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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small La Réunion}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juillet 2000~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

En vue d'étudier ses préférences alimentaires, le chien Motus a le 
choix chaque soir entre un et un seul des deux menus suivants :
 
$\bullet$ des croquettes ;

$\bullet$ une soupe avec de la viande et des pâtes aux légumes.

Une étude réalisée sur un nombre élevé de jours permet de constater 
que Motus a préféré la soupe dans 70\,\% des cas et les croquettes 
dans 30\,\% des cas.

On admet que le comportement du chien reste identique dans l'avenir.
	\begin{enumerate}
		\item On considère un jour donné choisi au hasard, et on appelle $C$ l'évènement \og Motus choisit les croquettes \fg{}.
 
Calculer les probabilités de $C$ et de $\overline {C}$.

\item On observe les choix du chien pendant trois jours consécutifs. On admet que ces choix sont indépendants d'un jour à  l'autre.
  
Construire un arbre pondéré pour décrire tous les choix possibles du  chien.
		\item Si Motus choisit les croquettes, il boit 1 litre d'eau
 après son repas, s'il choisit la soupe il ne boit que 1/2 litre d'eau.
  
On note la quantité bue par le chien après ses repas pendant 3 jours 
consécutifs, choisis au hasard.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de litres 
d'eau bue par le chien. On suppose que les choix du chien sont indépendants
 d'un jour à l'autre pendant ces 3 jours. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs possibles de $X$ ?		 
		\item Établir la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer E($X$) et interpréter cette valeur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{(enseignement obligatoire)}

\medskip

Le but de cet exercice est de déterminer laquelle des fonctions $f_1,\,f_2,\, f_3$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~ f_1(x) = x^2 -  x$ 
 
$\bullet~ f_2(x) = \ln (x^2 - x  + 1)$

$\bullet~ f_3(x) = x\text{e}^{x - 1}  - x$
\setlength\parindent{0mm}

est représentée par la courbe $\Gamma$ donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.

\psset{unit=6cm,comma=true,mathLabel=false}
\begin{center} \begin{pspicture}(-0.1,-0.5)(1.2,0.4)
\multido{\n=0+0.1}{13}{\psline[linestyle=dotted](\n,-0.5)(\n,0.4)}
\multido{\n=-0.5+0.1}{10}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(1.2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.1,labelFontSize=\footnotesize]{->}(0,0)(0,-0.51)(1.2,0.41)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.1,labelFontSize=\footnotesize](0,0)(0,-0.5)(1.2,0.41)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 2 exp x sub 1 add ln }

\uput[d](0.5,-0.3){M} \uput[u](1,0){I}
\uput[d](0.85,-0.15){\blue $\Gamma$}
\end{pspicture} 
\end{center} 

\vspace{0,6cm}

\begin{enumerate}
\item Calculer les fonctions dérivées $f'_1$, $f'_2$, $f'_3$  des
 fonctions $f_1$,\, $f_2$,\,  $f_3$.
\item L'examen de la courbe $\Gamma$ permet d'obtenir cinq  informations : A, B, C, D, E.
 
$\bullet~$ A : les points de coordonnées (0 ; 0) et (1 ; 0) appartiennent à $\Gamma$.

$\bullet~$ B : la courbe $\Gamma$ admet en O une tangente d'équation $y = - x$.

$\bullet~$ C : la courbe $\Gamma$ admet en I une tangente d'équation $y = x - 1$.

$\bullet~$ D : la courbe $\Gamma$ admet en M une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

$\bullet~$ E : l'ordonnée du point M est inférieure à $- 0,26$.

\medskip

En utilisant chacune des cinq informations, dans chaque cas, vous 
préciserez pour chacune des fonctions $f_1,~ f_2,~ f_3$, celles qui vérifient la condition correspondante et celles qui ne vérifient pas cette condition.
 
Conclure en donnant une équation de la courbe $\Gamma$ sur l'intervalle [0~;~1].
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{(enseignement de spécialité)}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente dans un repère orthonormal 
\Oij, une fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{-x} (ax + b),\: \text{ où } a \:\text{ et } b\: \text{ sont deux réels.}\]

La droite $\Delta$ est la tangente à la courbe  $\mathcal{C}$  au point
 d'abscisse 0.
 
