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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small Métropole--La Réunion}
\rfoot{\small septembre 2009}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole--La Réunion~\decofourright\\septembre 2009}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~4]$.

On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, tracée ci-dessous, représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm.

On note e le nombre réel tel que $\ln \text{e} = 1$. La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ passe par les points B(0~;~2) et A($- 1~;~\text{e})$.

Elle admet au point A une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

La tangente $(T)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ passe par le point D(2~:~0).

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.25,-0.5)(4.25,3.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2.25,-0.5)(4.25,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.25,-0.5)(4.25,3.25)
\psplot[plotpoints=3000, linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{4}{x  2 add 2.71828 x exp div}
\psplot{-1.2}{2.5}{2 x sub}
\uput[ul](-1,2.71828){A} \uput[ur](0,2){B} \uput[ur](2,0){D} \uput[u](3.75,0.125){$\left(\blue \mathcal{C}_{f}\right)$} \uput[dl](0,0){O}
\psline{<->}(-1.75,2.71828)(-0.25,2.71828)
\uput[ur](2.5,-0.5){$(T)$} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données graphiques, donner sans justifier :

	\begin{enumerate}
		\item le nombre de solutions sur l'intervalle $[-2~;~4]$ de l'équation $f(x) = 1$ et un encadrement d'amplitude 0,25 des solutions éventuelles.
		\item la valeur de $f^{\prime}(-1)$.
		\item le signe de la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~4]$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Donner en justifiant :

	\begin{enumerate}
		\item le coefficient directeur de la tangente $(T)$.
		\item l'encadrement par deux entiers naturels consécutifs de l'intégrale $\displaystyle \int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x$.
		\item celle des trois courbes $\left(\mathcal{C}_{1}\right),~\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{3}\right)$ données en annexe qui représente la fonction dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe de l'exercice 1}

\bigskip
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.25,-2)(4.25,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.25,-2)(4.25,4.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=2](0,0)(-2.25,-2)
(4.25,4.25)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.56}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div 1.5 mul neg}
\uput[l](-1.3,2){$\left(\mathcal{C}_{1}\right)$}
\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture*}

\vspace{1cm}

\begin{pspicture*}(-2.25,-2)(4.25,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.25,-2)(4.25,4.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=2](0,0)(-2.25,-2)
(4.25,4.25)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.56}{4}{x 1 add 2 x mul 3 sub mul .7 x mul 8 add mul 12 x mul 24 add div }
\uput[l](-1.4,2){$\left(\mathcal{C}_{2}\right)$}\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture*}

\vspace{1cm}

\begin{pspicture*}(-2.25,-2)(4.25,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.25,-2)(4.25,4.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=2](0,0)(-2.25,-2)
(4.25,4.25)
\psplot[plotpoints=200, linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.75}{4}{x  1 add 2.71828 x exp div neg}
\uput[l](-1.4,2.5){$\left(\mathcal{C}_{3}\right)$}\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture*}

\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans un lycée général et technologique, il y a \nombre{1400} lycéens : des élèves de seconde, première ou terminale, et des étudiants en section de technicien supérieur (STS).

Pour pouvoir disposer des collections de manuels scolaires, tous les lycéens doivent adhérer à la coopérative scolaire et payer une location  annuelle d'un montant de 50~\euro{} pour les élèves et 60~\euro{} pour les étudiants.

Sur l'ensemble des adhérents à la coopérative scolaire, 62,5\:\% sont les élèves de seconde, première ou terminale. Les autres sont les étudiants de STS.

Depuis quelques années, les élèves de seconde, première ou terminale disposent de chèques-lire avec lesquels ils peuvent régler cette location :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 40\,\% paient leur location à l'aide de chèques-lire,
\item[$\bullet~$] 56\,\% paient par chèque bancaire,
\item[$\bullet~$] les autres paient par mandat ou en liquide.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
Les étudiants de STS ne disposent pas de chèques-lire :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 96\,\% paient par chèque bancaire,
\item[$\bullet~$] les autres paient par mandat ou en liquide.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

Les parties I et II sont indépendantes

\bigskip

\textbf{Partie I}

Les \nombre{1400}~lycéens, élèves comme étudiants, adhèrent à cette coopérative.

\begin{enumerate}
\item Calculer le montant des versements effectués par chèque bancaire.
\item Calculer le pourcentage du montant total des locations que cette somme représente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

On prend au hasard la fiche d'un adhérent à la coopérative scolaire parmi les \nombre{1400}~fiches.

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] L l'évènement « l'adhérent est un élève » ;
\item[$\bullet~$] E l'évènement « l'adhérent est un étudiant en STS » ;
\item[$\bullet~$] C l'évènement « l'adhérent paie avec ses chèques-lire » ;
\item[$\bullet~$] B l'évènement « l'adhérent paie avec un chèque bancaire » ;
\item[$\bullet~$] A l'évènement « l'adhérent paie par un autre moyen de paiement ».
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Traduire à l'aide d'un arbre pondéré la situation décrite ci-dessus.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'adhérent soit un élève ayant payé sa location à l'aide de chèques-lire.
		\item Calculer la probabilité que l'adhérent soit un étudiant en STS ayant payé sa location à l'aide d'un chèque bancaire.
		\item Démontrer que la probabilité que l'adhérent ait payé par chèque bancaire est de 0,71.
	\end{enumerate}
\item Un adhérent a payé par chèque bancaire. Calculer le probabilité que ce soit un élève.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

Sur le dessin joint en annexe, on a placé les points A(0~;~2~;~0), B(0~;~0~;~6), C(4~;~0~;~0), D(0~;~4~;~0) et E(0~;~0~;~4).

