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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small  juin 1995}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 1995~\decofourright }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{À propos de pourcentages}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans un pays X, l'inflation était de 15\,\% au cours du mois d'octobre 1994. S'il en est de même au cours du mois de novembre 1994, peut-on dire que l'inflation aura été de 30\,\% sur l'ensemble des 2 mois ?
 
Justifier. 
\item Deux sociétés A et B proposent à leurs clients les placements suivants : 

A propose un intérêt de 9\,\% par an.
 
B propose un intérêt de 0,75\,\% par mois.
 
Dans les deux cas, les intérêts sont ajoutés au capital à la fin de chaque période de référence ;  année pour A, mois pour B. 
	\begin{enumerate}
		\item Si un client place un capital de \np{1000000}~F, que sera devenu ce capital au bout d'une année dans les deux cas? 
		\item Laquelle des deux sociétés offre le placement le plus avantageux pour les clients ?
	\end{enumerate} 
\item Dire qu'un taux mensuel de $t$\,\% est équivalent à un taux annuel de $t'$\,\% signifie qu'une somme placée au taux mensuel de $t$\,\% acquiert, au bout d'un an, la même valeur que si elle avait été placée au taux annuel de $t'$\,\%. On a donc : 

\[1 + \dfrac{t'}{100} = \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{12}.\]
 
Calculer $t$ à $10^{-2}$ près pour que $t'$ soit égal à 15 (on pourra utiliser 
la fonction logarithme).
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On lance simultanément un dé cubique bleu et un dé cubique rouge. Les faces de chacun de ces deux dés sont numérotées de 1 à 6.
 
À chaque lancer apparaît donc un couple de nombres. On suppose tous les résultats équiprobables. 

On désigne par $E$ l'évènement \og la somme des deux nombres est supérieure ou égale à 10 \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de $E$ est égale à $\dfrac{1}{6}$. 
\item On lance ces deux dés 10 fois de suite. Quelle est la probabilité que l'évènement $E$ soit réalisé exactement 3 fois ? (on donnera une valeur décimale arrondie à $10^{-3}$ près). 
\item On lance les deux dés $n$ fois de suite. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité $p_{n}$ que $E$ soit réalisé au moins une 
fois est égale à $1 - \left(\dfrac{5}{6} \right)^n$. 
		\item Quel est le nombre minimum de lancers pour que cette probabilité $p_{n}$ soit supérieure à $0,9$ ? 
		\item Quelle est la limite de $p_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par 

\[g(x) = - x^2 - 2 + 2 \ln x.\]
 
(ln désigne le logarithme népérien)
 
$g'$ désignant la fonction dérivée de $g$, calculer $g'(x)$. 

Étudier le sens de variation de $g$. Calculer $g(1)$.

En déduire le signe de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item On désigne par $f$ la fonction définie sur L'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par  

\[f(x) = - x + 5 - 2\dfrac{\ln x}{x}.\] 

On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique: 1~cm). 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les limites de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ et quand $x$ tend vers $0$. 
		\item $f'$ désignant la fonction dérivée de $f$, calculer $f'(x)$. Montrer que
		 
$f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. 

En déduire le signe de $f'$. Dresser le tableau de variations de $f$. 
		\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = - x + 5$ est une asymptote à la courbe $(C)$. Étudier la position de $(C)$ par rapport à (D). 
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~5]. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 10-1? 
		\item Tracer (D) et $(C)$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
		\[u(x) = (\ln x)^2.\]
		
En déduire une primitive $H$ de la fonction $h$ définie ln x 
sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[h(x) = \dfrac{\ln x}{x}.\] 
 
		\item On désigne par $E$ la partie du plan limitée par la courbe $(C)$, la droite (D) et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
		 
Mettre $E$ en évidence sur le graphique.
 
Calculer l'aire, en cm$^2$, de cette partie $E$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}