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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2005}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole--La Réunion septembre 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une enquête menée pour le compte d'une entreprise a permis d'établir le nombre d'acheteurs d'un produit X selon le montant de son prix de vente. Les résultats de l'enquête sont résumés dans le tableau ci-dessous dans lequel :

\medskip

$\bullet~~x_{i}$ désigne le prix de vente unitaire (en euros) du produit X ;

$\bullet~~y_{i}$ le nombre d'acheteurs en milliers.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*6{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$	&1		&1,50	&2	&3	&4\\ \hline
$y_{i}$	&3,75	&2,8	&2	&1	&0,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal \Oij{} du plan (unités graphiques : 4~cm pour 1~euro en abscisse et 2 cm pour \np{1000} acheteurs en ordonnée).
\item On recherche un ajustement affine de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		
\emph{Les calculs seront faits à la calculatrice et les valeurs cherchées seront arrondies au centième ; on ne demande aucune justification.}
		\item Tracer cette droite dans le même repère que précédemment.
		\item Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre d'acheteurs potentiels pour un produit vendu 2,50 euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Parmi les stands de jeux d'une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d'acier lorsque le joueur actionne un bouton.

Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre. Lorsque la bille atteint la cible, soit elle est avalée, soit elle reste sur la cible.

Lorsque la bille n'atteint pas la cible elle revient à son point de départ.

Dans la suite de l'exercice, on notera :
  
$\bullet~~$ $C$ l'évènement \og la cible est atteinte \fg{} ;
  
$\bullet~~$ $B$ l'évènement \og la bille est avalée \fg.
  
Une étude préliminaire a démontré que :

\setlength\parindent{5mm}
	\begin{itemize}
	\item la probabilité d'atteindre la cible lors d'un lancer est égale à $0,3$ ;
	\item  lorsque la cible a été atteinte, la probabilité que la bille soit avalée est égale à $0,2$.
	\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Traduire la situation aléatoire ci-dessus par un arbre de probabilité.
\item On actionne le bouton.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $P_{1}$ que la bille soit avalée.
		\item Calculer la probabilité $P_{2}$ qu'elle reste sur la cible.
	\end{enumerate}
Une partie se déroule selon la règle ci-dessous.

Pour jouer, on paie $0,50$~euro et on actionne le bouton qui lance la bille :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si la bille est avalée, on gagne un lot d'une valeur de $g$ euros ;
\item[$\bullet~$] si la bille reste sur la cible sans être avalée, on est remboursé ;
\item[$\bullet~$] si la bille rate la cible, on perd la mise.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Déterminer complètement la loi de probabilité de gain d'un joueur : on recopiera et on
complétera le tableau ci-dessous ; aucune justification n'est demandée.

\[\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{gain}&$- 0,50$ &	0&	$g -0,50$\\ \hline
\text{probabilité} & & & \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'espérance de gain d'un joueur en fonction de $g$ est :

\[\text{E} = 0,06g - 0,38.\]

		\item On prévoit qu'un grand nombre de parties seront jouées.
Pour quelles valeurs de $g$ les organisateurs peuvent-ils espérer un bénéfice ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Mademoiselle Z travaille dans une société spécialisée dans la vente par téléphone. Chaque jour, elle doit appeler une liste de clients pour leur proposer un produit particulier. Après avoir observé un grand nombre d'appels de Mademoiselle Z, on peut faire l'hypothèse suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  si un client contacté répond favorablement (situation A), cela donne de l'assurance à Mademoiselle Z et elle arrive à convaincre le client suivant une fois sur deux ;
\item   si le client contacté ne répond pas favorablement (situation B), Mademoiselle Z se décourage et n'arrive à convaincre le client suivant qu'une fois sur cinq.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.
		\item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
	\end{enumerate}
\item Ce lundi, Mademoiselle Z est en forme et elle a convaincu le premier client d'acheter le produit proposé. La matrice ligne décrivant l'état initial au premier appel est donc $P_{0} = (1~;~0)$.

