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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Surface : Arié Yallouz et relecture : un grand merci
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small 19 juin 2009}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion 19 juin 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte.}

\medskip
 
\textbf{Aucune justification n'est demandée. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}

\medskip
 
\emph{Le barème sera établi comme suit : pour une réponse exacte, $1$ point ; pour une réponse fausse ou l'absence de réponse,  $0$ point.} 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  On connaît les probabilités suivantes :

 $p(A) = 0,23 ~;~ p(B)  = 0,56$ et $p(A \cap  B) = 0,11$. Alors : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{A.~~} $p(A \cup B) = 0,79$& \textbf{B.~~} $p(A \cup B) = 0,68$&  \textbf{C.~~}  $p(A \cup B) = 0,9$ \end{tabularx}

\medskip
 
\item  $x$ est un réel strictement positif. La limite de $(1 - \ln x)$  en $0$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{A.~~} 1 &	\textbf{B.~~}$ -\infty$& 	\textbf{C.~~} $ +\infty$\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Le prix d'un article a doublé en dix ans. L'augmentation annuelle moyenne du prix de cet article, à 1\:\% près, est de :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{A.~~} 7\:\% &	\textbf{B.~~} 10\:\%& 	\textbf{C.~~} 50\:\%
 \end{tabularx}

\medskip

\item Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une primitive de la fonction $f$, définie pour tout $x$ réel par $f(x) = \text{e}^{3x}$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{A.~~} $F(x) = \text{e}^{3x}$& \textbf{B.~~} $F(x) = \dfrac{1}{3}\text{e}^{3x} + 5$&
\textbf{C.~~} $F(x) =3\text{e}^{3x} + 5$ \end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[- 2~;~2]$ par 

\[f(x) = (x - 1)\text{e}^x + 2.\]

On note $f'$ sa dérivée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $f(- 2),\:f(0)$ et $f(2)$. 
\item  Calculer $f'(x)$. Donner le tableau de variations de $f$ sur $[- 2~;~2]$. 
\item \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On considère les points A(1~;~2) et B$(0~;~2 - \text{e})$. Démontrer que la droite (AB) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A. 
\item Sur la feuille de papier millimétré, construire avec précision la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de $f$ dans un repère orthogonal (unités : 4~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée). 
\item On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = (x - 2)\text{e}^x + 2x$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[- 2~;~2]$. Hachurer la partie $\mathcal{A}$ du plan délimitée par les axes du repère, la droite  d'équation $x = 2$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$. Calculer la mesure en cm$^2$ de l'aire de $\mathcal{A}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

Dans cet exercice, donner les réponses sous forme de nombres décimaux qui ne seront pas arrondis.

\medskip
 
Un concessionnaire automobile vend deux versions de voitures pour une marque donnée: routière ou break. Pour chaque version il existe deux motorisations : essence ou diesel. Le concessionnaire choisit au hasard un client ayant déjà acheté une voiture. 

On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $R$ l'évènement : \og la voiture achetée est une routière \fg{} ;
\item[] $B$ l'évènement : \og la voiture achetée est une break \fg{}; 
\item[] $E$ l'évènement : \og la voiture est achetée avec une motorisation essence \fg{} ; \item[] $D$ l'évènement : \og la voiture est achetée avec une motorisation diesel \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  65\,\% des clients achètent une voiture routière. 
\item[$\bullet~$] Lorsqu'un client achète une voiture break, il choisit dans 85\,\% des cas la motorisation diesel. 
\item[$\bullet~$] 27,3\,\% des clients achètent une voiture routière avec une motorisation diesel.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité $p(R)$ de l'évènement $R$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire l'arbre de probabilité complet. 
		\item  Démontrer que $P_{R}(D) = 0,42$ (probabilité de $D$ sachant $R$). 
	\end{enumerate}
\item Calculer $p(D)$. 
\item Lorsque le concessionnaire a choisi au hasard un client, on note $x$ le prix de vente (en milliers d'euros) de la voiture achetée. 

