} \item% Montrer que $MN^2 = 3 \left(t - \frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{6}$. Le vecteur $\vect{MN}$ a pour coordonnées $(t-s\,;\, t-1+s\,;\, t)$ donc $MN^2=(t-s)^2+(t-1+s)2+t^2 = t^2-2ts+s^2 + t^2+1+s^2 -2t -2s +2ts +t^2 = 3t^2 -2t +2s^2 -2s+1$ $3\left( t-\dfrac{1}{3} \right)^2 + 2\left( s-\dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{6} = 3\left( t^2 -\dfrac{2}{3}t + \dfrac{1}{9} \right) + 2\left( s^2-s+\dfrac{1}{4} \right) + \dfrac{1}{6}\\ \phantom{3\left( t-\dfrac{1}{3} \right)^2 + 2\left( s-\dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{6}} = 3t^2 - 2t + \dfrac{1}{3} + 2s^2 -2s +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = 3t^2 -2t +2s^2 -2s+1$ Donc $MN^2=3\left( t-\dfrac{1}{3} \right)^2 + 2\left( s-\dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{6}$ \item% En déduire la position des points $M$ et $N$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale. % %Que peut-on dire de la droite $(MN)$ dans ce cas ? La distance $MN$ est minimale quand le nombre $MN^2$ est minimal; $MN^2$ est la somme de trois nombres positifs ou nuls qui sera minimale si chaque nombre est minimal. Autrement dit pour que $MN^2$ soit minimal, il faut que $\left( t-\dfrac{1}{3} \right)^2$ et $\left( s-\dfrac{1}{2} \right)^2$ soient minimaux. Les carrés seront minimaux s'ils sont nuls donc pour $t=\dfrac{1}{3}$ et $s=\dfrac{1}{2}$. Dans ce cas, on a vu que la droite $(MN)$ était la perpendiculaire commune aux deux droites $(AG)$ et $(BD)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} \medskip \subsubsection*{Partie A} \medskip On considère l'équation $51x - 26y = 1$ où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item% Justifier, en énonçant un théorème du cours, que cette équation admet au moins un couple solution. $51=3\times 17$ et $26=2\times 13$ donc les deux nombres 51 et 26 sont premiers entre eux; d'après le théorème de Bézout, on peut en déduire que l'équation $51x - 26y = 1$ admet des solutions en entiers relatifs. \item \begin{enumerate} \item% Donner un couple solution $\left(x_0~;~y_0\right)$ de cette équation. Comme $2\times 26 = 52 = 51+1$, on a: $(-1)\times 51 - (-2)\times 26 = 1$ donc le couple $(x_0\,;\,y_0) = (-1\,;\,-2)$ est solution de l'équation. \item% Déterminer l'ensemble des couples solutions de cette équation. On cherche un couple $(x\,;\,y)$ solution donc tel que $51x-26y=1$; or le couple $(x_0\,;\,y_0)$ est solution. On a donc: \begin{center} $\begin{array}{l !{-} l !{=} l} 51x & 26 y & 1\\ 51x_0 & 26 y_0 & 1\\ \hline 51\,(x-x_0) & 26\,(y-y_0) & 0 \end{array}$ \end{center} $51\,(x-x_0) - 26\,(y-y_0) = 0 \iff 51\,(x-x_0) = 26\,(y-y_0)$ $51$ divise $26\,(y-y_0)$; or 51 et 26 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss, 51 divise $y-y_0$. On peut donc écrire $y-y_0=51k$ avec $k\in \Z$. $51\,(x-x_0) = 26\,(y-y_0)$ et $y-y_0=51k$ donc $51\,(x-x_0) = 26\times 51k$ et donc $x-x_0=26k$. Si $(x\,;\,y)$ est solution, alors $x=x_0+26k = -1+26k$ et $y=y_0+51k = -2+51k$, avec $k\in \Z$. réciproquement, si $x=-1+26k$ et $y= -2+51k$, où $k\in \Z$, alors $51x-26y=1$ donc le couple $(x\,;\,y)$ est solution de l'équation $51x-26y=1$. L'ensemble des couples solutions de l'équation $51x-26y=1$ est donc l'ensemble des couples $(-1+26k\,;\,-2+51k)$ avec $k\in\Z$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B} \medskip On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Afin de coder une lettre de l'alphabet, correspondant à un entier $x$ compris entre $0$ et $25$, on définit une fonction de codage $f$ par $f(x) = y$, où $y$ est le reste de la division euclidienne de $51x + 2$ par $26$. La lettre de l'alphabet correspondant à l'entier $x$ est ainsi codée par la lettre correspondant à l'entier $y$. \medskip \begin{enumerate} \item% Coder la lettre N. La lettre N correspond à $x=13$ donc $51x+2 = 51\times 13+2= 665$. Comme $665=25\times 26+15$, le reste de la division de 665 par 26 est 15 et $f(13)=15$. Le nombre 15 correspond à la lettre P donc la lettre N est codée en P. \item $51a \equiv 1\:\:[26]$ signifie que $51a$ s'écrit $1+26b$ avec $b\in\Z$. $51a=1+26b \iff 51a-26b=1$ donc, d'après la partie A, $a=-1+26k$ avec $k\in \Z$. On cherche $k$ de $\Z$ pour que $0\pp a\pp 25$ donc on prend $k=1$ ce qui donne $a=25$. L'entier $a$ tel que $0\pp a\pp 25$ et $51a \equiv 1\:\:[26]$ est $a=25$. \item% Démontrer que si la lettre correspondant à un entier $x$ est codée par une lettre correspondant à un entier $y$, alors $x$ est le reste de la division euclidienne de $ay + 2$ par $26$. On suppose que la lettre correspondant à un entier $x$ est codée par la lettre correspondant à un entier $y$; alors $y$ es le reste de la division de $51x+2$ par 26 ce qui signifie que $y\equiv 51x+2~[26]$ et $0\pp y\pp 15$. $a=25$ donc $ay+2=25y+2$ $y\equiv 51x+2~[26] \implies 25y \equiv 25\times 51x + 25\times 2~[26] $ On sait que $51a\equiv 1~[26]$ donc $51\times 25 \equiv 1~[26]$ et donc $25\times 51x \equiv x~[26]$ On peut donc dire que $25y \equiv x + 50~[26]$ donc que $25y+2 \equiv x + 52~[26]$. Or $52=2\times 26$ donc $52\equiv 0~[26]$. Donc $25y + 2\equiv x~[26]$ On sait que $x$ est le nombre correspondant à une lettre donc $0\pp x\pp 25$. $\left. \begin{array}{l} 25y + 2\equiv x~[26]\\ 0\pp x\pp 25 \end{array} \right\rbrace \implies x \text{ est le reste de la division de } 25y+2 \text{ par } 26 $ \item% Déterminer alors la lettre qui est codée par la lettre N. La lettre N correspond au nombre 13. On cherche donc le nombre $x$ tel que $y=f(x)$ soit égal à 13. Si $y=13$, alors $x$ est le reste de la division de $25y+2$ par 26. $25\times 13+2 = 327$ et $327 = 26\times 12 + 15$ donc $x=15$ La lettre qui est codée N correspond au nombre 15 donc c'est P. \item% On applique $100$ fois de suite la fonction de codage $f$ à un nombre $x$ correspondant à une certaine lettre. Quelle lettre obtient-on? Soit une lettre $\Omega$ correspondant au nombre $x$. Elle se code en une lettre $\Omega_1$ correspondant au nombre $x_1$, reste de la division de $51x+2$ par 26, donc $x_1\equiv 51x+2~[26]$. Si on cherche à coder $\Omega_1$, on aura la lettre $\Omega_2$ correspondant au reste $x_2$ de la division de $51x_1 + 2$ par 26 donc $x_2 \equiv 51x_1+2~[26]$. $\left. \begin{array}{@{} l !{\equiv} l} x_1 & 51x+2~[26]\\ x_2 & 51x_1+2~[26] \end{array} \right\rbrace \implies x_2 \equiv 51\,(51x+2)+2~[26] \iff x_2 \equiv \np{2601}x+ 104~[26] $ $\np{2601} = 26\times 100+1$ donc $\np{2601} \equiv 1~[26]$ et donc $\np{2601}x \equiv x~[26]$ $104 = 26\times 4$ donc $104\equiv 0~[26]$ Donc $x_2 \equiv \np{2601}x+ 104~[26] \iff x_2 \equiv x~[26]$ Et comme $x$ et $x_2$ sont tous les deux des restes dans la division par 26, $x_2=x$. Cela veut dire que si on applique deux fois la fonction de codage $f$ à un nombre correspondant à une certaine lettre, on retrouve ce nombre : $f(f(x))=x$. Ce sera encore vrai si on applique un nombre pair de fois la fonction de codage. Donc si on applique 100 fois de suite la fonction de codage $f$ à un nombre correspondant à une certaine lettre, on obtient la lettre du départ. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Antilles Guyane 12 septembre 2015 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %%%%%%%%%% Début Nouvelle Calédonie 19 novembre 2015 \hypertarget{Caledonienov}{} %%% Corrigé Fabien Pucci %%% quelques transformations par François Hache \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{19 novembre 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Nouvelle-Calédonie ~\decofourright\\[4pt]19 novembre 2015}} \end{center} \phantomsection \label{Caledonienov} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On regroupe les données de l'énoncé dans un arbre pondéré: \medskip \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,nrot=:U,treesep=1cm, levelsep=3cm]{\Tp}{% \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,7$}}{% \TR{$S$}\naput{$0,17$} \TR{$\overline S$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,7=0,3$}}{% \TR{$S$}\naput{$0,1$} \TR{$\overline S$} } } \end{center} \begin{enumerate} \item Il suffit de lire l'énoncé: $P(A\cap S)=P(A)\times P_A(S)=0,7\times 0,17 = 0,119$. \item %On calcule la probabilité de $S$ à travers la partition que forment les événements $A$ et $B$: D'après la formule des probabilités totales: \begin{align*} P(S) & = P(A\cap S) + P(B\cap S) = 0,119 + P(B)\times P_B(S)\\ & = 0,119 + 0,3\times 0,1 = 0,149 \end{align*} \item La probabilité cherchée correspond à $P_S(A)=\dfrac{P(A\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0,119}{0,149}\approx 0,799$. \item Soit $p$ la proportion sur l'ensemble de la production de la source A de bouteilles contenant de l'eau très peu calcaire. La fréquence observée sur l'échantillon de taille $n=1000$ est $f_{obs}=\dfrac{211}{1000}=0,211$. Comme $n=1000\pg 30$, $nf_{obs}=211\pg 5$ et $n\big(1-f_{obs}\big)=789\pg 5$, les conditions d'application du théorème de Moivre-Laplace sont vérifiées et on peut proposer un intervalle de confiance au seuil de 95\% qui est: $$\left[f_{obs}-\dfrac1{\sqrt n}\,;\: f_{obs}+\dfrac1{\sqrt n}\right] \approx \left[0,179\,;\: 0,243\right]$$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Comme $\mu=8$ et $\sigma=1,6$, $P(6,4\pp X \pp 9,6)=P(\mu-\sigma\pp X\pp \mu+\sigma)\approx 0,683$. \item \`A la calculatrice, on trouve: $P(X\pp 6,5) \approx 0,174.