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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.--I.G.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G.~\decofourright\\Métropole juin 1999}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Un club de loisirs organise une sortie à laquelle participeront cent personnes.

Pour la pause du matin le responsable de la journée prévoit d'emporter au moins deux croissants par personne, au moins deux confiseries par personne et au moins cent cinquante boissons.
  
Un premier fournisseur lui propose des lots A comprenant trois croissants, une confiserie et une boisson pour un prix de trente francs.
 
Un second fournisseur lui propose des lots B comprenant un croissant, deux confiseries et une boisson pour un prix de vingt-cinq francs.
 
On se propose de déterminer le nombre $x$ de lots A et le nombre $y$ de lots B à acheter pour que le coût soit minimum.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les contraintes sous la forme d'inéquations portant sur $x$ et $y$. 
\item À tout couple $(x~;~y)$ de nombres réels, on associe le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ dans un repère orthonormal \Oij{} ; (on choisira un cm pour dix unités). 

Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient le système :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x		& \geqslant	&0\\
y		& \geqslant	&0\\ 
3x + y	& \geqslant &200\\
x + 2y	& \geqslant	&200\\
x + y	&\geqslant	&150
\end{array}\right.\] 

Hachurer la partie du plan qui ne convient pas. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la dépense occasionnée par l'achat de $x$ lots A et de $y$ lots B.
		\item Tracer dans le repère précédent la droite correspondant à une dépense de \np{4950}~francs. 
		\item Déterminer graphiquement le nombre de lots A et de lots B à acheter pour que la dépense soit minimale. 
		
Quelle est cette dépense ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un sac contient cinq boules, indiscernables au toucher, portant respectivement les nombres 1,\: 2,\: 3,\: 4\: et 5.
 
On tire une boule du sac ; on lit le nombre inscrit sur cette boule et on la remet dans le sac. On répète cette opération une deuxième fois. 

Déterminer le nombre de tirages possibles.
 
Déterminer la probabilité des évènements suivants :
 
A : \og la somme des 2 nombres lus est égale à 10 \fg 

B : \og la somme des 2 nombres lus est égale à 1 \fg
 
C : \og la somme des 2 nombres lus est égale à 6 \fg 

D : \og la même boule est tirée deux fois de suite\fg 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = - x^2 - 2 + 2\ln x\]

 dont on donne ci-dessous la représentation graphique. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-6)(3,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=3]{->}(0,0)(-2,-6)(3,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=3]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.136}{2.385}{x ln 2 mul x dup mul sub 2 sub}
\psline[linestyle=dashed](0,-3)(1,-3)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}

Par lecture graphique : 

\begin{enumerate}
\item donner le tableau de variations de $g$, 
\item déterminer le signe de $g(x)$ pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
e 
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = - x + 5 - 2\dfrac{\ln x}{x}.\]
 
On désigne par $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 1~cm).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. 
		\item Vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. 
		\item En déduire le signe de $f'$, puis le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Tracer $C$ dans le repère \Oij.
 
On précisera les valeurs décimales approchées de $f(x)$ à $0,01$ près pour les valeurs entières de $x$ allant de $1$ à $10$ inclus. 
\item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[h(x) = (\ln x)^2.\]
 
Calculer la dérivée de $h$. En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item Mettre en évidence sur le dessin la partie $E$ du plan limitée par la courbe $C$, les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$, et l'axe des abscisses.
 
Calculer l'aire de $E$ en cm$^2$.

On donnera sa valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à $0,01$ près. 
\end{enumerate}
\end{document}