\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{fltpoint} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-3dplot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}v~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage[dvips]{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Métropole ES/L - 14 septembre 2012}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 14 septembre 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole 14 septembre 2012~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes) une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.} \textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.} \medskip La fonction $f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels par \[f(x) = \text{e}^x - x + 1.\]:\index{Fonction exponentielle} On admet qu'elle est dérivable sur l'ensemble des nombres réels. On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal. \medskip \begin{enumerate}\index{Lectures graphiques} \item L'image de $\ln 2$ par la fonction $f$ est : \begin{description} \item[$\bullet~~$] $\dfrac{1}{2} + \ln 2$ \item[$\bullet~~$] $- 1 + \ln 2$ \item[$\bullet~~$] $3 - \ln 2$ \item[$\bullet~~$] $1 - 2\ln 2$ \end{description} \item Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse 1 est : \begin{description} \item[$\bullet~~$] $\text{e} - 1$ \item[$\bullet~~$] e \item[$\bullet~~$] $1- \text{e}$ \item[$\bullet~~$]$0$ \end{description} \item La limite de la fonction $f$ en $- \infty$ est : \begin{description} \item[$\bullet~~$] $- \infty$ \item[$\bullet~~$] $0$ \item[$\bullet~~$] $+ \infty$ \item[$\bullet~~$] $1$ \end{description} \item Une primitive sur l'ensemble des nombres réels de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur l'ensemble des nombres réels par :\index{Primitive} \begin{description} \item[$\bullet~~$] $F (x) = \text{e}^x -1$ \item[$\bullet~~$] $F (x) = \text{e}^x - \dfrac{1}{2}x^2 + x$ \item[$\bullet~~$] $F (x) = \text{e}^{2x} - \dfrac{1}{2}x^2 + x$ \item[$\bullet~~$] $F (x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x} - 1$ \end{description} \item L'inéquation $f (x) \leqslant 1$ admet sur l'ensemble des nombres réels : \begin{description} \item[$\bullet~~$] Aucune solution \item[$\bullet~~$] Une solution \item[$\bullet~~$] Deux solutions \item[$\bullet~~$] Une infinité de solutions \end{description} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \bigskip Le tableau ci-dessous donne la structure du parc automobile français (véhicules particuliers et véhicules utilitaires) au premier janvier de chaque année, entre 2001 et 2009, en millions de véhicules. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.7cm}|*{9}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline Année &2001 &2002& 2003& 2004&2005 & 2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline\hline Rang $x_{i}$ & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline Nombre de voitures $y_{i}$ &\small 33,813 &\small 34,597 &\small 35,144 &\small 35,628 &\small 36,039 &\small 36,298 &\small 36,661 &\small 37,033 &\small 37,212\\ \hline \multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{Source: CCFA (statistiques de la construction automobile) juin 2010}}\\ \end{tabularx} \medskip Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $i$ entier variant de $1$ à $9$, est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal. \medskip \begin{center} \psset{xunit=0.9cm,yunit=1.8cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(12,5) \multido{\n=0.0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,5)} \multido{\n=0.00+0.25}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=33,Dy=0.5,comma=true](0,0)(12,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=33,Dy=0.5,labels=none]{->}(0,0)(12,5) \psdots(1,0.813)(2,1.597)(3,2.144)(4,2.628)(5,3.039)(6,3.298)(7,3.661)(8,4.033) (9,4.212) \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie A : un premier ajustement} L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement affine. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{-3}$).:\index{Moindres carrés} \item Tracer sur l'annexe à rendre avec la copie, la droite $D$ d'ajustement affine. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : un deuxième ajustement} \medskip La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~13] par : \[f(x) = - 0,03x^2 + 0,712x + 33,222.\] On suppose que $f$ modélise sur l'intervalle [1~;~13] l'évolution du nombre de véhicules du parc automobile exprimé en millions. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~13]. \item Tracer sur l'annexe à rendre avec la copie, dans le même repère, la courbe $C$ représentative de la fonction $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : comparaison des deux ajustements} \medskip Le premier janvier 2010, le nombre de véhicules du parc automobile était de $37,438$ ~millions. Lequel de ces deux ajustements donne l'estimation la plus proche de la réalité ? \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{\large Annexe de l'exercice 2 à rendre avec la copie} \vspace{1.5cm} \psset{xunit=0.85cm,yunit=1.7cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(14,5) \multido{\n=0.0+0.5}{28}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,5)} \multido{\n=0.00+0.25}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(13.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=33,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(13.5,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=33,Dy=0.5,comma=true](0,0)(13.5,5) \psdots(1,0.813)(2,1.597)(3,2.144)(4,2.628)(5,3.039)(6,3.298)(7,3.661)(8,4.033) (9,4.212) \end{pspicture} \end{center} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Pour jouer sur internet à un certain jeu la souscription d'un abonnement annuel est obligatoire. À partir d'un sondage, on prévoit que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item 80\:\% des abonnés renouvellent chaque année leur abonnement, \item le nombre de nouveaux abonnés sera de \np{20000} tous les ans. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Au premier janvier 2012, on comptait \np{50000}~abonnés à ce jeu en ligne. Selon ce modèle, justifier qu'au premier janvier 2013 le nombre d'abonnés sera égal à \np{60000}. \item \begin{enumerate} \item Justifier que le nombre d'abonnés au premier janvier de l'année $2012 + n$ est modélisé par la suite $\left(a_{n}\right)$ définie par: \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{0}& =&\phantom{0,8 a_{n} + ~} \np{50000}\\ a_{n+1} &=& 0,8 a_{n} + \np{20000} \quad \text{pour tout entier naturel } n \end{array}\right.