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% Tapuscrit et corrigé : Éric David
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\hyphenpenalty 10000 % empêche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\begin{minipage}{\linewidth}{#1}\end{minipage}}}
\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%


\newcommand\tc[1]{%
{\psset{unit=0.35cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psframe[framearc=0.5](-1,-1)(1,1)
\rput(0,0){$\mathtt{#1}$}
\end{pspicture}}}

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\{Vendredi 21 juin 2012}}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Métropole Juin  2012}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{ale} ES}}} %droit

%pied de page
\cfoot{\scriptsize{\textsf{\thepage{}/\pageref{Lastpage}}}}  %centre                                                   
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}} 
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\alph{subsubsection})}


\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray Baccalauréat ES Métropole 21 juin 2012}}
 \end{center}
 
\bigskip

\exo \hfill \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill 5 points

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La part en pourcentage de la surface en mode de production biologique dans la SAU est :
\[\frac{\np{583799}}{\np{27537688}}\times 100 \approx 2,12\]

\encadre{La part en pourcentage de la surface en mode de production biologique dans la SAU est de 2,12~\%}
\medskip

\item Le pourcentage d'évolution entre \np{2007} et \np{2008} est :
\[\frac{\np{583799}-\np{557133}}{\np{557133}}\times 100 \approx 4,79~\%\]

\encadre{Le pourcentage d'évolution de la surface en mode de production biologique entre \np{2007} et \np{2008} est \np{4,79}~\% arrondi à 0,01~\%.}
\medskip

\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\medskip

\begin{enumerate}
	\item A la calculatrice, on trouve que l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ est :
	\medskip
	
	\encadre{\[y=0,08x+1,52 \text{ où les c\oe fficients sont arrondis à $10^{-2}$.}\]}\medskip
	
	\item Cette droite passe par les points $(1~;~1,6)$ et $(10~;~2,34)$. (On peut aussi utiliser le point moyen $G~(4,5~;~1,885)$.)
	\medskip
	
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10.5,4.4)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,4.4)}
\multido{\n=0.0+0.2}{23}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0)(10.5,4.4)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.25](1,1.4)(2,1.75)(3,1.87)(4,1.93)(5,1.99)(6,2)(7,2.02)(8,2.12)
%\psplot[plotpoints=200]{0.0}{10.0}{0.08*x+1.52}
\psline[linecolor=red](0,1.52)(10,2.32)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=red](1,1.6)
\psdots[dotstyle=x,linecolor=red](10,2.32)
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\item Avec l'ajustement précédent, on trouve que la part en pourcentage de la surface en mode biologique est :
\begin{itemize}
	\item Pour \np{2009} : $x=9$ donc $y=0,08 \times 9+1,52=2,24$.
	\item Pour \np{2010} : $x=10$ donc $y=0,08 \times 10+1,52=2,32$.
\end{itemize}

Les valeurs calculées sont très inférieures à celles données sur le site.\medskip

\encadre{L'ajustement affine précédent n'est pas adapté à ces nouvelles données.}
\medskip

\textbf{Partie C}
\medskip

Avec ce modèle, en \np{2012}, on a $x=12$ et $f(12)=\np{0,00096}\times 12^3-\np{0,1448}\times 12^2+\np{0,7132} \times 12+0,813\approx 5,1$. (On peut aussi faire une lecture graphique sur le document donné en annexe) \medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{ .0096*x^3-.1448*x^2+.7132*x+.813}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(13,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.99,-0.99)(12.99,6.99)
\savedata{\nuage}[(1,1.4)(2,1.75)(3,1.87)(4,1.93)(5,1.99)(6,2)(7,2.02)(8,2.12)(9,2.46)(10,3.09)]
\dataplot[dotstyle=*,linecolor=bleu,plotstyle=dots]{\nuage}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{12}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](12,0)(12,5.109)(0,5.109)
\end{pspicture}
\end{center}\medskip

