\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-node}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small BaccalaurŽéat ES }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 22 juin 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole 22 juin 2011~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

La Caisse Nationale de l'Assurance Maladie des Travailleurs Salariés (CNAMTS) publie, chaque année, des statistiques sur les accidents du travail en France. Celles-ci permettent d'obtenir divers indicateurs, notamment l'indice de fréquence (nombre moyen d'accidents du travail avec arrêt pour 1000 salariés).

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'indice de fréquence pour le secteur du BTP (Bâtiment et Travaux Publics) en France, au cours des années 2001 à 2009 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006& 2007& 2008& 2009\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$& 1& 2 &3& 4& 5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
Indice de fréquence : $y_{i}$& 100,3& 98,9& 91,6& 89,5& 87,6& 85,4& 84,0& 79,9& 76,0\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Premier ajustement}

\medskip

Grâce à un logiciel, un élève a obtenu le nuage de points représentant la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ et, par la méthode des moindres carrés, la droite d'ajustement de $y$ en $x$ dont une équation est $y = - 2, 89x + 102, 59$ (les coefficients sont arrondis à $0,01$).

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.045cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(11,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(11,110)
\psdots(1,100,3)(2,98,9)(3,91,6)(4,89,5)(5,87,6)(6,85,4)(7,84,0)(8,79,9)(9,76,0)
\psplot[linewidth=1.1pt,plotpoints=1000]{0}{11}{102.59 2.89 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2012, déterminer une estimation de l'indice de fréquence en l'année 2012.
		\item Quel serait le pourcentage d'évolution entre 2007 et 2012 de l'indice de fréquence selon ce modèle ? On arrondira le résultat à $10^{- 2}$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Deuxième ajustement}
	
\medskip
	
Un autre élève envisage un ajustement exponentiel de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
	
On pose $z_{i} = \ln y_{i}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies à $10^{-3}$).
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$x_{i}$				&1		&2 		&3		&4	&5 	&6 	&7 	&8 	&9\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$	&4,608	&4,594	&4,517	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ sous la forme $z = ax + b$, les coefficients $a$ et $b$ étant arrondis à $10^{?4}$.
		\item En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = K\text{e}^{\np{- 0,0328}x},\, K$ étant une constante arrondie à $10^{?1}$ près.
	\end{enumerate}
\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	
\medskip
	
La stratégie européenne de santé au travail a fixé comme objectif une réduction de 25\,\% de l'indice de fréquence entre 2007 et 2012.
	
Peut-on prévoir d'atteindre cet objectif selon les deux ajustements précédents, que l'on suppose
valables jusqu'en 2012 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Une chaîne de production d'une usine fabrique des vêtements pour nourrissons. Une étude statistique a montré que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 12\,\% des vêtements fabriqués ont un défaut dans la couleur,
\item[$\bullet~~$] parmi les vêtements ayant un défaut dans la couleur, 20\,\% ont un défaut dans la forme,
\item[$\bullet~~$] parmi les vêtements n'ayant pas de défaut dans la couleur, 8\,\% présentent un défaut dans la forme.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle $C$ l'évènement \og le vêtement présente un défaut dans la couleur \fg{} et $\overline{C}$ l'évènement contraire.

On appelle $F$ l'évènement \og le vêtement présente un défaut dans la forme \fg{} et $\overline{F}$ l'évènement contraire.

Un employé choisit un vêtement au hasard, dans un lot de vêtements fabriqués et conformes à l'étude statistique ci-dessus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la couleur et un défaut dans la forme.
		\item Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la forme.
		\item Les évènements $C$ et $F$ sont-ils indépendants ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\item  Le directeur de l'usine affirme que 92\,\% des vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut.
	
Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer.
\item  Les employés de l'usine sont autorisés à acheter des vêtements à tarif préférentiel.
	
L'un d'entre eux choisit au hasard trois vêtements. Le nombre de vêtements fabriqués est suffisamment grand pour considérer que les trois choix sont indépendants.
	
Quelle est la probabilité pour qu'aucun de ces trois vêtements choisis ne présente de défaut ? Le
résultat sera arrondi à $10^{- 3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Chaque année, une association de cyclotourisme prépare de nouveaux circuits. Pour satisfaire ses nombreux membres, elle élabore des circuits de différents niveaux : \og niveau facile \fg, \og niveau moyen \fg{} et \og niveau difficile \fg.

Au premier janvier 2010, l'association a fait son bilan :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20\,\% de ses adhérents ont choisi le niveau facile, noté A
\item[$\bullet~~$] 70\,\% de ses adhérents ont choisi le niveau moyen, noté B
\item[$\bullet~~$] 10\,\% de ses adhérents ont choisi le niveau difficile, noté C
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour répondre aux attentes des adhérents et les fidéliser sur le long terme, une enquête est effectuée.

Il s'avère que, d'une année à l'autre :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau A, 40\,\% restent à ce niveau et 60\,\% passent au niveau B,
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau B, 70\,\% restent à ce niveau et 20\,\% reviennent au niveau A et les autres passent passent au niveau C,
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau C, 85\,\% restent à ce niveau et les autres reviennent au niveau~B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A l'état \og l'adhérent a choisi le niveau A \fg,
\item[$\bullet~~$] B l'état \og l'adhérent a choisi le niveau B \fg,
\item[$\bullet~~$] C l'état \og l'adhérent a choisi le niveau C \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Pour $n$ entier naturel positif ou nul, on note $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\quad c_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste de la répartition dans les différents niveaux (indiqués dans l'ordre donné dans l'énoncé), au premier janvier de l'année $2010 + n$. Ainsi $P_{0} = (0,2\quad 0,7 \quad 0,1)$.