$ \item La question revient à résoudre l'équation en $\sigma$: $P(Y\pp 6,5)=0,1$. D'après le cours, si la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance 9 et d'écart type $\sigma$, alors la variable aléatoire $Z=\dfrac{Y-9}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite. $Y\pp 6,5 \iff Y-9\pp -2,5 \iff \dfrac{Y-9}{\sigma} \pp -\dfrac{2,5}\sigma \iff Z \pp -\dfrac{2,5}\sigma$ donc $P(Y\pp 6,5)=0,1 \iff P\left ( Z \pp -\dfrac{2,5}{\sigma}\right ) \pp 0,1$ \smallskip On cherche, à la calculatrice, le réel $\beta$ tel que $P(Z \pp \beta) = 0,1$ sachant que $Z$ suit la loi normale centrée réduite; on trouve $\beta \approx -1,282$. $$\beta \approx -1,282 \iff -\dfrac{2,5}\sigma\approx -1,282 \iff \sigma \approx 1,95$$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Comme $a \cos x \pg 0$ sur $\left]-\dfrac\pi2\,;\: \dfrac\pi2\right[$ avec $a\in \R_+^*$, l'aire du domaine cherchée correspond, en unités d'aire, à la valeur de l'intégrale $$\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} a\cos x \,\text{d}x = a\big[\sin x\big]_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}=a\big(1-(-1)\big)=2a$$ \item Le problème revient à résoudre l'équation en $a$: $$2a-\pi\left(\dfrac a2\right)^2=\pi\left(\dfrac a2\right)^2 \iff a-\pi\left(\dfrac a2\right)^2=0 \iff a\left(4-\pi a\right)=0$$ Comme $a$ est strictement positif, la seule solution possible est $a=\dfrac4\pi>0$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item $f_a$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R$ donc dérivable sur $\R$ et on a: $\forall x \in \R, \: f_a'(x)=\e^{x-a}-2$ $f'_a(x)>0 \iff \e^{x-a}-2 >0 \iff \e^{x-a}>2 \iff x-a > \ln 2 \iff x > a+\ln 2$ $f'_a(x)$ s'annule et change de signe pour $x=a+\ln 2$ en étant négatif puis positif donc $f_a$ admet un minimum en $a+\ln 2$ égal à $f_a(a+\ln 2)=\e^{a=\ln 2 - a} -2(a+\ln 2)+\e^{a}=2-2a-2\ln 2+ \e^{a}$. % \begin{center} %\begin{tikzpicture} %\tkzTab[lgt=1.5,espcl=2.5]{ $x$ / .7,$f_a'(x)$ / .7, %$f_a$ / 2} %{ $-\infty$ , $a+\ln 2$ ,$+\infty$} %{ ,-,z,+,} %{ +/ , -/$f_a(a+\ln 2)$ , +/}% %\end{tikzpicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *4{c} c|} \hline x & -\infty & \hspace*{\esp} & a+\ln 2 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline f_a'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & \Rnode{max1}{~} & & & & \Rnode{max2}{~} \\ f_a & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min}{f_a(a+\ln 2)} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item En $a+\ln 2$, on a $f_a(a+\ln 2)=2-2a-\ln 2+\e^a$. Afin de minimiser ce minimum, on étudie les variations de la fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ et définie par $\varphi(a)=2-2a-\ln 2+\e^a$ $\varphi'(a)=-2+\e^a$; $-2+\e^a >0 \iff \e^{a}>2 \iff a>\ln 2$ $\varphi'(a)$ s'annule et passe de négatif à positif en $a=\ln 2$. %\begin{center} %\begin{tikzpicture} %\tkzTab[lgt=1.5,espcl=2.5]{ $x$ / .7,$\varphi'(x)$ / .7, %$\varphi$ / 2} %{ $-\infty$ , $\ln 2$ ,$+\infty$} %{ ,-,z,+,} %{ +/ , -/$4-3\ln 2$ , +/}% %\end{tikzpicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *4{c} c|} \hline x & -\infty & \hspace*{\esp} & \ln 2 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline \varphi'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & \Rnode{max1}{~} & & & & \Rnode{max2}{~} \\ \varphi & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min}{4-4\ln 2} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} Prendre $a=\ln 2$, minimise donc le minimum de $f_a$ qui est égal à \\ $\varphi(\ln 2)= 2-2\ln 2 - 2\ln 2 +\e^{\ln 2} = 4-4\ln 2$. \end{enumerate} %\pagebreak \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Il suffit de prendre un contre-exemple pour montrer que $(P_2)$ est fausse. Par exemple, le triplet $(1; \, 1;\, 1)$ convient: $1^2+1^2+1^2=3\pg \dfrac13$ mais $1+1+1=3\neq 1$. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Il suffit de vérifier que les trois points non alignés $B$, $D$ et $E$ appartiennent au plan d'équation $x+y+z=1$. Avec $B\big(1;\, 0;\, 0\big)$, $D\big(0;\, 1;\, 0\big)$ et $E\big(0;\, 0;\, 1\big)$, c'est bien le cas: $$1+0+0=0+1+0=0+0+1=1$$ \item\label{QExoIIIBac} Il suffit de montrer que le vecteur $\vect{AG}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BDE)$. Prenons $\vect{BD}$ et $\vect{BE}$, par exemple. On a: \begin{align*} \vect{AG}.\vect{BD}=\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -1 \\1 \\0 \end{pmatrix}=-1+1+0=0 & \implies \vect{AG}\perp\vect{BD}\\ \vect{AG}.\vect{BE}=\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -1 \\0 \\1 \end{pmatrix}=-1+0+1=0 & \implies \vect{AG}\perp\vect{BE} \end{align*} Donc la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$. \item D'après la question précédente, on sait que $(AG)$ et $(BDE)$ sont sécants en un unique point. Il suffit donc de prouver que $K$ appartient à la droite et au plan. \begin{itemize} \item Comme $\vect{AK}=\dfrac13\vect{AG}$, le point $K$ appartient à $(AG)$. \item Comme $\dfrac13+\dfrac13+\dfrac13=1$, le point $K$ appartient à $(BDE)$. \end{itemize} Donc $K$ est l'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BDE)$. \end{enumerate} \item Les côtés du triangle $BDE$ sont les diagonales des faces du cube qui sont isométriques donc ils sont de même longueur et $BDE$ est un triangle équilatéral. \item \begin{enumerate} \item Si $M$ est un point du plan $(BDE)$ distinct de $K$, d'après la question \eqref{QExoIIIBac}, le triangle $AMK$ est rectangle en $K$. D'après le théorème de Pythagore, on a alors: $$AM^2=AK^2+MK^2$$ Si $M=K$, la relation est encore vraie donc elle est vraie pour tout point $M$ de $(BDE)$. \item\label{QExoIIIBacII} Comme $MK^2\pg 0$, la relation $AM^2\pg AK^2$ se déduit trivialement de la précédente. \item Soient $x$, $y$ et $z$ trois nombres réels vérifiant l'égalité $x+y+z=1$. Le point $M\big(x;\, y;\, z\big)$ appartient donc au plan $(BDE)$. D'après \eqref{QExoIIIBacII}, on a alors $AM^2\pg AK^2$ qui s'écrit, avec les coordonnées: $$x^2+y^2+z^2\pg \left(\dfrac13\right)^2+\left(\dfrac13\right)^2+\left(\dfrac13\right)^2=\dfrac13$$ L'implication $(P_1)$ est donc vraie. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} %\pagebreak \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item\label{QExoIVBacI} $\begin{cases} d_1 &=\dfrac12d_0+100=250 \\[5pt] a_1 &=\dfrac12d_0+\dfrac12a_0+70=445\end{cases}$ \item \begin{enumerate} \item On obtient en sortie $D=250$ et $A=420$. Ces résultats ne sont pas cohérents avec ceux obtenus à la question \eqref{QExoIVBacI}. \item Le problème de l'algorithme proposé est qu'il réutilise la variable $D$ pour le calcul de $A$ alors qu'elle a été modifiée. On corrige cela en utilisant une variable auxiliaire $E$, déclarée \og nombre réel\fg{} dans l'initialisation: \begin{center} \scalebox{1}{\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.2cm}X|}\hline Variables:& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\ &$D$, $A$ et $\red E$ sont des réels\\ Entrée:& Saisir $n$\\ Initialisation:& $D$ prend la valeur 300 \\ & $A$ prend la valeur $450$ \\ & Saisir la valeur de $n$\\ Traitement:& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\ &\hspace{0.4cm}\vline \; {\red $E$ prend la valeur $D$} \\ &\hspace{0.4cm}\vline \; $D$ prend la valeur $\dfrac D2+100$ \\[5pt] &\hspace{0.4cm}\vline \; $A$ prend la valeur $\dfrac A2+\dfrac{\red E}{2}+70$ \\ &Fin de Pour\\ Sortie:& Afficher $D$\\ & Afficher $A$ \\ \hline \end{tabularx}} \end{center} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Par définition, on a: $$e_{n+1}=d_{n+1}-200=\dfrac12d_n-100=\dfrac12\big(d_n-200\big)=\dfrac12e_n$$ La suite $(e_n)_{n\in \N}$ est donc géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $e_0=d_0-200=100$. \item D'après la question précédente, on a $e_n=\left(\dfrac12\right)^ne_0=100\left(\dfrac12\right)^n$. $$\text{D'où } \; e_n=d_n-200 \iff d_n=100\left(\dfrac12\right)^n+200$$ Comme $0<\dfrac12<1$, on a $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \left(\dfrac12\right)^n=0$ puis $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} d_n=200$. La suite $(d_n)_{n\in \N}$ est donc convergente vers $200$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $2n^2-(n+1)^2=\Big(\big(\sqrt 2-1\big)n-1\Big)\Big(\big(\sqrt 2+1\big)n+1\Big)$. D'après les résultats de première sur les trinômes du second degré, $2n^2-(n+1)^2$ est donc positif pour $n\pp -\dfrac1{\sqrt 2+1}$ ou $n\pg \dfrac1{\sqrt 2-1}\simeq 2,4$. Donc, pour $n$ entier supérieur à $3$, on a $2n^2-(n+1)^2\pg 0$, c'est-à-dire: $$2n^2\pg (n+1)^2$$ \item Pour $n=4$, on a bien $2^4=16\pg 4^2=16$ donc la propriété est initialisée. Supposons qu'il existe un entier $k>4$ tel que $2^k\pg k^2$. En multipliant les deux membres de l'inéquation par $2$ et en utilisant le résultat de la question précédente, on obtient: $$2^{k+1}\pg 2k^2\pg (k+1)^2$$ La propriété est donc héréditaire. Initialisée et héréditaire, la propriété $2^n\pg n^2$ est donc vraie pour tout entier supérieur ou égal à 4. \item D'après la question précédente, si $n$ est un entier supérieur ou égal à 4, on $00$, en composant par la fonction inverse, décroissante sur $\R_+^*$, on obtient $0<\dfrac1{2^n}\pp \dfrac1{n^2}$. En multipliant les membres de l'inégalité par $100n$, on obtient, après simplification: $$0\pp 100n\left(\dfrac12\right)^n\pp \dfrac{100}n$$ \item D'après les théorèmes d'encadrement, comme $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \dfrac{100}n=0$, on obtient $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100n\left(\dfrac12\right)^n=0$. D'après les résultats sur les limites de suites géométriques de raison $\dfrac12$, on sait aussi que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100\left(\dfrac12\right)^n=0$. Enfin, d'après les théorèmes sur les limites de sommes, on obtient: $$\lim_{n\to +\infty} U_n=\begin{pmatrix} \displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100\left(\dfrac12\right)^n +200 \\ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100n\left(\dfrac12\right)^n + 110\left(\dfrac12\right)^n+340\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 200 \\ 340\end{pmatrix}$$ La fréquentation se stabilise, à long terme, autour de \np{200} internautes débutants et $\np{340}$ internautes avancés. