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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Rlecture : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{9 septembre}}
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\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 9 septembre 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle

\[(E)\: \qquad y' + 0,4y = \e^{-0,4t}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$.

On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur $\R$ qui sont solutions
de cette équation.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par : $u(t) = t\e^{-0,4t}$.

Vérifier que $u$ est solution de $(E)$.
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.

On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(t) = f(t) - u(t)$.

Soit $(H)$ l'équation différentielle $y' + 0,4y = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(H)$ alors la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
	\end{enumerate}		
		
On admettra que la réciproque est vraie.

	\begin{enumerate}[resume]
		\item Résoudre l'équation différentielle $(H)$.
		\item En déduire les solutions de $(E)$.
		\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas.

La glycémie en g.L$^{-1}$, en fonction du temps $t$, exprimé en heure, écoulé depuis la fin
du repas, est modélisée par la fonction $f$ définie sur [0~;~6] par :

\[f(t) = (t + 1)\e^{-0,4t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $t \in [0~;~6],\: f'(t) = (- 0,4t + 0,6)\e^{-0,4t}$.
		\item Étudier les variations de $f$ sur [0~;~6] puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item Une personne est en hypoglycémie lorsque sa glycémie est inférieure à 0,7~g.L$^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que sur l'intervalle [0~;~6] l'équation $f(t) = 0,7$ admet une unique
solution que l'on notera $\alpha$.
		\item Au bout de combien de temps après avoir pris son repas cette personne est-
elle en hypoglycémie ?

On exprimera ce temps à la minute près.
	\end{enumerate}
\item On souhaite déterminer la glycémie moyenne en g.L$^{-1}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que:

\[\displaystyle\int_0^6 f(t)\: \text{d}t = - 23,75\e^{-2,4} + 8,75.\]

		\item Calculer la glycémie moyenne en g.L$^{-1}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.
		\item En remarquant que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$, expliquer comment on aurait pu obtenir ce résultat autrement.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.43\linewidth}
On considère le cube ABCDEFGH.\\

On place le point M tel que $\vectt{BM} = \vectt{AB}$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.5)
\pspolygon(0.3,0.8)(3.3,0.5)(3.3,3.5)(0.3,3.8)%ABFE
\psline(3.3,0.5)(6.3,0.2)(3.3,3.5)(5.5,4.7)(2.2,5)(0.3,3.8)%BMFGHE
\psline[linestyle=dashed](3.3,0.5)(5.5,1.7)(2.2,2)(0.3,0.8)
\psline[linestyle=dashed](2.2,2)(2.2,5)%DH
\psline(5.5,1.7)(5.5,4.7)%BF
\psline(5.13,1.5)(5.5,1.7)(4.9,1.77)
\uput[dl](0.3,0.8){A} \uput[d](3.3,0.5){B} \uput[dr](5.5,1.7){C}
\uput[ur](2.2,2){D} \uput[l](0.3,3.8){E} \uput[u](3.3,3.5){F}
\uput[ur](5.5,4.7){G} \uput[u](2.2,5){H} \uput[r](6.3,0.2){M}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (FG) et (FM) sont perpendiculaires.
\item Montrer que les points A, M, G et H sont coplanaires.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A} ; \vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{GM}}$ et $\vect{\text{AH}}$ et montrer qu'ils ne sont pas colinéaires.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (GM) est :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 + t\\
y&=&1 - t\\
z&=&1 - t
\end{array}\right. \:\text{ avec}\: t \in \R.\]

		\item On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (AH) est :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
y&=&k\\
z&=&k
\end{array}\right. \:\text{ avec}\: k \in \R.\]

Montrer que le point d'intersection de (GM) et (AH), que l'on nommera N, a pour
coordonnées (0~;~2~;~2).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle AMN est un triangle rectangle en A.
		\item Calculer l'aire de ce triangle.
	\end{enumerate}
\item Soit J le centre de la face BCGF{}.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point J.
		\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{FJ}}$ est un vecteur normal au plan (AMN).
		\item Montrer que J appartient au plan (AMN). En déduire qu'il est le projeté orthogonal du point F sur le plan (AMN).
	\end{enumerate}
\item On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre ou d'une pyramide est donné par la formule :
\[\mathcal{V} = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h,\]

$\mathcal{B}$ étant l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

Montrer que le volume du tétraèdre AMNF est le double du volume de la pyramide BCGFM.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

Le but de cet exercice est d'étudier les convergences de deux suites vers une même limite.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[2~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \sqrt{3x - 2}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier les éléments du tableau de variations ci-dessous :

