\documentclass[10pt]{article}
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%tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\lhead{\small Baccalaur\'eat   L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat L facultatif Liban juin 
2003 \decofourright}} 

\vspace{0,5cm}

Dur\'ee de l'\'epreuve : 3 heures
\end{center}

\noindent L'usage d'une calculatrice est autoris\'e (circulaire n° 99-186 du 16-11-1999)

\vspace{0,5cm}

\noindent La qualit\'e de la r\'edaction, la clart\'e et la pr\'ecision des raisonnements entreront
 pour une part importante dans l'appr\'eciation des copies.

\vspace{0,5cm}

\noindent Les graphiques demand\'es seront r\'ealis\'es sur une feuille de papier millim\'etr\'e mise
 \`a votre disposition.

\vspace{0,5cm}

\noindent ANNEXE 1 : \`a rendre avec la copie si l'exercice 4 est choisi.

\vspace{1cm}

\noindent  {\Large \textbf{\textsc{\gray Exercice 1 obligatoire } \hfill 8 points}}

\begin{enumerate} \item On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie sur $[- 2~ ;~ 2]$ par 

\[g(x) = \text{e}^x - \text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate} \item Calculer des valeurs approch\'ees \`a $10^{-2}$ pr\`es de $g(- 2)$ et de $g(2)$.

\item Calculer $g(0)$ .

\item Trouver la fonction d\'eriv\'ee de $g$ et montrer que $g'(x) > 0$ pour tout $x$
 dans $[- 2~ ;~ 2]$.

\item En d\'eduire le tableau de variations de la fonction $g$.

\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $g(x) =  0$ ?

\end{enumerate}

\item On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $[- 2~ ;~ 2]$ par $f(x) = 
\text{e}^x + \text{e}^{-x}$.

On appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthonormal 
\Oij\\ (unit\'e : 3 cm).

\begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = g(x)$.

\item En d\'eduire le tableau de variations de $f$.

\item Tracer la courbe repr\'esentative de $f$.

\end{enumerate}

\item La courbe pr\'ec\'edente s'appelle une cha\^inette parce qu'elle correspond
 \`a la forme obtenue lorsque on laisse pendre une cha\^ine maintenue aux deux
 extr\'emit\'es. Galil\'ee pensait que cette courbe devait \^etre une parabole. Nous allons
 voir que ce n'est pas le cas.

Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $[- 2~ ;~ 2]$ par $h(x) = ax^2 + b$.

\begin{enumerate} \item Montrer que l'on a $h( 0) = f(0)$ et $h(2) = f(2)$, si et seulement si

\[\left\{\begin{array}{r c l}
b&=& 2\\
4a + b&=&\text{e}^2 + \text{e}^{-2}\\
\end{array}\right.\]

\item Donner une valeur approch\'ee de $a$ \`a $10^{-2}$ pr\`es.

\item En d\'eduire une valeur approch\'ee de $f(1)- h(1)$ \`a $10^{-2}$ pr\`es. Conclure.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent  {\Large \textbf{\textsc{\gray Exercice 2 obligatoire} \hfill 6 points}}

Un industriel qui produit des ampoules \'electriques a effectu\'e une \'etude
 statistique pour conna\^itre la dur\'ee de vie de ces ampoules. Les r\'esultats sont 
r\'esum\'es dans le tableau suivant :

{\footnotesize \begin{center} \begin{tabular}{| l | c | c | c | c | c |}\hline
Dur\'ee de vie  & & & & & \\
en heures& [0 ; 7000[& [7000 ; 8000[& [8000 ; 9000[& [9000; 
10000[ & Plus de 10000\\ \hline
Pourcentage& 10& 20& 40& 20& 10\\ \hline
\end{tabular} \end{center}}

\begin{enumerate} \item On choisit une ampoule au hasard parmi la production de l'industriel et on note :

A l'\'ev\`enement \og la dur\'ee de vie de l'ampoule est sup\'erieure \`a 8 000 heures \fg{}.

B l'\'ev\`enement \og la dur\'ee de vie de l'ampoule est sup\'erieure \`a 10 000 heures \fg{}.

\begin{enumerate} \item Donner les probabilit\'es $p(\text{A})$ et $p(\text{B})$.

\item Justifier que $p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{B})$.

