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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalaurat ES }
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{septembre 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 1999~\decofourright}}\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le lycée IXE a décidé d'organiser un voyage en Australie pour assister aux
Jeux olympiques de l'an 2000 qui se dérouleront à Sydney. Pour réduire le coût, élèves et adultes cherchent à organiser des activités qui rapportent de
l'argent.

Le Club Poésie décide d'éditer et de vendre un recueil de textes écrits par les
élèves. Pour cela il commence par réaliser une \og étude de marché \fg{} auprès de la population du lycée, afin de savoir à quel prix vendre ce recueil pour avoir la plus importante rentrée d'argent.

Les résultats de cette étude figurent dans le tableau ci-dessous.

$x_{i}$ est le prix de vente en francs d'un recueil.

$y_{i}$ est le nombre de personnes prêtes à acheter le recueil au 
prix $x_{i}$.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ & 15 		& 20 	& 25 	& 30 	& 35 	& 40 	& 45 	& 50 \\ \hline
$y_{i}$ & \np{1200} & 900 	& 800 	& 550 	& 500 	& 350 	& 300 	& 100\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\emph{Tous les calculs statistiques seront faits à la calculatrice.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. On prendra pour origine le point de coordonnées (10~;~0), 2~cm pour 5~francs en abscisse et 1~cm pour 100~personnes en  ordonnée.

\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire (donner une
valeur arrondie à $10^{-3}$.

Pourquoi un ajustement linéaire est-il justifié ?
\item Donner une équation de la droite d'ajustement 
de $y$ en $x$ par la méthode de moindres carrés. Le coefficient directeur sera arrondi à $10^{-2}$ près et l'ordonnée à l'origine à l'unité près. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer alors, en fonction du prix de vente $x$, la somme
que peut encaisser le Club Poésie si la réalité est conforme à la prévision. On
nomme S$(x)$ cette somme.
		\item Étudier les variations de cette fonction S et en déduire le  prix $x_{0}$ pour lequel cette somme atteint son maximum ($x_{0}$ sera arrondi au franc le plus proche).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour recueillir des fonds pour un voyage en Australie en l'an 2000, le
lycée organise une fête. Le Club Maths décide de monter un stand de loterie. Le \og futur gagnant \fg{} tire au hasard une boule dans une ume contenant 15 boules bleues et 10 boules rouges.

S'il tire une boule bleue, il lance la roue bleue,
 
S'il tire une boule rouge, il lance la roue rouge.

Chaque roue est partagée en 8 secteurs de même dimension. Quand la roue est lancée, elle s'arrête de façon aléatoire et la flèche ne peut indiquer qu'un seul secteur. Tous les secteurs ont donc la même chance de \og sortir \fg{}.

\begin{center}
\begin{pspicture}(10,5.5)
\rput(1.5,5){\textbf{Roue bleue}} \rput(7.5,5){\textbf{Roue rouge}}
\psline[linewidth=.1]{->}(3,4.5)(2.7,3.8) \psline[linewidth=.1]{->}(9,4.5)(8.7,3.8) 
\pscircle(2,2){2}
\pscircle(8,2){2}
\psline(0,2)(4,2)
\psline(2,0)(2,4)
\psline(0.6,0.6)(3.4,3.4)
\psline(0.6,3.4)(3.4,0.6)
\rput(2.7,3.4){Perdu} \rput(3.2,2.5){20F} \rput(3.2,1.5){Perdu}\rput(2.5,0.5){10 F}
\rput(1.4,0.5){Perdu} \rput(0.7,1.5){10 F} \rput(0.7,2.5){Perdu}\rput(1.3,3.4){50 F}
\psline(6,2)(10,2)
\psline(8,0)(8,4)
\psline(6.6,0.6)(9.4,3.4)
\psline(6.6,3.4)(9.4,0.6)
\rput(8.7,3.4){Perdu} \rput(9.2,2.5){10F} \rput(9.2,1.5){Perdu}\rput(8.5,0.5){10 F}
\rput(7.4,0.5){Perdu} \rput(6.7,1.5){Perdu} \rput(6.7,2.5){Perdu}\rput(7.3,3.4){25 F}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $B$ l'évènement \og Tirer une boule bleue \fg, $R$ l'évènement 
\og Tirer une boule rouge \fg{} et $G$ l'évènement \og Gagner \fg.

\emph{On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $B$, puis celle de l'évènement $R$.
		\item On a tiré une boule bleue : quelle est la probabilité de gagner ?
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $G \cap B$.
	\end{enumerate}
\item Calculer alors la probabilité de gagner à ce stand.
\item Vérifier que la probabilité de gagner 50~F est $\dfrac{3}
{40}$.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain (éventuellement nul) du joueur.

Recopier le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ et calculer les résultats manquants.

\[\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
gain  $x_{i}$						&0  				&10 &20 			&25 &50\\ \hline 
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$p(X = x_{i})$ &$\dfrac{11}{20}$ 	& 	&$\dfrac{3}{40}$& 	& $\dfrac{3}{40}$\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.

