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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 22 juin 2012}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole 22 juin 2012~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Sur le site http://www.agencebio.org, on a extrait des informations concernant l'agriculture en France métropolitaine.

\medskip
 
\textbf{Document 1}

\medskip
 
En 2008, la surface agricole utilisée (SAU) était de \np{27537688}~hectares dont \np{583799} hectares en mode de production biologique.

\medskip
 
\textbf{Document 2}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\scriptsize}m{3.cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
Surface en mode de production biologique (en hectares)&\footnotesize \np{419750} &\footnotesize\np{517965} &\footnotesize\np{550990} &\footnotesize\np{534037} &\footnotesize\np{550488} &\footnotesize\np{552824} &\footnotesize\np{557133} &\footnotesize\np{583799}\\ \hline 
Part (en \,\%) de la surface en mode de production biologique 
dans la SAU : $y_{i}$&1,4 &1,75 &1,87 &1,93 &1,99 &2 &2,02 &2,12\\ \hline
\end{tabularx} 
 
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item D'après le document 2, la part de la surface en mode de production biologique dans la SAU est de 2,12\,\% en 2008. En utilisant le document 1, justifier par un calcul cette information. 
\item Calculer le pourcentage d'évolution de la surface en mode de production biologique entre 2007 et 2008. Ce pourcentage sera arrondi à $0,01$\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On a représenté, sur l'annexe, partie B, à rendre avec la copie, le nuage de points représentant la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{-2}$. 
\item Tracer cette droite dans le repère fourni sur l'annexe, partie B. 
\item À l'occasion d'un TPE, un groupe d'élèves a trouvé sur une autre page du site qu'en 2009 et en 2010, les parts de la surface en mode de production biologique dans la SAU sont respectivement 2,46\,\% et 3,09\,\%. 

L'ajustement affine précédent est-il adapté à ces nouvelles données ? 
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\medskip
Pour la suite de ce TPE, les élèves ont modélisé à l'aide d'un logiciel l'évolution de la part de surface en mode de production biologique dans la SAU sur la période de 2001 à 2012 par la fonction f définie sur l'intervalle [1~;~12] par 

\[f(x) = \np{0,0096}x^3 - \np{0,1448}x^2 + \np{0,7132}x + \np{0,813}.\]
 
Cet ajustement est représenté sur l'annexe, partie C.

\medskip
 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Le Grenelle de l'environnement s'est fixé comme objectif d'avoir 6\,\% de la SAU en mode de production biologique en 2012. Selon ce modèle, peut-on espérer que cet objectif soit atteint ? 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

La Fédération e-commerce et Vente à Distance (FEVAD) a effectué en octobre 2010 une enquête auprès de 719 acheteurs à distance âgés de 18 ans et plus. Sur le questionnaire proposé, ces personnes ont été interrogées sur le nombre de familles de produits (vêtements, informatique, loisirs, \ldots) achetés à distance au cours des 12 derniers mois. L'étude statistique a permis d'obtenir les informations suivantes :
 
\medskip
% \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|m{6cm}|}\hline
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2.75,-2.75)(2.75,2.75)
%\pscircle(0,0){2.5}
%\rput(1.25;180){\begin{minipage}{1.75cm}\footnotesize acheteurs de 5 familles de produits ou plus\end{minipage}}
%\rput(1.25;-45){\begin{minipage}{1.75cm}\footnotesize acheteurs de 3 à 4 familles de produits\end{minipage}}
%\rput(1.25;45){\begin{minipage}{1.75cm}\footnotesize acheteurs de 1 à 2 familles de produits\end{minipage}}
%\rput(2.85;45){25\,\%} \rput(2.85;-45){31\,\%} \rput(2.85;160){44\,\%}
%\pswedge[fillstyle=vlines,hatchsep=15pt](0,0){2.5}{0}{90}
%\pswedge[fillstyle=crosshatch,hatchsep=15pt](0,0){2.5}{90}{248.4}
%\end{pspicture}&\begin{pspicture}(0,0)(6,1)
%\uput[r](0.25,4){Parmi les acheteurs de 1 à 2 familles }
%\uput[r](0.25,3){de produits, 45\,\% sont retraités.}
%\uput[r](0.25,2){Parmi les acheteurs de 3 à 4 familles}
%\uput[r](0.25,1){ de produits, 25\,\% sont retraités.}
% \end{pspicture}\\ \hline
%\end{tabularx} 
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %pour centrer verticalement les cellules d'un tableau tabularx à mettre dans le préambule
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|>{\raggedright \arraybackslash}X|}\hline
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.25,-2.75)(2.75,2.75)
\psset{linewidth=1pt,hatchwidth=.25pt,hatchsep=.34cm,hatchangle=45,hatchcolor=darkgray}
\pscircle(0,0){2.5}
\pswedge[fillstyle=vlines]{2.5}{0}{90}
\pswedge[fillstyle=crosshatch]{2.5}{90}{248.4}
\SpecialCoor
\rput(3;45){25\,\%} \rput(3;-55.8){31\,\%} \rput(3;169.2){44\,\%}
\rput(1.5;45){\parbox{1.5cm}{\textsf{\footnotesize{acheteurs de 1 à 2 familles de produits}}}}
\rput(1.5;-55.8){\parbox{1.5cm}{\textsf{\footnotesize{acheteurs de 3 à 4 familles de produits}}}}
\rput(1.3;170){\parbox{1.5cm}{\textsf{\footnotesize{acheteurs de 5 familles de produits ou plus}}}}
\end{pspicture}
& Parmi les acheteurs de 1 à 2 familles de produits, 45~\% sont retraités.

