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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Liban juin 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 4 
cm), la courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous représente une fonction $f$ définie 
et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. La courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptotes les  axes de coordonnées, passe par le point A(1~;~0), par le point B$\left(\sqrt{\text{e}}~;~\dfrac{1}{2\text{e}}\right)$ 
et elle admet au point B une tangente horizontale.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En utilisant ces renseignements et une lecture graphique :	
	\begin{enumerate} 
		\item Donner le tableau de variations de $f$ avec le signe de la 
dérivée et les limites aux bornes de l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		\item Donner le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a

\[f'(x)  = \dfrac{ 1 - 2\ln x}{x^3}.\]

où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Étudier les variations de $f$.
	\end{enumerate}

\medskip
\begin{center} \psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(5,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(0,-3)(5,1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(4.5,1)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](1,0){A} \uput[u](1.649,0.184){B}
\uput[u](4,0.1){\blue $\mathcal{C}$} \uput[dr](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\uput[d](1.649,0){$\sqrt{\text{e}}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.489}{4.5}{x ln x 2 exp div}
\psline[linestyle=dotted](1.649,0)(1.649,0.184)(0,0.184)
\psline{<->}(1.049,0.184)(2.249,0.184)
\psline[linestyle=dashed](1.649,0)(1.649,0.184)(0,0.184)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Soit $F$ la primitive de $f$ qui prend la valeur $-2$ en $1$. La 
représentation graphique de $F$ est l'une des trois courbes 
$\Gamma_1,~\Gamma_2,~\Gamma_3$
 données ci-après, dans un repère orthonormal (unités graphique : 1 cm.)

Déterminer celle des courbes $\Gamma_1,~ \Gamma_2,~ \Gamma_3$ qui représente $F$, en justifiant la réponse.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(6,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](1.649,0){$\sqrt{\text{e}}$}
\uput[d](6,-1.465){$\Gamma_3$}
\psline[linestyle=dotted](4,0)(4,-1.597)(0,-1.597)
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,-2)(0,-2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.18}{6}{x ln 1 add  x div neg 1 sub}
\multido{\n=0+1}{5}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{7}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-2)(0,-2)
\psline[linestyle=dashed](1.6487,0)(1.6487,-1.91)(0,-1.91)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,-1.597)(0,-1.597)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(6,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-2)(0,-2)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,2.25)(0,2.25)
\uput[ul](1.649,0){$\sqrt{\text{e}}$}
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0.85,-3)(1,-2)(2,0.6)(3,1.65)(4,2.25)(5,2.8)(6,3.2)
\uput[u](5,2.7){$\Gamma_2$}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{8}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,8cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture}(0,-3)(5,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0.16,5.5)(0.5,1.3)(0.62,0)(1,-2)(1.64872,-3)(2,-2.66)(3,0)(4,5.5)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{4}{x 1.64872 sub 2 exp 2.3762 mul  3 sub}
%\parabola(4,5.5)(1.649,-3) 
\uput[u](1.649,0){$\sqrt{\text{e}}$}
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,5.5)(0,5.5)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-2)(0,-2)
\psline[linestyle=dashed](1.6487,0)(1.6487,-3)
\uput[ul](4,5.5){$\Gamma_1$}
\multido{\n=0+1}{5}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{10}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire du domaine plan limite par :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  la courbe $\mathcal{C}$,
\item  l'axe des abscisses,
\item  les droites d'équations $x = 1$ et $x = 4$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item Exprimer $\mathcal{A}$, en unités d'aire, à l'aide de la fonction $F$.
	
\item Utiliser la représentation graphique de $F$ pour donner une 
valeur approchée de $\mathcal{A}$, à $10^{-1}$ près, en cm$^2$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans une entreprise, les salariés sont classés en deux 
catégories : cadres et employés. Une entreprise emploie $30$ cadres et $240$ 
employés. Au cours de négociations sur la réduction du temps de travail, dite RTT, on propose aux salariés trois formules :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Formule \no 1 : une RTT de 30 minutes par jour de travail,
\item  Formule \no 2 : une RTT d'un vendredi après-midi sur deux,
\item  Formule \no 3 : une RTT de 12 jours de travail par an.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Une enquête a été réalisée auprès de tous les salariés de 
l'entreprise, chacun remplissant une fiche mentionnant son statut (cadre ou employé) et son choix de RTT. On a obtenu les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Aucun cadre n'a choisi la formule \no 1,
\item Parmi les employés :
\begin{itemize}
\item 36 ont choisi la formule \no 1,
\item 99 ont choisi la formule \no 2.
\end{itemize}
\item $40\,\%$ des salariés ont choisi la formule n$\up{o}$ 2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On extrait, au hasard, la fiche d'un salarié. On notera :