Compléter le tableau de la feuille annexe donnant la loi de probabilité de $x$.

 Calculer l'espérance mathématique de $x$. Quelle interprétation peut-on en donner ? 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

Une usine produit deux types E et F de moteurs.
 
Le bénéfice $B$, exprimé en milliers d'euros, pour une production journalière de $x$ moteurs E et $y$ moteurs F est :

\[B(x~;~y) = - 0,05x^2 - 0,08y^2 + 0,6x + 0,7y.\]
 
On admet que la production totale est vendue et que $0 \leqslant  x \leqslant  10~;~0 \leqslant  y \leqslant  8$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le bénéfice réalisé avec : 
	\begin{enumerate}
		\item Une production de 7~moteurs E et de 5~moteurs F. 
		\item Une production de 10~moteurs E et aucun moteur F.
	\end{enumerate} 
\item La fonction $B$ est représentée par la surface $S$ (figure ci-dessous). 

L'usine veut obtenir un bénéfice dépassant \np{3000}~\euro. Par lecture graphique de $B$ : 
	\begin{enumerate}
		\item Si l'usine fabrique 6~moteurs F, indiquer le nombre de moteurs E qu'il faut produire pour atteindre cet objectif. Préciser les différentes possibilités. 
		\item Si l'usine fabrique 8~moteurs E, indiquer le nombre de moteurs F qu'il faut produire pour atteindre cet objectif.  Préciser les différentes possibilités. 
	\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textsf{\textbf{{\small{Représentation graphique du bénéfice $B$}}}}

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-6.25,-4.5)(10.25,8.5)
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\psset{unit=0.7cm,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu}

\def\fxy{0.1 neg x 2 exp mul .16 y 2 exp mul sub 1.2 x  mul add 1.4 y mul add}

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\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](2,0){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 425 add sqrt sub .125 mul 2}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](0,0)(1.798,0){\fxy}
}
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\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=violet,plotstyle=curve]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](0,1)(8,8){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](.94,0){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 425 add sqrt add .125 mul 2}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](0,0)(6.952,8){\fxy}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuGris,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](0,1){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 425 add sqrt sub .125 mul 2}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](1,1)(0.69864,8){\fxy}
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\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10](.94,0){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 425 add sqrt add .125 mul 2}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](0,0)(6.952,1.798){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuGris,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](1,2){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 425 add sqrt sub .125 mul 2}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](2,2)(0,8){\fxy}
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\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](1,1)(8,0.69864){\fxy}
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\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuGris,plotstyle=curve]{%
\multido{\n=3+1}{8}{%
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\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](\n,\n)(8,0){\fxy}
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}
}
% coloriage par bandes de z> 2 pour x variant de 0 à 10
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\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=6](.8401,1){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](1,1)(3.36722,5.38278){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=6](1,.8401){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt add .125 mul 4}
}
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\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](1,2){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](2,2)(1.798,6.952){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](2,1){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt add .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](1,1)(5.38278,3.36722){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](2,3){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](3,3)(1.056,7.694){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](3,2){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt add .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](2,2)(6.952,1.798){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10,linecolor=bleu](3,4){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1,linecolor=bleu](4,4)(.614598,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10,linecolor=bleu](4,3.633)(8,8){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10,linecolor=bleu](3.633,3){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt add .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1,linecolor=bleu](3,3)(7.674,1.056){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](4,5){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](5,5)(.37304,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](5,4)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](4,4)(8,0.614598){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](5,6)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](6,6)(8,.2957){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](6,5){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](5,5)(.37304,8){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](6,7)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](7,7)(8,0.37304){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](7,6){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](6,6)(.2957,8){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](7,8)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](8,8)(8,0.37304){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8,7){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](7,7)(.614598,8){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8,9){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](9,9)(1.056,7.69398){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](9,8.36643){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt add .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8.36643,8)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](8,8)(8,.614598){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](9,9)(7.69398,1.056){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](9,10){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](10,10)(1.798,6.952){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](10,9){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt add .125 mul 4}
}
% fin de coloriage par bandes de z> 2
% coloriage par bandes de z > 3