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie 19 novembre 2015 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %%%%%%%%% début Amérique du Sud 24 novembre \hypertarget{AmeriSud}{} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small 24 novembre 2015} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud 24 novembre 2015~\decofourright}}\end{center} \phantomsection \label{AmeriSud} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points} \subsubsection*{Partie A} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on désigne par $\mathcal{C}_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par: $u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés. %On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_u$ et la droite %$\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$. % %\begin{center} %\psset{unit=1.4cm} %\begin{pspicture*}(-1,-1.5)(7,3.5) % %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{7}{x dup mul 5 x mul sub 4 add x dup mul div} %\pscustom[fillstyle=vlines]{ %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{x dup mul 5 x mul sub 4 add x dup mul div} %\psline(4,0)(1,0)} %\uput[dl](1,0){A}\uput[dr](4,0){B}\uput[dl](0,0){O} %\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} %\rput(1,3){\blue $\mathcal{C}_u$} %\psline(-1,1)(7,1)\uput[u](6.5,1){$\mathcal{D}$} %\psaxes[linewidth=1.25pt,tickstyle=inner,labels=none](0,0)(-0.98,-1.5)(7,3.5) %\end{pspicture*} %\end{center} % %On précise que la courbe $\mathcal{C}_u$ passe par les points A(1~;~0) et B(4~;~0) et que l'axe des ordonnées et la droite $\mathcal{D}$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_u$. \medskip \begin{enumerate} \item% Donner les valeurs de $u(1)$ et $u(4)$. La courbe $\mathcal C_u$ passe par le point A$\,(1\,;\,0)$ donc $u(1)=0$. La courbe $\mathcal C_u$ passe par le point B$\,(4\,;\,0)$ donc $u(4)=0$. \item% Donner $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)$. En déduire la valeur de $a$. La droite $\mathcal D$ d'équation $y=1$ est asymptote à la courbe $\mathcal C_u$ en $+\infty$ donc $\ds\lim_{x \to +\infty} u(x) = 1$. $\left. \begin{array}{@{} l} \ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{b}{x}=0\\[10pt] \ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{c}{x^2}=0 \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{x\to +\infty} \left (a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}\right ) = a \iff \ds\lim_{x\to +\infty} u(x) =a $ $\left. \begin{array}{@{} l} \ds\lim_{x\to +\infty} u(x) = 1\\ \ds\lim_{x\to +\infty} u(x) = a \end{array} \right\rbrace \implies a=1$ donc $u(x)=1+\dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}$ \item% En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}$. D'après la première question $u(1)=0$ ce qui équivaut à $1+\dfrac{b}{1} + \dfrac{c}{1^2} = 0 \iff b+c = -1$. De même $u(4)=0$ équivaut à $1+\dfrac{b}{4} + \dfrac{c}{4^2} = 0 \iff 1+\dfrac{b}{4} + \dfrac{c}{16} = 0 \iff 4b+c = -16$. On résout le système $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} r} b+c & -1\\ 4b+c & -16 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l !{=} r} c & -1 -b\\ 4b - 1 - b & -16 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l !{=} r} c & 4\\ b & -5 \end{array} \right. $ Donc pour tout $x$ de $\cg 0\,;\,+\infty\cd$, $u(x)=1-\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2-5x+4}{x^2}$ \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\cg 0~;~+ \infty\cd$ par : $f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x}$. \begin{enumerate} \item% Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. On pourra utiliser sans démonstration le fait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. $f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x} = \dfrac{x^2 - 5x\ln x -4}{x}$ $\left. \begin{array}{@{} r} \left. \begin{array}{@{} l} \ds\lim_{x\to 0} x^2 = 0\\ \ds\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to 0}{ x>0}} x\ln x = 0 \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to 0}{ x>0}} \left ( x^2 -5x\ln x -4\right ) = -4\\ \ds\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to 0}{ x>0}} x = 0\\ \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to 0}{ x>0}} \dfrac{x^2 - 5x\ln x - 4}{x} = -\infty $ donc $\ds\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to 0}{ x>0}}f(x)=-\infty$ \item% Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. $f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x} = x\left ( 1- 5\,\dfrac{\ln x}{x}\right ) -\dfrac{4}{x}$ $\left. \begin{array}{@{} r} \ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0 \implies \ds\lim_{x \to +\infty} \left (1-5\,\dfrac{\ln x}{x}\right ) = 1 \implies \ds\lim_{x \to +\infty} x\left ( 1-5\,\dfrac{\ln x}{x} \right ) =+\infty\\ \ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4}{x} = 0 \end{array} \right\rbrace \\\implies \ds\lim_{x \to +\infty} x\left ( 1-5\,\dfrac{\ln x}{x} \right )-\dfrac{4}{x} = +\infty $ donc $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ \item% Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) = u(x)$. La fonction $f$ est dérivable sur $\cg 0\,;\, +\infty\cd$ comme somme de fonctions dérivables et: $f'(x)=1 -5\times \dfrac{1}{x} - 4\times \left ( -\dfrac{1}{x^2}\right) = 1-\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{x^2} = u(x)$ %En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs particulières. $u(x)=\dfrac{x^2-5x+4}{x^2} = \dfrac{(x-1)(x-4)}{x^2}$; on peut donc déterminer le signe de $u(x)$ sur $\cg0\,;\,+\infty\cd$ et donc le signe de $f'(x)$. $u(x)$ s'annule pour $x=1$ et $x=4$; $f(1)=-3$ et $f(4)=3-5\ln 4 \approx -3,93$ On dresse le tableau de variations de la fonction $f$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|l *5{c} c|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & 4 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline f'(x)=u(x) & \vline\;\vline & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & \vline\;\vline & & \Rnode{max1}{-3} & & & & \Rnode{max2}{+\infty} \\ f (x) & \vline\;\vline & & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\ & \vline\;\vline \Rnode{min1}{\ -\infty} & & & & \Rnode{min2}{3-5\ln 4} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max1} \ncline{->}{max1}{min2} \ncline{->}{min2}{max2} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item% Déterminer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique de la \textbf{partie A}. On appelle $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré sur la figure fournie avec le texte; c'est l'ensemble des points $M\,(x\,;\,y)$ tels que $1 \pp x \pp 4$ et $u(x) \pp y \pp 0$. Pour tout $x$ de $\cd 1\,;\, 4 \cg$, $u(x)\pp 0$ donc $\mathcal A = - \ds\int_{1}^{4} u(x) \d x$ $f'(x)=u(x)$ donc la fonction $f$ est une primitive de la fonction $u$ et donc $\ds\int_{1}^{4} u(x) \d x = f(4)-f(1)$. On en déduit que $\mathcal A = f(1)-f(4) = -3 - \left( 3-5\ln 4\right )= 5\ln 4 - 6$ unité d'aire. \item Pour tout réel $\lambda$ supérieur ou égal à 4, on note $\mathcal{A}_{\lambda}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine formé par les points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ telles que $4 \leqslant x \leqslant \lambda$ et $0 \leqslant y \leqslant u(x)$. %Existe-t-il une valeur de $\lambda$ pour laquelle $\mathcal{A}_{\lambda} = \mathcal{A}$ ? %Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Sur $\cd 4\,;\,+\infty\cd$, $u(x)\pg 0$ et donc l'aire $\mathcal A_{\lambda}$ est égale, en unité d'aire, à $\ds\int_{4}^{\lambda} u(x) \d x$. Or $\ds\int_{4}^{\lambda} u(x) \d x = f(\lambda)-f(4)$; on cherche donc $\lambda$ tel que $\ds\int_{4}^{\lambda} u(x) \d x = \mathcal A$ ce qui équivaut à $f(\lambda) - f(4) = 5 \ln 4 - 6 \iff f(\lambda) - (3-5\ln 4) = 5 \ln 4 - 6 \iff f(\lambda) = -3$ On complète le tableau de variations de la fonction $f$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|l *5{c} c|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & 4 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ % \hline %f'(x) & \vline\;\vline & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & \vline\;\vline & & \Rnode{max1}{-3} & & & & \Rnode{max2}{+\infty} \\ f (x) & \vline\;\vline & & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\ & \vline\;\vline \Rnode{min1}{\ -\infty} & & & & \Rnode{min2}{3-5\ln 4 \approx -3,93} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max1} \ncline{->}{max1}{min2} \ncline{->}{min2}{max2} \rput*(-1.5,1.15){\Rnode{zero}{\red -3}} \rput(-1.5,2.4){\Rnode{lambda}{\red \lambda}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{lambda}{zero} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} On peut conclure qu'il existe une unique valeur $\lambda$ telle que $\mathcal A_{\lambda} = \mathcal A$. Remarque: $f(7) \approx -3,30$ et $f(8) \approx -2,90$ donc $\lambda \in \cd 7\,;\,8\cg$\\ $\phantom{\text{Remarque:}}$ $f(7,7) \approx -3,03$ et $f(7,8) \approx -2,98$ donc $\lambda \in \cd 7,7\,;\,7,8\cg$ \begin{center} \psset{unit=1.3cm} \begin{pspicture*}(-1,-1.5)(8.1,3.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(8,3.5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{8}{x dup mul 5 x mul sub 4 add x dup mul div} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{x dup mul 5 x mul sub 4 add x dup mul div} \psline(4,0)(1,0)} \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4}{7.76}{x dup mul 5 x mul sub 4 add x dup mul div} \psline(7.76,0)(1,0)} \uput[dl](1,0){A}\uput[dr](4,0){B}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \rput(1,3){\blue $\mathcal{C}_u$} \psline(-1,1)(8,1)\uput[u](6.5,1){$\mathcal{D}$} \psaxes[linewidth=1.25pt,tickstyle=inner,labels=none](0,0)(-0.98,-1.5)(7,3.5) \uput[d](7.76,0){$\approx 7,8$} \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points} %Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. % %\smallskip % %\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.} % \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. Les points A, B, C sont définis par leurs coordonnées : $\text{A}(3~;~-1~;~4),\quad \text{B}(-1~;~2~;~-3),\quad \text{C}(4~;~-1~;~2)$. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $2x - 3y + 2z - 7 = 0$. La droite $\Delta$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x & - 1 + 4t\\ y & 4 - t\\ z & - 8 + 2t \end{array}\right., \:t \in \R$. \medskip \textbf{Affirmation 1 :} Les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales. \medskip En détaillant son écriture paramétrique, on peut dire que la droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vect{v}\,(4\,;\,-1\,;\,2)$. La droite (AC) a pour vecteur directeur $\vect{\text A \text C}\,(1\,;\,0\,;\,-2)$. $\vect{v}.