%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} % Tapuscrit : Denis Vergès % Corrigé : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-node,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-0,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} % Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\rceil \hspace{-4.5pt} \rfloor}% crocher gauche \newcommand{\cd}{\lceil \hspace{-4.5pt} \lfloor}% crochet droit \renewcommand{\d}{\,\text{d}\,}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}% le i des complexes \renewcommand{\(}{\left(}% parenthèse gauche \renewcommand{\)}{\right)}% parenthèse droite \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal \newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent \newcommand{\limit}[2]{\lim\limits_{#1 \to #2}}% limite \newcommand{\integ}[2]{\displaystyle\int_{#1}^{\,#2}}% intégrale %\newcommand{\t}[1]{\text{#1}} \newcommand*{\point}[4]{ \psdots(#1,#2) \uput[#3](#1,#2){#4} } % permet de placer un point et de marquer son nom en même temps % abscisse ordonnée emplacement et nom \begin{document}% \section{début} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat ES/L } \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small 13 septembre 2013} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \vspace*{-0.7cm} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Métropole--La Réunion~\decofourright\\[3pt] 13 septembre 2013\\[8pt] Corrigé}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}% \section{exercice 1} \textbf{Commun à tous les candidats} \textbf{Partie A}% \subsection{partie A} \medskip \begin{enumerate} \item L'arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : \medskip \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,levelsep=4cm,labelsep=2pt, nodesepB=2pt]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$H$}\taput{$0,65$}} { \TR{$E$}\taput{\red $0,3$} \TR{$\overline{E}$}\tbput{\red $1-0,3=0,7$} } \pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$F$}\tbput{\red $1-0,65=0,35$}} { \TR{$E$}\taput{$0,6$} \TR{$\overline{E}$}\tbput{\red $1-0,6=0,4$} } } \end{center} \bigskip \item \begin{enumerate} \item %Traduire par une phrase l'évènement $E \cap F$ et calculer sa probabilité. L'événement $E \cap F$ est \og{}la personne choisie écoute les explications du démarcheur et est une femme.\fg. D'après les propriétés de l'arbre pondéré: $P\(E \cap F\) = P\(F \cap E\) = P\(F\) \times P_F\(E\)= 0,35 \times 0,6= 0,21$ \item La probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est $P\(E\)$. D'après la formule des probabilités totales: $P\(E\)= P\(H \cap E\) + P\(F \cap E\) = P\(H\) \times P_H\(E\) + P\(F\) \times P_F\(E\) \\ \phantom{P\(E\)} = 0,65 \times 0,3 + 0,35 \times 0,6 = 0,195 + 0,21 = 0,405$ \item Le démarcheur s'adresse à une personne qui l'écoute; la probabilité que ce soit un homme est $P_E\(H\)$. \smallskip $P_E\(H\) = \dfrac{P\(E \cap H\)}{P\(E\)} = \dfrac{0,65 \times 0,3}{0,405} \approx 0,48$ \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B}% \subsection{partie B} On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné. \begin{enumerate} \item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Les relevés réalisés au cours des premières journées permettent de constater que 12\,\% des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait, donc la probabilité qu'une personne interrogée souscrive un nouveau forfait est $0,12$. Chaque employé de l'opérateur effectue $60$ appels par