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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES 2002}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat 
ES Métropole juin 2002 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les résultats numériques seront obtenus à l'aide de la calculatrice ;
 aucun détail des calculs statistiques n'est demandé.}
 
\medskip

Le tableau suivant donne la dépense, en millions d'euros, des ménages
 en produits informatiques (matériels, logiciels, réparations) de 1990 à 1998.
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1990	&1991	&1992	&1993	&1994	&1995	&1996		&1997	&1998\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6			&7		&8\\ \hline
Dépense $y_i$			&398	&451	&423	&501	&673	&956	&\np{1077}	&\np{1255}&\np{1427}\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize{}Source INSEE}
\end{tabularx} 
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique 
$\left(x_i~;~y_i\right)$ et le point moyen dans un repère orthogonal tel que 2 cm
 représentent une année en abscisse et 1 cm représente 100~millions
 d'euros en ordonnée (ainsi 398 sera représenté par 3,98~cm). 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ du coefficient de
 corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~y_i\right)$. Un ajustement affine vous paraît-il justifié ? 
		\item Écrire une équation de la droite d'ajustement affine D de $y$ 
en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis
 à $10^{-3}$ ). Représenter D dans le repère précédent. 
		\item En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation de la 
dépense des ménages (arrondie à un million d'euros) en produits 
informatiques en 2000.
	\end{enumerate}
\item L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. On
 pose
 
$z_i = \ln y_i$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant où $z_i$ est arrondi à  
$10^{-3}$ : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$	&	0	&	1	&	2	&	3	&	4	&	5	&	6	&	7	&	8\\ \hline
$z_i$	&5,986	& 6,111	& 6,047	& 6,217	&		& 		& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip
		\item Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ du coefficient de corrélation linéaire
 de la série $\left(x_i~,~ z_i\right)$. Écrire une équation de la droite d'ajustement
 affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients
 seront arrondis à $10^{-3}$). 
		\item En utilisant cet ajustement, donner une estimation de la dépense
 des ménages (arrondie à un million d'euros) en produits informatiques
 en 2000. 
	\end{enumerate}
\item En 2000 les ménages ont dépensé 68,9 milliards d'euros pour la
 culture, les loisirs et les sports et 3,1\:\% de ces dépenses concernent
 les produits informatiques. 

Avec lequel des deux ajustements l'estimation faite est-elle la meilleure ? 

Quel est le salaire brut annuel moyen ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de
 spécialité}
 
\medskip
 
Une école de commerce a effectué une enquête, en janvier 2000, auprès de
 ses jeunes diplômés des trois dernières promotions afin de connaître
 leur insertion professionnelle. À la première question, trois réponses
 et trois seulement sont proposées  :

A \og La personne a une activité professionnelle \fg{} ;

B \og La personne poursuit ses études \fg{} ;

 C \og La personne recherche un emploi ou effectue son service
 national \fg.
 
 \medskip
  
On a constaté que 60\,\% des réponses ont été envoyées par des filles. Dans
 l'ensemble des réponses reçues, en a relevé les résultats suivants :

$\bullet~~$65\:\% des filles et 55\,\% des garçons ont une activité 
 professionnelle ;

$\bullet~~$20\:\% des filles et 15\,\% des garçons poursuivent leurs études. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On prend au hasard la réponse d'un jeune diplômé.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité qu'il poursuive ses études est égale à $0,18$.
		\item Calculer la probabilité qu'il exerce une activité professionnelle.
	\end{enumerate}
\item On prend au hasard la réponse d'une personne qui poursuit
 ses études ; quelle est la probabilité que ce soit la réponse d'une fille (on
 donnera le résultat sous forme fractionnaire) ? 
\item On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante trois 
réponses (on suppose que ce choix peut être assimilé à un tirage successif avec remise).