\medskip

On se décide se baser uniquement sur ces résultats pour prévoir l'évolution de la répartition à partir du premier janvier 2010 (on néglige donc les nouveaux abonnés et les départs).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A, B et C.
\item Reproduire et compléter la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

\[M = \begin{pmatrix}
\cdots	&\cdots	&0\\
0,2		&\cdots	&\cdots\\
\cdots	&0,15	&\cdots\\
\end{pmatrix}\]
\item Une seule des trois matrices $Q,\,R,\, T$ ci-dessous correspond à l'état probabiliste stable.

\[Q = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\
\end{pmatrix}\quad R =   \begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\\\end{pmatrix}  \quad T = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{5}&\dfrac{4}{5}&0\\\end{pmatrix}\]

Le président de l'association affirme que 50\,\% des adhérents choisiront apr\`es un certain nombre d'années le niveau B. Cette affirmation est-elle correcte ?
\end{enumerate} 

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.

Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\textbf{Barème :} \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par :
\[f(x) = \text{e}^{-2x+1}\]

On note $f'$ sa fonction dérivée.

	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ de $\R,\, f'(x) = \text{e}^{-2}$
		\item Pour tout $x$ de $\R,\, f'(x) = \text{e}^{-2x+1}$
		\item Pour tout $x$ de $\R,\, f'(x) = - 2\text{e}^{-2x+1}$
	\end{enumerate}
\item On donne le tableau de variation d'une fonction $g$ définie et continue sur l'intervalle $[? 5~;~12]$.
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5) \psline(0,2)(7,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.3,2){$- 5$} \uput[u](3,2){$2$} \uput[u](5,2){$8$} \uput[u](6.8,2){$12$}
\rput(0.5,1){$g(x)$} \uput[d](1.7,2){$- 3$} \uput[d](5,2){$1$}\uput[u](3,0){$- 8$} \uput[u](6.8,0){$0$}
\psline{->}(1.8,1.5)(2.7,0.5)\psline{->}(5.5,1.5)(6.5,0.5)\psline{->}(3.5,0.5)(4.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}	
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\int_{-5}^2 g(x)\:\text{d}x = 7$
		\item L'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $[- 5~;~12]$
		\item Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[- 5~;~12],\,  g(x) < 0$.
\end{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $h$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. La droite (AB), tracée sur le graphique, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B d'abscisse 1.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-3)(7,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](0,-3)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](5,-1.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.368}{7}{x ln 1 x ln sub mul 1.5 mul}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.pt]{-1}{3.5}{1.5 x mul 1.5 sub}
\psdots(1,0)(3,3)
\uput[ul](1,0){B} \uput[ul](3,3){A}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

\begin{enumerate}
\item $h'(1) = 0$
\item $h'(1) = 1,5$
\item $h'(1) = - \dfrac{2}{3}$
\end{enumerate}
\item  Une seule des trois courbes ci-après est la représentation graphique d'une primitive de la fonction $h$ (introduite à la question 3.) sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Préciser laquelle.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{a.}& \textbf{b.}& \textbf{c.}\\ \hline
\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(6,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-2)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{6}{x ln dup mul 3 add x ln 3 mul sub 1.5 mul x mul neg 6 add}\end{pspicture}
&\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(6,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-2)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{5.8}{x x ln sub}\end{pspicture}
&\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(6,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-2)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{6}{2.5 x div 1  sub}\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant $x$ centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction $B$ définie et dérivable sur l'intervalle [0,1~;~10] par :

\[B(x) = 10 \times \dfrac{1 + \ln x}{x}\]

Si $B(x)$ est positif, il s'agit d'un bénéfice ; s'il est négatif, il s'agit d'une perte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Coraline utilise un logiciel de calcul formel. À plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une réponse. Elle obtient l'écran suivant :

\smallskip

\hrulefill

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{XX}
\multicolumn{2}{l}{(Commande) B(x) :=10*((1+ln(x))/x)}\\
(Réponse 1)& $x \mapsto 10 *\left(\dfrac{1 + \ln x}{x}\right)$\\
\multicolumn{2}{l}{(Commande) dériver(B(x),x)}\\
(Réponse 2)&$\dfrac{10}{x^2} + \dfrac{10 * (1 + \ln(x)) * (- 1)}{x^2}$\\
\multicolumn{2}{l}{(Commande) résoudre(B(x)=0,x)}\\
(Réponse 3)& $[\exp(- 1)]$\\
\multicolumn{2}{l}{(Commande) résoudre(B(x)>0,x)}\\
(Réponse 4)& $[x > \exp(- 1)]$\\
\multicolumn{2}{l}{(Commande) maximum(B(x),[0.1;10])}\\
(Réponse 5)& 10\\
\end{tabularx}
\end{center}

\hrulefill

	\begin{enumerate}
		\item Traduire sur le graphique donné en annexe, illustrant la courbe représentative de la fonction $B$, les réponses 3, 4 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel.
		\item Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Interpréter cette valeur en terme de résultat mensuel pour l'entreprise.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une primitive de la fonction $B$ sur l'intervalle [0,1~;~10] est la fonction $F$ définie sur [0,1~;~10] par

		\[F(x) = 5 \ln x (\ln x + 2)\]
		\item Calculer $\displaystyle\int_{0,5}^{1,5} B(x)\:\text{d}x$ puis en donner une valeur approchée à $10^{- 3}$ près.
		
Ce nombre représente le bénéfice mensuel moyen en milliers d'euros lorsque l'entreprise
produit et vend chaque mois un nombre d'objets compris entre 50 et 150.
\item Pour quel nombre d'objets le bénéfice mensuel $B$ est-il maximal ? Justifier la réponse par un calcul.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{2,5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(10,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(0,-1)(10,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2](0,0)(0,-1)(10,11)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=magenta]{0.355}{10}{x ln 1 add x div 10 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}