\vect{\text A \text C} = 4\times 1 + (-1)\times 0 + 2\times (-2)=0$ donc les vecteurs $\vect{v}$ et $\vect{\text A \text C}$ sont orthogonaux; on peut en déduire que les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales. \textbf{Affirmation 1 vraie} \medskip \textbf{Affirmation 2 :} Les points A, B et C déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne $2x + 5y + z - 5 = 0$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Les points A, B et C déterminent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés. $\vect{\text A \text B}$ a pour coordonnées $(-4\,;\, 3\,;\, -7)$ et $\vect{\text A \text C}$ a pour coordonnées $(1\,;\,0\,;\,-2)$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignes; ils déterminent donc le plan (ABC). \item Le plan (ABC) a pour équation $2x+5y+z-5=0$ si les coordonnées des trois points A, B et C vérifient cette équation. \begin{list}{$\circ$}{} \item $2x_{\text A}+5y_{\text A}+z_{\text A} - 5= 2\times 3 +5\times (-1) + 4 - 5 = 0$ \item $2x_{\text B}+5y_{\text B}+z_{\text B} - 5= 2\times (-1) +5\times 2 + (-3) - 5 = 0$ \item $2x_{\text C}+5y_{\text C}+z_{\text C} - 5= 2\times 4 +5\times (-1) + 2 - 5 = 0$ \end{list} \end{list} Les coordonnées des trois points vérifient l'équation du plan donc ces points appartiennent au plan. Le plan (ABC) a pour équation $2x+5y+z-5=0$. \textbf{Affirmation 2 vraie} \medskip \textbf{Affirmation 3 :} Tous les points dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x & 1 + \phantom{2}s - 2s'\\ y & 1 - 2s + \phantom{2}s'\\ z & 1- 4s + 2s' \end{array}\right., \: s \in \R,\: s' \in \R$\: appartiennent au plan $\mathcal{P}$. \medskip Soient $s$ et $s'$ deux réels et M le point de coordonnées $(1+s-2s' \,;\, 1-2s+s' \,;\, 1-4s+2s' )$. Le plan $\mathcal P$ a pour équation $2x-3y+2z-7=0$. $2x_{\text M}-3y_{\text M}+2z_{\text M}-7 = 2(1+s-2s') -3( 1-2s+s') +2(1-4s+2s') - 7\\ \phantom{2x_{\text M}-3y_{\text M}+2z_{\text M}-7} = 2 + 2s -4s' -3 +6s -3s' +2 -8s +4s' -7 = -6 -3s'$ n'est pas égal à 0 pour tout $s'$. \textbf{Affirmation 3 fausse} \medskip \textbf{Affirmation 4 :} Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$. \medskip Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$ si et seulement si la droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathcal P$. La droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vect{v}\,(4\,;\,-1\,;\,2)$. Le plan $\mathcal P$ a pour vecteur normal $\vect{n}\,(2\,;\,-3\,;\,2)$. La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathcal P$ si et seulement si les vecteurs $\vect v$ et $\vect n$ sont orthogonaux. $\vect v . \vect n = 4\times 2 + (-1)\times (-3) + 2\times 2 = 15\neq 0$ donc les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux ce qui prouve que la droite $\Delta$ n'est pas parallèle au plan $\mathcal P$. \textbf{Affirmation 4 fausse} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points} %\emph{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante} % %\bigskip \subsubsection*{Partie A} \medskip Le chikungunya est une maladie virale transmise d'un être humain à l'autre par les piqûres de moustiques femelles infectées. \smallskip Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item la probabilité qu'une personne atteinte par le virus ait un test positif est de $0,98$ ; \item la probabilité qu'une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de $0,01$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip On procède à un test de dépistage systématique dans une population \og cible \fg. Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item $M$ l'évènement: \og L'individu choisi est atteint du chikungunya \fg \item $T$ l'évènement: \og Le test de l'individu choisi est positif \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On notera $\overline{M}$ (respectivement $\overline{T}$) l'évènement contraire de l'évènement $M$ (respectivement $T$). On note $p\: (0 \leqslant p \leqslant 1$) la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On complète l'arbre de probabilité: \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,nrot=:U,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$M$}\naput{p}} {\TR{$T$}\naput{0,98} \TR{$\overline{T}$}\nbput{\red $1-0,98=0,02$} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{M}$}\nbput{\red $1-p$}} {\TR{$T$}\naput{0,01} \TR{$\overline{T}$}\nbput{\red $1-0,01=0,99$} } } \end{center} \item% Exprimer $P(M \cap T),\: P\left(\overline{M} \cap T\right)$ puis $P(T)$ en fonction de $p$. \begin{list}{\textbullet}{D'après l'arbre:} \item $P(M \cap T) = P(M)\times P_M(T)=p\times 0,98 = 0,98p$ \item $P(\overline M \cap T) = P(\overline M)\times P_{\overline M}(T)=(1-p)\times 0,01 = 0,01 - 0,01p$ \end{list} D'après la formule des probabilités totales: $P(T)=P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0,98p + 0,01-0,01p = 0,097p+0,01$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Démontrer que la probabilité de $M$ sachant $T$ est donnée par la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par : % \[f(p) = \dfrac{98p}{97p+1}.\] La probabilité de $M$ sachant $T$ est $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,98p}{0,97p+0,01} = \dfrac{98p}{97p+1} = f(p)$ où $f$ est définie sur $\cd 0\,;\,1\cg$. \item% Étudier les variations de la fonction $f$. La fonction $f$ est une fonction rationnelle définie sur $\cd 0\,;\,1\cg$ donc dérivable sur $\cd 0\,;\,1\cg$ et: $f'(p)=\dfrac{98\times (97p+1) - 98p\times 97}{(97p+1)^2} = \dfrac{98}{(97p+1)^2} >0$ sur $\cd 0\,;\,1\cg$ La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\cd 0\,;\,1\cg$. \end{enumerate} \item On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est supérieure à $0,95$. %En utilisant les résultats de la question \textbf{2.}, à partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable ? La probabilité $f(p)$ qu'une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est égale à $0,95$ quand la proportion $p$ est solution de l'équation $f(p)=0,95$: $f(p)=0,95 \iff \dfrac{98p}{97p+1} = 0,95 \iff \np{9800}p=95\times (97p+1) \iff 585p=95 \iff p=\dfrac{19}{117}$ soit approximativement $0,162$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\cd 0\,;\,1\cg$ donc si $p>\dfrac{19}{117}$, alors $f(p)>0,95$. C'est donc à partir d'une proportion $p=\dfrac{19}{117}\approx 16,2\,\%$ de malades dans la population que le test sera fiable. \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie B} %\medskip En juillet 2014, l'institut de veille sanitaire d'une île, en s'appuyant sur les données remontées par les médecins, publie que 15\,\% de la population est atteinte par le virus. Comme certaines personnes ne consultent pas forcément leur médecin, on pense que la proportion est en réalité plus importante. Pour s'en assurer, on se propose d'étudier un échantillon de \np{1000}~personnes choisies au hasard dans cette île. La population est suffisamment importante pour considérer qu'un tel échantillon résulte de tirages avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de \np{1000}~personnes choisies au hasard, fait correspondre le nombre de personnes atteintes par le virus et par $F$ la variable aléatoire donnant la fréquence associée. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On prend $p = 0,15$. Pour une personne prise au hasard, il n'y a que deux issues possibles: elle est malade (avec une probabilité $p=0,15$) ou elle n'est pas malade (avec la probabilité $1-p=0,85$). On choisit \np{1000} personnes, ce qui revient à une répétition de façon indépendante de \np{1000} tirages avec remise. La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de personnes malades dans un échantillon de \np{1000} personnes suit donc la loi binomiale de paramètres $n=\np{1000}$ et $p=0,15$. \item Dans un échantillon de 1000 personnes choisies au hasard dans l'île, on dénombre $197$~personnes atteintes par le virus donc la fréquence observée est $f=0,197$. $n=\np{1000} \pg 30$, $np=150 \pg 5$ et $n(1-p)=850 \pg 5$ donc on peut déterminer un intervalle de fluctuation $I$ de la fréquence $F$ de personnes malades au seuil de 95\,\%: $I= \left [ p - 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}} \,;\, p + 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\right ]\\ \phantom{I} = \left [ 0,15 - 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,15\times 0,85}}{\ds\sqrt{1000}} \,;\, 0,15 + 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,15\times 0,85}}{\ds\sqrt{1000}} \right ] \approx \cd 0,127 \,;\, 0,173 \cg$ Comme $0,197 \not\in \cd 0,127 \,;\, 0,173 \cg$ on peut en déduire que l'hypothèse d'un pourcentage de 15\;\% est sous-évaluée. %Quelle conclusion peut-on tirer de cette observation à propos du chiffre de 15\,\% publié par l'institut de veille sanitaire ? % %Justifier. (On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\%.) \end{enumerate} \item On considère désormais que la valeur de $p$ est inconnue. %En utilisant l'échantillon de la question \textbf{1. b.}, proposer un intervalle de confiance de la valeur de $p$, au niveau de confiance de 95\,\%. On sait que $f=0,197$; $n=\np{1000}\pg 30$, $nf=197 \pg 5$ et $n(1-f)=803 \pg 5$. On peut donc déterminer un intervalle de confiance au seuil de 95\,\% autour de la fréquence observée: $\left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \,;\, f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\right ] = \left [ 0,197 - \dfrac{1}{\ds\sqrt{\np{1000}}} \,;\, 0,197 + \dfrac{1}{\ds\sqrt{\np{1000}}}\right ] \approx \cd 0,165 \,;\, 0,229 \cg$ \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie C} %\medskip Le temps d'incubation, exprimé en heures, du virus peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale d'écart type $\sigma = 10$. On souhaite déterminer sa moyenne $\mu$. La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $T$ est donnée en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Conjecturer, à l'aide du graphique, une valeur approchée de $\mu$. D'après le graphique donné en annexe, on peut conjecturer que $\mu \approx 120$. \item% On donne $p(T < 110) = 0,18$. Hachurer sur le graphique un domaine dont l'aire correspond à la probabilité donnée. Voir graphique en annexe. \end{enumerate} \item On note $T'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T - \mu}{10}$. \begin{enumerate} \item% Quelle loi la variable aléatoire $T'$ suit-elle? D'après le cours, si la loi $T$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma=10$, alors la variable aléatoire $T'=\dfrac{T-\mu}{10}$ suit la loi normale centrée réduite. \item% Déterminer une valeur approchée à l'unité près de la moyenne $\mu$ de la variable aléatoire $T$ et vérifier la conjecture de la question 1. $T<110 \iff T-\mu < 110-\mu \iff \dfrac{T-\mu}{10} < \dfrac{110-\mu }{10} \iff T' < \dfrac{110-\mu }{10}$ Donc $P\left ( T <110\right )=0,18 \iff P\left ( T'< \dfrac{110-\mu }{10} \right )=0,18$ On cherche à la calculatrice le réel $\beta$ tel que $P(T'<\beta)=0,18$ sachant que $T'$ suit la loi normale centrée réduite. On trouve $\beta \approx \np{-0,915}$. On résout $\dfrac{110-\mu }{10} = \np{-0,915}$ et on trouve $\mu \approx 119$ valeur proche de celle de la conjecture faite à la question 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]en 2010, la population compte $90$~millions de ruraux et $30$~millions de citadins ; \item[$\bullet~~$]chaque année, 10\,\% des ruraux émigrent à la ville ; \item[$\bullet~~$]chaque année, 5\,\% des citadins émigrent en zone rurale. