\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{fltpoint} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-3dplot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small Métropole} \rfoot{\small juin 1998} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole juin 1998~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{center} \psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture*}(-0.5,-1)(9,3.1) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.2pt](-0.5,-1)(9,3) \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(9,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[u](8.8,0){$x$} \uput[r](0,2.8){$y$} \rput(0.5,-0.4){$\overrightarrow{\imath}$} \rput(-0.3,0.5) {$\overrightarrow{\jmath}$} \psline[linewidth=1pt]{<->}(-0.25,3)(0.25,1) \psline[linewidth=1pt]{<->}(1.7,-0.5)(2.3,-0.5) \psline[linewidth=1pt]{<->}(0.5,0.5)(1.5,-0.5) \psline[linewidth=1pt]{<->}(4,2)(5,2) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,2)(0.5,0.7)(1,0)(1.5,-0.38)(2,-0.5)(2.5,-0.37)(3,0)(3.5,1.1)(4,1.75)(4.5,2)(5,1.75)(5.5,1)(6,0.45)(6.5,0.2)(7,0.1) \end{pspicture*} \end{center} Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2 cm), on considère la courbe ci-dessus représentant une fonction $f$ définie et dérivable sur [0~;~7]. \emph{Toutes les réponses aux questions suivantes seront obtenues à partir du graphique.} \medskip \begin{enumerate} \item Lire $f(0)$,\: $f(2)$,\: $f’(1)$,\: $f'\left(\dfrac{9}{2}\right)$. \item Déterminer le signe de la fonction$f$ et celui de sa dérivée $f'$. \item Déterminer la dérivée logarithmique en 0. \item Indiquer à 0,1 près des valeurs approchées des solutions de l'équation $f(x) = 1$. \item On note I = $\displaystyle \int_{\frac{7}{2}}^5 f(x)\: \text{d}x.$ Parmi les intervalles proposés ci-dessous, indiquer celui qui contient le nombre I (on précisera rapidement la méthode utilisé pour le déterminer) : \[\left [0 ~;~\dfrac{1}{2}\right[,\quad\left[\dfrac{1}{2}~;~2\right[,\quad [2 ~;~5[,\quad[5~;~10[\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Un magasin de distribution vend deux types de téléphones portables : des téléphones standard et des téléphones miniatures. Il propose aussi deux types d'abonnements mensuels : l'abonnement 1 heure ; l'abonnement 2~h~30. Le service marketing effectue une enquête sur un échantillon de \np{2000} clients ayant acheté dans ce magasin, pendant l'année en cours, un téléphone, et un seul, de l'un des types vendus et ayant opté pour un seul des abonnements proposés. Sur les \np{2000} clients interrogés, \np{1200} ont acheté le modèle standard. Sur ces \np{2000} clients, $960$ ont choisi l'abonnement 1 heure. Un client est pris au hasard dans l'échantillon. On note les évènements : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $S$ \og Le client a acheté le modèle standard \fg{} ; \item $M$ \og Le client a acheté le modèle miniature \fg{} ; \item $A_1$ \og Le client a choisi l'abonnement 1 heure \fg{} ; \item $A_2$ \og Le client a choisi l'abonnement 2~h~30 \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $p(E)$ la probabilité d'un évènement $E$. \emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale avec 3 chiffres après la virgule}. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $p(S)$,\: $p(M)$,\: $p\left(A_1\right)$. \item \begin{enumerate} \item Parmi les clients qui ont acquis le modèle standard, 32\,\% ont pris l'abonnement A$_1$. Traduire cette donnée en terme de probabilité. \item En déduire la probabilité d'avoir acquis le modèle standard et d'avoir opté pour l'abonnement A$_1$. \item Justifier que la probabilité d'avoir choisi le modèle miniature et l'abonnement A$_1$ est égale à $0,288$. \end{enumerate} \item Le coût d'un téléphone standard est de \np{1000}~F et celui d'un miniature est de \np{3000}~F. L'abonnement A$_1$ revient à $170$ F par mois. L'abonnement A$_2$ revient à $400$ F par mois. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au coût total sur 1 an occasionné par l'achat d'un téléphone et l'abonnement choisi, pour un client pris au hasard dans l'échantillon. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$, en expliquant votre raisonnement. \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|} p{1,4cm}|}\hline $x_i$ &\np{3040} & &\np{5800} & \\\hline $p\left(X = x_i\right)$ &0,192 &0,288 & & \\\hline \end{tabularx} \end{center} \item Calculer l'espérance mathématique de $X$ et l'interpréter. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Les fabricants d'ordinateurs portables vendent leurs machines à un prix $P_n$ l'année $n$. Les quantités offertes $O_n$ sont fonction du prix $P_{n-1}$ (à l'année $n - 1$), ceci du fait des délais de fabrication. Les quantités demandées $D_n$ sur le marché sont, elles, fonction du prix $P_n$ au cours de l'année $n$. Les fabricants recherchent l'équilibre du marché, c'est-à-dire qu'à chaque année $n$ on ait $O_n = D_n$ pour qu'il n'y ait pas de stock. \[\text{On a}~\left\{\begin{array}{l c l l l} O_n & = & 2P_{n-1} - 10 &\text{avec}& n \geqslant 1\\  D_n & = &- 3P_{n} + 140 &\text{avec}& n \geqslant 0.