%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add}
% Tapuscrit Denis Vergès
\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Métropole 22 juin 2010},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 22 juin 2010}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 22 juin 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. 

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E}) :\quad  y' + y = \text{e}^{-x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $u$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $u(x) = x\text{e}^{-x}$ est une solution de l'équation différentielle (E). 
\item On considère l'équation différentielle (E$'$) :  $y' + y = 0$. Résoudre l'équation différentielle (E$'$). 
\item Soit $v$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Montrer que la fonction $v$ est une solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si la fonction $v - u$ est solution de l'équation différentielle (E$'$). 
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle (E) telle que \\
$g(0) = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f_{k}(x) = (x + k)\text{e}^{-x}\]

où $k$ est un nombre réel donné.
 
On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthogonal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f_{k}$ admet un maximum en $x = 1- k$. 
\item On note $M_{k}$ le point de la courbe $\mathcal{C}_{k}$ d'abscisse $1- k$. Montrer que le point $M_{k}$ appartient à la courbe $\Gamma$ d'équation $y = \text{e}^{-x}$. 
\item Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l'unité sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n'apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la courbe $\Gamma$ d'équation $y = \text{e}^{-x}$ ; 
\item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}_{k}$ d'équation $y = (x + k)\text{e}^{-x}$ pour un certain nombre réel $k$ donné.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Identifier les courbes et les nommer sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie). 
		\item En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $k$ correspondante ainsi que l'unité graphique sur chacun des axes. 
	\end{enumerate} 
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{0}^2 (x + 2)\text{e}^{-x}\:\text{d}x$. Donner une interprétation graphique  de cette intégrale. 
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances}

\medskip
 
Démontrer à l'aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si 
$\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est décroissante et la différence des deux converge vers $0$. 
\item[] Propriété 1 : si deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes avec $\left(u_{n}\right)$ croissante et $\left(v_{n}\right)$ décroissante alors pour tout entier naturel $n,~ v_{n} \geqslant u_{n}$. 
\item[] Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
 \end{enumerate}
 
\emph{Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
 \begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
\item Dans les cas suivants, les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ? 

Justifier les réponses. 
	\begin{enumerate}
		\item $u_{n} = 1 - 10^{-n}$ et $v_{n} = 1 + 10^{-n}$ ;
		\item $u_{n} = \ln (n + 1)$ et $v_{n} = \ln (n + 1) + \dfrac{1}{n}$ ; 
		\item $u_{n} = 1 -  \dfrac{1}{n}$ et  $v_{n} = 1 +  \dfrac{(-1)^n}{n}$. 
	\end{enumerate}
\item On considère un nombre réel $a$ positif et les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies pour tout nombre entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = 1 - \dfrac{1}{n}$ et $v_{n} =  \ln \left( a + \dfrac{1}{n}\right)$.

Existe-t-il une valeur de $a$ telle que les suites soient adjacentes ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\dfrac{21}{40}$&$\dfrac{7}{10} \times \dfrac{6}{9}\times \dfrac{1}{3}$&$\dfrac{7}{10}\times \dfrac{7}{10}\times\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\dfrac{3^3 \times 7^2}{10^5}$&$\displaystyle\binom{5}{2}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^2 \times \left(\dfrac{7}{10}\right)^3$&$\displaystyle\binom{5}{2}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^3\times \left(\dfrac{7}{10}\right)^2$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s'il obtient le numéro 1.

Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré une boule blanche est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\dfrac{7}{60}$&$\dfrac{14}{23}$&
$\dfrac{\dfrac{7}{10\rule[-2pt]{0pt}{0pt}}\times \dfrac{1}{6}}{\dfrac{1\rule{0pt}{8pt}}{2}\times \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{4}}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On note $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. ($\lambda$ étant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l'évènement $[1 \leqslant X \leqslant 3]$ est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\text{e}^{-\lambda} - \text{e}^{-3\lambda}$&$\text{e}^{-3\lambda} - \text{e}^{-\lambda}$&$\dfrac{\text{e}^{-\lambda}}{\text{e}^{-3\lambda}}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère le point A d'affixe 2 et le cercle $\mathcal{C}$ de centre O passant par A.
 