\] \item Calculer $a_{2}$ et $a_{3}$. \item Sur le graphique situé en annexe, à rendre avec la copie, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal les droites $D$ d'équation $y = x$ et $\Delta$ d'équation $y = 0,8 x + \np{20000}$. Sur l'axe des abscisses, représenter $a_{0}$ puis construire $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ en utilisant les représentations graphiques des deux droites précédentes. Laisser apparents les traits de construction. \item En s'appuyant sur une observation graphique, émettre une conjecture sur la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. \end{enumerate} \item On admet que pour tout nombre entier naturel $n,\: a_{n} = \np{100000} - \np{50000} \times 0,8^n$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. \item \emph{Toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} En utilisant ce modèle, donner une estimation de l'année à partir de laquelle, au premier janvier, le nombre d'abonnés à ce jeu sera supérieur à \np{95000}. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe de l'exercice 2 (spécialité) à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{unit=0.125cm} \begin{pspicture}(-8,-2)(80,80) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=20,Oy=20,Dx=10,Dy=10,xlabelFactor={\,000},ylabelFactor={\,000}](0,0)(80,80) \multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,80)} \multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(80,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10,labels=none]{->}(0,0)(80,80) \psline[linewidth=1.25pt](80,80) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,16)(80,80) \uput[dr](10,10){$D$}\uput[ul](10,25){\blue $\Delta$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Le service qualité d'une entreprise textile contrôle systématiquement la texture et la couleur des tissus qu'elle produit. Pour être déclaré de \og qualité supérieure \fg{} un tissu doit subir avec succès les deux contrôles : le premier sur la texture, le second sur la couleur. À cette fin, le service qualité effectue une étude statistique sur la production d'un mois. Cette étude a montré que : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 90\,\% des tissus passent le contrôle sur la texture avec succès. \item[$\bullet~~$] Parmi ceux qui ne passent pas avec succès ce premier contrôle, 40\,\% ont passé le deuxième contrôle sur la couleur avec succès. \item[$\bullet~~$] 80\,\% des tissus sortant de cette entreprise sont déclarés de \og qualité supérieure \fg. \end{itemize} Une machine de contrôle de qualité prélève au hasard un échantillon d'un des tissus produits par cette entreprise pendant le mois d'étude. On considère les évènements suivants : $\bullet~~$ $T$ : \og l'échantillon de tissu prélevé passe avec succès le premier contrôle sur la texture \fg, $\bullet~~$ $C$ : \og l'échantillon de tissu prélevé passe avec succès le deuxième contrôle sur la couleur\fg, $\bullet~~$ $S$ : \og l'échantillon de tissu prélevé est déclaré de qualité supérieure\fg. Ainsi $S = T \cap C$. \medskip \emph{Rappels de notation : Soient $A$ et $B$ deux évènements\\ $\bullet~~$ la probabilité de l'évènement A est notée $p(A)$ ;\\ $\bullet~~$ si $p(B) \neq 0, \: p_{B}(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé ;\\ $\bullet~~$ l'évènement contraire de l'évènement $A$ est noté $\overline{A}$.} \begin{enumerate} \item À l'aide de l'énoncé, construire un arbre de probabilité décrivant la situation. Il sera complété au cours de la résolution de l'exercice. :\index{Arbre pondéré} \item Démontrer que $p_{T}(C) = \dfrac{8}{9}$.\index{Probabilités} \item Interpréter l'évènement $\overline{T} \cap \overline{C}$, puis calculer la probabilité de cet évènement. \item Démontrer que la probabilité de l'évènement: \og l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès le contrôle sur la couleur \fg{} est égale à $0,16$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Une coopérative fabrique une huile précieuse qu'elle commercialise au prix de \mbox{100~euros} le litre. Sa capacité maximale de production journalière est de 10 litres. Le coût de production journalier pour la fabrication de cette huile précieuse est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par : \[C(x) = 300 \ln (x + 1)\]\index{Fonction logarithme} où $x$ désigne la quantité d'huile produite exprimée en litres et $C(x)$ son coût de production journalier exprimé en euros. La recette journalière de cette coopérative est modélisée par la fonction $R$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par: \[R(x) = 100x.\] où $x$ désigne la quantité d'huile exprimée en litre, produite et vendue, et $R(x)$ sa recette journalière exprimée en euros. On suppose que toute la production d'un jour est vendue le même jour. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $C$ sur l'intervalle [0~;~10]. \item Construire, sur une feuille de papier millimétré à rendre avec la copie, $\Gamma$ et $\Gamma'$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques : $\bullet~~$1 cm pour un litre sur l'axe des abscisses, $\bullet~~$1 cm pour 100~euros sur l'axe des ordonnées. \item La fonction $B$ est définie sur l'intervalle [0~;~10] par $B(x) = R(x) - C(x)$. Elle est dérivable sur l'intervalle [0~;~10], et on note $B'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~10], \[B'(x) = \dfrac{100x - 200}{x + 1}.\] \item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~10]. \item Démontrer que l'équation $B(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~10]. Donner une valeur approchée du nombre réel $\alpha$ à $10^{-1}$ près. \item En déduire l'étude du signe de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~10]. \end{enumerate} \item Lorsque $B(x)$ est positif, l'entreprise réalise un bénéfice. Lorsque $B(x)$ est négatif, l'entreprise est en déficit. \begin{enumerate} \item Déterminer la quantité journalière minimale d'huile, au décilitre près, à produire et à vendre pour que la coopérative réalise un bénéfice journalier positif. \item Préciser, à l'euro près, le bénéfice journalier maximal que peut réaliser cette coopérative. \item À l'aide du graphique tracé à la question \textbf{2.}, interpréter les résultats des questions \textbf{4. a.} et \textbf{4. b.}. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}