jour. On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques. La variable aléatoire $X$ qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné suit donc la loi binomiale de paramètres $n=60$ et $p=0,12$. \item La probabilité que l'employé obtienne $5$~souscriptions est $P\(X=5\)$. Pour une variable aléatoire $X$ suivant la loi $\mathcal B\(n\,,\, p\)$ on sait que \hfill $P\(X=k\)=\ds\binom{n}{k}\,p^k \(1-p\)^{n-k}$\hfill\, Donc $P\(X=5\)=\ds\binom{60}{5}\,0,12^5 \(1-0,12\)^{60-5} \approx 0,120$ \item La probabilité que l'employé obtienne au moins une souscription un jour donné est $P\(X\pg 1\)$. $P\(X\pg 1\) = 1 - P\(X<1\) = 1-P\(X=0\)$. $P\(X=0\)=\ds\binom{60}{0}\,0,12^0 \(1-0,12\)^{60-0} \approx \np{0,0005}$; donc $P\(X\pg 1\) \approx \np{0,9995}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}% \section{exercice 2 non spé} \textbf{Enseignement obligatoire -- L} \emph{Remarque: on ne demandait pas de justification dans cet exercice.} \begin{enumerate} \item Réponse \textbf{c.} Sur l'intervalle $]1\:; 3[$ la courbe est située au dessus de toutes ses tangentes. \item Réponse \textbf{d.} Par lecture graphique, on voit que l'ordonnée à l'origine de la droite $D$ est 5, et que son coefficient directeur est $-3$. \item Réponse \textbf{b.} Sur $]1\:; 2[$, la fonction $f$ est convexe donc $f''\(x\) >0$ donc $f'$ est croissante. \item Réponse \textbf{b.} Comme la fonction $f$ est positive sur $[0\:; 2]$, le nombre $\integ{0}{2}\,f\(x\) \d x$ est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$; en comptant les carreaux, on voit que cette aire est comprise entre 3 et 6. \item Réponse \textbf{b.} Prenons $a$ et $b$ tels que $-1 < a < b < 2$; on sait que $F\(b\)- F(a) = \integ{a}{b}\,f\(x\) \d x$. \\ Sur l'intervalle $]-1~;~2[$ la fonction $f$ est positive et $a0$ ce qui équivaut à $F\(a\) < F\(b\)$ donc la fonction $F$ est croissante sur $]-1~;~2[$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}% \section{exercice 2 spé} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip %\textbf{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.} % %\medskip Un lycée d'une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses élèves dans leurs choix d'orientation post-bac. \bigskip \textbf{PARTIE A}% \subsection{partie A} \begin{enumerate} \item Sachant qu'on désigne par E (étranger) et F (France) les deux sommets, le graphe probabiliste associé à la situation décrite dans le texte est: \hspace*{1cm} \begin{pspicture}(-1.5,-0.8)(6,1.2) \Rnode{E}{E} \hskip 4cm \Rnode{F}{F}% définition des sommets \psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}% paramètres \ncarc{->}{E}{F} \Aput{0,20}% arc pondéré partant de E \ncarc{->}{F}{E} \Aput{0,10}% arc pondéré partant de F \nccircle[angleA=90]{->}{E}{4mm} \Bput{0,80}% boucle autour de E \nccircle[angleA=-90]{->}{F}{.4cm} \Bput{0,90}% boucle autour de F \end{pspicture} \item %Donner la matrice de transition $M$ associée en prenant les sommets dans l'ordre E puis F. La matrice de transition $M$ associée fait passer de l'état $n$ à l'état $n+1$: \\ $P_{n+1} = P_n \times M \iff \begin{pmatrix}e_{n+1} & l_{n+1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}e_{n} & l_{n} \end{pmatrix} \times M $. D'après le graphe, on peut dire que: $\left\lbrace \begin{array}{l @{\ =\ } l} e_{n+1} & 0,8\, e_n + 0,1\,l_n\\ l_{n+1} & 0,2\,e_n + 0,9\,l_n \end{array} \right. $ donc la matrice de transition est: $M= \begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}$ \item %Montrer qu'en 2011, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant à l'étranger est de $30,475$\,\%. $2011=2008+3$ donc pour 2011, $n$ correspond à 3; on cherche $e_3$. $P_1=P_0 \times M$; $P_2=P_1 \times M = P_0 \times M \times M = P_0 \times M^2$; \\$P_3 = P_2 \times M = P_0 \times M^2 \times M = P_0 \times M^3$. \`A la calculatrice, on trouve $P_3 = \begin{pmatrix} \np{0,30475} & \np{0,69525} \end{pmatrix}$ donc $e_3 = \np{0,30475}$; on peut en déduire que, en 2008, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant à l'étranger est $30,475\,\%$. \item L'état stable correspond à la matrice ligne $\begin{pmatrix} e & l \end{pmatrix}$ telle que $\left\lbrace \begin{array}{l} \begin{pmatrix} e & l \end{pmatrix} \times M = \begin{pmatrix} e & l \end{pmatrix}\\ e+l=1 \end{array} \right. $ $\begin{pmatrix} e & l \end{pmatrix} \times M = \begin{pmatrix} e & l \end{pmatrix} \iff \left\lbrace \begin{array}{l @{\ =\ } l} 0,8\,e + 0,1\,l & e\\ 0,2\,e + 0,9\,l & l \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r @{\ =\ } l} -0,2\,e + 0,1\,l & 0\\ 0,2\,e - 0,1\,l & 0 \end{array} \right. \iff 0,2\,e = 0,1\,l \iff 2\,e = l$ $\left\lbrace \begin{array}{r @{\ =\ } l} 2\,e & l\\ e + l & 1 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r @{\ =\ } l} 2\,e & l\\ e + 2\,e & 1 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r @{\ =\ } l} l & \frac{2}{3}\\[5pt] e & \frac{1}{3} \end{array} \right.$ L'état stable est $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$. Cela signifie qu'à long terme, un tiers des étudiants partent travailler à l'étranger tandis que deux tiers restent travailler en France. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B}% \subsection{partie B} %\medskip % %\parbox{0.45\linewidth}{Pour clôturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d'organiser un concert. %Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée. %Les membres du groupe ont établi le graphe ci-contre. Les sommets représentent les différents lycées et les arêtes, les rues reliant les établissements. Les arêtes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs, exprimées en minutes.}\hfill %\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.6cm} %\begin{center} %\begin{pspicture}(10,9) %%\psgrid %\cnodeput(0.5,5.5){A}{A} %\cnodeput(2.5,8.5){B}{B} %\cnodeput(4.5,7){C}{C} %\cnodeput(2.5,2){D}{D} %\cnodeput(6.5,3.5){E}{E} %\cnodeput(8.2,8.5){F}{F} %\cnodeput(9.5,0.5){G}{G} %\ncline{A}{B}\ncput*{16}\ncline{A}{D}\ncput*{30}\ncline{G}{D}\ncput*{60}\ncline{G}{F}\ncput*{28}\ncline{B}{F}\ncput*{40} %\ncline{B}{D}\ncput*{36}\ncline{C}{D}\ncput*{32}\ncline{C}{E}\ncput*{15}\ncline{C}{F}\ncput*{27}\ncline{E}{F}\ncput*{30} %\ncline{D}{E}\ncput*{29}\ncline{G}{E}\ncput*{33} %\end{pspicture} %\end{center}} \begin{enumerate} \item %Existe- t -il un trajet d'un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule ? %Si oui, donner un tel trajet, si non expliquer pourquoi. On cherche un trajet d'un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule, c'est-à-dire une chaîne eulérienne du graphe proposé dans le texte. On sait qu'il existe une chaîne eulérienne dans un graphe convexe si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2. Ce graphe a 4 sommets de degré impair : B (de degré 3), C (de degré 3), D (de degré 5) et G (de degré 3). Donc il n'y a pas de trajet d'un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule. \item %Arrivé en retard au lycée A, un membre du groupe veut trouver