\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small La Réunion} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip Une entreprise est équipée d'ordinateurs de trois modèles différents. 30\,\% sont de marque (M$_1$), 50\,\% sont de marque (M$_2$) et 20\,\% de marque (M$_3$). On choisit un appareil au hasard. Tous les choix sont équiprobables. Pour $i$ égal à 1, 2 ou 3, on appelle $M_i$ l'évènement : \og l'appareil choisi est de marque (M$_i$) \fg{}. On note $p(M_i)$ la probabilité de l'évènement $M_i$. On a donc $p(M_{1}) = 0,3$ ; $p(M_{2}) = 0,5$ et $p(M_{3}) = 0,2$. On note $T$ l'évènement : \og l'appareil choisi tombe en panne \fg{} et $p(T)$ la probabilité de cet évènement. On suppose que si un appareil tombe en panne, il est réparé et qu'il fonctionne alors correctement. La probabilité $p_1(T)$ qu'un appareil de marque (M$_1$) tombe en panne est $\dfrac{1}{30}$. La probabilité $p_2(T)$ qu'un appareil de marque (M$_2$) tombe en panne est $\dfrac{1}{20}$. La probabilité $p_3(T)$ qu'un appareil de marque (M$_3$) tombe en panne est $\dfrac{1}{40}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Traduire toutes les données sur un arbre pondéré. \item Calculer la probabilité que l'appareil choisi soit de marque (M$_2$) et qu'il tombe en panne. \item Vérifier que la probabilité qu'un ordinateur tombe en panne est égale à $0,04$. \item Quelle est la probabilité que l'appareil soit de marque (M$_2$) sachant qu'il est tombé en panne ? \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, on donnera le résultat à} 0,1 \emph{près}. Un service de l'entreprise possède quatre ordinateurs. On suppose que les pannes éventuelles de ces ordinateurs sont indépendantes deux à deux. Quelle est la probabilité qu'aucun des quatre ordinateurs ne tombe en panne ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{(obligatoire)} \medskip Dans cet exercice aucun détail des calculs statistiques effectués à la calculatrice n'est demandé. Lors d'une période de sécheresse, un agriculteur relève la quantité totale (en m$^3$) utilisée par son exploitation depuis le premier jour et donne le résultat suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *5{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{Nombre de jours écoulés :} $x_i$ & 1 & 3 & 5 & 8 & 10\\ \hline \textbf{Volume utilisé (en m}$^3): y_i$ & 2,25 & 4,3 & 8 & 17,5 & 27\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le plan est muni d'un repère orthogonal. On prendra pour unité graphique sur l'axe des abscisses 1~cm pour un jour et sur l'axe des ordonnées 0,5~cm pour un mètre-cube. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter alors la série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$. \item \begin{enumerate} \item Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~y_i\right)$ en arrondissant le résultat lu sur la calculatrice à $10^{-3}$ près. \item Donner l'équation de $\Delta$ droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = \alpha x + \beta$ où $\alpha$ et $\beta$ sont les arrondis à $10^{-2}$ près des valeurs lues sur la calculatrice. \item Représenter la droite $\Delta$ sur le graphique. \end{enumerate} \item Le nuage de points permet d'envisager un ajustement par la parabole $\mathcal{P}$ qui passe par les points A(1 ; 2,25) ; B(10 ; 27) et qui a pour équation $y = ax^2 + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. \begin{enumerate} \item Déterminer $a$ et $b$ et donner l'équation de la parabole $\mathcal{P}$. \item Représenter la parabole $\mathcal{P}$ sur le graphique. \end{enumerate} \item Dans cette question on compare les deux ajustements à l'aide du tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}|m{2,5cm}}\cline{1-6} $x_i$ &1 &3 &5 &8 &10 & \\\cline{1-6} $y_i$ &2,25 &4,3 &8 &17,5 &27 & \\ \hline $\left|y_i - \alpha x^2_i + \beta \right|$ &2,54 &0,91 &2,71 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} & &\multicolumn{1}{c|}{Total $T_1$ : }\\ \hline $\left|y_i - a x^2_i + b \right|$ &0 &0,05 &0,25 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} & &\multicolumn{1}{c|}{Total $T_2$ : }\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On ne demande pas de recopier ce tableau. Les deux totaux calculés évaluent pour chaque ajustement la somme des écarts entre les ordonnées des points du nuage et les ordonnées des points de même abscisse de l'ajustement. Donner les arrondis à $10^{-1}$ près des deux totaux $T_1 $ et $T_2$ calculés ci-dessus. (Aucun détail n'est demandé.) En déduire l'ajustement qui parait le mieux adapté. