\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole--La Réunion 20 juin 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S } \rfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \lfoot{\small{20 juin 2016}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 20 juin 2016~\decofourright }}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40\,\% des composants et la chaîne B produit le reste. \smallskip Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20\,\% des composants présentent ce défaut alors qu'en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5\,\%. \smallskip On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ] $A$ l'évènement \og le composant provient de la chaîne A \fg \item[ ] $B$ l'évènement \og le composant provient de la chaîne B \fg \item[ ] $S$ l'évènement \og le composant est sans défaut \fg \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $P(S) = 0,89$. \item Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion $p$ de composants sans défaut. \smallskip Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de $400$~composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A. Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de $0,92$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer un intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance de 95\,\%. \item Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de $0,02$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (où $\lambda$ est un nombre réel strictement positif). On note $f$ la fonction densité associée à la variable aléatoire $T$. On rappelle que : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item pour tout nombre réel $x \geqslant 0,\: f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}$. \item pour tout nombre réel $a \geqslant 0,\: P(T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a f(x)\:\text{d}x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(7.5,6.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,griddots=10](0,0)(8,7) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(7.5,6.5)[$x$,-110][$y$,200] \psline(3.4,-0.1)(3.4,0.1) \uput[d](3.4,0){$a$} %\uput[d](7.35,0){$x$}\uput[l](0,6.35){$y$} \uput[dl](0.6,3.5){\blue $\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{5 2.71828 0.510826 x mul exp div} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Interpréter graphiquement $P(T \leqslant a)$ où $a > 0$. \item Montrer que pour tout nombre réel $t \geqslant 0 \::\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$. \item En déduire que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} P(T \leqslant t) = 1$. \end{enumerate} \item On suppose que $P(T \leqslant 7) = 0,5$. Déterminer $\lambda$ à $10^{-3}$ près. \item Dans cette question on prend $\lambda = 0,099$ et on arrondit les résultats des probabilités au centième. \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans. \item On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans. \item Donner l'espérance mathématique E($T$) de la variable aléatoire $T$ à l'unité près. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk{} on donne les points : \[\text{A}(1~;~2~;~3), \text{B}(3~;~0~;~1), \text{C}(-1~;~0~;~1), \text{D}(2~;~1~;~-1), \text{E}(-1~;~-2~;~3) \:\text{et }\: \text{F}(- 2~;~-3~;~4).\] Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. \medskip \textbf{Affirmation 1 :} Les trois points A, B, et C sont alignés. \smallskip \textbf{Affirmation 2 :} Le vecteur $\vect{n}(0~;~1~;~-1)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \smallskip \textbf{Affirmation 3 :} La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d'intersection est le milieu du segment [BC]. \smallskip \textbf{Affirmation 4 :} Les droites (AB) et (CD) sont sécantes. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x - \ln \left(x^2 + 1\right).\] \begin{enumerate} \item Résoudre dans $R$ l'équation : $f(x) =x$. \item Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l'exception de la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ que l'on admet. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,3) \psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$- \infty$} \uput[u](5,2.4){$1$} \uput[u](8.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){+} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){+} \uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](8.5,2){$+ \infty$}\rput(0.5,1){$f(x)$} \psline{->}(2,0.3)(8,1.7) \end{pspicture} \end{center} \item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], $f(x)$ appartient à [0~;~1]. \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline Variables &$N$ et $A$ des entiers naturels ;\\ \hline Entrée &Saisir la valeur de $A$\\ \hline Traitement &$N$ prend la valeur $0$\\ &Tant que $N - \ln\left(N^2 + 1\right) < A$\\ &\hspace{0,6cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ &Fin tant que\\ \hline Sortie &Afficher $N$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Que fait cet algorithme ? \item Déterminer la valeur $N$ fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour $A$ est 100. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n -\ln \left(u_n^2 + 1\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ appartient à [0~;~1]. \item Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$. \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \item On note $\ell$ sa limite, et on admet que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell) = \ell$. En déduire la valeur de $\ell$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls $(a,\:b)$, on note pgcd$(a,\:b)$ le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$. Le plan est muni d'un repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Exemple. Soit $\Delta_1$ la droite d'équation $y = \dfrac{5}{4} x - \dfrac{2}{3}$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $(x,\:y)$ est un couple d'entiers relatifs alors l'entier $15x - 12y$ est divisible par $3$. \item Existe-il au moins un point de la droite $\Delta_1$ dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier. \end{enumerate} \textbf{Généralisation} \medskip On considère désormais une droite $\Delta$ d'équation $(E) \::\: y = \dfrac{m}{n} x - \dfrac{p}{q}$ où $m, n, p$ et $q$ sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(m,\: n) = \text{pgcd}(p,\: q) = 1$. Ainsi, les coefficients de l'équation $(E)$ sont des fractions irréductibles et on dit que $\Delta$ est une droite rationnelle. Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $m, n, p$ et $q$ pour qu'une droite rationnelle $\Delta$ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs. \item On suppose ici que la droite $\Delta$ comporte un point de coordonnées $\left(x_0,\:y_0\right)$ où $x_0$ et $y_0$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item En remarquant que le nombre $n y_0 - m x_0$ est un entier relatif, démontrer que $q$ divise le produit $np$. \item En déduire que $q$ divise $n$. \end{enumerate} \item Réciproquement, on suppose que $q$ divise $n$, et on souhaite trouver un couple $\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que $y_0 = \dfrac{m}{n}x_0 - \dfrac{p}{q}$. \begin{enumerate} \item On pose $n = qr$, où $r$ est un entier relatif non nul. Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $qru - mv = 1$. \item En déduire qu'il existe un couple $\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que $y_0 = \dfrac{m}{n} x_0 - \dfrac{p}{q}$. \end{enumerate} \item Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = \dfrac{3}{8} x - \dfrac{7}{4}$. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier. \item On donne l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables :}&$M, N, P, Q$ : entiers relatifs non nuls, tels que pgcd$(M,\: N)$ = pgcd$(P,\:Q) = 1$\\ &$X$ : entier naturel\\ \textbf{Entrées :} &Saisir les valeurs de $M, N, P, Q$\\ \textbf{Traitement et sorties :}&\\ &Si $Q$ divise $N$ alors\\ &\begin{tabular}{|l} $X$ prend la valeur $0$\\ Tant que $\left(\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q} \text{n'est pas entier}\right)$\\ et $ \left(-\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q} \text{n'est pas entier}\right)$ faire\\ \hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l} $X$ prend la valeur $X + 1$ \end{tabular}\\ Fin tant que\\ Si $\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}$ est entier alors\\ \hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l} Afficher $X, \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}$ \end{tabular}\\ Sinon\\ \hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l} Afficher $-X, - \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}$ \end{tabular}\\ Fin Si\\ \end{tabular}\\ &Sinon\\ &\begin{tabular}{|l} Afficher \og Pas de solution \fg \end{tabular}\\ &Fin Si\\\hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de $M, N, P, Q$, entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(M,\: N)$ = pgcd$(P,\: Q) = 1$. \item Que permet-il d'obtenir ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \parbox{0.4\linewidth}{Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l'extérieur du segment [AB]. La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n'importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.}\hfill\parbox{0.57\linewidth}{\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(11.6,8) \psframe(0.5,0)(10.8,7.3)\psline(5.65,0)(5.65,7.3) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.75)(5.65,0.75)%EM \uput[l](0.5,0.75){E}\uput[r](5.65,0.75){M} \uput[l](0.5,3.3){A}\uput[l](0.5,3.9){B}\uput[ur](2.8,0.75){T} \psline[linestyle=dashed](0.5,3.3)(2.8,0.75)(0.5,3.9) \rput{90}(6,3.65){Ligne médiane}\rput{90}(11.2,3.65){Limite du terrain} \uput[u](5.65,7.3){Terrain vu de dessus} \psline(0.35,3.9)(0.65,3.9)\psline(0.35,3.3)(0.65,3.3) \psline(10.65,3.9)(10.95,3.9)\psline(10.65,3.3)(10.95,3.3) \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.5)(2.8,0.5)\uput[d](1.65,0.6){$x$} \end{pspicture} } \medskip Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ le plus grand possible. \smallskip Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. Dans toute la suite, on note $x$ la longueur ET, qu'on cherche à déterminer. \medskip Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m . On note $\alpha$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ETA}}$, $\beta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ETB}}$ et $\gamma$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer $\tan \alpha$ et $\tan \beta$ en fonction de $x$. La fonction tangente est définie sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ par $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. \item Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$. \item L'angle $\widehat{\text{ATB}}$ admet une mesure $\gamma$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure. On admet que, pour tous réels $a$ et $b$ de l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, $\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \times \tan b}$. Montrer que $\tan \gamma = \dfrac{5,6x}{x^2 + 765}$. \item L'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum lorsque sa mesure $\gamma$ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle ]0~;~50] de la fonction $f$ définie par : $f(x)= x+ \dfrac{765}{x}$. Montrer qu'il existe une unique valeur de $x$ pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum et déterminer cette valeur de $x$ au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ à $0,01$ radian près. \end{enumerate} \end{document}