On peut compter sur 150~participants à ce stand pendant la fête, et on voudrait faire un bénéfice d'au moins \np{1000}~francs. 

Quelle participation minimale, arrondie au franc supérieur, de chaque joueur faut-il alors envisager ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 }\hfill 5 points}

\textbf{(spécialité)} 

\medskip

Le club de football du lycée décide d'organiser un match entre élèves et 
professeurs pour récolter des fonds pour partir en Australie en l'an 2000. Les joueurs s'entraînent, d'autant plus qu'une rencontre amicale sera organisée à Sydney contre une équipe de lycéens australiens. Pour s'entraîner aux tirs au buts, l'entraîneur dispose 5~ballons face aux buts, et chaque joueur tire ces 5~ballons.

Une étude statistique a montré que sur une série de 5 ballons, un joueur pris au hasard marque :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 5 buts avec une probabilité de 0,2 ;
\item 4 buts avec une probabilité de 0,5 ;
\item  3 buts avec une probabilité de 0,3.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Chaque joueur, à chaque entraînement, tire 2 séries de 5 ballons. On admet que les résultats d'un joueur à chacune des 2 séries sont indépendants.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirs aux buts réussis par un un joueur au cours d'un entraînement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité, pour un joueur pris au hasard, de
réussir tous ses tirs aux buts lors d'un entraînement.
		\item Préciser les valeurs possibles de $X$ et établir sa loi de probabilité (on pourra s'aider d'un arbre).

Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de $X$ arrondi avec 
deux chiffres après la virgule.
\end{enumerate}
\item Un entraîneur considère que le joueur a réussi l'épreuve des
tirs aux buts lorsque $X \geqslant 8$.
 
Montrer que la probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d'un entraînement est égale à $0,61$.
 \item Chaque joueur participe à 10~séances d'entrainement. On admet que les épreuves de tirs aux buts sont indépendantes les unes des  autres.

On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de succès d'un joueur à l'épreuve des tirs aux buts au cours de ces 10~entraînements. Les résultats seront donnés par défaut, avec trois chiffres après la virgule.

Calculer pour un joueur :
	\begin{enumerate}
		\item la probabilité de n'avoir aucun échec lors des 10 
séances ;
		\item la probabilité d'avoir exactement 6 succès ;	
		\item la probabilité d'avoir au moins 1 succès.		
	\end{enumerate}
\item Calculer le nombre minimum d'entraînements auxquels doit
participer un joueur pour que la probabilité d'avoir au moins un succès soit supérieure à $0,99$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points}

\textsl{Nota : les parties} \textbf{B} \textsl{et} 
\textbf{C} \textsl{sont indépendantes.}

\medskip

À la rentrée scolaire, une étude statistique s'intéresse au prix des classeurs. 

\[f(x) = 4 \ln \left( \dfrac{6}{x}\right) \quad  \text{et} \quad  g(x) = 
4 \ln (x - 1)\]

représentent respectivement les quantités demandées et offertes, c'est-à-dire :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  pour $f(x)$ les quantités de classeurs exprimées en milliers que les consommateurs sont prêts à acheter en fonction du prix unitaire $x$ du classeur exprimé en francs ;
\item  Pour $g(x)$ les quantités de classeurs exprimées en milliers, que les producteurs sont prêts à vendre en fonction du prix unitaire $x$ du classeur exprimé  en francs.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l} 
f(x) \geqslant 0\\
g(x) \geqslant 0
\end{array}\right.$.

L'intervalle I solution du système est l'intervalle d'étude du modèle.

\item Étudier les variations de $f$ et de $g$ sur I. Tracer les
représentations graphiques respectives $\mathcal{C}_{f}$ et 
$\mathcal{C}_{g}$ de $f$ et de $g$, dans un plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} ; on prendra 2~cm pour 1~franc en abscisse et 2~cm pour \np{1000}~classeurs en ordonnée.
\item Déterminer les coordonnées $(x_{0}, y_{0})$ du point A
intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.  La valeur 
de $x_{0}$ est appelée prix d'équilibre.
\item Quel est le revenu total des producteurs pour le prix
d'équilibre ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $F$ définie par : 

\[F(x) = 4 \left[x \ln \left(\dfrac{6}{x}\right) + x\right]\]

 est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item Les consommateurs se procurent les quantités offertes à un
prix supérieur à celui d'équilibre. La somme totale alors perçue en plus par les producteurs est représentée par l'aire de la partie du plan située entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = x_{0}$ et la droite d'équation $x = 6$, où $x_{0}$, est l'abscisse du point d'équilibre ; elle traduit le surplus des consommateurs exprimé en francs.
 
Calculer ce surplus.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le prix $x$ augmente de 1\,\%. Calculer, en fonction de $x$,
la variation relative de la demande.
\item Donner la valeur de la variation de la demande en pourcentage,
arrondie à 0,1\,\%, pour un prix initial de 5 francs qui augmente de 
1\,\%.
\end{enumerate}\end{document}