\\ \end{array}\right.\] $P_n$ est exprimé en milliers de francs, $O_{n}$ et $D_n$ en centaines d'unités. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur le document joint (à rendre avec la copie), on a représenté les droites d'équations : $y = 2x - 10$ et $y = 3x + 140$. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites. \item On a $P_0 = 15$ , déterminer la valeur de $O_1~;~ O_1$ est représenté sur le graphique. Les quantités offertes doivent chaque année être égales aux quantités demandées, donc en particulier $O_1 = D_1$ . En utilisant $D_1$ , on a représenté $P_1$ sur le graphique. Ce prix $P_1$ , détermine une offre $O_2$ qui doit être égale à $D_2$. Cette valeur déclenche alors un prix $P_2$ ; le représenter sur le graphique ainsi que $P_3$ et $P_4$. Peut-on émettre une conjecture quant à la limite de la suite $(P_n)$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans l'hypothèse d'équilibre, soit $0_n = D_n$, démontrer que : $$P_n = -~\dfrac{2}{3}P_{n-1} + 50 ~\text{avec}~ n \geqslant 1$$ \item $(u_n)$ est la suite définie pour $n > 0$ par $u_n = P_n - 30$. Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et montrer que : $$P_n = 30 - 15 \left(- \dfrac{2}{3}\right)^n ~\text{pour}~ n ? 0$$ \item Montrer que $\lim \limits_{n \to +\infty} \vert P_n - 30\vert = 0$ . Déterminer alors la limite $P$ de la suite $(P_n)$ . Pour ce prix d'équilibre $P$, quelles sont alors les quantités offertes et demandées ? \medskip \begin{center} \psset{xunit=5mm} \psset{yunit=10mm} Document à compléter \psset{xunit=0.15cm,yunit=0.055cm} \begin{pspicture}(-7.5,-40)(60,140) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=20](0,0)(-7.5,-40)(60,140) \psline(0,-10)(60,110) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0,140)(60,-40) \psline[linewidth=1.1pt]{->}(15,0)(15,10)\psline[linewidth=1.1pt](15,10)(15,20) \psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,20)(27.5,20)\psline[linewidth=1.1pt](27.5,20)(40,20) \psline[linewidth=1.1pt]{->}(40,0)(40,50)\psline[linewidth=1.1pt](40,50)(40,70) \psline{->}(40,70)(32.5,70)\psline[linewidth=1.1pt](32.5,70)(20,70) \psline(8,2.5)(8,3.5) \psline(6,3.5)(4.66,3.5) \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.1pt](0,70)(24,70) \rput{40}(55,95){$y = 2x - 10$} \rput{-48}(52.5,-25){$y = -3x + 140$} \uput[ur](35,0){$P_{1}$} \uput[ul](15,0){$P_{0}$} \uput[l](0,12){$O_{1}D_{1}$} \uput[l](0,70){$O_{2}D_{2}$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème\hfill 10 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la population d'un pays de 1950 à 1985. $t_{i}$ désigne le rang de l'année et $p_{i}$ la population en millions d'habitants. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.7cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 1950 &1955 &1960 &1965 &1970 &1975 &1980 &1985\\ \hline Rang de l'année $t_{i}$ &0 & 5 & 10 &15 & 20 &25 &30 &35\\ \hline $p_{i}$ & 8 & 8,9 & 9,9 &11 &12 &13,5 &15 &16,6\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{A. Exploitation des données - Recherche d'un modèle} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~p_{i}\right)$ associé à la série statistique dans un repère orthogonal. $\bullet~$ Sur l'axe des abscisses, choisir 2~cm pour 5 unités (5~ans). $\bullet~$ Sur l'axe des ordonnées, placer 8 à l'origine, puis choisir 2 cm pour une unité (1 million d'habitants). \medskip \item Les experts cherchent à modéliser cette évolution par une fonction dont la courbe est voisine du nuage de points. On pose : ~$y_{i} = \ln p_{i}$. \emph{Le détail des calculs statistiques n'est pas demandé.} \begin{enumerate} \item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près par défaut du coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série $(t_{i}~;~ y_{i})$. \item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $t$. (Les coefficients seront arrondis à $10^{-3}$ près.) \item En déduire l'expression de la population $p$ en fonction du rang $t$ de l'année. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Étude du modèle exponentiel} \medskip On admet que la fonction $f$ définie sur [0~;~35] par : \[f(t) = 8\text{e}^{0,02t}\] est une modélisation satisfaisante de l'évolution de la population (en millions d'habitants) de 1950 à 1985. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $f$ sur [0~;~35] et dresser le tableau de variation complet de $f$ sur cet intervalle. \item Construire soigneusement la courbe représentative de $f$, notée ($\mathcal{C})$, dans le repère du \textbf{A}. Qu'observe-t-on ? \item On pose I = $\int\limits_{0}^{35} f(t)\:\text{d}t$. Donner une valeur approchée de I arrondie à $10^{-2}$ près. En déduire la population moyenne $m$ du pays durant ces 35 années et la représenter sur le graphique. \item Calculer le rapport : $\dfrac{f(t + 1) - f(t)}{f(t)}$ et en donner une interprétation en terme de pourcentage. \item Si le modèle exponentiel étudié dans le \textbf{B} restait valable après 1985, en quelle année la population aurait-elle dépassé les 19 millions d'habitants ? \end{enumerate} \end{document}