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{(spécialité)} \medskip Dans cet exercice aucun détail des calculs effectués à la calculatrice n'est demandé. Dans une région de \np{1000}~km$^2$, la superficie des terrains urbanisés entre 1970 et 1998 est donnée par le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{Années} &1970&1974&1978&1982&1986&1990&1994&1998\\ \hline \textbf{Rang :} $x_i$ & 0 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 &28 \\ \hline \textbf{Superficie (en km}$^2$) : $y_i$ & 80 & 94 & 110 & 129 & 152 & 178 & 205 & 236\\ \hline Y$_i$ & 4,38 & 4,54 & 4,70 &4,86 & 5,02 &5,18 & 5,32 & 5,46\\ \hline \end{tabularx} \medskip Le nuage de points associé à la série statistique $(x_i~;~ y_i)$ est représenté ci-dessous. \bigskip \psset{unit=1cm}\begin{center} \begin{pspicture}(9,9) \psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(9,9) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(9,9) \rput(-0.8,0.5){80} \rput(-0.8,1.5){100} \rput(-0.8,2.5){120} \rput(-0.8,4){150} \rput(-0.8,6.5){200} \rput(-0.8,9){250} \rput(1,-0.5){4} \rput(2,-0.5){8} \rput(3,-0.5){12} \rput(4,-0.5){16} \rput(5,-0.5){20} \rput(6,-0.5){24} \rput(7,-0.5){28} \rput(8,-0.5){Années} \psdots[dotstyle=*,dotscale=1.25](0,0.5)(1,1.2)(2,2)(3,2.45)(4,4.1)(5,5.4)(6,6.75)(7,8.3) \rput(4.4,4){A} \rput(7.4,8.3){B} \rput(0.6,9.2){Superficie} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \textsl{Les estimations de superficie demandées dans l'exercice seront données en} km$^2$ \textsl{et arrondies à l'unité}. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner l'arrondi $r$ à $10^{-2}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série $(x_i~;~ y_i)$. \item Donner l'estimation E$_1$ obtenue par la méthode des moindres carrés de la superficie des terrains urbanisés en 2010. \end{enumerate} \item Au vu de la forme du nuage, on effectue un autre ajustement. On calcule $\ln y_i$. On appelle $Y_i$ l'arrondi à $10^{-2}$ près de $\ln y_i$. Les valeurs $Y_i$ sont données dans le tableau considéré. \begin{enumerate} \item Donner l'arrondi $r'$ à $10^{-4}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~Y_i\right)$. \item On prendra $Y = 0,039x + 4,39$ pour équation de la droite de régression de $Y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Calculer la valeur $y$ estimée pour l'année 2010. En déduire une estimation E$_2$ de la superficie des terrains urbanisés en 2010. \end{enumerate} \item On fait un troisième ajustement du nuage de points en utilisant la droite $\mathcal{D}$ passant par les points A(16~;~152) et B(28~;~236). \begin{enumerate} \item Donner une équation de la droite $\mathcal{D}$. \item En déduire l'estimation E$_3$ faite avec cet ajustement, de la superficie des terrains urbanisés en 2010. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par \[g(x) = 1 + (- x + 2)\text{e}^{-x}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ ou $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$ et étudier son signe selon les valeurs de $x$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$. Préciser $g(3)$. On ne demande pas les limites en $+ \infty$ et en $- \infty$. \item En déduire le signe de $g(x)$ sur $\R$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = x + (x - 1)\text{e}^{- x}.\] \medskip On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal. On prendra 2~cm pour une unité graphique. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$, on a : $f'(x) = g(x),\: f'$ désignant la fonction dérivée de $f$. \item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que $f(x) = x + \dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^x}$. En déduire la limite de $f$ en +$\infty$. On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$. \item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$. On précisera les coordonnées de leur point d'intersection A. \end{enumerate} \item Donner le tableau de variations de la fonction $f$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ ainsi que la droite $\Delta$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[F(x) = x + (ax + b)\text{e}^{-x}\] soit une primitive de $f$. \item Calculer en cm$^2$ l'aire du domaine du plan compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. En donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{document}