\encadre{Avec ce nouveau modèle, les calculs montrent que l'objectif des 6~\% fixé lors du Grenelle de l'environnement ne sera pas atteint.}

\end{enumerate}
\bigskip


\exo \hfill \textbf{\red Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \hfill 5 points

\medskip


\begin{enumerate}
	\item \hfill
	
\psset{unit=1cm}
 \begin{center}
 \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
 \pstree[levelsep=3,treesep=.7,linecolor=bleu,treemode=R,nrot=:U ]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$~A~$}\naput{$0,25$}}
	  { 
		  \TR{$~R~$}\naput{$0,45$}
		  \TR{$~\overline{R}~$}\nbput{$0,55$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$~B~$}\naput{$0,31$}}
	  {
		  \TR{$~R~$}\naput{$0,25$}
		  \TR{~$\overline{R}~$}\nbput{$0,75$} 
	  }
	\pstree{\TR{$~C~$}\nbput{$0,44$}}
	  {
		  \TR{$~R~$}\naput{$?$}
		  \TR{~$\overline{R}$~}\nbput{$?$}
	  }	
}
\end{center}\medskip

\item 
\begin{enumerate}
	\item $p(A \cap R)=p(A)\times p_A(R)=0,25 \times 0,45 = 0,1125.$\medskip
	
	\encadre{\[p(A \cap R)=\np{0,1125}.\]}\medskip
	
	\item L'évènement \og Le questionnaire tiré est celui d'un retraité acheteur de 3 à 4 familles de produits \fg{} est : $B \cap R$.
	
$p(B \cap R)=p(B)\times p_B(R)=0,3 \times 0,25 = 0,0775.$\medskip
	
	\encadre{\[p(B \cap R)=\np{0,0775}.\]}\medskip
	
	\item Si 21,7~\% des acheteurs sont des retraités, on a $p(R)=0,217$.
	
	Comme les évènements $A$, $B$ et $C$ forment une partition de l'univers constitué par l'ensemble des acheteurs, d'après la formule des probabilités totales, on a :

\begin{align*}
p(R)&=p(A \cap R) + p(B \cap R) + p(C \cap R) \\
p(C \cap R)&=p(R)-p(A \cap R) - p(B \cap R)\\
p(C \cap R)&=0,217-0,1125 - 0,0775\\
p(C \cap R)&=0,027
\end{align*}

\encadre{\[p(C \cap R)=0,027\]}\medskip
\end{enumerate}
\item Sachant que la fiche tirée est celle d'un client ayant acheté 5 familles de produit ou plus, la probabilité que ce soit celle d'un retraité est :
\[p_C(R)=\frac{p(C\cap R)}{p(C)}=\frac{0,027}{0,44}\approx 0,061 \text{ soit }6,1~\%\]

\encadre{Le responsable des ventes  lancera une campagne publicitaire.}
\end{enumerate}

\bigskip

\setcounter{nexo}{1}

\exo \hfill \textbf{\red Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} \hfill 5 points

\medskip

\begin{enumerate}
	\item On sait qu'en \np{2010}, 40 \% de la population habite la zone A et 60 \% la zone B. Par conséquent la matrice $P_0$ de l'état initial est :
	\medskip
	
	\encadre{\[P_0=\begin{pmatrix}0,4 & 0,6\end{pmatrix}\]}
	\medskip
	
	\item \hfill
	
\begin{center}
$\begin{psmatrix}[mnode=circle,colsep=3]
A & B \\
\end{psmatrix}$
\psset{nodesep=0pt,arrows=->,shortput=nab}
\ncarc[arcangle=20]{1,1}{1,2}^{0,2}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.5}_{0,8}
\ncarc[arcangle=20]{1,2}{1,1}^{0,05}
\nccircle[angleA=-90]{1,2}{0.5}_{0,95}
\end{center}