Dans tout l'exercice on note $\alpha$ le nombre complexe $\alpha = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $\overline{\alpha}$ le nombre complexe conjugué du nombre complexe $\alpha$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\alpha^2 - 4\alpha   = 2\overline{\alpha} - 8$. 
		\item Démontrer que les points B et C d'affixes respectives $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit D un point du cercle $\mathcal{C}$ d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\theta}$  où $\theta$ est un nombre réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point E image du point D par la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.  
		\item Justifier que le point E a pour affixe $z_{\text{E}} = \alpha \text{e}^{\text{i}\theta}$.
	\end{enumerate} 
\item Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE]. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le point F a pour affixe $z_{\text{F}} = \dfrac{\alpha}{2} + \text{e}^{\text{i}\theta}$.  
		\item On admet que le point G a pour affixe $z_{\text{G}} = \dfrac{\alpha\text{e}^{\text{i}\theta} + \overline{\alpha}}{2}$.
		 
Démontrer que $\dfrac{z_{\text{G}} - 2}{z_{\text{F}} - 2} = \dfrac{\alpha}{2}$. On pourra utiliser la question 1. a. 

En déduire que le triangle AFG est équilatéral.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du côté AF du triangle AFG est minimale.
 
On admet que AF$^2 = 4 - 3 \cos \theta + \sqrt{3}\sin \theta$.
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$ par $f(x) = 4 - 3 \cos x + \sqrt{3} \sin x$.
 
Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$. Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier. 

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & -\pi & \esp & -\dfrac{\pi}{6} & \esp & \dfrac{5\pi}{6} & \esp & \pi \rule[-13pt]{0pt}{30pt}\\
% \hline
%f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
  &   \Rnode{max1}{\phantom{99}} & &  & & \Rnode{max2}{\phantom{99}} & & \\
f  & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & & & \Rnode{min1}{\phantom{99}} & & & & \Rnode{min2}{\phantom{99}}  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

Dans tout l'exercice, \Ouv{} est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4~cm).
 
On désigne par A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la transformation $T$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point d'affixe $- \overline{z} + 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les images respectives par la transformation $T$ du point A et du point $\Omega$ d'affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}$. 
		\item En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $T$. 
		\item Déterminer l'image par la transformation $T$ du cercle 
		$\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.
	\end{enumerate} 
\item $\mathcal{C}'$ désigne le cercle de centre O$'$ d'affixe 2 et de rayon 1. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point A$'$ appartenant au cercle $\mathcal{C}'$ tel que : 
		$\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}'\text{A}'}\right) = \dfrac{\pi}{3}\quad [\text{modulo}~ 2\pi]$.
		\item À tout point $M$ du cercle $\mathcal{C}$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ du cercle $\mathcal{C}'$ d'affixe $z'$ tel 
que: $\left(\vect{\text{O}M},~\vect{\text{O}'M'}\right) = \dfrac{\pi}{3}\quad [\text{modulo}~ 2\pi]$.
 
Déterminer le module et un argument de $\dfrac{z' - 2}{z}$. \\En déduire que 
$z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} z + 2$.
		\item Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r$ qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} z + 2$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
À tout point $M$ du plan, on associe le point $M_{1}$ milieu du segment $[MM']$.

Quel est le lieu géométrique du point $M_{1}$ lorsque $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1 (Exercice 1)}

(\textbf{à rendre avec la copie})

\vspace{1,5cm}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3.5,-2.5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-1.6}{5}{1 2.71828 x exp div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-2.25}{5}{x 2 add  2.71828 x exp div}
\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=-3+1}{8}{\psline(\n,0)(\n,-0.1)}
\multido{\n=-2+1}{7}{\psline(-0.1,\n)(0,\n)}
\end{pspicture}

\newpage
\textbf{ANNEXE 2 (Exercice 4)}

(\textbf{à rendre avec la copie})

\end{center}

\vspace{2cm}

%\setlength{\parindent}{-1cm}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10,arrowscale=1.5]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){2}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](2,0)(1,1.732)(1,-1.732)(-1.25,1.57)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2,0){A} \uput[ur](1,1.732){B} \uput[dr](1,-1.732){C} \uput[ul](-1.25,1.57){D} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\end{pspicture}
\end{document}