Soit $(P)$ le plan d'équation $3y + z = 6$.

Il est représenté par ses traces sur le plan de base sur le dessin joint en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points C, D et E déterminent un plan que l'on notera (CDE).
		\item Vérifier que le plan (CDE) a pour équation $x + y + z = 4$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les plans $(P)$ et (CDE) sont sécants. On note $(\Delta)$ leur intersection.
		\item Sans justifier, représenter $(\Delta)$ en couleur (ou à défaut en traits pointillés) sur la figure en annexe.
	\end{enumerate}
\item On considère les points F(2~;~0~;~0) et G(0~;~3~;~0).

On note $(Q)$ le plan parallèle à l'axe $\left(\text{O};~\vect{k}\right)$ et contenant les points F et G.
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur la figure en annexe les points F et G.
		
		Sans justifier, représenter le plan $(Q)$ par ses traces sur les plans de base, d'une autre couleur (ou à défaut en larges pointillés), sur la figure en annexe.
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $ax + by = 6$ soit une équation du plan $(Q)$.
	\end{enumerate}
\item L'intersection des plans (CDE) et ($Q$) est la droite $\left(\Delta'\right)$.

Sans justifier, représenter la droite $\left(\Delta'\right)$, d'une troisième couleur (ou à défaut en très larges pointillés), sur la figure en annexe.
\item On considère le système de trois équations à trois inconnues suivant :

\[\left\{\begin{array}{r c l}
3y + z&=&6\\
x + y + z&=&4\\
\multicolumn{1}{l}{3x + 2y}&=&6
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre ce système.
		\item Que peut-on alors en déduire pour les droites $(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour établir le prix unitaire le plus adapté d'un produit, une société effectue une étude statistique.

Le tableau suivant indique le nombre d'acheteurs, exprimé en milliers, correspondant à un prix unitaire donné, exprimé en euros :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix en euros : $x_{i}$&4&5&6&7&8&9&10&11\\ \hline
Nombre d'acheteurs en milliers : $y_{i}$&125&120&100&80&70&50&40&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$ dans le plan $(P)$ muni d'un repère orthonormal d'unités 1~cm pour un euro sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10~milliers d'acheteurs sur l'axe des ordonnées.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation $y = ax + b$ de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à l'unité.
		\item Tracer la droite $(D)$ dans le plan $(P)$.
		\item En utilisant l'ajustement affine précédent, estimer graphiquement, à l'euro près, le prix unitaire maximum que la société peut fixer si elle veut conserver des acheteurs.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'ajustement affine précédent, justifier que la recette $R(x)$, exprimée en milliers d'euros, en fonction du prix unitaire $x$ d'un objet, exprimé en euros, vérifie :
		
\[R(x) = - 15x^2 + 189x.\]
		
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par
		 
		\[f(x) = - 15x^2 + 189x.\]
		
		\item Quel conseil peut-on donner à la société ? Argumenter la réponse.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par 

\[f(x) = \left(x^2 - x + 1 \right)\text{e}^{-x}.\]

On note $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $(P)$ muni d'un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
		\item En remarquant que, pour tout nombre réel $x$, $f(x) = \dfrac{x^2}{\text{e}^{x}} - \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + \dfrac{1}{\text{e}^{x}}$, déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		
Interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}
\item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$, $f^{\prime}(x) = \left(- x^2 + 3x - 2\right)\text{e}^{-x}$.
		\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'ensemble des nombres réels.
 	\end{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en son point d'abscisse $0$.
\item On prend comme unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 20~cm sur l'axe des ordonnées.

Tracer la droite $(T)$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sur l'intervalle $\left[0~;~8\right]$  dans le plan $(P)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement le nombre de solutions sur l'intervalle $\left[0~;~8\right]$ de l'équation $f(x) = 0,4$.
		\item À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au centième de la plus grande des solutions de l'équation considérée à la question 5. a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\emph{Pour les candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Annexe de l'exercice 2}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-4,-2.75)(4.25,6.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10](0,0)(4.25,0)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(0,6.25)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(-4,-2.625)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10]{->}(0,0)(1,0)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4](0,0)(-4,-2.75)(4.25,6.25)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.75,-0.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](2,0)(0,6)(-3,-2)(4,0)(0,4)
\uput[dr](2,0){A} \uput[ul](0,6){B}\uput[dr](-3,-2){C}\uput[d](4,0){D}\uput[l](0,4){E}
\uput[dr](-0.375,-0.25){$\vect{\imath}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\jmath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{k}$}
\uput[dr](0,0){O}
\pspolygon(-3,-2)(4,0)(0,4)
\psline(-2.125,-2.75)(2,0)(0,6)(-4,3.375)
\uput[dr](-4,3.375){$(P)$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}