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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  septembre 1995}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 1995~\decofourright }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'épargne des ménages (en 
milliards de francs) en France, entre 1981 et 1988.
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{| m{3cm} |*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\hline
Année 						&1981 	&1992 	&1983 	&1984	& 1985	&	1986&	1987 &  1988\\ \hline 
$x_i$ : rang de l'année 	&1 		&2		& 3		&4 &5 	&6 		&	7 & 8\\ \hline
$y_i$ : épargne des ménages & 417 	& 458 	& 459 	&447& 465&463 &417 &475\\ 
\hline
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à cette série statistique, 
dans un plan rapporté à un rep\`ere orthogonal ; on choisira pour unités
graphiques :

- sur l'axe des abscisses, 1~cm pour une année

- sur l'axe des ordonnées, 2~cm pour 10 milliards de francs. 

\textbf{N. B.} - On ne cherchera pas à faire apparaître l'origine sur la feuille. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le taux d'accroissement annuel de l'épargne des ménages pour chacune des années de 1982 à 1988 (on exprimera le résultat en pourcentage avec une décimale) ; par exemple, pour 1984, ce  taux est :
		
\[\dfrac{447 - 459}{459} = - 0,026\,\%\quad \text{soit} \:\: - 2,6\,\%\]


		\item Quelle est, sur la période 1982--1988, la moyenne $M$ des taux calculés en a. ? (On exprimera le résultat en pourcentage.) 
	\end{enumerate}
\item Pour effectuer une prévision sur le montant ultérieur de l'épargne, 
on peut utiliser un ajustement logarithmique, de la forme

\[y =  a \ln x + b,\quad \text{où}\: a\: \text{et} b\: \text{sont deux nombres réels.}\] 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a$ et $b$ sachant que la courbe d'ajustement passe par les deux
points M(1~;~417) et M(8~;~475). 
		\item En déduire, selon ce procédé, le montant prévisionnel $E$ (arrondi à l'unité prés) de l'épargne des ménages pour 1995. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans un immeuble de vacances, il y a 50 studios et 60 appartements de type F1 en location. L'agence chargée de la location fournit les renseignements suivants : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&\multicolumn{4}{c|}{Type d'appartement}\\ \cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&\multicolumn{2}{|c|}{Studio}&\multicolumn{2}{c|}{F1}\\ \cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Adultes&Enfants&Adultes 	&Enfants\\ \hline 
Nombre de lits 			& 2		& 2		& 2			& 3 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Chaque vacancier, adulte ou enfant, a une fiche à l'agence de location. 

On suppose que chaque lit est occupé par une seule personne. 

Chaque logement est loué par deux adultes avec enfants, et tous les lits sont occupés.
 
On tire, au hasard, la fiche d'un vacancier de l'immeuble.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les probabilités des évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $S$ : \og Le vacancier habite un studio \fg{} ; 
\item $F$ : \og Le vacancier habite un F1 \fg{} ; 
\item $A$ : \og Le vacancier est un adulte \fg{}  ; 
\item $E$ : \og Le vacancier est un enfant \fg{}  ;
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item Quelle est la probabilité de tirer la fiche d'un enfant habitant un F1 ? 
\item On tire la fiche d'un enfant. Quelle est la probabilité pour qu'il habite un studio ? 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le président d'une association sportive constate que, chaque année, l'association garde 75\,\% de ses anciens adhérents et qu'il y a $800$ nouveaux adhérents. 

On suppose que l'évolution du nombre des adhérents reste la même au fil des ans. On se propose d'étudier cette évolution. 

On note $u_n$ le nombre d'adhérents au bout de $n$ années. 

On sait qu'au démarrage de l'association, il y avait \np{1600} adhérents, soit $u_{0} = \np{1600}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
\item Montrer que, pour tout $n,\: u_{n+ 1} = 0,75u_{n} + 800$. 
\item On pose $v_{n} = \np{3200} - u_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$.
		\item Vérifier que $v_{n+1} = 0,75v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n} \right)_{n \in \N}$ ?
		
En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
\item En déduire que $u_{n} = \np{3200} - \np{1600} \times (0,75)^n$.

Étudier la limite de la suite  $\left(u_{n} \right)_{n \in \N}$. Que peut-on en déduire concernant le nombre d'adhérents de l'association ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip
 
On considère les fonctions $u$ et $v$ définies sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[u(x) = \text{e}^{0,5x}\quad \text{et}\quad  v(x) = \dfrac{1}{4}(x + 2)^2.\] 

Sur la figure placée à la fin de l'énoncé, on a donné les courbes représentatives 
$\mathcal{C}_{u}$ et $\mathcal{C}_{v}$ de ces deux fonctions, dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques: 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées).
 
Les courbes $\mathcal{C}_{u}$ et $\mathcal{C}_{v}$ se coupent aux points d'abscisses $0$ et $\alpha$.
 
La but du problème est de comparer $u$ et $v$, à travers leur différence puis leur quotient. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

 
En utilisant le graphique, on va étudier la différence entre $u$ et $v$. Pour tout 

$x \in  [0~;~+ \infty[$, on pose $b(x) = v(x) - u(x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $b'(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + 2 - \text{e}^{0,5x}\right)$. 
		\item La droite $D$ d'équation $y = x + 2$ a été tracée sur le graphique. On appelle $\beta$ l'abscisse du point d'intersection de $D$ et $\mathcal{C}_{u}$. 

Déterminer graphiquement, suivant les valeurs de $x$, le signe de $b'(x)$. En déduire les variations de $b$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Soient $M$ et $N$ les points d'abscisse $x$, situés respectivement sur les courbes $\mathcal{C}_{u}$ et $\mathcal{C}_{v}$. On a ainsi $b(x) = y_{N} - y_{M}$  où $y_{M}$ désigne l'ordonnée du point $M$ et $y_{N}$ l'ordonnée du point $N$. 

Utiliser cette propriété pour construire, sur la figure donnée et sans faire aucun calcul, la courbe représentative $\Gamma$ de $b$. On construira, en particulier, les points d'abscisses $1, 2, \alpha, \beta$ et on indiquera la tangente de $\Gamma$ en $0$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On va maintenant étudier les variations du quotient $q$ des deux fonctions $u$ et $v$.
 
Pour tout $x \in  [0~;~+ \infty[$, soit $q(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ et soit $f(x) = \ln [q(x)]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi les fonctions $q$ et $f$ ont les mêmes variations.  
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f(x) = 2\ln (x + 2) - 2\ln 2 - \dfrac{x}{2}$. 

Calculer la dérivée de $f$, étudier son signe, et en déduire les variations de $q$. 
		\item Vérifier que, pour tout $x \in  ]0~;~+ \infty[$, 
		
\[q(x)  = \dfrac{(0,5x)^2}{\text{e}^{0,5x}} \times \dfrac{(x+ 2)^2}{x^2}.\] 

En déduire la limite de $q$ en $+ \infty$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $q$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(6,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(6,20)
\psline(0,2)(6,8)\rput(5.7,7.3){$D$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{2.71828 0.5 x mul exp}
\rput(5.1,15){$\mathcal{C}_{u}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{x 2 add dup mul 0.25 mul}
\rput(6.1,15){$\mathcal{C}_{v}$}
\uput[l](0,1){$1$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](3.36,0)(3.36,5.36)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](5.03,0)(5.03,12.37)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}