\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx,multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.8cm, bottom=2.7cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}
\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique, CFE, GSI}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane\hspace{0,5em}correction}}
\rfoot{\small{13 septembre 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}%\textbf{Durée : 3 heures}

%\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{Baccalauréat STG ---Mercatique, CFE, GSI\\
 Antilles-Guyane 13 septembre 2013\hspace{1em}correction}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip
 {\footnotesize
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
 
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une absence de réponse ou pour une réponse inexacte.}

\medskip
 
Le 1\up{er} janvier 2000, Gilbert hérite de \np{3500}~\euro. Il décide de placer cette somme sur un compte épargne à intérêts composés au taux d'intérêts annuel de $2,4$\,\%.
 
Pour tout $n$ entier naturel, on note $u_{n}$ la somme disponible sur le compte de Gilbert au 1\up{er} janvier de l'année $(2000 + n)$. Ainsi, on a $u_{0} = \np{3500}$. 

Gilbert utilise une feuille de calcul af
afin de déterminer les montants dont il disposera chaque année et le taux d'évolution global par rapport à l'année 2000, Un extrait de cette feuille de calcul est donné ci-dessous.

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{gristab}}c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\rowcolor[gray]{0.8}&A	&B	&C\\ \hline
1& Rang $n$&Épargne disponible& Taux d'évolution par rapport à l'an 2000\\ \hline 
2&0&\np{3500}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad} \\ \hline
3&1&\np{3584}&\np{0,0240}\\ \hline
4&2&\np{3670,02}&\np{0,0486}\\ \hline
5&3&\np{3758,10}&\np{0,0737}\\ \hline
6&4&\np{3848,29}&\np{0,0995}\\ \hline
7&5&\np{3940,65}&\np{0,1259}\\ \hline
8&6&\np{4035,23}&\np{0,1529}\\ \hline
9&7&\np{4132,07}&\np{0,1806}\\ \hline
10&8&\np{4231,24}&\np{0,2089}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.15pt] {arithmétique de raison 84}&\textbf{b.~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt] {géométrique de raison 2,4}\\
\ovalbox{\textbf{c.~} géométrique de raison 1,024 }&\textbf{d.~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt] {géométrique de raison 0,024}
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Parmi les formules suivantes pour la cellule B3, laquelle permet d'obtenir les résultats de la colonne B par recopie automatique vers le bas ? 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.15pt]{=3500* 1,024}&\ovalbox{\textbf{b.~} =B2*1,024}\\
\textbf{c.~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.15pt]{=3500*1,024\^{} \negthinspace A2}&\textbf{d.~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.15pt]{  =B\$2*1,024}
\end{tabularx}
\medskip 

\item Parmi les formules suivantes pour la cellule C3, laquelle permet d'obtenir les résultats de la colonne C par recopie automatique vers le bas ? 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.15pt] {=B3-B2/B2}&\ovalbox{\textbf{b.~} =(B3-\$B\$2)/\$B\$2}\\
\textbf{c.~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.15pt] {=(B3-B2)/B2}&\textbf{d.~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.15pt] {=B3/\$B\$2}
\end{tabularx}
\medskip
 
\item À partir de quelle année l'épargne de Gilbert dépassera-t-elle \np{5000}~\euro{} ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.15pt]  {2014}&\ovalbox{\textbf{b.~} 2016}\\ 
\textbf{c.~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.15pt]  {2018}&\textbf{d.~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.15pt] {2020} 
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip
 {\footnotesize
Une boîte de biscuits contient $80$ biscuits d'aspect identique. 

On sait que, dans cette boîte :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $40$ biscuits sont à la vanille, $24$ biscuits sont à l'orange et les biscuits restants sont à la noix de 
coco ; 
\item[$\bullet~~$] 60\,\% des biscuits à la vanille contiennent des pépites de chocolat; 
\item[$\bullet~~$] 25\,\% des biscuits à l'orange contiennent des pépites de chocolat ;
\item[$\bullet~~$] Aucun biscuit à la noix de coco ne contient de pépites de chocolat.
\end{itemize}

\medskip

La boite étant pleine, on choisit au hasard un biscuit dans la boîte. On admet que chaque biscuit a la même probabilité d'être choisi.
 