Donner la matrice ligne $P_{1}$ exprimant l'état probabiliste au deuxième appel.
\item On donne la matrice $M^5 =  \begin{pmatrix}
\np{0,28745}&  \np{0,71255}\\
\np{0,28502}&  \np{0,71498}\\
\end{pmatrix}$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit $P_{0}M^5$. En déduire la probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixième client ce lundi.
		\item Quelle aurait été la probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixième client si elle n'avait pas convaincu le premier ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'état stable du système. Comment peut-on l'interpréter ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 8 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

L'objet de cet exercice est l'étude de deux fonctions intervenant dans un modèle économique.

La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ donnée en \textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} est la représentation graphique, dans un repère orthogonal du plan, de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par :

\[f(x) = \text{e}^{-0,7x+2,1}.\]

De même, la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ est la représentation graphique de la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par :

\[g(x) = 0,5x + 0,7.\]

On admet que les fonctions $f$  et $g$ sont dérivables sur l'intervalle [0~;~5].

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $h$ la fonction définie par $h(x) = f(x) -  g(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$ où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle [0~;~5].
		\item Étudier le signe de $h'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~5]. En déduire que la fonction $h$ est strictement monotone sur cet intervalle.
		\item Justifier que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~5] et donner à l'aide d'une calculatrice une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près (on ne demande pas de justification sur la méthode d'obtention de cette valeur).
		\item Déduire de l'étude précédente les valeurs arrondies à $10^{-2}$ des coordonnées du point d'intersection F de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Dans la suite du problème, on prendra $\alpha = 2,17$ et $f(\alpha) = g(\alpha) = 1,79$.
	\begin{enumerate}
		\item Soient les points C$(0~;~f(\alpha))$ et E$(\alpha~;~ 0)$. Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire du rectangle OCFE exprimée en unités d'aire.
		\item  Interpréter graphiquement le nombre $\displaystyle\int_{0}^{\alpha} f(x)\: \text{d}x$.
		\item  Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\alpha} f(x)\: \text{d}x$ en fonction de $\alpha$ et en donner la valeur arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PARTIE B}

\medskip

La fonction $f$ définie dans la \textbf{PARTIE A} représente la fonction de demande d'un produit ; elle met en correspondance le prix $f(x)$ exprimé en milliers d'euros et la quantité $x$, exprimée en tonnes, que sont prêts à acheter les consommateurs à ce prix.

La fonction $g$ définie dans la \textbf{PARTIE A} est la fonction d'offre de ce produit ; elle met en correspondance le prix $g(x)$ exprimé en milliers d'euros et la quantité $x$, exprimée en tonnes, que sont prêts à vendre à ce prix les producteurs.

On appelle prix d'équilibre du marché le prix pour lequel la quantité demandée par les consommateurs est égale à celle offerte par les producteurs. On note $p_{0}$ le prix d'équilibre et $q_{0}$ la quantité échangée sur le marché à ce prix. Dans la situation étudiée on a donc : $f\left(q_{0}\right) = g\left(q_{0}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déduire des résultats donnés dans la \textbf{PARTIE A} les valeurs de $q_{0}$ et de $p_{0}$.
\item Tous les consommateurs qui étaient prêts à payer plus cher (au-dessus du prix $p_{0}$) réalisent une économie. Le montant économisé par les consommateurs, appelé surplus des consommateurs, vaut par définition $\displaystyle\int_{0}^{q_{0}} f(x)\:\text{d}x - p_{0} \times   q_{0}$. Il s'exprime ici en milliers d'euros.
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique de la feuille \textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
		\item  indiquer les valeurs $q_{0}$ et $p_{0}$ sur les axes de coordonnées ;
		\item  hachurer le domaine dont l'aire s'écrit :
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\[\displaystyle\int_{0}^{q_{0}} f(x)\:\text{d}x - p_{0} \times   q_{0}.\]

		\item Calculer, en milliers d'euros, le surplus des consommateurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
\vspace*{-1cm}
\begin{center}
\textbf{À rendre avec la copie}
\end{center}