\item En d\'eduire la probabilit\'e conditionnelle $p_{\text{A}} (\text{B})$.

\end{enumerate}

\item On choisit maintenant deux ampoules au hasard parmi la production de l'industriel
 et on note :

C l'\'ev\`enement \og la dur\'ee de vie de la premi\`ere ampoule est sup\'erieure \`a 10\:000 heures \fg{}.

D l'\'ev\`enement \og la dur\'ee de vie de la deuxi\`eme ampoule est sup\'erieure \`a 10\:000 heures \fg{}.

\begin{enumerate} \item Les \'ev\`enements C et D sont ind\'ependants. En d\'eduire $p(\text{C} \cap \text{D})$.

\item Calculer $p(\text{C} \cup \text{D})$.

\item On place ces deux ampoules sur un plafonnier dans un bureau. Quelle est
 la probabilit\'e que l'on puisse \'eclairer ce bureau plus de 10000 heures sans
 changer d'ampoule ?
 
 \end{enumerate}
 
 \end{enumerate}

\noindent Rappel :

\[p(\text{A} \cup \text{B})= p(\text{A})+ p(\text{B} )- p(\text{A} \cap \text{B}) \qquad p_{\text{A}}(\text{B})= \cfrac{p(\text{A} \cap \text{B})}{p(\text{A})}.\]

\vspace{1cm}

\noindent  {\Large \textbf{\textsc{\gray Exercice 3 (au choix)} \hfill 6 points}}

On note $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$ l'\'ecriture d'un nombre en base dix
 dont les chiffres sont $a,~ b,~ c$ et $d$.

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'eterminer le reste de la division euclidienne de 100 par 11, puis de 1000 par 11.

\item Montrer que si un nombre entier $n$ v\'erifie $n \equiv 10 \qquad (\text{mod}~ 
11)$ alors on peut aussi \'ecrire
\[n \equiv  - 1 \qquad (\text{mod}~ 11).\]

\item En d\'eduire que si $\overline{abcd}$ est divisible par 11 alors $- a + b - c + d$ est aussi
 divisible par 11.
 
\end{enumerate} 

\item \begin{enumerate} \item Les nombres du type $\overline{abba}$ sont-ils divisibles par 11 ?

\item Pour quelle valeur de $a$, le nombre $\overline{11a}$ est-il divisible par 11 ?

\item Pour quelle valeur de $a$, le nombre $\overline{99a}$ est- il divisible par 11 ?

\end{enumerate}

\item \`A quelles conditions les nombres du type 
$\overline{aab}$ sont-ils divisibles par 11 ?

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent {\Large \textbf{\textsc{\gray Exercice 4 (au choix)}  \hfill  6 points}}

\begin{enumerate} \item Soit ABC un triangle quelconque et I, J et K les milieux des c\^ot\'es [BC], [AC] et [AB].

\begin{enumerate} \item Faire une figure.

\item D\'emontrer que AJIK est un parall\'elogramme. Donner deux autres parall\'elogrammes du m\^eme
type.

\item Sur la figure 1 de l'annexe 1, construire \`a la r\`egle et au compas le triangle dont
 les points I, J et K sont les milieux des c\^ot\'es.
 
\end{enumerate} 

\item Soit ABC un triangle quelconque et P, Q et R les pieds des hauteurs passant par
 A, B et C.

\begin{enumerate} \item Faire une figure.

On admet que les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices du triangle PQR.

\item Expliquer comment on peut construire \`a la r\`egle et au compas un triangle ABC 
dont on conna\^it les pieds des hauteurs P, Q et R.

\item Effectuer la construction sur la figure 2 de l'annexe 1 (\`a rendre avec la
copie).

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\gray ANNEXE 1 : \`a rendre avec la copie si l'exercice 4 est choisi}

\vspace{2cm}
\psset{unit=1.5cm}

\begin{pspicture}(3,4)
\pspolygon(0,0)(2.3,0)(1.5,3)
\uput[dl](0,0){K} \uput[dr](2.3,0){J} \uput[ur](1.5,3){I} 
\rput(1.5,-1){Figure 1}
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{3cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture}(3,4)
\pspolygon(0,0)(2.3,0)(1.5,3)
\uput[dl](0,0){R} \uput[dr](2.3,0){Q} \uput[ur](1.5,3){P} 
\rput(1.5,-1){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}