On définit les évènements suivants :
 
$V$ : \og le biscuit choisi est un biscuit à la vanille \fg{} ; $p(V)=\dfrac{40}{80}=\np{0,5}$;

$O$ : \og le biscuit choisi est un biscuit à l'orange \fg{} ;  $p(O)=\dfrac{24}{80}=\np{0,3}$;
 
$N$ : \og le biscuit choisi est un biscuit à la noix de coco \fg{} ;

$C$ : \og le biscuit choisi contient des pépites de chocolat \fg.
 
Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ et $p(A)$ la probabilité que l'évènement $A$ soit réalisé.
 
Dans les questions suivantes, les probabilités seront données sous forme décimale.
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifions que la probabilité que l'on choisisse un biscuit à la noix de coco est égale à $0,2$.
 
La somme des probabilités de tous les  évènements élémentaires est égale à 1. $p(V)+p(O)+p(N)=1$

 $ p(N)=1-\left(p(O)+p(V)\right)\quad p(N)=1-(\np{0,5}+\np{0,3})=\np{0,2}$

la probabilité que l'on choisisse un biscuit à la noix de coco est égale à $0,2$.
\item Complétons l'arbre pondéré représentant la situation. %donné en annexe 1. 

\begin{center}
\psset{labelsep=0.1pt}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$V$~}\taput{\np{0,50}}}
	  { 
		  \TR{~$C$~}\taput{\np{0,6}}
		  \TR{~$\overline{C}$~}\tbput{\np{0,4}}	   
	  }
	\pstree{\TR{~$O$~}\tbput{\np{0,3}}}
	  {
		  \TR{~$C$~}\taput{\np{0,25}}
		  \TR{~$\overline{C}$~}\tbput{\np{0,75}}	 
	  }
	\pstree{\TR{~$N$~}\tbput{\np{0,2}}}
	  {
		  \TR{~$C$~}\taput{0}
		  \TR{~$\overline{C}$~}\tbput{1}	
	  }	
}
\end{center}

\item  l'évènement $V \cap C$ est l'évènement : \og le biscuit choisi est un biscuit à la vanille et il contient des pépites de chocolat\fg.

Calculons sa probabilité. $p(V \cap C)=p(V)\times p_{V}(C)=\np{0,5}\times \np{0,6}=\np{0,3}$.
\item Montrons que : $p(C) = 0,375 $. 

$p(C)=p(V)\times p_{V}(C)+p(O)\times p_{O}(C) + p(N)\times p_{N}(C)= \np{0,3} + \np{0,3}\times \np{0,25}+ \np{0,2}\times 0=\np{0,3}+\np{0,075}=\np{0,375}$.

Nous obtenons bien le résultat attendu.

\item On a choisi un biscuit contenant des pépites de chocolat. La probabilité que ce soit un biscuit à la vanille est notée $p_{C}(V)$. 

$p_{C}(V)=\dfrac{p(V\cap C)}{p(C)}=\dfrac{\np{0,3}}{\np{0,375}}=\np{0,8}$.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip
{\footnotesize
La consommation de produits issus de l'agriculture biologique est en hausse depuis plusieurs années. Le tableau ci-dessous donne l'évolution du chiffre d'affaires de la consommation alimentaire biologique en France de 2005 à 2010, en millions d'euros.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0,7\linewidth}{|m{2.9cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 						&2005 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline 
Rang $\left(x_{i}\right)$ 	&0 	&2 &3 &4 &5\\ \hline  
Chiffre d'affaires $\left(y_{i}\right)$ (en millions d'euros)& \np{1564} &\np{2069} &\np{2561} &\np{3055} &\np{3385}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{Source : Évaluation de la consommation alimentaire biologique - Agence BIO / ANDi}}\\
\end{tabularx} 
\end{center}
 
\begin{center} \textbf{Les parties A et B suivantes sont indépendantes.} \end{center}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Premier modèle : évolution annuelle moyenne
 }
\begin{enumerate}
\item À l'aide du tableau précédent, déterminons le taux d'évolution global du chiffre d'affaires de la consommation alimentaire biologique entre 2005 et 2010, %Le résultat sera donné en pourcentage arrondi à $0,1$\,\%. 

Le taux d'évolution $T$ est défini par $T=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$.