\medskip

\item 
\begin{enumerate}
	\item La matrice de transition $M$ est :\medskip
	
	\encadre{\[M= \begin{pmatrix}

0,8 & 0,2\\
0,05 & 0,95 \\
\end{pmatrix}
\]}

\medskip

\item La répartition de la population en \np{2012} est donnée par la matrice $P_2$ :
\[p_2=P_0 \times M^2 = \begin{pmatrix} 0,4&0,6\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0,8&0,2\\ 0,05&0,95 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 0,3125&0,6875\end{pmatrix}\]

\encadre{En \np{2012}, 31,25~\% de la population habitera la zone A, alors que 68,75~\% habitera la zone B.}
\end{enumerate}

\bigskip

\item 
\begin{enumerate}
	\item $P=PM \iff \begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,8 & 0,2 \\ 0,05 & 0,95\end{pmatrix}$ soit $\begin{pmatrix}
a& b	\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,8a+0,05b & 0,2a+0,95b\end{pmatrix}$.

On en déduit que $a=0,8a+0,05b$ et on résoud le système :\medskip

$\left\{\begin{array}{l}
a+b=1 \\
a=0,8a+0,05b
\end{array}
\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l}
a+b=1 \\
0,2a-0,05b=0
\end{array}
\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l}
a+b=1 \\
a+0,25b
\end{array}
\right.$

Par élimination $1,25b=1 \iff b=\dfrac{1}{1,25}=0,8$ et par suite $a=1-b=1-0,8=0,2$.\medskip

\encadre{
\begin{center}
La matrice $P$ telle que $P=MP$ est $P=\begin{pmatrix}
	0,2&0,8
\end{pmatrix}$
\end{center}
}

\medskip

\item On vient, au a), d'établir l'état stable. Par conséquent, on peut prévoir que dans un certain temps 20~\% de la population habitera la zone A et 80~\% la zone B.\medskip

\encadre{
\begin{center}
Le maire a raison de vouloir prévoir de nouvelles infrastructures.
\end{center}
}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip


\exo \hfill \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill 4 points

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Au point $A$ d'abscisse 1 la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ est parallèle à l'axe des abscisses, donc $f'(1)=0$.\medskip
	
	\encadre{
\begin{center}
\textbf{Question 1 :} réponse $b$.
\end{center}
}\medskip

\item Pour tout intervalle où $f'(x) \geqslant 0$, $f$ est croissante. Sur le graphique, on voit que $f$ est croissante pour tout $x \in [1~;~6]$.\medskip
	
	\encadre{
\begin{center}
\textbf{Question 2 :} réponse $c$.
\end{center}
}\medskip

\item Sur $[3~;~5]$, $f$ est positive, donc $I=\displaystyle\int_3^5f(x)\dd x$ est l'aire sous la courbe entre 3 et 5.

En comptant les unités d'aires (les rectangles sur le graphique) et en procédant par élimination, on trouve : $12 < I <13$.\medskip
	
	\encadre{
\begin{center}
\textbf{Question 3 :} réponse $a$.
\end{center}
}\medskip

\item Puisque $F$ est une primitive de $f$ sur ]0~;~6], on a $F'(x)=f(x)$ pour tout $x \in ]0~;~6]$.

Par ailleurs, on sait que $\mathcal{C}$ passe par $A~(1~;~4)$ donc $f(1)=4$ soit $F'(1)=4$.

On recherche parmi les 4 fonctions proposées celle dont le nombre dérivé en 1 vaut 4.\medskip

\begin{itemize}
	\item Si $F(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+1$, alors $F'(x)=x+2$ et $F'(1)=3 \neq 4$.
	\item Si $F(x)=2+\dfrac{1}{x}$, alors $F'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ et $F'(1)=-1 \neq 4$.
	\item Si $F(x)=2x+\ln x$, alors $F'(x)=2+\dfrac{1}{x}$ et $F'(1)=3 \neq 4$.
	\item Si $F(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+\ln x$, alors $F'(x)=x+2+\dfrac{1}{x}$ et $F'(1)=4$.
\end{itemize}
	
