\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small Métropole} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole juin 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau suivant donne l'indice mensuel des dépenses d'assurance maladie d'août 94 à juin 95 (tendances observées à fin juillet 1995 - base 100 janvier 1990). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{6}{>{\small \centering \arraybackslash}X |}}\hline Mois &Août 94&Octobre 94 &Déc. 94&Février 95 &Avril 95 &Juin 95\\ \hline Rang du mois $x_i$ &1 &3 &5 &7 &9 &11\\ \hline Indice $y_i$ & 123,4 & 125,9 &127,5 &127,9 &129 &131,4\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\scriptsize(Source : Département statistique de la Caisse Nationale de l'Assurance Maladie des Travailleurs Salariés).} \end{tabularx} \end{center} \emph{Pour tout l'exercice, les détails des calculs statistiques ne sont pas demandés. Les résultats seront arrondis avec deux chiffres après la virgule.} On a représenté sur le document 1 de l'annexe ci-jointe le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à la série statistique dans un repère orthogonal. G désigne le point moyen du nuage. On veut réaliser un ajustement affine de ce nuage de points. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point G et placer ce point sur le graphique. \item \emph{Le modèle étudié dans cette question sera appelé \og droite de Mayer\fg{}}. \begin{enumerate} \item G$_{1}$ désigne le point moyen des trois premiers points du nuage et G$_{2}$ celui des trois derniers points. Déterminer les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$. \item Déterminer l'équation réduite de la droite (G$_{1}$G$_{2})$ sous la forme $y = $A$x$ + B. \item Tracer la droite (G$_{1}$G$_{2})$ sur le graphique précédent. \item En utilisant la calculatrice, déterminer la somme des résidus pour cet ajustement affine : \[S_{1} = \displaystyle\sum_{i=1}^6 (y_{i}- \text{A}x_{i} - \text{B})^2.\] \end{enumerate} \item \emph{Le deuxième modèle proposé est celui des moindres carrés}. La calculatrice donne : $\bullet~$ l'équation de la droite (D) d'ajustement de $y$ en $x$ : \[y = 0,71x + 123,26.\] $\bullet~$ la somme des résidus pour cet ajustement S$_{2} = 1,7$ (arrondie avec un chiffre après la virgule). \begin{enumerate} \item Des droites (D) et (G$_{1}$G$_{2})$ quelle est celle qui réalise le meilleur ajustement affine ? Justifier. \item Tracer (D) sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quels sont les indices mensuels que l'on pouvait prévoir en utilisant l'ajustement affine par la méthode des moindres carrés (question 3) pour les mois cités dans le tableau ci-dessous ? \item Recopier le tableau ci-dessous et le compléter. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois & nov. 95 &déc. 95 &janvier 96\\ \hline Indices prévisionnels calculés par l'ajustement affine des \emph{moindres carrés} & & & \\ \hline Tendances réellement observées &134,3 &133,4 &133,5 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quel commentaire peut-on faire ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \emph{Annexe Document $1$ à compléter et à rendre avec la copie} \bigskip \psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm} \begin{pspicture}(-2,0)(12,9) \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)} \multido{\n=0+1}{13}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,0)(\n,9)} \psaxes[Oy=120,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(12,9) \psdots[dotscale=1.3](1,1.4)(3,2.9)(5,4.5)(7,4.9)(9,6)(11,8.4) \rput(10.5,-1){Rang du mois} \rput{90}(-1.3,8){indice} \rput(12,-0.3){$x$} \rput(-0.5,9){$y$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{2cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ dans le repère \Oij. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. La droite $(T_{A})$ est la tangente au point $A$ d'abscisse 0. La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1. Enfin, la fonction $f$ est croissante sur $[ 1~;~+ \infty[$ et sa limite en $+ \infty$ est $+ \infty$. \begin{center} \psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(5,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] \psline(0,2)(5,2) \psline(1,0)(1,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(0,2)(1.333,-2) \rput(1.5,-1.5){(T$_{\text{A}}$)} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[ur](0,2){A} \psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.5,1)(1.5,1) \psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,2)(0.3333,1)(0.75,1)(1,1) \psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](1,1)(1.25,1)(1.42,1)(3,2) \psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](3,2)(4,2.754)(4.3,3)(5,3.7) \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \begin{enumerate} \item À partir des informations portées sur le graphique et complétées par les précisions précédentes, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous : \[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 & 1\\ \hline $f(x)$ & & \\ \hline $f'(x)$ & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Donner le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$, complété par la limite en $+ \infty$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $g$ inverse de la fonction c'est-à-dire $g = \dfrac{1}{f}$. On note $g'$, la fonction dérivée de $g$. \begin{enumerate} \item Déterminer $g(0),~g(1),~g(3)$. \item Quel est le sens de variation de la fonction $g$ sur $[0~;~ +\infty[$ ? Justifier la réponse donnée. \item Déterminer les valeurs $g'(0),~g'(1)$. \item Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$. \end{enumerate} \item On souhaite traduire graphiquement les informations obtenues pour la fonction $g$. Tracer une courbe qui satisfait aux résultats obtenus à la question 2, dans un repère orthonormal (unité 2~cm) sur une feuille de papier millimétré ; le tracé des tangentes aux points d'abscisses 0 et 1 devra apparaître sur la figure. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk{} représenté sur le document 2 de l'annexe ci-jointe. Le plan (R) est représenté par ses traces sur les plans de coordonnées ; il a pour équation : $x + z = 2$. \begin{enumerate} \item On donne les points A, B, C définis par leurs coordonnées respectives : A(6~;~0~;~0), B(0~;~3~;~0) et C(0~;~0~;~6). \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, C dans le repère \Oijk et tracer le triangle ABC. \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$. \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées (1 ~;~ 2 ~; ~1). Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan (P) passant par A, B et C. \item Vérifier que le plan (P) a pour équation $x + 2y + z = 6$. \end{enumerate} \item On a placé dans le repère les points G, E et F à coordonnées entières. Le point G est situé sur l'axe (O~ ;~ $\vect{\jmath}$) le point E dans le plan \Oij{} et le point F dans le plan $\left(\text{O} ~;~\vect{\jmath}, ~\vect{k}\right)$. Le plan (Q) passant par les points G, E et F est parallèle au plan $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$. \begin{enumerate} \item Donner l'équation du plan (Q). \item Donner les coordonnées des points G, E et F. \item Parmi les points E, F et G, quels sont ceux situés dans le plan (P) ? \item Quelle est la nature de l'ensemble des points M dont les coordonnées ($x~;~y~;~z$) vérifient le système \[\left\{ \begin{array}{l c l} y &= & 2\\ x + 2y + z & = & 6. \end{array}\right.\] \item Représenter cet ensemble sur l'annexe 2 ci-jointe. \end{enumerate} \item On considère le système S de trois équations à trois inconnues $x, y, z$ : \end{enumerate} \[\left\{ \begin{array}{c c c c l} x+ & &z &= &2\\ & y & & = & 2\\ x &+ 2y &+ z & = & 6. \end{array}\right.\] Quel est l'ensemble des points du plan R dont les coordonnées sont les solutions du système S ? \newpage \begin{center} Document 2 à compléter et à rendre avec la copie \end{center} \hspace*{-0.5cm} \psset{xunit=5mm,yunit=5mm} \begin{center} \begin{pspicture}(22,10) \psline[linewidth=1.25pt](4,4)(22,4) \psline[linewidth=1.25pt](4,4)(4,10) \psline[linewidth=1.25pt](4,4)(0,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,4)(6,4) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,4)(4,6) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,4)(3,3) \psline(2,2)(4,8) \psline(4,8)(22,8) \psline(2,2)(22,2) \rput(3.5,4.5){O} \rput(6.5,1.5){E} \rput(8.5,8.5){F} \rput(18.5,7.5){(R)} \rput(4,3){$\vect{\imath}$} \rput(4.5,5){$\vect{k}$} \rput(5.5,3){$\vect{\jmath}$} \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabelcolor=white] \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points} \medskip On a tracé dans un repère orthonormal \Oij{} la courbe représentative ($\mathcal{C}$) de la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~4] par : \[f(x) = x - \dfrac{1}{2} - \ln x.\] \emph{Dans tout le problème, on donnera les résultats arrondis à} $10^{-3}$. \vspace{0,5cm} $\star$ \textbf{A. - Étude théorique liée à la fonction \boldmath $f$ \unboldmath} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~4]. \item Étudier la limite de $f$ en $0$. \item Donner le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Soit (Z) la partie du plan délimitée par la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'équations : $y = \dfrac{1}{2},~x = 1$ et $x = 3$. \begin{enumerate} \item Justifier que l'on a $f(x) \geqslant \dfrac{1}{2}$ sur ] 0~;~4 ] et exprimer à l'aide d'une intégrale (que l'on n'essaiera pas de calculer dans cette question) l'aire $\mathcal{A}_{z}$, en unités d'aire, de la partie (Z) du plan. \item Soit $g$ la fonction définie sur ]0~;~4] par $g(x) = x \ln x - x$. Calculer $g'(x)$. \item En déduire la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}_{z}$, en unités d'aire. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} $\star$ \textbf{B. - Probabilité et jeu} \medskip Au cours de l'élaboration d'une phase d'un jeu vidéo inspiré du golf, on cherche à évaluer la probabilité de gagner. L'écran est le carré AOFB. Les sommets du carré ont pour coordonnées : \centerline{A(0~;~4)\quad O(0~;~0)\quad F(4~;~0)\quad B(4~;~4).} La courbe ($\mathcal{C}$) partage l'écran en deux parties : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item la partie de l'écran située strictement au-dessus de la courbe représente une mare et elle est notée (M) ; \item la partie de l'écran située au-dessous de la courbe représente le terrain de jeu et elle est notée (T). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} La partie (Z) définie au paragraphe \textbf{A} est donc incluse dans (T). \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, le jeu consiste à simuler le lancer d'une balle. On admet que la probabilité d'atteindre une partie de l'écran est donnée par : \[\dfrac{\text{Aire de la partie de l'écran considérée}}{\text{Aire du carré AOFB}}\] Cette probabilité est indépendante de l'unité graphique choisie. Déterminer, par le calcul, la probabilité que la balle atteigne la zone (Z). \item Dans cette question, le jeu consiste à simuler trois lancers successifs et indépendants ; on admet que, pour chaque lancer, la probabilité d'atteindre (Z) est de $0,044$. On gagne lorsque deux au moins des trois balles lancées ont atteint la partie (Z). Calculer la probabilité de gagner. On pourra s'aider d'un arbre et on fera figurer le détail des calculs sur la copie. \vspace{1cm} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(4,4) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(4,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(4,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \rput(0.5,-0.3){$\vect{\imath}$} \rput(-0.3,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[ul](0,4){A} \uput[ur](4,4){B} \uput[r](4,0){F} \rput(1.5,2.5){(M)} \rput(3.5,1.5){\red ($\mathcal{C}$)} \rput(2.5,0.8){Z} \rput(3.5,0.2){(T)} \uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psline(1,0.5)(3,0.5) \psline(3,0.5)(3,1.401) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.0112}{4}{x 0.5 sub x ln sub} \end{pspicture} \end{center} \end{document}