$T=\dfrac{\np{3385}-\np{1564}}{\np{1564}}\approx \np{1,164322}$.

Le taux global d'augmentation, arrondi à \np{0,1} \,\%  est de $\np{116.4}\,\%$.

\item Déterminons que le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires de la consommation alimentaire biologique entre 2005 et 2010 est d'environ $16,7$\,\%. 

Soient $T$ le taux d'évolution global et $t_m$ le taux d'évolution moyen.

Le coefficient multiplicateur global est $1+T$ d'une part  et $(1+t_m)^5$ car le chiffre d'affaires de la consommation alimentaire  biologique  a, entre 2005 et 2010,  subi 5 évolutions d'où $t_m=(1+T)^{\scriptscriptstyle\frac{1}{5}}-1,\qquad t_m= (\np{2,164})^{\scriptscriptstyle\frac{1}{5}}-1\approx \np{0,166948}$.

Arrondi à \np{0,1}\,\%, le taux moyen d'évolution entre  2005 et 2010 est bien de \np{16,7}\,\%. 
\item On suppose que le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires reste le même jusqu'en 2013. Estimons le chiffre d'affaires prévisible en 2013, arrondi au million d'euros.

Chaque année le chifffre d'affaires est multiplié par \np{1,167}. Entre 2010  et 2013  il y a trois évolutions, le chiffre d'affaires de 2010 a donc été multiplié par $(\np{1,167})^3$.

$\np{3385} \times (\np{1,167})^3\approx \np{5379,86}$.

Nous pouvons estimer le chiffre d'affaires arrondi au million,  en 2013 à \np{5380} euros.

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Second modèle: ajustement affine
 
Le nuage de points associé à cette série statistique à deux variables est représenté dans un repère orthogonal en annexe 2.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.

Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[
\overline{x}_G=\frac{0+2+3+4+5}{5}=\np{2.8} \qquad \overline{y}_G=\frac{\np{1564}+\np{2069}+\np{2561}+\np{3055}+\np{3385}}{5}=\np{2526, 8}\]
G $\left( \np{2.8}~;~\np{2526,8} \right)$ est placé  sur le graphique.
\item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $D$, droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{377.76}x+\np{1469.08}$. Les coefficients sont arrondis au centième. 
\item Dans cette question, on prend pour équation de la droite $D : y = 378x + \np{1470}$.
	\begin{enumerate}
		\item La droite $D$ est tracée dans le repère fourni en annexe 2. 
		\item En utilisant cet ajustement, estimons le chiffre d'affaires de la consommation alimentaire biologique en France en 2013. Pour ce faire, calculons l'ordonnée du point de la droite $D$ d'abscisse 8 correspondant au rang de l'année 2013. $ y=378\times 8+\np{1470}=\np{4494}$.
		
	Le chiffre d'affaires de la consommation alimentaire biologique en France en 2013 serait  d'environ \np{4494} millions d'euros.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [10~;~75] par : 

\[f(x) = - 0.5x^2 + 55x + 500 - 450\ln (x).\]
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [10~;~75] et on note $f'$ sa fonction dérivée.
 
$f'(x)=-\np{0,5} (2x)+ 55- 450\times \dfrac{1}{x}=- x + 55-\dfrac{450}{x}=\dfrac{-x^2 + 55x - 450}{x}$.

Montrons que pour tout réel $x$ de l'intervalle [10~;~75], on a $f'(x) = \dfrac{(x - 10)( 45 - x)}{x}$.   Développons (x - 10)(x - 45).

$(x-10)(45- x)= -x^2 + 10x + 45x - 450$. Les numérateurs et dénominateurs étant égaux, nous pouvons écrire que $f'(x)=\dfrac{(x - 10)(45 - x)}{x}$.

\item Étudions le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [10~;~75]. 

Pour $x\in]10~;~75]\quad x-10>0$ et $x>0$ par conséquent sur cet intervalle, le signe de  $f'(x)$ est celui de $45-x$. 

Sur $\R, \ 45-x>0\iff x<45$. Par conséquent si $x\in [10~;~45[,\ f'x)\geqslant 0$,  si $x\in]45~;~75], \ f'(x) < 0$.

étudions les variations de la fonction $f$.
 