\bigskip

Parmi les acheteurs de 3 à 4 familles de produits, 25~\% sont retraités.
\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip
 
Le responsable des ventes tire un questionnaire au hasard, chacun ayant la même probabilité d'être tiré. On note :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] A l'évènement : \og Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 1 à 2 familles de produits. \fg 
\item[$\bullet~$]B l'évènement : \og Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 3 à 4 familles de produits. \fg 
\item[$\bullet~$]C l'évènement : \og Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 5 familles de produits ou plus. \fg 
\item[$\bullet~$]R l'évènement : \og Le questionnaire tiré est celui d'un retraité. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p(\text{A} \cap  \text{R})$. 
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement: \og Le questionnaire tiré est celui d'un retraité acheteur de 3 à 4 familles de produits.\fg 
		\item On sait de plus que 21,7\,\% des acheteurs interrogés sont des retraités. 
Vérifier que $p(\text{C} \cap \text{R}) = 0,027$. 
	\end{enumerate}
\item Le responsable des ventes décide de lancer une campagne publicitaire dès lors que le pourcentage de retraités parmi les acheteurs de 5 familles de produits ou plus est inférieur à 8\,\%. 

Quelle décision prendra-t-il ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

Une région se divise en deux zones :
 
une zone A à proximité d'une grande agglomération,
 
une zone B à proximité de la mer.
 
Chaque année, 20\,\% des habitants de la zone A partent habiter dans la zone B pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5\,\% des habitants de la zone B partent habiter dans la zone A pour se rapprocher de leur lieu de travail.
 
On sait de plus qu'en 2010, 40\,\% de la population habitait en zone A.
 
On suppose que le nombre total d'habitants de la région reste constant au cours du temps.
 
Pour tout entier naturel $n$, l'état probabiliste correspondant à l'année $2010 + n$ est défini par la matrice ligne $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\right)$, où $a_{n}$ et $b_{n}$ désignent respectivement les proportions d'habitants des zones A et B.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice ligne $P_{0}$ de l'état initial. 
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets. 
		\item Donner la répartition de la population en 2012.
	\end{enumerate} 
\item Dans la question suivante, on considère la matrice ligne $P = (a\quad b)$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que $a + b = 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a$ et $b$ pour que $P = PM$. 
		\item Les infrastructures de la zone B permettent d'accueillir au maximum 75\,\% de la population. Lors d'un conseil municipal, le maire affirme qu'il va falloir prévoir de nouvelles infrastructures. A-t-il raison ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip 

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).
 
\emph{Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
 
 \medskip
 
On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe représentative $C$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle ]0~;~6]. Le point A(1~;~4) appartient à la courbe $C$. La tangente en A à la courbe $C$ est parallèle à l'axe des abscisses. 