\setlength\parindent{5mm}
$C$ l'évènement \og le salarié est un cadre \fg,

$E$ l'évènement \og le salarié est un employé \fg,

$R_1$ l'évènement \og le salarié a choisi la formule \no 1 \fg,

$R_2$ l'évènement \og le salarié a choisi la formule \no 2 \fg,

$R_3$ l'évènement \og le salarié a choisi la formule \no 3 \fg.
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

$p(A)$ désigne la probabilité d'un évènement $A$ et $p_{B}(A)$ celle 
de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. Les probabilités 
seront données sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les probabilités $p(C)$ et $p(E)$.
\item Parmi les probabilités $p\left(R_1 \cap C\right)$, $p\left(R_1 \cap E\right)$, $p\left(R_2 \cap E\right)$, 
\:$p_{E}\left(R_1\right)$,\: $p_{E}\left(R_2\right)$,\: $p\left(R_2\right)$
indiquer celles qui correspondent aux quatre résultats du 
sondage et donner leur valeur numérique.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité que le salarié soit un cadre 
ayant choisi la formule \no 2.
		\item Démontrer que la probabilité que le salarié ait choisi la 
formule \no 2, sachant qu'il s'agit d'un cadre, est 
$\dfrac{3}{10}$.
	\end{enumerate}

\item Calculer la probabilité $p\left(R_1\right)$,  puis la probabilité $p\left(R_3\right)$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est rapporte à un repère orthonormal $\left(\text{A},~\vect{\imath},
~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$.

ABCDEFGH est un pavé défini par $\vect{\text{AB}} = 
2\vect{\imath}~; ~\vect{\text{AD}} = 6\vect{\jmath}$ et 
$\vect{\text{AE}} = 4\vect{k}$.

I, J et K sont les milieux respectifs de [EF], [FB] et [AD]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Placer les points I, J et K sur la figure donnée 
ci-dessous. 

Donner les coordonnées des points B, D et E. Puis vérifier par le 
calcul que I, J et K ont pour coordonnées respectives (1~;~0~;~4), (2~;~0;~2) 
et (0~;~3~;~0).
\item Soit $\mathcal{P}_1$ le plan d'équation $y = 0$ et $\mathcal{P}_2$ le plan d'équation $2x + z = 6$.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner un vecteur $\vect{n}_1$ normal au plan $\mathcal{P}_1$
 et un vecteur $\vect{n}_2$ normal au plan $\mathcal{P}_2$.
		\item En déduire que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
		\item Soit $\Delta$ l'intersection des deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.

Montrer que $\Delta$ est la droite (IJ).
	\end{enumerate}
\item Soit $\vect{n}$(2 ; 2 ; 1).
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur orthogonal aux vecteurs
$\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IK}}$
		\item En déduire que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (IJK).
		\item Montrer alors que le plan (IJK) a pour équation $2x + 2y + z = 6$.
	\end{enumerate}
\item On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $5x + y = 5$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées des points R et T, 
intersections du plan $\mathcal{P}$ avec les axes (A$x$) et (A$y$) respectivement.
		\item Vérifier que le point I appartient au plan $\mathcal{P}$.
		\item Sur la figure, placer les points R et T, puis 
dessiner la trace du plan $\mathcal{P}$ sur le plan ($x$A$y$).