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(6.5,2.5)
%\psframe(6.5,2.5)\psline(1.5,0)(1.5,2.5)\psline(0,2)(6.5,2)
%\uput[u](0.75,1.9){$x$}\uput[u](1.75,1.9){$2$}\uput[u](6.1,1.9){$+\infty$}
%\rput(0.75,1){$f(x)$}\uput[u](1.75,0){2}\uput[d](6,2){$+ \infty$}
%\psline{->}(1.9,0.3)(5.65,1.55)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\[\begin{tablvar}[stretch=1.2,intervalwidth=8em]{1}
\hline
x & 2 && +\infty\\
\hline
\variations{\mil{f(x)} & \bas{2} && \haut{+\infty}}
\hline
\end{tablvar}\]

On admet que la suite $\left(u_n\right)$ vérifiant $u_0 = 6$ et, pour tout $n$ entier naturel, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ est bien définie.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel : $2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 6$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
	\end{enumerate}
\item On appelle $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$.

On admet qu'elle est solution de l'équation $f(x) = x$. Déterminer la valeur de $\ell$.

\item On considère la fonction \texttt{rang} écrite ci-dessous en langage Python.

On rappelle que sqrt($x$) renvoie la racine carrée du nombre $x$.

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabular}{>{\cellcolor{lightgray!50}}c l}
1&from math import *\\
2&\\
3&def rang(a) :\\
4&\quad  u = 6\\
5&\quad n=0\\
6& \quad while u > = a :\\
7&\qquad u = sqrt(3*u - 2)\\
8&\qquad n = n+1\\
9& \quad return n\\
\end{tabular}
\end{ttfamily}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on affirmer que \texttt{rang}(2.000001) renvoie une valeur ?
		\item Pour quelles valeurs du paramètre $a$ l'instruction \texttt{rang}($a$) renvoie-t-elle un résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la suite $\left(v_n\right)$ vérifiant $v_0 = 6$ et, pour tout $n$, entier naturel, $v_{n+1} = 3 - \dfrac{2}{v_n}$ est bien définie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_1$.
\item Pour tout $n$ entier naturel, on admet que $v_n \ne 2$ et on pose :

\[w_n = \dfrac{v_n - 1}{v_n - 2}\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison 2 et préciser son premier terme $w_0$.
		\item On admet que, pour tout $n$ entier naturel,

\[w_n - 1 = \dfrac{1}{v_n - 2}.\]

En déduire que, pour tout $n$ entier naturel,

\[v_n = 2 + \dfrac{1}{1,25 \times 2^n - 1}\]

		\item Calculer la limite de $\left(v_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $v_n < 2,01$ en résolvant
l'inéquation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

À l'aide des parties précédentes, déterminer le plus petit entier $N$ tel que pour tout $n \geqslant N$, les termes $v_n$ et $u_n$ appartiennent à l'intervalle ]1,99~;~2,01[.

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
 Chaque réponse doit être justifiée.\\
 Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

Un musée propose des visites avec ou sans audioguide. Les billets peuvent être achetés en ligne ou directement au guichet.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsqu'une personne achète son billet en ligne, un code de validation lui est envoyé par SMS afin qu'elle confirme son achat.

Ce code est généré de façon aléatoire et est constitué de 4 chiffres deux à deux distincts, le premier chiffre étant différent de 0.

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Le nombre de codes différents pouvant être générés est \np{5040}.
\item Une étude a permis de considérer que :
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'une personne choisisse l'audioguide sachant qu'elle a acheté
son billet en ligne est égale à 0,8 ;
\item la probabilité qu'une personne achète son billet en ligne est égale à 0,7 ;
\item la probabilité qu'une personne opte pour une visite sans audioguide
est égale à 0,32.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} La probabilité qu'un visiteur ne prenne pas l'audioguide
sachant qu'il a acheté son billet au guichet est supérieure à deux tiers.
\item On choisit au hasard 12 visiteurs de ce musée.

On suppose que le choix de l'option \og audioguide \fg{} est indépendant d'un visiteur à l'autre.

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} La probabilité qu'exactement la moitié de ces visiteurs opte pour l'audioguide est égale à $924 \times \np{0,2176}^6$.

\item Lorsqu'une personne dispose d'un audioguide, elle peut choisir parmi trois parcours :
\begin{itemize}
\item un premier d'une durée de cinquante minutes,
\item un deuxième d'une durée d'une heure et vingt minutes,
\item un troisième d'une durée d'une heure et quarante minutes.
\end{itemize}

Le temps de parcours peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$&50~min &1 h 20 min&1 h 40 min \\ \hline
$P(X = x_i)$& 0,1& 0,6&0,3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} L'espérance de $X$ est 77 minutes.
\end{enumerate}
\end{document}