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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}} 
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 2001~\decofourright}} 
\end{center}
 
\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip

Dans un village de montagne deux familles A et B disposent de cinq 
circuits balisés de promenades $c_{1} ,~ c_{1} ,~c_{2} ,~c_{3} ,~c_{4},~ c_{5}.$
 
\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Chaque matin, chacune des familles tire au hasard, indépendamment 
l'une de l'autre, un des cinq circuits.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Combien y-a-t-il de tirages possibles pour l'ensemble des deux 
familles ? 
\item Quelle est la probabilité pour qu'elles fassent le même jour, le 
même circuit ? 
\item Quelle est la probabilité pour que pendant $n$ jours consécutifs, 
elles ne se trouvent jamais sur le même circuit ?
\item Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle la probabilité 
de se trouver au moins une fois sur le même circuit est supérieure ou 
égale à 0,9. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère dans cette partie deux jours consécutifs. Le deuxième 
jour chaque famille élimine de son tirage le circuit qu'elle a fait la veille. Il reste donc quatre circuits pour chacune des deux familles.
 
On note :
 
$E$ l'évènement \og les deux familles font le même circuit le 
premier jour \fg.

$F$ l'évènement \og les deux familles font le même circuit le deuxième jour \fg.

Calculer les probabilités suivantes :
 
\centerline{$P(E),\: P(F/E),\: P\left(F/\overline{\text{E}}\right)\: \text{puis }\: P(F \cap E) \:\text{et}\:\: P\left(F \cap \overline{\text{E}}\right).$}
 
En déduire $P(F)$.

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes.} 

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct 
\Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 3$ + i et $z_{\text{B}} = 1 + 2$i.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Exprimer le complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. 
\item En déduire une mesure en radians de l'angle 
$\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right).$ 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Désormais on considère l'espace muni du repère orthonormal direct 
(O,~$\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}$) où $\vect{w} = \vect{u} \wedge \vect{v}$.
 
On considère les points A(3~;~1~;~0), B(1~;~2~;~0), C(3~;~2~;~1) et $D$(0~;~0~;~$d$) où $d$ désigne un réel positif ou nul. On a ainsi un tétraèdre  ABC$D$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On pose $\vect{\text{N}} = 
\vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées de N. 
		\item En déduire l'aire du triangle ABC. 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
\item On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan 
(ABC). 
	\begin{enumerate} 
		\item On pose $\vect{DH} = \lambda 
\vect{\text{N}}$.

Calculer $\lambda$ en fonction de $d$. 
		\item En déduire l'expression de la distance $DH$.
		 
Montrer que le volume du tétraèdre ABC$D$ est V$_{d} = \dfrac{2d+5}{ 6}$. 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer pour quelle valeur de $d$ la droite ($D$B) est 
perpendiculaire au plan (ABC).
\item On suppose que $d = 0$ . Calculer la distance de A au plan (OBC). 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On suppose le plan rapporté au repère orthonormal direct $\left(\Omega~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$ , unité graphique 3~cm.

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Soit trois droites D$_{1}$,~ D$_{2}$ et D$_{3}$, sécantes en $\Omega$ et de 
vecteurs directeurs respectifs $\vect{d_{1}} = \vect{u}$, 
et $\vect{d_{2}}$ et $\vect{d_{3}}$ supposés unitaires et 
tels que $\left(\vect{d_{1}},~ \vect{d_{2}} \right) = 
\dfrac{\pi}{4}$ et $\left(\vect{d_{1}},~\vect{d_{3}} \right) 
= - \dfrac{2\pi}{3}$.
 
On note S$_{1}$, S$_{2}$ et S$_{3}$ les réflexions d'axes respectifs 
D$_{1}$, D$_{2}$ et D$_{3}$, 
et $f$ la composée S$_{3} \circ$ S$_{2} \circ S_{1}$, de ces trois 
réflexions. 

\begin{enumerate} 
\item Tracer ces trois droites. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r = \text{S}_{2} \circ \text{S}_{1}$.
		\item Caractériser la réflexion S telle que $r = \text{S}_{3}\: \circ$ S . On notera D l'axe de S et on en déterminera un point et un vecteur directeur $\vect{d}$. Tracer la droite D. 
		\item En déduire la nature de $f$ et ses éléments 
caractéristiques. 
	\end{enumerate} 
\item Justifier que le point E d'affixe $z_{\text{E}} = 
\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{12}}$ est un point de la 
droite D.

