\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[frenchb]{babel} \begin{document} \lhead{\small Baccalauréat ES juin} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small Liban} \rfoot{\small{juin 2000}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Liban juin 2000~\decofourright}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau suivant indique la teneur de l'air en dioxyde de carbone (CO$_2$), observée depuis le début de l'ère industrielle. Dans le tableau ci-dessous, $x_i$ représente le rang de l'année et $y_i$ la teneur en CO$_2$ exprimée en parties par million (ppm). \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 1850 & 1900 & 1950 & 1990\\ \hline Rang de l'année $x_i$ & 0 & 50 & 100 & 140\\ \hline Teneur en CO$_2 y_i$& 275 & 290 & 315 & 350\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On a représenté dans le repère ci-après le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$. \begin{center} \psset{xunit=0.0667cm,yunit=0.03cm} \begin{pspicture}(-20,-25)(180,280) \multido{\n=0+2}{91}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,00)(\n,250)} \multido{\n=0+20}{10}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,00)(\n,250)} \multido{\n=0+5}{51}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(180,\n)} \multido{\n=0+50}{6}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(180,\n)} %\psline[linewidth=1.5pt](180,250)(0,250)(0,500) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=50,Oy=250](0,0)(0,0)(180,250) \rput(25,260){Teneur en CO$_2$ (ppm)} \rput(162,-28){Rang de l'année} %\pscircle*(0,275){0.0075} \pscircle*(50,290){0.0075} \pscircle*(100,315){0.0075} %\pscircle*(140,350){0.0075} \psdots(0,25)(50,40)(100,65)(140,100) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} On veut modéliser cette évolution par une fonction dont la courbe est voisine du nuage de points. Plusieurs types de fonctions semblent utilisables. \medskip \begin{enumerate} \item Modélisation par une fonction affine \begin{enumerate} \item À l'aide d'une calculatrice, donner le coefficient de corrélation linéaire, arrondi au centième, de la série $(x_i~;~y_i)$. \item À l'aide d'une calculatrice, donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$, avec $a$ arrondi au centième et $b$ à l'unité. Représenter cette droite dans le repère ci-dessus. \item Selon ce modèle, quelle teneur en CO$_2$ peut-on prévoir en 2010 ? Placer dans le repère ci-dessus le point M correspondant à cette prévision. \end{enumerate} \item Modélisation par une fonction $f$ définie par $f(x) = 250 + B\text{e}^{Ax}$. On pose $z_i = \ln \left(y_{i} - 250\right)$. On admet que la série $\left(x_i~;~z_i\right)$ a pour coefficient de corrélation linéaire 0,999 et qu'une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est : $z = 0,01x + 3,2$. \begin{enumerate} \item Selon ce modèle, quelle teneur en C0$_2$ peut-on prévoir en 2010 ? Placer dans le repère ci-dessus le point N correspondant à cette prévision. \item Donner une équation de la courbe d'ajustement de $y$ en $x$, sous la forme $ y = f(x) = 250 + B\text{e}^{ Ax}$, avec $A$ arrondi au centième et $B$ à l'unité. \item En déduire des valeurs approchées décimales arrondies à l'unité près de $f(0)$,\,$f(50)$,\, $f(100)$,\, $f(140)$. \end{enumerate} \item Laquelle des deux prévisions de la teneur en CO$_2$ pour 2010 vous semble la plus plausible? Pourquoi ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{obligatoire} \medskip Un jeu forain utilise une roue divisée en dix secteurs : sept sont verts, trois sont rouges. On fait tourner la roue, et lorsqu'elle s'arrête, un repère désigne un secteur, chaque secteur ayant la même probabilité d'être obtenu. Jouer une partie est l'expérience aléatoire consistant à faire tourner la roue trois fois de suite, de façon indépendante, en notant à chaque arrêt la couleur obtenue. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter à l'aide d'un arbre cette expérience aléatoire et indiquer sur chaque branche les probabilités correspondantes. \item Montrer que la probabilité d'obtenir trois fois le vert est égale à $0,343$. \item Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois le rouge. \item Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux fois le rouge. \end{enumerate} \item Pour jouer une partie, un joueur doit miser une somme d'argent : soit $m$ le montant de sa mise. S'il obtient trois fois le vert, il perd sa mise. S'il obtient une ou deux fois le rouge, il récupère sa mise. S'il obtient trois fois le rouge, il récupère sa mise et gagne une somme égale à dix fois sa mise. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur : les valeurs que peut prendre $X$ sont $-m$,\, $0$ et $10m$. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Exprimer l'espérance de $X$ en fonction de $m$. Expliquer pourquoi, quelle que soit la mise du joueur, la règle du jeu avantage le forain. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{(spécialité)} \bigskip \textbf{Partie A - Étude d'une suite} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_{0} = 900$ et, pour tout entier naturel $n,u_{n+ 1} = 0,6 u_{n} + 200$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1 $ et $u_2$. \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 500$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le terme et la raison. \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. En déduire que $u_n = 400 \times (0,6)^n + 500$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Application économique} \medskip Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1\up{er} janvier, soit auprès de A, soit auprès de B, un contrat d'un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B. Cette année 2000, la société A détient 90\,\% du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10\,\%. On estime que, chaque année, 20\,\% de la clientèle de A change pour B, et de même 20\,\% de la clientèle de B change pour A. On considère une population représentative de \np{1000}~clients de l'année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B. On veut étudier l'évolution de cette population les années suivantes. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que la société A compte 740 clients en 2001. Calculer le nombre de clients de A en 2002. \item On note $a_n$ le nombre de clients de A l'année ($2000 + n$). Établir que $a_{n + 1} = 0,8 a_n + 0,2 \left(\np{1000} - a_n\right)$. En déduire que $a_{n+1} = 0,6 a_n + 200$. \end{enumerate} \item En utilisant le résultat de la \textbf{partie A}, que peut-on prévoir pour l'évolution du marché des télécommunications dans ce pays ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points} \medskip \emph{Le but du problème est l'étude d'une fonction et le tracé de sa courbe représentative (\textbf{Partie \rm B}), en s'appuyant sur l'étude du signe d'une fonction auxiliaire (\textbf{Partie \rm A}).} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1 ~; ~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{- 1 + \ln x}{x^2}.\] Certains renseignements concernant la fonction $f$ sont consignés dans le tableau suivant : \begin{center} \psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(5,3) \psline(0,0)(5,0) \psline(0,2)(5,2) \psline(0,2.5)(5,2.5) \psline(0,0)(0,2.5) \psline(1,0)(1,2.5) \psline(5,0)(5,2.5) \psline{->}(1.6,0.5)(2.5,1.5) \psline{->}(3.5,1.5)(4.4,0.5) \rput(0.5,2.2){$x$} \rput(1.2,2.2){1} \rput(3,2.3){$\textrm{e}^{\frac{3}{2}}$} \rput(4.5,2.2){$+\infty$} \rput(0.5,1){$f(x)$} \rput(1.3,0.5){$-\dfrac{1}{2}$} \rput(3,1.7){$f(\text{e}^{\frac{3}{2}})$} \rput(4.6,0.5){$\dfrac{1}{2}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour $x$ élément de l'intervalle $[1~;~ + \infty[$, on a : $f'(x) = \dfrac{3 - 2 \ln x}{x^3}$, où $f'$ désigne la dérivée de $f$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$, et retrouver les variations de $f$ données dans le tableau (aucun calcul de limite n'est demandé). \end{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1 ~; ~e]. \item En utilisant les résultats précédents et le tableau de variation de $f$, donner le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~; ~+\infty[$ par \[g(x) = \dfrac{1}{2} x + 1 - \dfrac{\ln x}{x}\] et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. (On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.) \item Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \left[g(x) - \left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)\right] = 0$. Interpréter ce résultat pour la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x + 1$ et la courbe $\mathcal{C}$ \item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ étudiée dans la \textbf {partie A} est la fonction dérivée de $g$. En déduire le sens de variation de $g$. \item Soit M le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse e, et T la tangente à $\mathcal{C}$ en M. Justifier que T est parallèle à $\mathcal{D}$ . \item Tracer les droites $\mathcal{D}$ et T dans un repère orthonormal \Oij (unité graphique : 2~cm). Indiquer le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$ (on utilisera 1,25 pour valeur approchée de $\alpha$) et la tangente à $\mathcal{C}$ en ce point. Enfin, tracer la courbe $\mathcal{C}$. \item On désigne par $\mathcal{S}$ le domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x$ = e. Soit $A$ la valeur exprimée en unités d'aire de l'aire du domaine $\mathcal{S}$. \begin{enumerate} \item Exprimer $A$ à l'aide d'une intégrale (on ne cherchera pas à calculer cette intégrale dans cette question). \item Une primitive sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ de la fonction $h$ définie par $h(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ est $H(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2$. Calculer $A$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}