Cette tangente passe par les points A$\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right)$ et B$\left(\dfrac{1}{2}~;~ \dfrac{5}{2}\right)$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm,mathLabel=true} 
\begin{pspicture}(-2,-2)(7,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=cyan](0,0)(-2,-2)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\displaystyle](0,0)(-2,-2)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\displaystyle]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\displaystyle](0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=3000]{-1.685}{7}{2.71828  x neg exp 2 x mul 3 add mul}
\psline(-1,4)(4,-1) \rput(-0.4,3.7){$\Delta$}
\end{pspicture} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lire sur le graphique les valeurs de 
$f\left(- \dfrac{3}{2}\right),~ f(0),~  f'\left(-\dfrac{1}{2}\right)$.
\item Calculer $f'(0)$.
\item Déterminer une équation de la droite $\Delta$. 
\item Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = - \text{e}^{-x} (2x + 1) + 1 $.

Établir le tableau de variation de $h$ (on ne calculera pas les limites 
aux bornes de $\R$).

En déduire que, pour tout $x$ de [0~;~1], on a $h(x) \leqslant 0$.
\item Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{-x} 
(2x + 3) + x - 3$.

Calculer $g'(x)$ et exprimer $g'(x)$ en fonction de $h(x)$.
\item En déduire le sens de variation puis le signe de $g(x)$ sur
 [0~;~1].
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déduire des parties précédentes que la courbe 
$\mathcal{C}$ est au-dessous de la droite $\Delta$ pour les points d'abscisse $x$ appartenant à [0 ; 1].
\item En déduire l'inégalité : $\displaystyle\int_0^1  
f(x)\:\text{d}x \leqslant \dfrac{5}{2}$.\\
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}


\medskip

Au 1/01 /1999, une entreprise s'est équipée d'un certain nombre de 
machines-outils identiques, coûtant chacune à l'achat \np{400000}~ F.
 
Au bout de $t$ années, chacune se revend en ayant perdu chaque année 
$26\,\%$ de sa valeur de l'année précédente; on désigne par $R(t)$ cette 
valeur de revente.
 
On estime que l'entretien d'une machine coûte forfaitairement \np{20000}~ F, pour toute l'utilisation jusqu'à sa revente.
 
On appelle coût d'investissement $I(t)$ d'une machine pour l'année $t$, 
le coût d'achat de cette machine augmenté du montant forfaitaire de 
son entretien diminué de sa valeur de revente l'année $t$. On donne 
$I(t) = 420 - R(t)$, exprimé en milliers de francs. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $R(t)$ en fonction de $t$. 

\item On modélise $R(t)$ par la fonction suivante, définie sur
 $[0~;~+ \infty[$ par :
 
\[R(t) = 400 \text{e}^{- 0,3 t}.\]

On désigne par $C(t)$ le coût total d'utilisation d'une machine au bout 
de $t$ années. $C(t)$ est donné par :

\[C(t) = 420 - 400 \text{e}^{- 0,3 t}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $C(t)$ en $+ \infty$.

Calculer la dérivée de $C(t)$ et étudier son signe.

Étudier les variations de la fonction $C$ pour $t \in [0~;~+ \infty[$.
\item Vérifier qu'au bout de 15 ans, le coût total est pratiquement égal 
au coût d'achat augmenté du coût d'entretien, à \np{5000}~F près.

\end{enumerate}
\item L'entreprise décide de revendre les machines dès que le coût total 
d'utilisation d'une machine dépasse \np{330000}~F.

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $C(t) > 330$. Donner la réponse en nombre entier d'années.
		\item Pour des raisons comptables, l'entreprise revend ses machines au mois de janvier. En quelle année doit-elle le faire ?

Quel sera le prix de revente d'une machine à cette date ?

(On donnera la meilleure approximation de ce prix en nombre entier de 
milliers de francs.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}