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(0,0)(18,15)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt]
\psline[linewidth=1.25pt](5,5)(18,5)
\psline[linewidth=1.25pt](5,5)(5,15)
\psline[linewidth=1.25pt](5,5)(0,0)
\psframe[linewidth=1.25pt](3,3)(15,11)
\psframe[linewidth=1.25pt](5,5)(17,13)
\psline[linewidth=1.25pt](3,11)(5,13)
\psline[linewidth=1.25pt](15,11)(17,13)
\psline[linewidth=1.25pt](15,3)(17,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(5,5)(7,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(5,5)(5,7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(5,5)(4,4)
\uput[ul](5,5){A} \uput[ul](3,3){B} \uput[dr](15,3){C}
\uput[ur](17,5){D} \uput[ul](5,13){E} \uput[ul](3,11){F}
\uput[r](15,11){G} \uput[ul](17,13){H}
\uput[dr](0,0){$x$} \uput[ur](18,5){$y$} \uput[dr](5,15){$z$} 
\uput[r](4.5,4.5){\small $\vect{\imath}$}
\uput[u](6,5){\small $\vect{\jmath}$}
\uput[l](5,6){\small $\vect{k}$} 
\end{pspicture}
\end{center}        
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le taux de pénétration au radiotéléphone pour la France est donné par
le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Semestre/Année 	&1/95 	&2/95	&1/96 	&2/96 	&1/97 	&2/97 	&1/98\\ \hline	
Rang $x_i$		&0		&1		&2		&3		&4		& 5		& 6\\ \hline
Taux $y_i$ 		&1,4	&2,0	&2,7	&4,0	&6,0	&9,9 	&12,9\\ \hline\hline
Semestre/Année 	&2/98 	&1/99 	&2/99 	&1/00 	&2/00 	&1/01	&\multicolumn{1}{r}{~}\\ \cline{1-7}
Rang $x_i$		&7		&8		&9		&10		&11		&12		&\multicolumn{1}{r}{~}\\ \cline{1-7}
Taux $y_i$ 		&18,7	&24,4	&33,9	&39,9	&48,7	&54,2	&\multicolumn{1}{r}{~}\\ \cline{1-7}
\multicolumn{7}{r}{\footnotesize (Source : Autorité de régulation des 
télécommunications)} &\multicolumn{1}{c}{~}
\end{tabularx}

\medskip

Dans la première ligne du tableau, 1/95 désigne le $1\up{er}$ semestre 
1995 et 2/95 le $2\up{e}$ semestre 1995. Dans la troisième ligne du tableau, un taux de 2,0, par exemple, indique que 2 personnes sur 100 sont équipées 
d'un radiotétéléphone. On propose d'étudier deux modèles d'ajustement 
dans les \textbf{parties A et B} et de comparer les prévisions pour les années à venir dans la \textbf{partie C}.

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie A - Ajustement affine (modèle A)} 
\end{center}

\textsl{Dans cette partie, aucun détail des calculs statistiques n'est 
demandé.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter graphiquement le nuage de points associés à la 
série statistique $\left(x_{i}~;~y_{j}\right)$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour un semestre sur l'axe des abscisses et 1 cm pour un taux de $5\:\%$ sur l'axe des ordonnées) (on prendra la feuille de papier millimétré dans le sens de la largeur). Le nuage de points montre qu'un ajustement affine est justifié.
\item Écrire une équation de la droite d'ajustement affine 
$\mathcal{D}$ de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés ; les coefficients seront arrondis à  $10^{-2}$ près.
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie B - Ajustement à l'aide d'une fonction (modèle 
B)} \end{center}

On obtient un autre ajustement du nuage à l'aide de la  fonction $g$ définie
sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = \dfrac{80}{1 + 56\text{e}^{-0,4x}}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$.

\begin{enumerate} 
\item Étudier le sens de variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement 
le résultat.
\item Construire, dans le repère précédent, la partie de la 
courbe $\mathcal{C}$ obtenue sur l'intervalle [0 ; 25].
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie C} \end{center}

Avec le modèle A, on note $f$ la fonction affine représentée 
par la droite D.

Avec le modèle B, si $x$ est l'entier désignant la durée 
écoulée en nombre de semestres depuis le $1\up{er}$ semestre 
1995, alors $g(x)$ représente le taux de pénétration au radiotéléphone correspondant à ce nombre de semestres.

\begin{enumerate} 
\item Prévoir le taux de pénétration au radiotéléphone, 
à $10^{-1}$ près, pour chacun des deux modèles précédents :
	\begin{enumerate} 
		\item pour le deuxième semestre 2002.
		\item pour le deuxième semestre 2004.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ les deux inéquations suivantes :

\[f(x) \geqslant 65 \qquad 	\text{et} \qquad	g(x) \geqslant 65.\]

		\item En déduire le plus petit entier $n$ tel que $f(n) \geqslant 65$ et le plus petit entier $p$ tel que $g(p) \geqslant 65$.
		\item Interpréter les résultats obtenus.
	\end{enumerate}
\item Calculer $f(24)$. Commenter le résultat obtenu.
\item En supposant que le modèle B soit valide à long terme, et 
en utilisant les questions \textbf{B 1} et \textbf{B 2}, que peut-on déduire pour le taux de  pénétration au radiotéléphone pour les années à venir?
\end{enumerate}
\end{document}