Déterminer les nombres complexes $a$ et $b$ tels que la forme complexe de $f$ soit l'application $f_{1}$ définie sur $\C$ par $f_{1}(z) = a\overline{z} + b$. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Choisir un point A sur D. On note B l'image de A par 
S$_{1}$ et C l'image de B par S$_{2}$ . Placer les points B et C . 
\item Démontrer que A est l'image de C par S$_{3}$.
\item Que peut-on dire du point $\Omega$ pour le triangle ABC ? 
\end{enumerate}
 
\newpage 

\textbf{\textsc{Problème }\hfill 5 points}
 
\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A - Lectures graphiques}

\medskip
 
\begin{center} 
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.8cm} 
\begin{pspicture}(-1.5,-6)(5.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-6)(5.5,2)  
\psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1.5}{5}{ x 1 add dup mul 2.71828 0 x sub exp mul} 
\psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{5}{1 x dup mul sub 2.71828 0 x sub exp mul} 
\rput(1.5,-0.7){\blue F} \rput(3,1.1){\cyan C} 
\end{pspicture} 
\end{center}
 
On donne dans un repère orthogonal les courbes C et F représentatives 
de deux fonctions définies et dérivables sur $\R$. On sait que l'une de 
ces fonctions est la fonction dérivée de l'autre, on peut donc les 
noter $g$ et $g'$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Associer à chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa représentation 
graphique. On justifiera le résultat en donnant un tableau où figurera sur 
l'intervalle $\left[-~\dfrac{3}{2}~ ;~ 5\right]$ le signe de $g'(x)$ et les variations de $g$. 
\item Quel est le coefficient directeur de la tangente à C au point 
d'abscisse 0 ? 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit l'équation différentielle (E) : $y' + y = 2(x + 1 )\text{e}^{-x}$. 

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la fonction $f_{0}$ définie sur $\R$ par 
$f_{0}(x) = (x^2 + 2 x)\text{e}^{-x}$ est une solution de l'équation (E). 
\item Résoudre l'équation différentielle (E') : $y'+ y = 0$. 
\item Soit $u$ une solution de (E') . Montrer que la fonction $f_{0} + u$ est une solution de (E).
 
On admettra que, réciproquement, toute solution $f$ de (E) est de la 
forme 

$f = f_{0} + u$ où $u$ est une solution de (E').
 
En déduire, pour $x \in \R$ , l'expression de $f(x)$ lorsque $f$ est solution de (E). 
\item Sachant que la fonction $g$ de la partie A est solution de (E) , 
déterminer $g(x)$ pour $x \in \R$.
\item Déterminer la solution $h$ de l'équation (E) dont la représentation 
graphique admet au point d'abscisse 0 une tangente de coefficient directeur 0. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par : $f(x) = (x^2 + 2x + 2)\text{e}^{-x}$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ . 
\item On sait que $f$ est dérivable sur $\R$ : déterminer sa fonction 
dérivée et étudier son signe. Donner le tableau de variation de $f$. 
\item Dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique 2~cm, 
on note C$'$ la représentation graphique de $f$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à C' au point $\Omega$ d'abscisse $- 1$. 
		\item Tracer avec soin la courbe C$'$ et la tangente T dans le repère \Oij. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer trois réels $a,~ b$ et $c$ tels que la fonction $F$ définie par 
		
$F(x) = (ax^2 + bx + c)\text{e}^{-x}$ soit une primitive de la fonction $f$. 
		\item Soit $\alpha$ un réel positif. Calculer en cm$^2$ l'aire notée $\mathcal{A}(\alpha)$ de la zone du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe C$'$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \alpha$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}