On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(6.5,9.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(6.5,9.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.5,-0.9)(6.5,9.5)
\uput[d](1,4){A}\uput[u](5.5,8){$C$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{6}{x 2 add 1 x div add}
\psline[linewidth=1pt,arrowsize=2.pt 2]{<->}(0.25,4)(1.75,4)
\end{pspicture*}
\end{center} 


\begin{enumerate}
\item Le nombre dérivé de la fonction $f$ en 1 est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 4&\textbf{b.~~} 0 &\textbf{c.~~} $-2$ &\textbf{d.~~} 1\\
\end{tabularx}
\medskip
\item Sur l'intervalle ]0~;~6], l'inéquation $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ admet comme ensemble de solutions :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~} ]0~;~1]&\textbf{b.~~} ]0~;~ 6]&\textbf{c.~~} [1~;~6]&\textbf{d.~~} [4~;~9]\\
\end{tabularx}
\medskip 
\item  On pose $I = \displaystyle\int_{3}^5  f(x)\:\text{d}x$. On peut affirmer que :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~} $12 < I < 13$ 	&\textbf{b.~~} $0 < I < 2$ 	&\textbf{c.~~} $5 < I < 8$ 
&\textbf{d.~~} $- 2 < I < 0$ \\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item On appelle $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~6]$. L'expression de $F$ 
peut être :
 
\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}  
\textbf{a.~~} $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1$ &\textbf{b.~~} 
 $F(x) = 2+ \dfrac{1}{x}$ \\
 \textbf{c.~~} $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + \ln x$ &\textbf{d.~~} $F(x) = 2x + \ln x$\\
\end{tabularx}
\medskip
\renewcommand\arraystretch{1}  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip 

Le bénéfice en milliers d'euros que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique et vend $x$ centaines d'objets (pour $x$ compris entre 0 et 6) est donné par 

\[f(x) = (200x - 300)\text{e}^{-x-1} + 10\]
 
Alix a affiché sur l'écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~6]$. 

\medskip

%\begin{center}
%\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
%\begin{pspicture}(0,-5)(6,16)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=50](0,0)(0,-5)(6,16)
%\psplot[plotpoints=50,linewidth=1.8pt]{1}{2}{200 x mul 300 sub 2.71828 x 1 add exp div 10 add}
%\psplot[plotpoints=50,linewidth=1.8pt]{3}{6}{200 x mul 300 sub 2.71828 x 1 add exp div 10 add}
%\multido{\n=0+1}{7}{\psline(\n,0)(\n,0.8)}
%\multido{\n=-5+1}{22}{\psline(0,\n)(0.1,\n,)}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1.4)(7.7,3.2)
\psframe[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](-.45,-1.35)(7.65,3.15)
\psframe[linewidth=8pt,framearc=.1,linecolor=lightgray](-.4,-1.3)(7.6,3.1)
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.18cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 2pt,labels=none]{-}(0,0)(0,-5)(6,15)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{0.965}{2}{200 x mul 300 sub 2.71828 x 1 add exp div 10 add}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.5pt]{3.246}{6}{200 x mul 300 sub 2.71828 x 1 add exp div 10 add}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A : objectif \og réaliser un bénéfice maximal \fg}

\medskip
 
L'écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.
 
Il décide donc d'étudier la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~6]$. On admet que cette fonction est dérivable sur l'intervalle $[0~;~6]$. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~6]$, 

\[f^{\prime}(x) = (500 - 200x)\text{e}^{-x-1}\]
 
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~6]$. 
\item En déduire le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal. 
Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l'euro). 
\item Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction $f$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B : objectif \og ne pas vendre à perte \fg}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d'objets l'entreprise ne vend-elle pas à perte ? 
\item Démontrer que sur l'intervalle $[1~;~2]$ l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$. 
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. 
\item Préciser le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise ne vend pas à perte. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
{\LARGE Annexe à rendre avec la copie}

\begin{flushleft} 
\textbf{PARTIE B}
\end{flushleft}

\psset{xunit=1cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10.5,4.4)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,4.4)}
\multido{\n=0.0+0.2}{23}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0)(10.5,4.4)
\psdots[dotscale=1.25](1,1.4)(2,1.75)(3,1.87)(4,1.93)(5,1.99)(6,2)(7,2.02)(8,2.12)
\end{pspicture}

\vspace{2cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{PARTIE C}
\end{flushleft}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(13,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0)(13,7)
\psdots[dotscale=1.15](1,1.4)(2,1.75)(3,1.87)(4,1.93)(5,1.99)(6,2)(7,2.02)(8,2.12)(9,2.46)(10,3.09)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{12}{x 3 exp 0.0096 mul x 0.7132 mul add x dup mul 0.1448 mul sub 0.813 add}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}