\documentclass[10pt,leqno]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage[upright]{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Vincent Tolleron \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\e{\text{e}} \def\i{\text{i}} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-bezier} \usepackage{graphicx} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{19 juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L (spécialité) Antilles-Guyane~\decofourright\\ 19 juin 2012}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Le dessin ci-dessous représente en perspective un élément de la bordure d'une chaussée. La partie piétonne $ABCD$, en partie revêtue de goudron, est un carré de centre $O$. Le rectangle $AEFB$ représente un mur. La partie $AB'OD'$, elle aussi carrée, est non revêtue car destinée à recevoir des plantations. Le segment $[CL]$ représente un lampadaire. \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-6,-2)(8,10) \pspolygon[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid](-1,1)(2,1)(4,-1)(1,-1) \pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid](-3,3)(-3,4.5)(1,0.5)(1,-1) \psline(1,-1)(-3,3) \psline(-3,3)(3,3) \psline(3,3)(7,-1) \psline(7,-1)(1,-1) \psline(-1,1)(2,1) \psline(2,1)(4,-1) \psline(4,-1)(1,-1) \psline(1,-1)(-1,1) \psline(-3,3)(-3,4.5) \psline(-3,4.5)(1,0.5) \psline(1,0.5)(1,-1) \psline(1,-1)(-3,3) \psline(3,3)(3,8) \begin{scriptsize} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](1,-1) \rput[bl](0.62,-1.55){$A$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](-3,3) \rput[bl](-3.28,2.54){$B$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](3,3) \rput[bl](3.1,3.05){$C$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](7,-1) \rput[bl](7.17,-1.55){$D$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](2,1) \rput[bl](2.09,1.05){$O$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](4,-1) \rput[bl](4.13,-1.48){$D'$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](-1,1) \rput[bl](-1.38,0.55){$B'$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](1,0.5) \rput[bl](1.1,0.55){$E$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](-3,4.5) \rput[bl](-3.21,4.69){$F$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](3,8) \rput[bl](3.1,8.06){$L$} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} Les deux figures données en annexe sont à compléter et à rendre avec la copie. On veillera à laisser apparents les traits de construction. \begin{enumerate} \item Compléter la représentation en perspective parallèle donnée dans la \textbf{figure 1} par l'ombre du mur portée sur le plan horizontal du sol; la source lumineuse en $L$ est supposée ponctuelle.\\ Pour plus de lisibilité, la représentation de cette ombre sera colorée. \item Dans la \textbf{figure 2}, les points $a$, $b'$, $o$, $d'$ et $e$ représentent, en perspective centrale, les points $A$, $B'$, $O$, $D'$ et $E$. On a aussi représenté la ligne d'horizon ainsi que $\Omega$, le point de fuite principal. Les points $A$, $B$, $B'$, $C$, $D$, $D'$ et $O$ sont dans un plan horizontal et le mur est vertical. \smallskip La jardinière carrée est représentée par $ab'od'$. \begin{enumerate} \item Comment vérifier que, sur la \textbf{figure 2}, $ab'od'$ représente un quadrilatère ayant les côtés parallèles deux à deux~? \item Les droites $(B'O)$ et $(BC)$ sont parallèles. Comment cela se traduit-il dans cette représentation en perspective centrale~? \item Terminer le dessin en représentant la partie $ABCD$ qui entoure $AB'OD'$ ainsi que le mur $AEFB$ qui borde la partie piétonne (on ne représentera pas le lampadaire). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Le séjour de vacances peut se décliner selon deux formules : \begin{itemize} \item une formule \og tourisme \fg{}; \item une formule \og aventure \fg{}. \end{itemize} Les deux formules ne peuvent être combinées, 60\,\% des clients du séjour ont choisi la formule \og tourisme \fg{} et 40\,\% ont choisi la formule \og aventure \fg. \smallskip Une enquête de satisfaction conduite auprès des clients concernés montre que 70\,\% des clients de la formule \og tourisme \fg{} ont exprimé être satisfaits et, parmi les clients de la formule \og aventure \fg, ils sont 90\,\% à exprimer être satisfaits. \smallskip L'agence procède à un tirage au sort pour offrir un cadeau à l'un des clients de ce séjour. \smallskip On considère les évènements suivants: \begin{description} \item[$T$:] le tirage au sort a désigné un client de la formule \og tourisme \fg{}; \item[$A$:] le tirage au sort a désigné un client de la formule \og aventure \fg{};\item[$S$:] le tirage au sort a désigné un client qui a exprimé être satisfait; \item[$\overline{S}$:] le tirage au sort a désigné un client qui n'a pas exprimé être satisfait; \end{description} \begin{enumerate} \item Construire un arbre de probabilités associé à cette expérience. \item Préciser les valeurs de $P_T(S)$ et de $P_A\left(\overline{S}\right)$. \item Définir par une phrase l'évènement $A \cap\overline{S}$. Calculer $P\left(A\cap\overline{S}\right)$. \item Montrer que la probabilité que le client désigné par le tirage au sort soit un client n'ayant pas exprimé être satisfait est \np{0,22}. \item Calculer la probabilité que le tirage au sort ait désigné un client de la formule \og aventure \fg{} parmi les clients qui n'ont pas exprimé être satisfaits. Exprimer le résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant en indiquant les restes de la division euclidienne de $7^n$ par $10$. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $n$: & 1 &2&3&4&5&6&7&8\\ \hline reste&7&9& $\cdots$& $\cdots$& $\cdots$& $\cdots$& $\cdots$& $\cdots$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Montrer que $7^{4n}\equiv 1~(\text{modulo }10)$ pour tout nombre entier naturel $n$. \item En déduire le chiffre des unités du nombre $7^{2013}$. \end{enumerate} \smallskip \emph{Dans la question 2, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \item Déterminer le chiffre des dizaines de $7^{2013}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par: \[f(x) = \text{e}^{x - 1} + x - 1.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan. On a obtenu l'écran ci-dessous à l'aire d'un traceur de courbe. \begin{center} \psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1,-2)(4,5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=1]{->}(0,0)(-1,-2)(4,5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.0}{4.0}{EXP(x-1)+x-1} \psline(-1,-2)(4,-2)(4,5)(-1,5)(-1,-2) \uput[90](3.5,0){$x$} \uput[0](0,4.5){$y$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(2)$. \item Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de $f(4)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer $f'(x)$. \item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur $\R$. \end{enumerate} \item On admet, comme il apparait sur la copie d'écran ci-dessus, que la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un seul point d'abscisse $\alpha$. \begin{enumerate} \item Encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs. \item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant où $f$ est la fonction définie ci-dessus: \begin{center} \begin{tabular}{|ll} \textbf{entrée:} & $B$ est un nombre réel positif.\\ \textbf{traitement:} & \rnode{a}{\phantom{c}} Donner à $X$ la valeur 0\\ &\phantom{c} Donner à $Y$ la valeur $f(0)$\\ &\phantom{c} Tant que $Y