\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox,cancel} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Sujet aimablement fourni par l'académie de Martinique %Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.8cm, bottom=2.7cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\e{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{pst-tree,pstricks-add} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \def\e{\text{e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique-CFE-GSI} \lfoot{\small{Antilles-Guyane\hspace{3mm} correction}} \rfoot{\small{13 septembre 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}%\textbf{Durée : 3 heures} {\Large \textbf{\gray Baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI \\ Antilles-Guyane 13 septembre 2012\hspace{3mm}Correction}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice} 1\hfill 4 points} \medskip {\scriptsize Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée. \emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse et chaque question sans réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.} \begin{center}\textbf{Dans cet exercice les pourcentages sont arrondis à \boldmath$0,01$ \unboldmath\,\%}\end{center}} Entre 2009 et 2010 une entreprise a vu son chiffre d'affaire diminuer de 23\,\%. Entre 2010 et 2011 son chiffre d'affaire a augmenté de 6,15\,\%. En 2009 le chiffre d'affaire était de \np{572128}~\euro. \medskip \begin{enumerate} \item On doit multiplier le chiffre d'affaire de 2009 pour obtenir le chiffre d'affaire de 2010 par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}\cancel{0,23} &\textbf{b.~~}\ovalbox{0,77} &\textbf{c.~~} \cancel{$- 0,23$} &\textbf{d.~~} \cancel{1,23}\\ \end{tabularx} {\scriptsize le coefficient multiplicateur associé à un taux d'évolution $t$ est $1+t$ ; ici $t=-0.23$} \medskip \item Le taux d'évolution entre 2011 et 2012 pour que le chiffre d'affaire de 2012 soit le même que celui de 2010 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} \cancel{$- 6,15$\,\% }&\textbf{b.~~}\ovalbox{ $- 5,79$\,\% }&\textbf{c.~~}\cancel{ $- 0,06$\,\%}&\textbf{d.~~} \cancel{0,94\,\%}\\ \end{tabularx} {\scriptsize $\np{1.0615}\times (1+t)=1 $ d'où $t= \dfrac{1}{\np{1.0615}}-1\approx -\np{0.05793}$} \medskip \item Le taux d'évolution global entre 2009 et 2011 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} \cancel{$16,85$\,\% } &\textbf{b.~~} \cancel{$- 16,85$\,\%} &\textbf{c.~~}\cancel{ $18,26$\,\%}&\textbf{d.~~}\ovalbox{ $- 18,26$\,\%}\\ \end{tabularx} {\scriptsize le coefficient multiplicateur global est $\np{0.77}\times \np{1.0615}\approx \np{0.81735}$ d'où $t= \np{0.8174}-1=-\np{0.1826}$} \medskip \item Le taux moyen semestriel entre 2009 et 2010 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} \cancel{- 11,5\,\% } &\textbf{b.~~} \cancel{11,5\,\% } &\textbf{c.~~} \ovalbox{$- 12,25$\,\%}& \textbf{d.~~}\cancel{$- 4,26$\,\%}\\ \end{tabularx} {\scriptsize Le coefficient multiplicateur pour l'année est \np{0,77}. Il y a deux semestres. $(1 + t_m)^2=\np{0,77}$ d'où $t_m = 0,77^{\tfrac{1}{2}} - 1 \approx -\np{12,25}$.} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 2\hfill 5 points} \medskip Dans une entreprise, on sait que parmi les salariés : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]les hommes constituent 64\,\% du personnel; \item[$\bullet~~$]90\,\% des hommes travaillent à temps complet; \item[$\bullet~~$]40\,\% des femmes travaillent à temps partiel. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard un salarié de cette entreprise: tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis. On considère les événements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$F$ : \og le salarié choisi est une femme \fg, \item[$\bullet~~$]$C$ : \og le salarié choisi travaille à temps complet \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note respectivement $\overline{F}$ et $\overline{C}$ les événements contraires des événements $F$ et $C$. \medskip \begin{enumerate} \item L'événement $\overline{F}$ est l'événement : \og le salarié choisi est un homme\fg{}. Il y a 64\,\% d'hommes dans l'entreprise, la probabilité $p(\overline{F})=\np{0.64}$. Comme $P(A) + P(\overline{A})=1$, $p(F) = 1-\np{0.64}=\np{0.36}$. \item Construisons l'arbre de probabilité schématisant cette situation. \medskip \begin{center} \psset{nodesep=1mm} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$F$}\taput{\np{0.36}}} {\TR{$C$}\taput{\np{0.6}} \TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0.4}} } \pstree{\TR{$\overline{F}$}\tbput{\np{0.64}}} {\TR{$C$}\taput{\np{0.9}} \TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0.1}} } } \end{center} \medskip \item L'événement $F \cap C$ est l'événement \og le salarié est une femme travaillant à temps complet \fg{}. Calculons sa probabilité. \[P(F \cap C) = P(F)\times P_{F}(C)=\np{0,36}\times \np{0.6}=\np{0.216}.