\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},\vect{u},\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2000}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 2000~\decofourright}}\normalsize{} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Une usine fabrique des moteurs électriques pour l'industrie spatiale. Ceux-ci doivent être très fiables et performants; pour cela ils passent des contrôles très sévères. Chaque moteur est testé en fin de fabrication. Si le test est positif, le moteur est acheminé chez le client ; si le test est négatif, le moteur retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si, cette fois, le test est positif, le moteur part chez le client mais, si le test est négatif, le moteur est définitivement écarté et détruit. Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 85\,\% des moteurs neufs sortis directement des chaines de fabrication mais que, parmi les moteurs révisés, seulement 65\,\% d'entre eux passent le second test avec succès. \emph{Sauf avis contraire, on donnera les valeurs décimales exactes des probabilités demandées}. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit un moteur au hasard dans la chaine de fabrication. \begin{enumerate} \item Construire un arbre de probabilité illustrant les différents cas qui peuvent se présenter pour ce moteur. Faire apparaître sur chaque branche les probabilités correspondantes. \item Donner la probabilité pour que le premier test en fin de fabrication soit positif pour ce moteur. \item Calculer la probabilité pour que ce moteur doive être révisé et soit ensuite acheminé chez le client. \item Calculer la probabilité pour que ce moteur soit finalement écarté et détruit. \item Calculer la probabilité pour que ce moteur soit envoyé chez le client. \end{enumerate} \item La fabrication d'un moteur revient à 60\:000 francs auxquels il faut rajouter \np{10000}~francs si le moteur est révisé. Un moteur est facturé au client la somme de $t$ francs ($t$ nombre réel positif). Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque moteur fabriqué, associe le gain (éventuellement négatif que réalise l'entreprise sur ce moteur. \begin{enumerate} \item Déterminer en fonction de $t$ les trois valeurs que peut prendre $X$ et déterminer la loi de probabilité de $X$. (On rappelle que le bénéfice est la différence entre le prix de vente et le prix de revient.) \item Calculer en fonction de $t$ l'espérance mathématique de $X$ et en déduire la valeur de $t$ à partir de laquelle l'entreprise fera un bénéfice positif en vendant un grand nombre de moteurs (arrondir au franc près). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip M$\up{me}$ X décide d'ouvrir un plan d'épargne. Le taux \textbf{mensuel} de celui-ci est de 0,4\,\%, les intérêts sont capitalisés tous les mois. Elle verse \np{10000}~F le 1\up{er} janvier 2000. Puis, tous les premiers de chaque mois à partir du 1\up{er} février 2000, elle verse 600~F sur ce plan. Soit $u_{n}$ la somme qui se trouve sur son plan après $n$ mois d'ouverture. Ainsi $u_0 = \np{10000}$ et $u_{1} = \np{10640}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_2$ et $u_3$. Écrire une relation entre $u_{n+1}$ et $u_{n}$. \item On définit la suite $(v_n)$ telle que pour tout $n$ de $\N$, on ait $v_{n} = u_{n} + \np{150000}$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$. \item Calculer le temps nécessaire pour économiser la somme de 100\:000 F sur ce plan. En quelle année cela se produira-t-il ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Le conseil municipal d'une station touristique de montagne a décidé de faire équiper une falaise afin de créer un site d'escalade. L'équipement doit se faire depuis le pied de la falaise. Deux entreprises spécialisées dans ce genre de chantier ont été contactées et ont envoyé des devis. On se propose d'étudier ceux-ci. \emph{Devis de l'entreprise A :} Le premier mètre équipé coûte 100 F, puis chaque mètre supplémentaire équipé coûte 20 F de plus que le mètre précédent (100~F pour équiper une falaise de un mètre, 100 F + 120 F = 220~F pour équiper une falaise de deux mètres, 100 F + 120 F + 140 F = 360~F pour une falaise de trois mètres, etc.) \emph{Devis de l'entreprise B :} Le premier mètre équipé coûte 50 F, puis chaque mètre supplémentaire équipé coûte 5\,\% de plus que le mètre précédent (50 F pour équiper une falaise de un mètre, 50 F + 52,50 F = 102,50~F pour équiper une falaise de deux mètres, 50 F + 52,50 F + 55,125~F = 157,625~F pour une falaise de trois mètres, etc.). On appelle $u_n$ le prix du $n$-ième mètre équipé et $S_n$ le prix de l'équipement d'une falaise de $n$ mètres de hauteur indiqués par l'entreprise A. On appelle $v_n$ le prix du $n$-ième mètre équipé et $R_n$ le prix de l'équipement d'une falaise de $n$ mètres de hauteur indiqués par l'entreprise B. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $u_n$ puis $S_n$ en fonction de $n$. \item Exprimer $v_n$ puis $R_n$ en fonction de $n$. \item Calculer le prix à payer pour équiper une falaise de 50 mètres de hauteur avec chacune des deux entreprises. Préciser l'entreprise la moins chère. On arrondira les prix au franc près. \item Le conseil municipal a décidé d'accorder un budget de \np{120000} F pour équiper ce site. Calculer la hauteur de la falaise qui peut être équipée avec cette somme par chacune des deux entreprises A et B (arrondir au mètre près). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Une société est spécialisée dans l'exploitation de gravières (le gravier extrait est utilisé pour la construction d'autoroutes). Elle doit étudier le plan d'exploitation d'un nouveau site d'extraction. Voici les conditions d'exploitation définies par la direction : \og L'exploitation débutera le $1\up{er}$ janvier 2001. La production journalière de gravier devra rapidement augmenter pour atteindre son maximum après un an et demi de travail, puis elle devra décroître lentement. \fg On traduit en langage mathématique ces consignes afin de modéliser la production journalière et la production totale. On choisit habituellement pour modéliser la production journalière du site une fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(t) = (at^2 + bt + c)\text{e}^{- t}\] où $a,~b$ et $c$ sont trois nombres réels. $f(t)$ représente la production journalière de gravier extrait (en milliers de tonnes), $t$ étant la durée écoulée depuis le début de l'ouverture du site ($t$ est en années, c'est un réel positif). On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$. Les consignes peuvent se traduire ainsi : $\bullet~$ ($\mathcal{C}$) passe par le point O de coordonnées (0~;~0). $\bullet~$ La tangente à ($\mathcal{C}$) en O a pour coefficient directeur 3. $\bullet~$ La courbe ($\mathcal{C}$) admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1,5. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que sous ces contraintes $f$ est définie par \[f(t) = (2t^2 + 3t)\text{e}^{- t}.\] \item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer que \[f'(t) = (- 2t + 3) (t + 1)\text{e}^{-t}.\] Étudier les variations de la fonction $f$ pour $t \geqslant 0$. On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$. Préciser le signe de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Calculer le maximum de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. En donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ près. Quelle est la production journalière maximum prévue sur ce site, et à quelle date sera-t-elle atteinte ? \item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) sur une feuille de papier millimétré (unités : 3~cm sur l'axe des abscisses, 5~cm sur l'axe des ordonnées). \item Montrer qu'il existe une seule valeur $t_0$, comprise entre 3 et 4, telle que $f(t_0)$ soit égale à 1 (soit \np{1000}~tonnes par jour). Donner à l'aide de la calculatrice une valeur de $t_0$ arrondie à $10^{-2}$ près. \item Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0~ ;~ + \infty$[ par \[F(t) = \left(-2t^2 - 7t - 7\right) \text{e}^{-t}\] est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Considérant que la gravière sera exploitée 200 jours par an, on admettra que la production totale prévue pendant la durée $t$ est donnée par la formule \[P(t) = 200 \times \displaystyle\int_0^7 f(x)\: \text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Transformer l'écriture de $P(t)$ en utilisant le résultat de la question 6 et étudier les variations de la fonction $P$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item On prévoit que l'exploitation de ce site doit être interrompue au bout de cinq ans. Calculer à \np{1000}~tonnes près par défaut la quantité de gravier qui aura été extraite, ainsi que la production moyenne annuelle sur cette période. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}