le chemin le plus rapide pour rejoindre ses camarades au lycée G. Quel trajet peut-il prendre ? Quelle est alors la durée du parcours ? On applique l'algorithme de Dijkstra pour trouver le plus court chemin reliant A à G: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.1} \def\esp{0.3cm} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \hspace*\esp A \hspace*\esp & \hspace*\esp B \hspace*\esp & \hspace*\esp C \hspace*\esp & \hspace*\esp D \hspace*\esp & \hspace*\esp E \hspace*\esp & \hspace*\esp F \hspace*\esp & \hspace*\esp G \hspace*\esp & on garde \\ \hline 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & \\ \hline & \fcolorbox{yellow}{yellow}{16} & $\infty$ & 30 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & B(A) \\ \hline & & $\infty$ & \sout{52} & $\infty$ & 56 & $\infty$ & \\ & & & \fcolorbox{yellow}{yellow}{30} & & & & D(A) \\ \hline & & 62 & & 59 & \fcolorbox{yellow}{yellow}{56} & 90 & F(B) \\ \hline & & \sout{83} & & \sout{86} & & \sout{90} & \\ & & 62 & & \fcolorbox{yellow}{yellow}{59} & & 84 & E(F)\\ \hline & & \sout{74} & & & & \sout{92} & \\ & & \fcolorbox{yellow}{yellow}{62} & & & & 84 & C(E)\\ \hline & & & & & & \fcolorbox{yellow}{yellow}{84} & G(F)\\ \hline \end{tabular} } \end{center} \medskip Le trajet le plus rapide reliant A à G est donc: A $\stackrel{16}{\longrightarrow}$ B $\stackrel{40}{\longrightarrow}$ F $\stackrel{28}{\longrightarrow}$ G Il a une durée de $16 + 40 + 28 = 84$ minutes soit 1 heure et 24 minutes. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}% \section{exercice 3} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{PARTIE A}% \subsection{partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-10~;~30]$ par $f(x) = 5 + x \text{e}^{0,2x - 1}$. \begin{enumerate} \item %Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-10~;~30]$: $f'\(x\)=1\times \e^{0,2x-1} + x \times 0,2 \times \e^{0,2x-1} = \(0,2x+1\)\e^{0,2x-1}$ \item %En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[-10~;~30]$. Pour tout réel $x$, $\e^{0,2x-1}>0$ donc $f'\(x\)$ est du signe de $0,2x + 1$. $0,2x + 1 > 0 \iff 0,2x > -1 \iff x > \dfrac{-1}{0,2} \iff x > -5$ \begin{tabular}{@{} l l} Donc la fonction $f$ est: & \textbullet $\quad$ strictement décroissante sur $[-10~;~-5]$ \\ & \textbullet $\quad$ strictement croissante sur $[-5\:;\:30]$ \\ \end{tabular} \item %Justifier que l'équation $f(x) = 80$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~20] et donner un encadrement de $\alpha$ à $0,1$ près. $f\(0\)= 5$ et $f\(20\) \approx 406,7 > 80$ La fonction $f$ est strictement croissante sur $[-5~;~30]$ donc sur $[0~;~20] \subset [-5~;~30]$. On établit le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~20]$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.2} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres $\begin{array}{|c | c c c |} \hline x & 0 & \hspace*{2cm} & 20\\ \hline & & & \Rnode{max}{406,7} \\ f\(x\) & & & \\ & \Rnode{min}{5} & & \ncline{->}{min}{max} \rput(-1.8,0.55){\Rnode{sol}{\fcolorbox{white}{white}{\red 80}}} \rput(-1.8,1.6){\Rnode{alpha}{\red \alpha}} \ncline[linecolor=red, linestyle=dotted]{alpha}{sol} \\ \hline \end{array}$} \end{center} Donc l'équation $f\(x\)=80$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~20]$. $\left. \begin{array}{@{} l} f\(13\) \approx 69,4 < 80\\ f\(14\) \approx 89,7 > 80 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \alpha \in [13~;~14] $; $\left. \begin{array}{@{} l} f\(13,5\) \approx 78,9 < 80\\ f\(13,6\) \approx 80,9 > 80 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \alpha \in [13,5~;~13,6] $ \item Soit $F$ la fonction définie sur $[-10~;~30]$ par $F(x) = 5(x - 5) \text{e}^{0,2x - 1} + 5x$. On admet que $F$ est une primitive de $f$ dans l'intervalle $[-10~;~30]$. \begin{enumerate} \item %Calculer la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_{5}^{10} f(x)\:\text{d}x$. D'après le cours: $I = \displaystyle\int_{5}^{10} f(x)\:\text{d}x = F\(10\)-F\(5\)$ $F\(10\)=5\(10-5\)\e^{0,2\times 10-1}+5\times 10 = 25 \e+50$;\\ $F\(5\)=5\(5-5\)\e^{0,2\times 5-1}+5\times 5 = 25$ Donc $I=\(25 \e+50\)-25 = 25 \e + 25$ \item %En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [5~;~10]. (On donnera une valeur arrondie au centième.) La valeur moyenne de la fonction $f$ entre 5 et 10 est\\ $\dfrac{1}{10-5} \integ{5}{10} f\(x\) \d x = \dfrac{1}{5}\,I$. Donc la valeur moyenne vaut: $\dfrac{25\e +25}{5} = 5\e + 5 \approx 18,59$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B}% \subsection{partie B} \begin{enumerate} \item %Calculer $f(0)$ et interpréter le résultat. $f\(0\)=5$ correspond au nombre de magasins existant en $2010+0$, c'est-à-dire en 2010. \item %En utilisant la partie A, indiquer à partir de quelle année la chaîne possédera 80 boutiques. La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\:; 20]$ et $f\(\alpha\)=80$; donc si $x>\alpha$, alors $f\(x\)>80$. Or $\alpha \approx 13,5$, donc à partir de $x=14$, $f\(x\)$ est supérieur à 80. La chaîne possèdera 80 boutiques à partir de l'année $2010+14$ soit 2024. \item %Chaque magasin a un chiffre d'affaires journalier moyen de \np{2500}~euros. %Si on considère qu'un magasin est ouvert $300$~jours par an, calculer à la centaine d'euros près, le chiffre d'affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l'ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020. Les années 2015 et 2020 correspondent à $x=5$ et $x=10$; dans l'intervalle $[5~;~10]$ on a vu que la valeur moyenne de la fonction $f$ était de $18,59$ ce qui veut dire qu'on peut estimer que la chaîne possédait en moyenne $18,59$ magasins par an sur cette période. Chaque magasin est ouvert 300 jours par an et a un chiffre d'affaires journalier moyen de \np{2500}\,\euro{}, le chiffre d'affaires annuel moyen peut être estimé à: $18,59 \times 300 \times \np{2500} = \np{13942500}$ \euro \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}% \section{exercice 4} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{enumerate} \item% Quel est le nombre d'exposants attendu pour 2013 ? Le nombre d'exposants en 2013 est $u_1$. On prend 90\,\% de $u_0=110$, ce qui donne 99 et on ajoute 30, ce qui donne 129. Le nombre d'exposants attendus en 2013 est 129. \item% Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = 0,9u_{n} + 30$. Pour déterminer $u_{n+1}$, on prend 90\,\% de $u_n$; prendre 90\,\% revient à multiplier par $0,9$. Puis on ajoute 30 au résultat, ce qui donne $0,9\,u_n+30$. Donc, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=0,9\,u_n + 30$. \item On complète l'algorithme pour qu'il permette de déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'exposants dépasse 220: \medskip \begin{tabular}{|l l} \textbf{Variables :} &$u$ est un nombre réel \\ &$n$ est un nombre entier naturel\\ &\\ \textbf{Initialisation :} &Affecter à $u$ la valeur {\red 110}\\ & Affecter à $n$ la valeur 2012 \\ &\\ \textbf{Traitement :}& Tant que {\red $u < 220$}\\ &\hspace{1.25cm}Affecter