\] \item Calculons la probabilité que le salarié choisi travaille à temps complet. \[ P(C) = P(F)\times P_{F}(C) + P(\overline{F})\times P_{\overline{F}}(C)=\np{0.216}+\np{0.64}\times \np{0,9}=\np{0,792}.\] $P(C)$ est bien égale à $0,792$. \item La probabilité que le salarié soit une femme, sachant qu'il travaille à temps complet est notée $P_{C}(F)$.%(on arrondira ce résultat au centième). \[P_C(F)=\dfrac{P(C \cap F)}{P(C)}=\dfrac{\np{0,216}}{\np{0,792}}\approx \np{0,2727}.\] La probabilité, à $10^{- 2}$ près, que le salarié soit une femme, sachant qu'il travaille à temps complet est \np{0,27}. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 3\hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~18] par : \[f(x) = 10 + 2\text{e}^{0,15x}\] \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~18] et l'on désigne par $f^{\prime}$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminons $f^{\prime}(x)$. $f^{\prime}(x)=0+2(\np{0.15}\e^{\np{0.15}x})=\np{0,3}\e^{\np{0,15}x}$. Pour tout $x\in [0~;~18],\ f^\prime(x)>0$ comme produit de nombres strictement positifs. \item Déterminons les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18]. Si pour tout $x\in I, \,f^{\prime}(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$. Pour tout $x\in [0~;~18],\ f^\prime(x) > 0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur [0~;~18]. \end{enumerate} \item Complétons le tableau de valeurs ci-dessous. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &2 &4 &6 &8 &10 &12 &14 &16 &18 \\ \hline $f(x)$ &12 &\textcolor{red}{\np{12.7}} &\textcolor{red}{\np{13.6}} &14,9 &16,6 &\textcolor{red}{\np{19.0}} &22,1 &26,3 &32 &\textcolor{red}{\np{39.8}}\\ \hline \end{tabularx} {\tiny les valeurs sont arrondies au dixième.} \medskip \item La courbe $C$, courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal, est donnée \textbf{en annexe}. La droite $D$ d'équation $y = 2x$ est tracée dans le même repère. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise vend des granulés de bois pour le chauffage. On note $x$ la quantité de granulés, exprimée en tonnes, vendue par mois. Chaque mois, les coûts de production, exprimés en centaines d'euros, sont donnés par : \[f(x) = 10 + 2\text{e}^{0,15x}\] Le prix de vente d'une tonne de granulés est de 200~euros soit 2~centaines d'euros. \medskip \begin{enumerate} \item Si l'entreprise vend $x$ tonnes de granulés, la recette exprimée en centaines d'euros est $R(x)=2x$. \item Avec la précision permise par le graphique, l'entreprise est bénéficiaire lorsqu'elle vend un nombre de tonnes de granulés compris entre \np{8,7} et 16. \item On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle [0~;~18] par \[B(x) = 2x - 10 - 2\text{e}^{0,15x}.\] Les variations de la fonction $B$ sont résumées dans le tableau ci-dessous (où $a$ est un réel de l'intervalle [0~;~18]). \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,3) \psframe(9,3)\psline(0,2.5)(9,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline{->}(1.5,0.5)(4.5,2)\psline{->}(5.5,2)(8.5,0.5) \uput[u](0.5,2.5){$x$}\uput[u](1.12,2.5){$0$}\uput[u](5,2.5){$a$}\uput[u](8.75,2.5){$18$} \rput(0.5,1.25){$B$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Le bénéfice est égal à la différence entre les recettes et les coûts. $R(x) - f(x) = 2x- 10 - 2\e^{\np{0,15}x}=B(x)$. Le bénéfice mensuel pour $x$ tonnes de granulés vendues est égal à $B(x)$. \item Déterminons une valeur approchée du nombre $a$, à $0,1$ près. Puisque la fonction admet un maximum pour $x=a$, par conséquent $a$ est tel que $B^\prime(a)=0$. $B^\prime(x)=2-\np{0,3}\e^{\np{0,15}x}$. Résolvons $B^\prime(x) = 0$ \medskip $\begin{aligned}2-\np{0,3}\e^{\np{0,15}x}=0 &\hspace{1.5cm} &\np{0.3}\e^{\np{0,15}x}=2 \\ \e^{\np{0,15}x}=\frac{2}{\np{0,3}}& \hspace{1.5cm} &\e^{\np{0,15}x}=\frac{20}{\np{3}} \\ \ln\e^{\np{0.15}x}=\ln\frac{20}{\np{3}} &\hspace{1cm} & \np{0,15}x=\ln 20 - \ln 3 \\ x=\frac{\ln 20 -\ln 3}{\np{0,15}}&\hspace{1.5cm} & x\approx \np{12,65}\end{aligned}$ $a$ vaut \np{12,7} à \np{0,1} près. \item Cette valeur représente le nombre de tonnes qu'il faut vendre pour réaliser un bénéfice maximal. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 4\hfill 5 points} \medskip Les grands-parents de Noé décident de lui ouvrir un compte épargne pour son treizième anniversaire, le 15 juin 2012. On leur propose deux types de placement. \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Placement A : ils placent \np{2500}~\euro{} à intérêts composés au taux annuel de 2,5\,\%. \item[$\bullet~~$] Placement B : ils placent \np{2500}~\euro{} sur un compte qui leur rapporte chaque année 65~\euro. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Noé et ses grands-parents souhaitent comparer les deux placements. On note $U_{n}$ le capital exprimé en euros avec le placement A le 15 juin $(2012 + n)$. On note $V_{n}$ le capital exprimé en euros avec le placement B le 15 juin $(2012 + n)$. Ainsi on a : $U_{0} = V_{0} = \np{2500}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculons $U_{1}$ et $V_{1}$. Le coefficient multiplicateur associé à un taux d'évolution $t$ est $1+t$, le coefficient multiplicateur est donc \np{1,025} par conséquent $U_1= \np{2500} \times \np{1,025} = \np{2565,50}.$ $V_1=\np{2500} + 65=\np{2565}$. \item \begin{enumerate} \item La suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1,025} et de premier terme \np{2500} car chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par un même nombre \np{1,025}. La suite $\left(V_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison et de premier terme \np{2500} car chaque terme se déduit du précédent en ajoutant un même nombre 65. \item Exprimons $U_{n}$ et $V_{n}$ en fonction de $n$. \begin{itemize} \item [$\bullet$] Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. \[U_n=\np{2500}(\np{1,025})^n.\] \item [$\bullet$] Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $u_n=u_0 + nr$. \[V_n=\np{2500} + 65n.\] \end{itemize} \end{enumerate} \item On donne ci-dessous un extrait d'une feuille de tableur. \begin{enumerate} \item Une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage C3\::\:C10 est : =C2*\np{1.025}\hspace{1cm} =\$C2*\np{1.025} \hspace{1cm} =\$C\$2 * \np{1.025} \verb|^B3|. \item Une formule qui, entrée dans la cellule D3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage D3\::\:D10 est : =D2+65\hspace{1cm} =\$D2+65 \hspace{1cm} =\$D\$2+65*B3 \medskip {\scriptsize \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 &Date &\footnotesize Rang de l'année&$U_{n}$ & $V_{n}$\\ \hline 2 &15 juin 2012 &0 &\np{2500} & \np{2500}\\ \hline 3 &15 juin 2013 &1 & &\\ \hline 4 &15 juin 2014 &2 & &\\ \hline 5 & & & &\\ \hline \end{tabularx} } \medskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculons la somme disponible avec le placement A le jour du 18\up{e} anniversaire de Noé, soit le 15 juin 2017. En 2017 $n=5$, $U_5 = \np{2500}(\np{1,025})^5 \approx \np{2828,52}$. À un euro près, le 15 juin 2017, il aura \np{2829}~\euro{}. \item Calculons la somme disponible avec le placement B le 15 juin 2017. $V_5=\np{2500}+ 65\times 5=\np{2825}$. Il aura \np{2825}~euros. Le placement le plus intéressant si Noé décide de disposer de son argent à ses 18 ans est le placement A. Il aura 4~\euro{} de plus. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \bigskip \textbf{À rendre avec la copie} \bigskip \textbf{\large Exercice 3} \bigskip \psset{xunit=0.57cm,yunit=0.23cm,arrowscale=1.5} \begin{pspicture}(-1,-2)(20,43) \psgrid[gridlabels=0pt,linewidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(20,43) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(-0.999,-2)(20,43) \uput[u](17.5,38){$C$}\uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{2.71828 0.15 x mul exp 2 mul 10 add} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=0.75pt,linecolor=cyan]{0}{18}{2 x mul} \def\Func{2.71828 0.15 x mul exp 2 mul 10 add} \psline[linecolor=green,linewidth=0.75pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!8.67252 /x 8.67252 def \Func)(8.67252,0) \psline[linestyle=dashed,linecolor=green,linewidth=0.75pt,ArrowInside=->]{->}(!15.964292 /x 15.964292 def \Func)(15.964292,0) \psset{rot=90,nodesep=0.25} \pnode(8.6725,-2.5){A} \pnode(15.96429,-2.5){B} \psbrace[fillcolor=green,linewidth=0.15pt,ref=B](A)(B){\tiny intervalle où l'entreprise réalise un bénéfice} \end{pspicture} \end{center} \end{document}