\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Métropole--La Réunion septembre 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BaccalaurŽéat ES } \lfoot{\small Métropole--La Réunion} \rfoot{\small septembre 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole--La Réunion septembre 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte. \textbf{ Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.} \medskip Une fonction $f$ est définie et dérivable sur l'ensemble $]-6~;~-3[ \cup ] -3~;~+\infty[$. Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant : \bigskip \begin{pspicture}(12,3) \psframe(12,3) %\psgrid \psline(0,2.5)(12,2.5) \psline(2,0)(2,3) \psline[doubleline=true](7,0)(7,2.5)%\psline(7.1,0)(7.1,2.5) \uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.2,2.5){$-6$} \uput[u](4.5,2.5){$-4$} \uput[u](5.75,2.5){$-3,5$} \uput[u](7,2.5){$-3$} \uput[u](9.5,2.5){$2$} \uput[u](11.7,2.5){$+ \infty$} \rput(1,1.5){Variations} \rput(1,0.5){de $f$} \uput[u](2.2,0){$7$} \rput(4.5,2.2){$8$} \rput(5.75,1.15){$0$} \uput[u](6.5,0){$- \infty$} \uput[d](7.4,2.5){$+ \infty$} \uput[u](9.5,0){$3$} \uput[d](11.75,2.5){$5$} \psline{->}(2.4,0.4)(4.3,2.1) \psline{->}(4.7,2.1)(6.3,0.6) \psline{->}(7.5,2)(9.3,0.4) \psline{->}(9.7,0.4)(11.5,2.1) \end{pspicture} \begin{enumerate} \item On peut affirmer que : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} Réponse \textbf{A} : $\displaystyle\lim_{x \to 5} f(x) = +\infty$.&Réponse \textbf{B} : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 5$\\ Réponse \textbf{C} : $\displaystyle\lim_{x \to -6} f(x) = - \infty$.& Réponse \textbf{D} : $\displaystyle\lim_{\substack{x \to -3\\ x < -3}} f(x) = 0$.\\ \end{tabularx} \item La courbe représentative de $f$ admet pour asymptotes les droites d'équation :\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} Réponse \textbf{A} : $x =5$ et $y = -3$ & Réponse \textbf{B} : $x = -3$ et $y = 5$.\\ Réponse \textbf{C} : $y = 8$ et $y =3$ &Réponse \textbf{D} : $x = -6$ et $y = 5$.\\ \end{tabularx} \item Dans l'ensemble $]-6~;~ -3[ \cup ] -3~ ;~ +\infty[$ l'équation $f(x) = 4$ admet\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} Réponse \textbf{A} : $0$ solution &Réponse \textbf{B} : $1$ solution\\ Réponse \textbf{C} : $2$ solutions &Réponse \textbf{D} : $3$ solutions\\ \end{tabularx} \item On considère le nombre réel $I = \displaystyle\int_{2}^4 f(x) \:\text{d}x$. On peut affirmer que :\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} Réponse \textbf{A} : $0 \leqslant I \leqslant 3$ & Réponse \textbf{B} : $6\leqslant I \leqslant 10$\\ Réponse \textbf{C} : $3 \leqslant I \leqslant 6$ & Réponse \textbf{D} : $I \geqslant 10$.\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes civils de solidarité (PACS) signés chaque année en France : \medskip \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années&2000&2001&2002&2003 &2004\\ \hline Rang de l'année, $x_{i}$& 0&1&2&3&4\\ \hline Nombres de PACS en milliers, $y_{i}$ & 22,1 &19,4& 25& 31,1& 39,6\\ \hline \end{tabularx} \begin{flushright}Source INSEE.\end{flushright} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité entre 2000 et 2004. \item \textbf{On envisage un ajustement affine} \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$. Par la suite, on pose $f(x) = ax + b$. \item En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2007. \end{enumerate} \item \textbf{On envisage un autre type d'ajustement} On modélise le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés durant l'année $2000+x$ ($x$ entier) à l'aide de la fonction $g$ définie par \[g(x) = 1,6x^2 -1,8x+ 21,4.\] \begin{enumerate} \item En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2007. \item On suppose que l'évolution se poursuit selon ce modèlejusqu'en 2015. Le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2010 sera-t-il supérieur à \np{100000} ? Justifier. \end{enumerate} \item \textbf{Comparaison des deux ajustements} Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs réelles et les valeurs calculées à l'aide de chacun des deux ajustements. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$& 0&1&2& 3&4\\ \hline $\left[(y_{i} - f(x_{i})\right]^2$& 16& 11,36& 5,95& 1,02& 7,95\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$&0&1&2& 3&4\\ \hline $\left[(y_{i} - g(x_{i})\right]^2$& 0,49&&&& \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième. \item Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie I} \medskip Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les arêtes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues. \begin{center} \begin{pspicture}(8,3.25) \pspolygon(0,0)(8,0)(3.9,2.9)(1.6,2.9)(3.9,1.2)(1.6,1.2)(1.6,2.9)%EFBACDAE \psline(1.6,1.2)(0,0)%ED \psline(3.9,2.9)(3.9,1.2)(8,0)%BCF \uput[u](1.6,2.9){A} \uput[u](3.9,2.9){B} \uput[d](3.9,1.2){C} \uput[d](1.6,1.2){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[dr](8,0){F} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner l'ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets. \item Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues. \begin{center} \psset{arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(0,-0.5)(8,3.25) \pnode(1.6,2.9){A} \pnode(3.9,2.9){B} \pnode(3.9,1.2){C} \pnode(1.6,1.2){D} \pnode(0,0){E} \pnode(8,0){F} \pnode(2.75,2.9){G}\ncline{->}{A}{G}\ncline{G}{B} \pnode(5.95,1.45){H}\ncline{->}{B}{H}\ncline{H}{F} \pnode(5.95,0.6){I}\ncline{->}{F}{I}\ncline{I}{C} \pnode(3.9,2.05){J} \ncline{->}{C}{J}\ncline{J}{B} \pnode(2.75,2.05){K}\ncline{->}{C}{K}\ncline{K}{A} \pnode(1.6,2.05){L}\ncline{->}{D}{L}\ncline{L}{A} \pnode(2.75,1.2){M}\ncline{->}{D}{M}\ncline{M}{C} \pnode(0.8,0.6){N}\ncline{->}{E}{N} \ncline{N}{D} \pnode(0.8,1.45){O}\ncline{->}{A}{O}\ncline{O}{E} \pnode(4,0){P}\ncline{->}{F}{P}\ncline{P}{E} %\pspolygon(0,0)(8,0)(3.9,2.9)(1.6,2.9)(3.9,1.2)(1.6,1.2)(1.6,2.9)%EFBACDAE \uput[u](1.6,2.9){A} \uput[u](3.9,2.9){B} \uput[d](3.9,1.2){C} \uput[d](1.6,1.2){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[dr](8,0){F} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Écrire la matrice M associée à ce graphe. (On rangera les sommets dans l'ordre alphabétique). \item \begin{enumerate} \item Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D à B ? \item Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul à partir de la matrice M ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La courbe ($\mathcal{C}$) donnée en ANNEXE, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $R$. On note $f'$ sa fonction dérivée. Les points A (3 ; e) et B (4 ; 2 ) appartiennent à cette courbe. La tangente à la courbe en A est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente (T) à la courbe en B coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 6. \medskip \textbf{PARTIE I : lecture graphique} \medskip Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier. \medskip \begin{enumerate} \item Pour quelles valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle [3~;~10] a-t-on $f(x) \leqslant 2$ ? \item Déterminer $f'(3)$ et $f'(4)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE II étude de la fonction} \medskip La fonction $f$ représentée dans l'ANNEXE, est la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) =(x - 2) \text{e}^{(-x + 4)}\] /smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f(0)$. Donner la valeur décimale arrondie à l'unité. \item On donne $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) =0$. Donner une interprétation graphique de ce résultat. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=(3-x) \text{e}^{(-x+4)}$. \item Sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par \[g(x) = (1- x) \text{e}^{(-x + 4)}\] est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; + \infty[$. En déduire la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle [2 ; 10]. On donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au millième. Rappel : Soit $f$ une fonction et $[a~;~ b]$ un intervalle sur lequel $f$ est définie et dérivable. La valeur moyenne $m$ de $f$ sur un l'intervalle $[a ~;~b]$ est le nombre $m$ tel que : \[ m = \dfrac{1}{b - a} \times \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x.\] \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE III : étude d'un bénéfice} \medskip Une entreprise vend $x$ centaines de litres de parfum par jour $1,8 \leqslant x \leqslant 4,5$. Le bénéfice en milliers d'euros réalisé, par jour, par l'entreprise lorsqu'elle vend $x$ centaines de litres est donné par $f(x)$ pour $x \in $[1,8~;~4,5]. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l'entreprise vend au moins $180$ litres et au plus $450$ litres. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de $400$ litres (soit 4 centaines de litres). \item Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à 1~\euro). \item À partir de quelle quantité journalière l'entreprise ne vend-elle pas à perte ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Jean s'amuse régulièrement sur un terrain de football avec le gardien de but. Chaque partie consiste à tirer successivement deux tirs au but. Au vu des résultats obtenus au cours de l'année, on admet que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item la probabilité que Jean réussisse le premier tir au but est égal à $0,8$ ; \item s'il réussit le premier, alors la probabilité de réussir le second est $0,7$ ; \item s'il manque le premier, alors la probabilité de réussir le second est $0,5$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $R_{1}$ l'évènement : \og le premier tir au but est réussi \fg{} et $\overline{R_{1}}$ son évènement contraire, $R_{2}$ l'évènement: \og le second tir au but est réussi \fg{} et $\overline{R_{2}}$ son évènement contraire. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la situation par un arbre pondéré. \item Calculer la probabilité que les deux tirs au but soient réussis. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le second tir au but soit réussi. \item Les évènements $R_{1}$ et $R_{2}$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item On note $A$ l'évènement : \og Jean a réussi exactement un tir au but \fg. Montrer que $p (A) = 0,34$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \bigskip \textbf{EXERCICE 3} \bigskip \textbf{Commun à tous les candidats} \vspace{1.5cm} \psset{unit=1.125cm} \begin{pspicture}(-0.666,-8.3)(10,3.66) \multido{\d=0.0000+0.3333}{31}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\d,-8.333)(\d,3.666)} \multido{\d=-8.3333+0.3333}{37}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\d)(10,\d)} \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-8.3)(10,3.66) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot{2.331}{9.666}{6 x sub} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1.387}{9.666}{2.71828 4 x sub exp x 2 sub mul} \uput[d](3,2.666){A} \uput[ur](4,2){B} \uput[u](8,0.25){\blue $(\mathcal{C})$} \uput[d](8,-2.4){(T)} \uput[dl](0,0){O} \psdots(3,2.71828)(4,2) \psline[linewidth=1pt]{<->}(2,2.71828)(4,2.71828) \end{pspicture} \end{center} \end{document}