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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small  septembre 1995}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion septembre 1995~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

$\bullet~~$ À propos de pourcentages

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un pays X, l'inflation était de 15\,\% au cours du mois d'octobre 1994. S'il en est de même au cours du mois de novembre 1994, peut-on dire que l'inflation aura été de 30\,\% sur l'ensemble des 2 mois ? Justifier.
\item Deux sociétés A et B proposent à leurs clients les placements
suivants :

A propose un intérêt de 9\,\% par an.

B propose un intérêt de 0,75\,\% par mois.

Dans les deux cas, les intérêts sont ajoutés au capital à la fin de chaque période de référence : année pour A, mois pour B.
	\begin{enumerate}
		\item Si un client place un capital de 1 000 000 F, que sera devenu ce capital au bout d'une année dans les deux cas?
		\item Laquelle des deux sociétés offre le placement le plus avantageux pour les clients ?
	\end{enumerate}
\item Dire qu'un taux mensuel de $t$\,\% est équivalent à un taux annuel de $t’$\,\% signifie qu'une somme placée au taux mensuel de $t$\,\% acquiert, au bout d'un an, la même valeur que si elle avait été placée au taux annuel de $t’$\,\%. 

On a donc : $1 + \dfrac{t’^9}{100} = \left(1 + \dfrac{0,75t}{100}\right)^{12}$.

Calculer $t$ à $10^{-2}$ près pour que $t'$ soit égal à $15$.
(On pourra utiliser la fonction logarithme.)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On lance simultanément un dé cubique bleu et un dé cubique rouge.

Les faces de chacun de ces deux dés sont numérotées de 1 à 6.

À chaque lancer apparaît donc un couple de nombres. On suppose tous
les résultats équiprobables. 

On désigne par E l'évènement \og la somme
des deux nombres est supérieure ou égale à 10 \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de E est égale à $\dfrac{1}{6}$.
\item On lance ces deux dés $10$ fois de suite. Quelle est la probabilité
que l'évènement E soit réalisé exactement 3 fois ? (On donnera une
valeur décimale arrondie à $10^{-3}$ près.)
\item On lance les deux dés $n$ fois de suite.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité $P_n$ que E soit réalisé au moins une fois
est égale à $1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^n$.
		\item Quel est le nombre minimum de lancers pour que cette probabilité
$P_n$ soit supérieure à 0,9 ?
		\item Quelle est la limite de $P_n$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[g(x) = - x^2 - 2 + 2\ln x\]

(ln désigne le logarithme népérien).

$g'$ désignant la fonction dérivée de $g$, calculer $g'(x)$.

Étudier le sens de variation de $g$. Calculer $g (1)$.

En déduire le signe de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty$.
\item On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = - x + 5 - 2\dfrac{\ln x}{x}.\]

On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un
repère orthonormal \Oij{} (unités graphiques : 1 cm).
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les limites de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ et quand $x$ tend
vers $0$.
		\item $f'$ désignant la fonction dérivée de $f$ calculer $f'(x)$.
		
Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire le signe de $f'$.
		
Dresser le tableau de variations de $f$.
		\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = - x + 5$ est une asymptote à la courbe (C).
		
Étudier la position de (C) par rapport à (D).
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$
dans l'intervalle [1~;~5]. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude
$10^{-1}$. 
		\item Tracer (D) et (C).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par
$u(x) = (\ln x)^2$.
		
En déduire une primitive $H$ de la fonction $h$ définie
sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.
		\item On désigne par E la partie du plan limitée par la courbe (C), la
droite (D) et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.

Mettre E en évidence sur le graphique.

Calculer l'aire, en cm$^2$, de cette partie E.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}