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour tout entier naturel $n$, on note : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$u_n$ la population en zone rurale, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants ; \item[$\bullet~~$]$v_n$ la population en ville, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants. \end{itemize} On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$. \medskip \subsubsection*{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item% Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$. La population totale est constante et égale à 120 millions donc, pour tout entier naturel $n$, on peut dire que $u_n+v_n=120$. \item On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. %Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous : %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|m{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %&A &B&C\\ \hline %1&$n$ &Population en zone rurale &Population en ville\\ \hline %2&0 &90 &30\\ \hline %3&1 &82,5 &37,5\\ \hline %4&2 &76,125 &43,875\\ \hline %5&3 &70,706 &49,294\\ \hline %6&4 &66,100 &53,900\\ \hline %7&5 &62,185 &57.815\\ \hline %8&6 &58,857 &61,143\\ \hline %9&7 &56,029 &63,971\\ \hline %10&8&53,625 &66,375\\ \hline %11&9&51,581 &68,419\\ \hline %12&10&49,844 &70,156\\ \hline %13&11&48,367 &71,633\\ \hline %14&12&47,112 &72,888\\ \hline %15&13&46,045 &73,955\\ \hline %16&14&45,138 &74,862\\ \hline %17&15&44,368 &75,632\\ \hline %18&16&43,713 &76,287\\ \hline %19&17&43,156 &76,844\\ \hline %20&18&42,682 &77,318\\ \hline %21&19&42,280 &77,720\\ \hline %22&20&41,938 &78,062\\ \hline %\end{tabularx} %\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|m{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{m{1cm}}{\ldots}&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline %59&57 &40,005 &79,995\\ \hline %60&58 &40,004 &79,996\\ \hline %61&59 &40,003 &79,997\\ \hline %62&60 &40,003 &79,997\\ \hline %63&61 &40,002 &79,998\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} Dans B3 on entre la formule \texttt{=0,9*B2+0,05*C2}. Dans C3 on entre la formule \texttt{=0,1*B2+0,95*C2}. \item% Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette population ? D'après les données du tableur, la suite $(u_n)$ (donc le nombre de ruraux) semble décroitre et tendre vers 40 millions, et la suite $(v_n)$ (donc le nombre de citadins) semble croitre et tendre vers 80 millions. \end{enumerate} \medskip \subsubsection*{Partie B} \medskip On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,85u_n + 6$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n>u_{n+1}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $u_0=90$ et $u_1=0,85u_0 = 0,85\times 90 + 6 = 82,5$ donc $u_0>u_1$ La propriété est vraie au rang 0. \item On suppose la propriété vraie au rang $p \pg 0$, c'est-à-dire $u_p>u_{p+1}$. $u_p>u_{p+1} \iff 0,85u_p>0,85u_{p+1} \iff 0,85u_p +6>0,85u_{p+1} +6 \iff u_{p+1} > u_{p+2} $ Donc la propriété est vraie au rang $p+1$; elle est héréditaire. \item $\mathcal P_n$ est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel $n$. \end{list} Pour tout $n$, $u_n > u_{n+1}$ donc la suite $(u_n)$ est décroissante. \item On admet que $u_n$ est positif pour tout entier naturel $n$, donc la suite $(u_n)$ est minorée par 0. On a vu que la suite était décroissante. Donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente. %Que peut-on en déduire quant à la suite $\left(u_n\right)$ ? \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n - 40$, pour tout $n \geqslant 0$, donc $u_n=w_n+40$. \begin{enumerate} \item% Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $w_{n+1}=u_{n+1}-40 = 0,85u_n+6-40 = 0,85(w_n+40)-34 = 0,85w_n+34-34=0,85w_n$ \item $w_0=u_0-40 = 90 - 40 = 50$ \end{list} Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $w_0=50$. \item% En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$. D'après les propriétés des suites géométriques, pour tout $n$: $w_n=w_0\times q^n = 50\times 0,85^n$ Comme pour tout $n$, $u_n=w_n+40$, on peut dire que $u_n=50\times 0,85^n + 40$ \item% Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. Pour tout $n$, $\left. \begin{array}{l} u_n+v_n=120\\ u_n=50\times 0,85^n + 40 \end{array} \right\rbrace \implies v_n=80- 50\times 0,85^n $ \end{enumerate} \item% Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question \textbf{3.} de la \textbf{partie A}. \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour tout $n$, $w_n=50\times 0,85^n$ donc $w_n>0$ $w_{n+1}= 0,85 w_n < w_n$ et donc la suite $(w_n)$ est décroissante. Comme pour tout $n$, $u_n=w_n+40$, la suite $(u_n)$ est décroissante. \item $(w_n)$ est géométrique de raison $0,85$; or $-1<0,85 < 1$ donc la suite $(w_n)$ converge vers 0. Comme pour tout $n$, $u_n=w_n+40$, la suite $(u_n)$ converge vers 40. \item Pour tout $n$, $v_n=120 - u_n$ et la suite $(u_n)$ est décroissante, donc la suite $(v_n)$ est croissante. \item La suite $(u_n)$ est convergente vers 40 et, pour tout $n$, $v_n=120-u_n$, donc la suite $(v_n)$ est convergente vers $120-40=80$. \end{list} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline Entrée : &$n$ et $u$ sont des nombres\\ Initialisation :&$n$ prend la valeur $0$\\ &$u$ prend la valeur $90$\\ Traitement : &Tant que $u \geqslant 120 - u$ faire\\ &\hspace{0.75cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ &\hspace{0.75cm}$u$ prend la valeur $0,85 \times u + 6$\\ &Fin Tant que\\ Sortie : &Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item% Que fait cet algorithme ? Dans cet algorithme, la variable $u$, initialisée à 90, représente le terme $u_n$, et $120-u$ représente donc $v_n$. On sort de la boucle \og tant que\fg{} dès que $u<120-u$ c'est-à-dire dès que $u_n v_5$ et $u_6 \dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,85} & \text{car } \ln 0,85 < 0 \end{array}$ $\dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,85} \approx 5,6$ donc la valeur de $n$ donnée par l'algorithme est 6. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \subsection*{\centering Annexe} \begin{center} \textbf{Exercice 3 Partie C Question 1} \textbf{(à compléter et à remettre avec la copie)} \vspace{1cm} \textbf{Courbe représentative de la fonction densité de la loi normale }\boldmath $\mathcal{N}\left(\mu~;~10^2\right)$\unboldmath \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.125cm,yunit=120cm,runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true} \def\xmin {78} \def\xmax {162} \def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.04} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \def\m{119}% moyenne \def\s{10}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \def\inf{\xmin} \def\sup{160} \psplot[plotpoints=5000]{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \multido{\n=10+5}{31} {\uput[d](\n,0){\footnotesize \n} \psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005) } \pscustom[fillstyle=vlines] { \psplot[plotpoints=5000]{80}{110}{\f} \psline(110,0)(80,0) } \end{pspicture*} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 4 Spécialité } \textbf{Question 6} \bigskip \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline Entrée : &$n$, \:$R$ et $C$ sont des nombres\\ Initialisation :&$n$ prend la valeur $0$\\ &$R$ prend la valeur $90$\\ &$C$ prend la valeur $30$\\ Traitement : &Tant que $\red R \pg C$ faire\\ &\hspace{0.75cm}$n$ prend la valeur $\red n+1$\\ &\hspace{0.75cm}$R$ prend la valeur $50 \times 0,85^n + 40$\\ &\hspace{0.75cm}$C$ prend la valeur $\red 80-50 \times 0,85^n$\\ &Fin Tant que\\ Sortie : &Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%% Fin Amérique du Sud \newpage %%%%%%%% Nouvelle Calédonie mars 2016 \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \lfoot{\small{Corrigé - Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}} \rfoot{\small{Mars 2016}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~ Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2016~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points} %\emph{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip \subsubsection*{Partie A} \medskip Une boite contient 200 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées. Parmi les argentées 60\,\% représentent le château de Blois, 30\,\% le château de Langeais, les autres le château de Saumur. Parmi les dorées 40\,\% représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais. On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ] $A$ l'évènement \og la médaille tirée est argentée \fg{} ; \item[ ] $D$ l'évènement \og la médaille tirée est dorée \fg{} ; \item[ ] $B$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Blois \fg{} ; \item[ ] $L$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Langeais \fg{} ; \item[ ] $S$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Saumur \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item% Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible. On peut représenter les données de l'exercice sous forme d'un arbre pondéré: \bigskip \begin{center} {%\small \psset{treesep=.75cm,levelsep=3cm,labelsep=2pt,nodesepB=4pt, treesep=10mm} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt] {\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{\small $\dfrac{1}{4}$}} { \TR{$B$} \naput{\small $\dfrac{60}{100}$} \TR{$L$} \ncput*{\small $\dfrac{30}{100}$} \TR{$S$} \nbput{\small $\dfrac{10}{100}$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$D$}\nbput{\small $\dfrac{3}{4}$}} { \TR{$B$}\naput{\small $\dfrac{40}{100}$} \TR{$L$}\nbput{\small $\dfrac{60}{100}$} %\TR{$S$} \nbput{\red 0,63} } } }% fin du \small \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item% Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais. L'événement \og la médaille tirée est argentée et représente le château de Langeais \fg{} est $A\cap L$. $P(A \cap L) = P(A)\times P_A(L)=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{40}$ \item% Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à $\dfrac{21}{40}$. On cherche $P(L)$; d'après la formule des probabilités totales: $P(L)= P(A\cap L)+ P(D\cap L) =P(A)\times P_A(L) + P(D)\times P_D(L) =\dfrac{3}{40} + \dfrac{3}{4}\times \dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{40} + \dfrac{18}{40}=\dfrac{21}{40}$ \item Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, la probabilité que celle-ci soit dorée est $P_L(D)$: $P_L(D) = \dfrac{P(D \cap L)}{P(L)} = \dfrac{\dfrac{3}{4}\times \dfrac{6}{10}}{\dfrac{21}{40}} = \dfrac{\dfrac{18}{40}}{\dfrac{21}{40}} = \dfrac{18}{21} = \dfrac{6}{7}$ \end{enumerate} \item% Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, la probabilité que celle-ci soit argentée est $P_S(A)$. Il n'y a pas de médaille dorée représentant le château de Saumur donc la probabilité que la médaille tirée soit argentée sachant qu'elle représente le château de Saumur est de 1. \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B} \medskip Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes. On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles. \medskip \begin{enumerate} \item Après plusieurs séries de tests, on estime qu'une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en grammes suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,06$. On note $C$ l'évènement \og la médaille est conforme \fg. %Calculer la probabilité qu'une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera lerésultat arrondi à $10^{-3}$ près. La probabilité qu'une médaille soit conforme est $P(C)=P(9,9 \pp X \pp 10,1)$ et la probabilité qu'une médaille soit non conforme est $P(\overline C)=1-P(C)$. D'après la calculatrice, $P(C)=P(9,9 \pp X \pp 10,1) \approx 0,904$. Donc $P(\overline C)\approx 0,096$. \item La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma$. \begin{enumerate} \item Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y - 10}{\sigma}$.% Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ? D'après le cours, on peut dire que la variable $Z$ suit la loi normale centrée réduite. \item Cette machine produit 6\,\% de pièces non conformes, ce qui veut dire que $P(\overline C)=0,06$. Une médaille est non conforme si $(Y<9,9)$ ou $(Y>10,1)$; la variable aléatoire $Y$ est de moyenne 10 donc, par symétrie, $P(Y<9,9) = P(Y>10,1)$. Il faut donc chercher l'écart type $\sigma$ pour que $P(Y<9,9)=\dfrac{0,06}{2}$, autrement dit pour que $P(Y<9,9)=0,03$. \begin{center} \psset{xunit=0.4cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true} \def\xmin {-4} \def\xmax {12} \def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) \psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]% {->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax) \def\m{4}% moyenne \def\s{2}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f} \def\inf{\xmin} \def\sup{2} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \def\inf{6} \def\sup{\xmax} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \uput[d](\m,0){$10$} \psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax) \uput[d](2,0){$9,9$} \uput[d](6,0){$10,1$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1) \uput[70](6,0.25){\red $0,94$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03) \uput[ur](8,0.2){$0,03$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03) \uput[ul](-1,0.2){$0,03$} \end{pspicture*} \end{center} $Y<9,9 \iff Y-10 < 9,9-10 \iff \dfrac{Y-10}{\sigma} < \dfrac{9,9-10}{\sigma} \iff Z < \dfrac{-0,1}{\sigma}$ car $\sigma >0$ Donc $P(Y<9,9)=0,03 \iff P\left (Z< -\dfrac{0,1}{\sigma}\right )=0,03$ où $Z$ suit la loi normale centrée réduite. On cherche $\beta$ tel que $P(Z < \beta)=0,03$ à la calculatrice, et on trouve $\beta \approx \np{-1,8808}$. Donc $-\dfrac{0,1}{\sigma}= \np{-1,8808} \iff \sigma \approx 0,053$ Pour que la machine M$_2$ produise 6\,\% de pièces non conformes, il faut que $\sigma \approx 0,053$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points} % %\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $\cd 0~;~16\cg$ par \hfill $f(x) = \ln(x + 1)$ et $g(x) = \ln(x + 1) + 1 - \cos(x)$ \hfill{} Dans un repère du plan \Oij, on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$. Ces courbes sont données en \textbf{annexe 1}. %Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique. Pour tout $x$, $\cos(x)\pp 1$ donc $1-\cos(x) \pg 0$; on en déduit que $g(x) \pg f(x)$ pour tout $x$ de $\cd 0~;~16\cg$. On cherche les abscisses des points A et B; comme ce sont des points d'intersection des courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$, ces abscisses sont solutions de l'équation $f(x)=g(x)$: $f(x)=g(x) \iff \ln(x+1) = \ln(x+1)+1-\cos(x) \iff \cos(x)=1 \iff x=k2\pi$ avec $k\in\Z$ Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ dans $\cd 0\,;\,16\cg$ sont 0, $2\pi$ et $4\pi$. On en déduit que $x_{\text A}=2\pi$ et $x_{\text B}=4\pi$. \begin{list}{\textbullet}{Comme sur $\cd 0\,;\,16\cg$, $g(x)\pg f(x)$:} \item l'aire de la surface \textbf{1} est donnée par $\mathcal A_1=\ds\int_{x_{\text O}}^{x_{\text A}} \left[ g(x)-f(x)\right] \d x = \ds\int_{0}^{2\pi} \left[ g(x)-f(x)\right] \d x$ \item l'aire de la surface \textbf{2} est donnée par $\mathcal A_2 = \ds\int_{x_{\text A}}^{x_{\text B}} \left[ g(x)-f(x)\right ] \d x = \ds\int_{2\pi}^{4\pi} \left[ g(x)-f(x)\right ] \d x$ \end{list} \begin{list}{\textbullet}{$g(x)-f(x)=1-\cos(x)$ qui a pour primitive $x \longmapsto x-\sin(x)$. Donc:} \item $\mathcal A_1= \left [x - \sin(x) \right ]_{0}^{2\pi} = \left [2\pi - \sin(2\pi) \right ] - \left [0 - \sin(0) \right ] =2\pi$ \item $\mathcal A_2= \left [x - \sin(x) \right ]_{2\pi}^{4\pi} = \left [4\pi - \sin(4\pi) \right ] - \left [2\pi - \sin(2\pi) \right ] =4\pi - 2\pi = 2\pi$ \end{list} Les deux surfaces hachurées sur le graphique ont donc la même aire égale à $2\pi$. \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points} %\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation $\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0$. \begin{enumerate} \item% Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A(1~;~1~;~1) appartient-il au plan $P_m$ ? Le point A(1~;~1~;~1) appartient au plan $P_m$ si et seulement si $\dfrac{1}{4} m^2x_{\text A} + (m - 1)y_{\text A} + \dfrac{1}{2} mz_{\text A} - 3 = 0 \iff \dfrac{1}{4} m^2 + (m - 1) + \dfrac{1}{2} m - 3 = 0 \iff \dfrac{1}{4}m^2 + \dfrac{3}{2}m - 4=0 \iff m^2+6m-16=0 $ $\Delta = 36+64=100$ donc cette équation admet 2 solutions $m'=\dfrac{-6+10}{2}=2$ et $m''=\dfrac{-6-10}{2}=-8$. Le point A appartient au plan $P_m$ pour $m=2$ ou $m=-8$. \item% Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique %\[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r} %x &=& 12 - 2t\\ %y &=& 9 - 2t\\ %z &=&t %\end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \R\] Le plan $P_1$ a pour équation $\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}z-3=0$ ou encore $x+2z-12=0$. Le plan $P_{-4}$ a pour équation $4x-5y-2z-3=0$. On cherche l'intersection de ces deux plans: $\left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} x+2z-12 & 0\\ 4x-5y-2z-3 & 0 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} x & 12-2z\\ -5y & -4(12-2z)+2z+3 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} x & 12-2z\\ -5y & -48+8z+2z+3 \end{array} \right.\\ \phantom{\left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} x+2z-12 & 0\\ 4x-5y-2z-3 & 0 \end{array} \right. } \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} r} x & 12-2z\\ -5y & -45+10z \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} r} x & 12-2z\\ y & 9 -2z \end{array} \right. $ En posant $z=t$, on peut dire que les plans $P_{1}$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x & 12 - 2t\\ y & 9 - 2t\\ z & t \end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \R$ \item \begin{enumerate} \item% Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les coordonnées. Le plan $P_0$ a pour équation $-y-3=0$. Pour déterminer l'intersection du plan $P_0$ et de la droite $(d)$, on résout le système: $\left\lbrace \begin{array}{r !{=} r} x & 12-2t\\ y & 9 -2t\\ z & t\\ -y-3 & \multicolumn{1}{l}{0} \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} x & 12-2t\\ -3 & 9 -2t\\ z & t\\ y & -3 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} x & 12-2t\\ t & 6\\ z & t\\ y & -3 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} x & 0\\ y & -3\\ z & 6\\ t & 6 \end{array} \right.