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve,linecolor=bleuClair]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](3,4.375){ 6 40 neg t dup mul mul  350 t mul add 600 sub sqrt .2 mul sub  t 6}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](3.42609,6)(4.375,4.375){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](6,6)(4.375,3){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](6,4.10263)(3,3){\fxy}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](3,4375){ 6 40 neg t dup mul mul  350 t mul add 600 sub sqrt .2 mul add  t 6}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](8.57391,6)(4.375,4.375){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](6,6)(4.375,3){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](6,7.89737)(3,3){\fxy}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](3.426093,4){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt sub .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](4,4)(3.09413,5.65587){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](4,3.426093){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt add .125 mul 6}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](4,5){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt sub .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](5,5)(2.5,6.25){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](5,4){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt add .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](4,4)(5.65587,3.09413){\fxy}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](5,6){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt sub .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](6,6)(2.34015,6.40985){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](6,5){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt add .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](5,5)(6.25,2.5){\fxy}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](6,7){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt sub .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](7,7)(2.5,6.25){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](7,6){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt add .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](6,6)(6.40985,2.34015){\fxy}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](7,8){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt sub .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](8,8)(3.09413,5.65587){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8,7){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt add .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](7,7)(6.25,2.5){\fxy}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8,8.5739){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt sub .125 mul 6}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8.5739,8){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt add .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](8,8)(5.65587,3.09413){\fxy}
}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=50](0,10)(7,7){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=50](0,10)(6,6){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=25](3.5,10)(5,5){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](6,10)(4,4){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=15](7,10)(3,3){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8,10)(2,2){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](0,.4)(1,1){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](9,10)(1,1){\fxy}
\psframe[linewidth=0.25pt,linecolor=gray](8.5,0)(10,2.5)
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=bleu, fillstyle=solid}
\psframe[fillcolor=violet](8.75,.3)(9.05,.6)  \rput[l](9.25,.45){\footnotesize{0-1}}
\psframe[ fillcolor=bleuGris](8.75,.8)(9.05,1.1)  \rput[l](9.25,.95){\footnotesize{1-2}}
\psframe[ fillcolor=mauveClair](8.75,1.3)(9.05,1.6) \rput[l](9.25,1.45){\footnotesize{2-3}}
\psframe[ fillcolor=bleuClair](8.75,1.8)(9.05,2.1) \rput[l](9.25,1.95){\footnotesize{3-4}}
\psset{linestyle=none}
\pstextpath[c]{\pstThreeDLine(0,8.5,-.75)(10,8.5,-.75)}{\textbf{$x$} : \footnotesize{nombre de moteurs E}}
\pstextpath[c]{\pstThreeDLine(10.5,8,-.75)(10.5,0,-.75)}{\textbf{$y$} : \footnotesize{nombre de moteurs F}}
\pstextpath[l]{\pstThreeDLine(-.5,8.75,1)(-.5,8.75,8.5)}{\textbf{$z$} : \footnotesize{bénéfice (en milliers d'euros)}}

\end{pspicture*}
\end{center} 

\item La demande contraint l'usine à fabriquer autant de moteurs E que de moteurs F. Dans ce cas : 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le bénéfice $B$ réalisé, lorsque $x$ varie de 0 à 8. 
	\item Déterminer la production permettant de réaliser le bénéfice maximal.
	 
Calculer ce bénéfice maximal exprimé en euros.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La ville de Sirap étudie les flux de sa population et enregistre, chaque année, $y$ centaines de nouveaux résidants et $z$ centaines de résidants quittant la ville. 