À l'aide d'un arbre pondéré, déterminer la probabilité que l'une au
 moins des réponses soit celle d'un jeune diplômé poursuivant ses études.
\item Dans l'ensemble des réponses des jeunes diplômés exerçant une 
activité professionnelle, la répartition des salaires bruts annuels
 en milliers d'euros est la suivante : 
\end{enumerate}
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.cm}|*{7}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Salaire brut annuel $S$	&$20 \leqslant S < 22$&$22 \leqslant S < 26$&$26 \leqslant S <
 30$&$30 \leqslant S < 34$	&$34 \leqslant S < 38$&$38 \leqslant S < 40$\\ \hline
Pourcentage				&5	&15	&28	&22	&20 	&10\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Quel est le salaire brut annuel moyen ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Julie possède depuis plusieurs mois un téléphone mobile pour lequel elle
 a souscrit un forfait mensuel de deux heures. Soucieuse de bien gérer ses dépenses, elle étudie l'évolution de ses consommations.
 
Elle a constaté que : 

\smallskip

\setlength\parindent{6mm}
$\bullet~~$ Si pendant le mois noté $n$ elle a dépassé son forfait, la 
probabilité qu'elle le dépasse le mois suivant noté $(n + 1)$ est
$\dfrac{1}{5}$.

$\bullet~~$ Si pendant le mois noté $n$ elle n'a pas dépassé son forfait, la
 probabilité qu'elle le dépasse le mois suivant  est $\dfrac{2}{5}$. 
\setlength\parindent{0mm}

Pour $n$ entier naturel strictement positif, on désigne par $A_n$ 
l'évènement \og Julie a dépassé son forfait le mois $n$ \fg{}
et par B$_n$ l'évènement contraire. On pose $p_n = p(\text{A}_n)$ et $q_n = 
p(B_n$) ; on a $p_1 =	\dfrac{1}{2}$.

\emph{Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner les probabilités de $A_{n+1}$ sachant que 
A$_n$ est réalisé et de $A_{n+1}$
 sachant que $B_n$ est réalisé. 
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, les égalités 
suivantes sont vraies :

\[p\left(A_{n+1}~\cap  A_n\right) = \dfrac{1}{5}p_n \qquad 
\text{et} \qquad  p\left(A_{n+1}~\cap B_n\right) = 
\dfrac{2}{5}q_n. \]

En déduire que l'égalité suivante est vraie : $p_{n+1} = 
\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}p_n$.

	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n > 1$ on pose : $u_n = p_n - 
\dfrac{1}{3}.$

Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera
 la raison et le premier terme $u_1$. 
\item Écrire $u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. Déterminer la
 limite de $\left(p_n\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty$[ par :

\[f(x) = (x^2 - 3x + 3)\text{e}^x - 4.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique 
$x_0$ appartenant à ]1~;~2[. 

Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ de $x_0$.
\item Déduire des résultats précédents le signe de $f(x)$ sur $[0~;~+ \infty  [$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise fabrique un produit, en quantité $x$ exprimée en tonnes,
 sa capacité de production ne pouvant dépasser 3 tonnes. Le coût total de fabrication de ce produit, en centaines de milliers d'euros, est donné par :

\[C_T(x) = (x - 3)\text{e}^x + 3x + 4.\] 

Le coût moyen est défini sur ]0~;~3] par la formule suivante :

\[C_m (x) = \dfrac{C_T (x)}{x}.\]

\begin{enumerate} 
\item Pour tout $x$ de ]0~;~3] calculer $C'_m(x)$ et vérifier que
 l'égalité suivante est vraie : $C'_m (x)  = \dfrac{f(x)}{x^2}.$ 

En déduire le sens de variation de $C_m$ sur ]0~;~3]. 
\item Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen
 minimum ? 

Quel est le coût moyen minimum (arrondi au millier d'euros) d'une tonne
 de ce produit ?
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie C}

\medskip

Une tonne du produit fabriqué est vendue \np{300000} euros ; toute la 
production est vendue. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Le bénéfice algébrique, en centaines de milliers d'euros, réalisé après la fabrication et la vente de $x$ tonnes du produit est noté 
 $B(x)$. Montrer l'égalité suivante : $B(x) = (3 - x)\text{e}^x - 4.$ 
		\item Étudier le sens de variation de $B$ sur [0~;~3].

 Quelle est la production pour laquelle le bénéfice est maximum ?  
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Tracer la courbe représentative de $B$ dans un plan muni d'un 
repère orthogonal (unités graphiques : 5~cm pour une tonne en 
abscisse et 2~cm pour \np{100000} euros en ordonnée). 
		\item À l'aide du graphique, déterminer à 0,1 près les quantités à
 produire pour que l'entreprise réalise un gain.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}