$ L'intersection du plan $P_0$ et de la droite $(d)$ est donc le point B\,$(0\,;\,-3\,;\,6)$. \item% Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$. Le plan $P_m$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0$. On regarde si les coordonnées du point B vérifient l'équation du plan $P_m$: $\dfrac{1}{4} m^2x_{\text B} + (m - 1)y_{\text B} + \dfrac{1}{2} mz_{\text B} - 3 = 0+(m-1)(-3)+\dfrac{1}{2}m\times 6 - 3 = -3m+3+3m-3=0$ Donc le point B appartient au plan $P_m$, quelle que soit la valeur du réel $m$. \item% Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$. Soit H\,$(a\,;\,b\,;\,c)$ un point qui appartient au plan $P_m$ pour tout réel $m$. Cela signifie que les coordonnées du point H vérifient l'équation du plan pour tout réel $m$: $\dfrac{1}{4} m^2 a + (m - 1) b + \dfrac{1}{2} m c - 3 = 0$ \begin{list}{\textbullet}{On donne à $m$ des valeurs particulières:} \item Pour $m=0$, on obtient $-b-3=0$ donc $b=-3$. \item Pour $m=2$, on obtient $a + (2-1)(-3) + c - 3 = 0$, soit $a+c=6$. \item Pour $m=-2$, on obtient $a + (-2-1)(-3) - c - 3 = 0$, soit $a-c=-6$. \end{list} On résout le système $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} a+c & 6\\ a-c & -6 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} 2a & 0\\ a+c & 6 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} a & 0\\ c & 6 \end{array} \right. $ Le point H a donc pour coordonnées $(0\,;\,-3\,;\,6)$ donc c'est le point B. Le point B est l'unique point appartenant à tous les plans $P_m$ quelle que soit la valeur de $m$. \emph{Autre méthode géométrique :} L'existence du point a été montrée en 3. b. Nous allons montrer son unicité. On sait (question 2) que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$. On sait (question 3. a.) que $P_0$ et $(d)$ sont sécants en B. Le point B est donc l'unique point appartenant à $P_0,\: P_1$ et $P_{-4}$. Si un point appartient à $P_m$ quel que soit $m$ réel, alors il appartient en particulier à $P_0, P_1$ et $P_{-4}$. C'est donc l'unique point B. \end{enumerate} \item Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que \hfill $- 10 \leqslant m \leqslant 10$ et $- 10 \leqslant m' \leqslant 10$\hfill{} On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires. \begin{enumerate} \item% Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires. Le plan $P_1$ a pour équation $x+ 2z-12=0$ donc pour vecteur normal $\vect n_1\;\left (1\,;\, 0 \,;\, 2\right )$. Le plan $P_{-4}$ a pour équation $4x-5y-2z-3=0$ donc pour vecteur normal $\vect n_{-4}\;\left (4\,;\, -5 \,;\, -2\right )$. $\vect n_1 . \vect n_{-4}=1\times 4 + 0 + 2\times (-2) = 0$ donc les vecteurs sont orthogonaux. Les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont donc perpendiculaires. \item% Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si Le plan $P_m$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0$ donc pour vecteur normal \\$\vect n\;\left (\dfrac{1}{4}m^2\,;\, m-1 \,;\, \dfrac{1}{2}m\right )$. Le plan $P_{m'}$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m'^2x + (m' - 1)y + \dfrac{1}{2} m'z - 3 = 0$ donc pour vecteur normal $\vect n'\;\left (\dfrac{1}{4}m'^2\,;\, m'-1 \,;\, \dfrac{1}{2}m' \right )$. les deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux: $P_m \perp P_{m'} \iff \vect n \perp \vect n' \iff \vect n . \vect n' = 0 \iff \dfrac{1}{4}m \times \dfrac{1}{4}m' + (m-1)(m'-1)+ \dfrac{1}{2}m \times \dfrac{1}{2}m'=0\\ \phantom{P_m \perp P_{m'}} \iff \left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0$ \item On donne l'algorithme suivant : \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline \emph{Variables :} &$m$ et $m'$ entiers relatifs\\ \emph{Traitement :} &Pour $m$ allant de $- 10$ à 10 :\\ &\hspace{0,5cm}Pour $m'$ allant de $-10$ à 10 :\\ &\hspace{1cm}Si $\left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0$\\ &\hspace{1,5cm}Alors Afficher $\left(m~;~m'\right)$\\ &\hspace{0,5cm}Fin du Pour\\ &Fin du Pour\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip %Quel est le rôle de cet algorithme? Cet algorithme affiche tous les couples $(m\,;\,m')$ d'entiers compris entre $-10$ et 10 pour lesquels $\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0$, c'est-à-dire pour lesquels les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires. \item Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1)$, $(0~;~1)$ et $(5~;~- 4)$. %Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme. Le nombres $m$ et $m'$ jouant le même rôle, les autres couples seront $(1~;~-4)$, $(1~;~0)$ et $(-4~;~5)$. Les six couples seront affichés dans cet ordre: \hfill$(- 4~;~1)$; $(-4~;~5)$; $(0~;~1)$; $(1~;~-4)$; $(1~;~0)$; $(5~;~- 4)$\hfill{} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} %\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} % %\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} % \medskip On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout $n$, par $z_0 = 1$ et $z_{n+1} = \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right)z_n$. On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé \Ouv{} de l'annexe 2. L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Vérifier que $1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. $ \left | 1 + \text{i}\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3} \right |^2= 1^2 + \left (\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right )^2= \dfrac{4}{3}$ donc $\left | 1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right | = \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}}$ ; $1 + \text{i}\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \left ( \dfrac{\ds\sqrt{3}}{2} + \i \dfrac{1}{2} \right )$ On cherche $\theta$ tel que $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} \cos \theta & \dfrac{\ds\sqrt{3}}{2}\\[8pt] \sin \theta & \dfrac{1}{2} \end{array} \right. $ donc $\theta=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ $(k\in\Z)$ On a donc $1+\i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \e^{\i\frac{\pi}{6}}$. \item% En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle. $z_1 = \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right) z_0 = \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right)\times 1 = 1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \e^{\i\frac{\pi}{6}}$ $z_2 = \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right) z_1 = \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right)\times \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right) = \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \e^{\i\frac{\pi}{6}} \times \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \e^{\i\frac{\pi}{6}} = \dfrac{4}{3} \e^{\i\frac{\pi}{3}}$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Montrer que pour tout entier naturel $n$, Soit $P_n$ la propriété $z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \e^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}$ \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour $n=0$ : $z_0=1$ et $\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^0 \text{e}^{\text{i}\times 0 \times\frac{\pi}{6}} = 1$; donc $P_0$ est vraie. \item On suppose $P_p$ vraie pour $p\pg 0$, c'est-à-dire $z_p = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^p \e^{\i p\frac{\pi}{6}}$ $z_{p+1} = \left(1 + \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right) z_p = \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}}\e^{\i \frac{\pi}{6}} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^p \e^{\i p\frac{\pi}{6}} = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^{p+1} \e^{\i (p+1)\frac{\pi}{6}}$ \item La propriété es vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n\pg0$. \end{list} Pour tout entier naturel $n$, $z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \e^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}$. \item% Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ? Les points $O$ d'affixe 0, et $A_{0}$ d'affixe $z_0=1$ sont situés sur l'axe des réels; donc les points $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si le point $A_n$ est sur l'axe des réels, autrement dit si son affixe est réelle, donc si son argument vaut $k\pi$ avec $k\in\Z$. Un argument de $z_n$ est $n\dfrac{\pi}{6}$; on doit donc avoir: $n\dfrac{\pi}{6} = k\pi$ ce qui équivaut à $n=6k$. Les points $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si $n$ est un multiple de 6. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$. \begin{enumerate} \item% Interpréter géométriquement $d_n$. $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$ donc $d_n$ représente la distance entre les points $A_{n}$ et $A_{n+1}$: $d_n= A_{n}A_{n+1}$ \item% Calculer $d_0$. $d_0= z_1-z_0 = \left | 1+ \i\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}-1\right | = \left | \i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right | = \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}$ \item% Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $\begin{array}[t]{l r !{=} l} \text{Pour tout }n & z_{n+2} & \left ( 1+\i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right )z_{n+1}\\[5pt] & z_{n+1} & \left ( 1+\i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right )z_n\\[5pt] \cline{2-3} \text{Par soustraction} & z_{n+2} -z_{n+1}& \left ( 1+\i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right )(z_{n+1}-z_n)\rule{0pt}{20pt} \end{array}$ \item% En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$ est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$, On en déduit que: $d_{n+1} = \left|z_{n+2} -z_{n+1}\right | = \left | \left ( 1+\i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right )(z_{n+1}-z_n)\right | = \left | 1+\i \dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}\right | \times \left |z_{n+1}-z_n\right | = \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} d_n$ On sait que $d_0=\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}$ donc on peut dire que la suite $(d_n)$ est géométrique de premier terme $d_0=\dfrac{\ds\sqrt{3}}{3}$ et de raison $q = \dfrac{2}{\ds\sqrt{3}}$. D'après les propriétés des suites géométriques, $d_n = d_0\times q^n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$ pour tout $n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Montrer que pour tout entier naturel $n$, D'après les questions précédentes, pour tout $n$: $\left | z_{n} \right |= \left | \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{n} \e^{\i n\frac{\pi}{6}} \right | = \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{n} \times \left |\e^{\i n\frac{\pi}{6}} \right | = \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{n}\times 1 = \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{n}$ donc $\left | z_{n} \right |^2 = \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{2n}$ De même $\left | z_{n+1} \right |= \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{n+1}$ donc $\left | z_{n+1} \right |^2= \left (\left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{n+1}\right )^2 = \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{2n+2} = \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{2} \times \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{2n} = \dfrac{4}{3} \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{2n}$ $d_n= \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$ donc $d_n^{2}= \left (\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\right )^2 = \left (\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 \left (\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\right )^2 = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}$ $\left | z_{n} \right |^2 + d_n^2 = \left (\dfrac{2}{\ds\sqrt{3}} \right )^{2n} + \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} = \dfrac{4}{3} \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} = \left | z_{n+1} \right |^2 $ \item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$. On sait que $\left | z_{n+1} \right | = OA_{n+1}$, que $\left | z_{n} \right | = OA_{n}$ et que $d_n=A_{n}A_{n+1}$ Donc $\left | z_{n+1} \right |^2 = \left | z_{n} \right |^2 + d_n^2$ équivaut à $OA_{n+1}^2 = OA_n^2 + A_{n}A_{n+1}^2$ D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$. \item% Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie. Voir construction de $A_5$ en annexe. \item% Justifier cette construction. \begin{list}{\textbullet}{} \item Le triangle $OA_4A_5$ est rectangle en $A_4$ donc le point $A_5$ est sur la droite $d$ perpendiculaire à $(OA_4)$ passant par $A_4$. \item $z_5$ a pour argument $\dfrac{5\pi}{6}$ et $z_3$ a pour argument $\dfrac{3\pi}{6}$; donc l'angle $\left ( \vect{OA_3}\,,\,\vect{OA_5}\right )$ a pour mesure $\dfrac{\pi}{3}$. On trace donc le triangle équilatéral direct $OA_3A'_3$ et le point $A_5$ appartient à $(OA'_3)$. \end{list} Le point $A_5$ est à l'intersection des droites $d$ et $(OA'_3)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} % %\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} % %\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante} \medskip \subsubsection*{Partie A} \medskip Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine. Chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{26}{>{\centering \arraybackslash\small}X|}}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x + 5$ par $26$, puis on en déduit la lettre associée à $y$ (c'est elle qui code la lettre d'origine). %Exemple : % %M correspond à $x = 12$ % %$7 \times 12 + 5 = 89$ % %Or $89 \equiv 11\:\: [26]$ et 11 correspond à la lettre L, %donc la lettre M est codée par la lettre L. \medskip \begin{enumerate} \item% Coder la lettre L. La lettre L correspond à $x=11$; $7\times 11 +5 = 82$ qui a pour reste 4 dans la division par 26. Le nombre 4 correspond à E donc la lettre L est codée E. \item \begin{enumerate} \item Soit $k$ un entier relatif; $k \equiv 7x \:\: [26] \implies 15k \equiv 15\times 7x \:\: [26]$ Or $15\times 7 = 105 = 4\times 26 + 1$ donc $105 \equiv 1 \:\: [26]$ et $105x \equiv x \:\: [26]$ Donc $k \equiv 7x \:\: [26] \implies 15k \equiv x \:\: [26]$ \item% Démontrer la réciproque de l'implication précédente. Soit $k$ un entier relatif; $15k \equiv x \:\: [26] \implies 7\times 15k \equiv 7x \:\: [26]$ Or, on a vu que $7\times 15 = 105 \equiv 1 \:\: [26]$ donc $105k \equiv k \:\: [26]$ Donc $15k \equiv x \:\: [26] \implies k \equiv 7x \:\: [26]$ On a donc démontré que: $15k \equiv x \:\: [26] \iff k \equiv 7x \:\: [26]$ \item% En déduire que $y \equiv 7x + 5\:\:[26]$ équivaut à $x \equiv 15y + 3\:\:[26]$. $\begin{array}[t]{@{} l !{\iff} l l} y \equiv 7x + 5\:\:[26] & y-5 \equiv 7x \:\:[26]\\ & 15(y-5) \equiv x \:\:[26] & \text{voir question précédente avec }k=7y-5\\ & 15y-75 \equiv x \:\:[26] \end{array}$ Or $-75 = 26\times (-3) + 3$ donc $-75 \equiv 3 \:\:[26]$ et donc $15y-75 \equiv 15y+ 3 \:\:[26]$ On en déduit que $15y-75 \equiv x \:\:[26] \iff 15y+3 \equiv x \:\:[26]$ et donc que $y \equiv 7x + 5\:\:[26] \iff 15y+3 \equiv x \:\:[26]$ \end{enumerate} \item% À l'aide de la question précédente décoder la lettre F. D'après les questions précédentes, pour \textbf{décoder} une lettre, on cherche à quel nombre $y$ elle correspond, puis on détermine $x$ entre 0 et 25 tel que $y \equiv 7x+5 \:\:[26]$ donc tel que $x \equiv 15y+3 \:\:[26]$. La lettre F correspond à $y=5$; $15y+3=78$ qui a pour reste 0 dans la division par 26. Le nombre 0 correspond à la lettre A donc le décodage de la lettre F donne la lettre A. \end{enumerate} \medskip \subsubsection*{Partie B} \medskip On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ telles que $a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus et pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 7a_n + 5$ et $b_{n+1} = 15b_n + 3$. Soit $P_n$ la propriété: $a_n = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^n - \dfrac{5}{6}$ \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour $n=0$, $\left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^0 - \dfrac{5}{6} = a_0 + \dfrac{5}{6} - \dfrac{5}{6} = a_0$; donc $P_0$ est vérifiée. \item On suppose la propriété vraie au rang $p\pg 0$; c'est-à-dire $a_p = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^p - \dfrac{5}{6}$ $a_{p+1} = 7a_p+5 = 7\left ( \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^p - \dfrac{5}{6} \right ) +5 = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^{p+1} - 7\times \dfrac{5}{6} +5 = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^{p+1} - \dfrac{35}{6} + \dfrac{30}{6}\\ \phantom{a_{p+1}} = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^{p+1} - \dfrac{5}{6} $ Donc la propriété est vraie au rang $p+1$. \item La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n\pg 0$. \end{list} On admet pour la suite du problème que pour tout entier naturel $n$, $b_n = \left(b_0 + \dfrac{3}{14}\right) \times 15^n - \dfrac{3}{14}$. \medskip \subsubsection*{Partie C} \medskip Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté (on peut tester les 312 couples de coefficients possibles). Afin d'augmenter cette difficulté de décryptage, on propose d'utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le chiffrement affine de la partie A. Par exemple pour coder le mot MATH avec la clé 2-2-5-6, on applique \og 2\fg{} fois le chiffrement affine à la lettre M (cela donne E), \og 2 \fg{} fois le chiffrement à la lettre A, \og 5 \fg{} fois le chiffrement à la lettre T et enfin \og 6 \fg{} fois le chiffrement à la lettre H. Dans cette partie, on utilisera la clé 2-2-5-6. On veut décoder la lettre Q dans le mot IYYQ. \textbf{Première méthode} On cherche une lettre qui codée 6 fois de suite donne la lettre Q. Autrement dit, il suffit de décoder 6 fois de suite la lettre Q pour obtenir le résultat demandé. \begin{center} \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline lettre & \hspace*{0.4cm}$y$\hspace*{0.4cm} & $15y+3$ & reste $x$ & lettre \\ \hline Q & 16 & 243 & 9 & J \\ \hline J & 9 & 138 & 8 & I \\ \hline I & 8 & 123 & 19 & T \\ \hline T & 19 & 288 & 2 & C \\ \hline C & 2 & 33 & 7 & H \\ \hline H & 7 & 108 & 4 & E \\ \hline \end{tabular} \end{center} Donc la lettre Q se décode en E. \bigskip \textbf{Deuxième méthode} On peut utiliser les résultats de la partie \textbf{B.} On doit appliquer 6 fois la fonction $x \longmapsto 15x+3$ successivement au nombre 16 (correspondant à Q), puis à son image, puis à l'image de l'image, etc. On cherche donc, avec les notations de la partie \textbf{B}, le nombre $b_6$ sachant que $b_0=16$. $b_6= \left ( 16 +\dfrac{3}{14}\right ) \times 15^6 - \dfrac{3}{14} = \np{184690848}$ Le reste de la division de \np{184690848} par 26 est 4 qui correspond bien à E. \bigskip \emph{Remarque\\ Le mot IYYQ se décode en CODE par le processus détaillé dans la partie \textbf{C}.} \begin{landscape} \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 de l'exercice 2} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-1,-1)(18.8496,9.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(18.8496,9.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(18.8496,9.5) \pscustom[fillstyle=vlines] {\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{0}{6.28319}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6.28319}{0}{x 1 add ln} } \pscustom[fillstyle=hlines] {\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{6.28319}{12.5664}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{12.5664}{6.28319}{x 1 add ln} } \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{x 1 add ln} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{16}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub} \psdots(6.28319,1.98557)(12.5664,2.60759) \uput[d](6.28319,1.98557){A}\uput[d](12.5664,2.60759){B} \uput[d](4,1.6){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[u](4,3.3){\red $\mathcal{C}_g$} \rput*(3,2.5){\red \Large \bf 1} \rput*(9.5,3.2){\red \Large \bf 2} \end{pspicture*} \end{center} \vspace{1.5cm} \begin{center} \textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE} \medskip \textbf{ANNEXE 2 de l'exercice 4} \bigskip \psset{unit=4cm,arrowscale=2} \begin{pspicture}(-2.8,-0.5)(1.5,2.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2.8,-0.5)(1.5,2.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psdots(0;0)(1;0)(1.1547;30)(1.3333;60)(1.5396;90)(1.7778;120)(2.3704;180) %(2.0528;150) \uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1.1547;30){$A_1$} \uput[ur](1.3333;60){$A_2$} \uput[ur](1.5396;90){$A_3$} \uput[u](1.7778;120){$A_4$} \uput[u](2.3704;180){$A_6$} \uput[dl](0,0){$O$} \pstGeonode[PointName=none](0,0){O}(1.7778;120){A_4}(1.5396;90){A_3}(2.0528;150){A_5}(2.3704;180){A_6} \pstRightAngle[RightAngleSize=0.1]{O}{A_4}{A_5} \pstMarkAngle[Mark=none,LabelSep=0.5,arrows=->]{A_4}{O}{A_5}{$\frac{\pi}{6}$} \uput[u](2.0528;150){$A_5$} \pstLineAB[nodesepB=-0.2]{O}{A_5} \pstLineAB[nodesepB=-0.2]{O}{A_4} \pstLineAB[nodesep=-0.2]{A_4}{A_5} \pstRotation[RotAngle=60,PosAngle=90]{O}{A_3} \psarc[linestyle=dashed](0,0){1.5396}{85}{155} \psarc[linestyle=dashed](1.5396;90){1.5396}{205}{275} %\pstCircleAB{O}{A_6} \end{pspicture} \end{center} \end{landscape} %%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie mars 2016 \vfill \hyperlink{Retour}{Retour à la liste des corrigés} \newpage %\hypertarget{Index}{} %\printindex \end{document}