à $u$ la valeur {\red $0,9\,u+30$}\\ &\hspace{1.25cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ &\\ \textbf{Sortie :} &Afficher {\red $n$}\\ \end{tabular} \medskip \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = u_{n} - 300$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$. $v_{n+1}=u_{n+1}-300 = 0,9\,u_n + 30 - 300 = 0,9\,u_n -270$ $v_{n} = u_{n} - 300 \iff u_n=v_n+300$ Donc $v_{n+1}=0,9\(v_n+300\) -270 = 0,9\,v_n +270 - 270 = 0,9\,v_n$ $v_0=u_0 - 300 = 110 - 300 = -190$ On a donc démontré que la suite $\(v_n\)$ était géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $v_0=-190$. \item %En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = - 190 \times 0,9^n + 300$. D'après le cours, on peut en déduire que, pour tout $n$: \\$v_n=v_0\times q^n = -190 \times 0,9^n$. Or $u_n=v_n+300$ donc, pour tout $n$, $u_n=-190\times 0,9^n +300$. \item %Déterminer le résultat recherché par l'algorithme de la question 3 en résolvant une inéquation. L'algorithme permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n>220$. On résout donc l'inéquation $u_n>220$: $ \begin{array}{@{} l @{\ \iff\ } l @{\ \iff\ } l } u_n>220 & -190\times 0,9^n +300 >220 & 80 > 190\times 0,9^n \\ & \dfrac{80}{190} > 0,9^n & \ln\(\dfrac{80}{190}\) > \ln\(0,9^n\) \\[8pt] & \ln\(\dfrac{80}{190}\) > n\,\ln\(0,9\) & \dfrac{\ln\(\dfrac{80}{190}\)}{\ln\(0,9\)} < n\\ \end{array}$ \emph{Dans cette succession d'équivalences, on a utilisé le fait que la fonction $\ln$ était strictement croissante, puis le fait que $\ln \(0,9\)$ était négatif ce qui faisait changer le sens de l'inégalité quand on a divisé par $\ln\(0,9\)$.} \smallskip Or $\dfrac{\ln\(\dfrac{80}{190}\)}{\ln\(0,9\)} \approx 8,2$ donc le résultat recherché par l'algorithme est $n=9$. \emph{\`A la calculatrice, on trouve $u_8 \approx 218,2$ et $u_9 \approx 226,4$.} \end{enumerate} \item% L'organisateur décide d'effectuer une démarche auprès de la mairie pour obtenir assez de place pour ne jamais refuser d'inscriptions. Il affirme au maire qu'il suffit de lui autoriser $300$ emplacements. A-t-il raison de proposer ce nombre ? Pourquoi ? La suite $\(v_n\)$ est géométrique de raison $0,9$; or $-1<0,9 < 1$ donc la suite $\(v_n\)$ est convergente et a pour limite 0. Comme pour tout $n$, $u_n=v_n+300$, on peut dire que la suite $\(u_n\)$ est convergente et a pour limite 300. De plus, en calculant quelques termes de la suite $\(u_n\)$, on peut conjecturer que cette suite est croissante. La suite $\(u_n\)$ est croissante et admet pour limite 300, donc tous ses termes sont inférieurs à 300. L'organisateur a donc raison de dire au maire qu'avec 300 emplacements, il aura assez de place pour ne pas refuser d'inscriptions. \end{enumerate} \end{document} \newpage %\section{graphique exercice 3} \begin{center} \psset{xunit=0.2cm, yunit=0.02cm} \def\xmin {-15} \def\xmax {35} \def\ymin {-50} \def\ymax {520} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=0pt 0pt, labels=none]{->}% (0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\uput[dl](0,0){$O$} \multido{\i=-5+5}{9}{\uput[d](\i,0){\i}} \multido{\i=0+50}{11}{\uput[l](0,\i){\i}} %\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) %\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$} %\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$} \def\f{5 x 2.7183 .2 x mul 1 sub exp mul add}% définition de la fonction \psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f} \end{pspicture*} \end{center} \end{document}