{\footnotesize Pour chacune des questions ci-dessous, une seule réponse est exacte. On demande de cocher cette réponse.\\
\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève} 0,25 \emph{point.  L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
\emph{Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est} $0$.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}X| >{\small}m{4cm}|}\hline
\multicolumn{1}{|c}{QUESTIONS}&	\multicolumn{1}{|c|}{RÉPONSES}\\ \hline
\textbf{1.} La courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet pour tangente au point d'abscisse 1, la droite d'équation :&$\Box~y = x + 1$
	
$\Box~y = x - 1$
 
$\Box~y = x + \text{e}$\\ \hline
\textbf{2.} La représentation graphique de la fonction exponentielle admet pour asymptote :&	$\Box$  la droite d'équation $y = x$

$\Box$ 	l'axe des abscisses

$\Box$	l'axe des ordonnées\\ \hline
\textbf{3.} La fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{4}\text{e}^{-2x} + \ln (2x + 4)$ est une primitive sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$  de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]-2~;~ + \infty[$ par : &\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\Box~	g(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} + \dfrac{2}{x + 2}$

\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\Box~g(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} + \dfrac{1}{x + 2}$

\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\Box~g(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} + \dfrac{1}{2x + 4}$\\\hline
\textbf{4.} L'intégrale$\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3\:\text{d}x$ est égale à :&$\Box~	- 0,5$

$\Box~	 0$

$\Box~	 0,5$\\ \hline
\textbf{5.} La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle  $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par $f(x)  = \dfrac{-2x^3 + 3x - 1}{(2x - 1)^3}$  est égale à :&	$\Box~	 1$

$\Box~- 1$

$\Box~ - \dfrac{1}{4}$\\ \hline
\textbf{6.} Le diagramme en boîte ci-dessous résume une série statistique dont la médiane est :

\begin{pspicture}(5.7,1) \psframe(0.9,0.4)(4.2,1)
\psline(2.2,0.4)(2.2,1)
\psline(0,0.7)(0.9,0.7) \psline(4.2,0.7)(5.8,0.7)
\psline(0,0.55)(0,0.85) \psline(5.8,0.55)(5.8,0.85)
\uput[d](0,0.32){$a$} \uput[d](0.9,0.4){$b$} \uput[d](2.2,0.32){$c$} \uput[d](4.2,0.4){$d$} \uput[d](5.8,0.32){$e$} 
\end{pspicture}
&\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\Box~\dfrac{1}{2}(a + e)$

	\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\Box~\dfrac{1}{2}(b + d)$
	 
$\Box~ c$\\ \hline
\textbf{7.} La droite des moindres carrés associée à une série statistique à deux variables passe par le point moyen	du nuage :&$\Box~$ jamais

$\Box~$ 	dans certains cas seulement

$\Box~$ toujours\\ \hline
\textbf{8.} Selon l'INSEE les prix à la consommation ont augmenté de 8,9\,\% du 1\up{er} janvier 1998 au 31 décembre 2003. Si le taux d'évolution des prix d'une année à la suivante était fixe de 1998 à 2003, et égal à $t\,\%$, la valeur de $t$ arrondie à $10^{-2}$ qui donnerait la même augmentation des prix à la fin de l'année 2003, serait égale à : 	&$\Box~$	1,48\,\%

										$\Box~$	1,72\,\%
										
										$\Box~$	1,43\,\%\\\hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,3cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

 \end{center}
 
 \textbf{Figure à compléter}
 
 \vspace{0,3cm}
 
\psset{xunit=1.9cm,yunit=1cm} 
\begin{pspicture}(-1,-1)(5.1,10.1)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=1.5pt](0,0)(5.2,10)
%\multido{\n=0.5+1}{5}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=1.25pt](\n,0)(\n,10)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5.1,10.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](2.2,1.9){F} \uput[u](4.5,0.3){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[u](4.5,2.9){$\mathcal{C}_{g}$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 2.1 0.7 x mul sub exp}
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{5}{0.7 0.5 x mul add} \uput[u](5.1,0){$x$}\uput[r](0,10.1){$y$}
\uput[d](4.6,0){quantité} \uput[r](0,9.5){prix}
\end{pspicture}
\end{document}