Le tableau ci-dessous indique les flux pour cinq années :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.75cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2000 &2002 &2004 &2006 &2007 \\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$&0 &2 &4 &6 &7\\ \hline  
Nouveaux résidants (en centaines) : $y_{i}$ & 9,71 &10,95 &10,83 &11,95 &11,99 \\ \hline
Départs de résidants (en centaines) : $z_{i}$&9,6 &11,79 &12,63 &12,9 &13,18\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Pour la série statistique $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$ donner une équation de la droite d'ajustement $\mathcal{D}$ de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindre carrés (arrondir les coefficients au centième).

\medskip 

\textbf{Partie B}

\medskip 

Dans toute la suite de l'exercice 4, on admettra le modèle d'ajustement $y = f(x)$ et $y = g (x)$ avec : 

\[f(x) = 0,3x + 10\: \text{pour la série}\: \left(x_{i}~;~ y_{i}\right)~ \text{et}\: g(x) = \ln (3x+ 1) + 10\: \text{pour la série}\: \left(x_{i}~;~ z_{i}\right).\]
 
Les nuages de points et les courbes représentatives de $f$ et $g$ sont donnés dans la figure ci-dessous :

\medskip

\psset{unit=0.544cm} 
\begin{pspicture}(-1,6.5)(21,17)
\definecolor{vert} {rgb}{0.05 .5 .45}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=7]{->}(0,7)(21,17)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,7)(21,17)
\psdots[linecolor=vert,dotscale=.8](0,9.71)(2,10.95)(4,10.83)(6,11.95)(7,11.99)(17.25,9.3)
\psdots[linecolor=blue,dotstyle=Bsquare](0,9.6)(2,11.79)(4,12.63)(6,12.9)(7,13.18)(17.25,8.3)
\psplot[linecolor=vert,plotpoints=2]{-.75}{21}{0.3 x mul 10 add}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=212]{-0.2}{21}{3 x mul 1 add ln 10 add}
\rput[l](16.1,13.25){\footnotesize{$y=\ln(3x+1)+10$}}
\rput[l](16.1,16.25){\footnotesize{$y=0,3x+10$}}
\rput[l](17.6,9.3){\footnotesize{Série $(x;y)$}}
\rput[l](17.6,8.3){\footnotesize{Série $(x;z)$}}

\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant ces ajustements : 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer à partir de quelle année le nombre de nouveaux résidants dépasserait \np{1400}. 
		\item Calculer à partir de quelle année le nombre de départs de résidants dépasserait \np{1400}. 
	\end{enumerate}

On considère la fonction $d$ définie sur [0~;~20] par 

\[d(x) = g(x) - f(x) = \ln (3x + 1) - 0,3x.\]

On note $d'$ la dérivée de $d$.
 
\medskip
  
\item Calculer $d'(x)$ et en donner une écriture sous forme d'un quotient. Étudier son signe et construire le tableau de variations de la fonction $d$. 
\item Montrer que l'équation $d(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$
 dans l'intervalle [3~;~20]. 

À l'aide d'une calculatrice, donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers consécutifs. 
\item En considérant ces ajustements et en tenant compte uniquement des départs et des arrivées de résidants : 

	\begin{enumerate}
		\item En quelle année la ville de Sirap enregistre la plus grande baisse de sa population ? 
		
Estimer alors cette baisse. 
		\item À partir de quelle année la ville de Sirap peut-elle prévoir une augmentation de sa population ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}
\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 3}

\vspace{0,5cm}
 
(candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5,5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Version &\multicolumn{2}{|c|}{Routière} &\multicolumn{2}{|c|}{Break} \\ \hline
Motorisation &\small Essence&Diesel &\small Essence &Diesel \\ \hline
$x_{i}$ : prix de vente (en milliers d'euros) &15 &18 &17 &20\\ \hline 
$P_{i}$ : probabilité&& 0,273&&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}