	\encadre{
\begin{center}
\textbf{Question 4 :} réponse $c$.
\end{center}
}\medskip

\end{enumerate}

\bigskip


\exo \hfill \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill 6 points

\medskip

\textbf{Partie A}\medskip

\begin{enumerate}
	\item $f$ est dérivable sur $[0~;~6]$, donc $f'(x)=200\e^{-x-1}+(200x-300)(-1)\e^{-x-1}=\e^{-x-1}(200-200x+300)$.\medskip
	
\encadre{Pour tout $x \in [0~;~6]$, $f'(x)=(500-200x)\e^{-x-1}$.}\medskip

\item Pour tout $x \in [0~;~6]$, $\e^{-x-1}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $500-200x$ qui est positif pour tout $x \leqslant 2,5$ et négatif pour tout $x \geqslant 2,5$. D'où les variations de $f$ sur $[0~;~6]$.
\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,$f'(x)$/1,$f(x)$/2}{$0$,$2.5$,$6$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/$\scriptstyle{-300\e^{-1}+10}$,+/$\scriptstyle{200\e^{-3,5}+10}$,-/$\scriptstyle{900\e^{-7}+10}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}\medskip

\item Le maximum de la fonction $f$ est atteint pour $x=2,5$ et il vaut $f(2,5)=200\e^{-3,5}+10 \approx 16,039$.\medskip

\encadre{Le bénéfice est maximum pour 250 objets fabriqués et vendus et il est de \np{16039} \euro à l'euro près.}\medskip

\item Pour visualiser le maximum sur l'écran, on peut paramétrer la calculatrice de la manière suivante :\medskip

\encadre{
\begin{center}
$x_{\text{min}}=0 \qquad ; \qquad x_{\text{max}}=6$

$y_{\text{min}}=-5 \qquad ; \qquad y_{\text{max}}=17$
\end{center}
}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1.4)(7.7,3.6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{(200*x-300)*EXP(-x-1)+10}
\psframe[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](-.45,-1.35)(7.65,3.55)
\psframe[linewidth=8pt,framearc=.1,linecolor=lightgray](-.4,-1.3)(7.6,3.5)
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.18cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 2pt,labels=none]{-}(0,0)(0,-5)(6,17)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.965}{6}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\end{enumerate}
\textbf{Partie B}\medskip

\begin{enumerate}
	\item L'entreprise ne vend pas à perte lorsque le bénéfice devient positif, c'est-à-dire, graphiquement, lorsque la courbe est située au dessus de l'axe des abscisses. On lit $x \approx 1,1$. \medskip
	
	\encadre{L'entreprise ne vend plus à perte à partir de 110 objets fabriqués et vendus.}\medskip
	
	\item La fonction $f$ est définie continue et strictement croissante sur l'intervalle $[1~;~2]$.
	
	Par ailleurs, $f(1)=-100\e^{-2}+10 \approx -3,53 <0$ et $f(2)=100\e^{-3}+10 \approx 14,97 >0$.
	
	D'après le théorème de la valeur intermédiaire :\medskip
	
	\encadre{Il existe un réel unique $\alpha \in ]1~;~2[$ tel que $f(\alpha)=0$.}\medskip
	
	\item A l'aide des tables de la calculatrice, on trouve :
\begin{center}
$1<\alpha<2$ \\
$1,09<\alpha<1,1$ \\
$1,094 <\alpha<1,095$
\end{center}
\encadre{
\begin{center}
$\alpha = 1,09$ à $10^{-2}$ près.
\end{center}
}\medskip

\item Pour $x>\alpha$, on a $f(x) > \underbrace{f(\alpha)}_{=0}$.\medskip

\encadre{
\begin{center}
A partir de 110 objets l'entreprise ne vend pas à perte.
\end{center}
}
\end{enumerate}
\label{Lastpage}
\end{document}