Si pour tout $x\in I, \: f'(x) < 0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.  $f'(x) < 0$ pour $x\in]45~;~75]$ par conséquent,  $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I,\: f'(x)\geqslant 0$ alors $f$ est croissante sur $I$. $f'(x)\geqslant 0$ pour $x\in [10~;~45]$ par conséquent $f$ est croissante sur cet intervalle.

{\emph{remarque \hspace{0.5em} \footnotesize Sur cet intervalle, $f'(x)$ s'annule en une seule valeur, nous pourrions conclure à la stricte croissance de $f$}}

\item Complétons le tableau de valeurs suivant (on arrondira les résultats au dixième) : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&10 		&15 	&25 &35 &45 &55 	&65 	&70 &75\\ \hline 
$f(x)$ 	&$- 36,2$ 	&$- 6,1$&$\np{114.0}$	&$\np{212.6}$	&$\np{249.5}$	&$209,2$&$\np{84.0}$	&$-\np{11.8}$	&$-\np{130,4}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\item La courbe représentative de la fonction $f$  est tracée ci-dessous. %dans un repère orthogonal où l'on prendra pour unités graphiques : 1~cm pour $5$ unités en abscisses et 1~cm pour $50$~unités en ordonnées.
%\begin{center}
\end{enumerate}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.02cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-170)(83,320)
\psaxes[Ox=0,Dx=5,Dy=50]{->}(0,0)(-2.5,-151)(83,320)
\multido{\n=-150+25}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(80,\n)}
\multido{\n=0+2.5}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-150)(\n,310)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{10}{75}{x 2 exp 0.5 neg mul x 55 mul add 500 add x ln 450 mul sub}
\psline[linecolor=green,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{-}(16,0)(16,20)
\psline[linecolor=green,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{-}(69,0)(69,20)
\psset{arrowscale=2}
\psline[linecolor=green,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{<->}(16,20)(69,20)
\uput[u](42.5,20){\footnotesize \textcolor{green}{intervalle de bénéfice}}
\end{pspicture}

%\end{center}

L'entreprise de Monsieur Lou produit des lampadaires pour l'éclairage public.
 
Pour des raisons techniques, la production journalière de lampadaires est toujours comprise entre $10$ et $75$ lampadaires.
 
Pour $x$ lampadaires produits, $x$ appartenant à l'intervalle [10~;~75], le bénéfice réalisé par l'entreprise en dizaines d'euros est égal à $f(x)$. 
\begin{enumerate}[resume]
\item À l'aide de la courbe représentative de la fonction $f$ et avec la précision permise par le graphique, déterminons pour quelles quantités de lampadaires l'entreprise de Monsieur Lou est bénéficiaire. 

L'entreprise  est bénéficiaire lorsque la courbe est tracée dans le demi-plan des $y$ positifs. La courbe coupe l'axe des abscisses en \np{15,5} ou en \np{69,5}. L'entreprise  sera bénéficiaire lorsque $x$ appartient à l'intervalle [16~;~69], $x$ devant être un nombre entier.
\item  En utilisant le sens de variation de la fonction $f$, celle-ci admet un maximum  pour $x$ valant 45. En dizaines d'euros, le bénéfice est $f(45)$. Le bénéfice maximal réalisé par l'entreprise, à l'euro près  est  \np{2495} euros, obtenu lorsqu'elle fabrique 45 lampadaires. 
\end{enumerate}

%\newpage
\vfill
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2\\
À rendre avec la copie}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{EXERCICE 3}

\bigskip

Chiffre d'affaires de la consommation alimentaire biologique en France, en millions d'euros, de 2005 à 2010
 
\vspace{1cm} 

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.004cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(9,3600)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,0)(\n,3600)}
\multido{\n=0+200}{19}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=1200,Dy=200]{->}(0,0)(-0.1,-50)(9,3600)
\uput[d](8.9,0){$x$}
\uput[l](0,3580){$y$}\uput[d](0,-40){0}
\uput[l](-0,13,0){1200}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,364)(2,869)(3,1361)(4,1855)(5,2185)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{8.8}{x 378  mul 270 add}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](2.8,1326.8)
\uput[ul](2.8,1326.8){G}\rput (8.3,3500){$D$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}

