\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} % Tapuscrit Denis Vergès \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 16 septembre 2010} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Métropole 16 septembre 2010 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x (1 - \ln x).\] La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie). \medskip \textbf{Partie 1 : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. \item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$. \begin{enumerate} \item Déterminer, en fonction du nombre réel $a$, les coordonnées du point A$'$, point d'intersection de la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées. \item Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente $\left(T_{a}\right)$. Sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie) construire la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A placé sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II: Un calcul d'aire} \medskip Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On note $\mathcal{A}(a)$ la mesure, en unité d'aire, de l'aire de la région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = a$ et $x = \text{e}$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$, en distinguant le cas $a < \text{e}$ et le cas $a > \text{e}$. \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\mathcal{A}(a)$ en fonction de $a$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$, par \[u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}.\] \medskip Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$, alors on a, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$. On donne en annexe 2 (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction. \item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} - 1 > 0.$ \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b. \end{enumerate} \item Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$. \item Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Soit $(\mathcal{P})$ le plan d'équation : $3x + y - z -1 = 0$ et $(\mathcal{D})$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& - t + 1\\ y& 2t \\ z& - t + 2 \end{array}\right. \text{où}~t~\text{désigne un nombre réel.}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le point C(1~;~3~;~2) appartient-il au plan $(\mathcal{P})$ ? Justifier. \item Démontrer que la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$. \end{enumerate} \item Soit $(\mathcal{Q})$ le plan passant par le point C et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan $(\mathcal{Q})$. \item Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan $(\mathcal{Q})$ et de la droite $(\mathcal{D})$. \item Montrer que CI $= \sqrt{3}$. \end{enumerate} \item Soit $t$ un nombre réel et $M_{t}$ le point de la droite $(\mathcal{D})$ de coordonnées $(- t + 1~;~2t~;~- t + 2)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout nombre réel $t,~ \text{C}M_{t}^2 = 6t^2 - 12t + 9$. \item Montrer que CI est la valeur minimale de C$M_{t}$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item On considère le point I d'affixe i et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item Montrer que le point A appartient au cercle $\Gamma$ de centre le point I et de rayon 2. Sur une figure (unité graphique 1~cm), qu'on complètera au fur et à mesure de l'exercice, placer le point I, tracer le cercle $\Gamma$, puis construire le point A. \item On considère la rotation $r$ de centre le point I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Démontrer que le point B image du point A par la rotation $r$ a pour affixe $z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)$. Justifier que le point B appartient au cercle $\Gamma$. \item Calculer l'affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I. \item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} On considère les points E et F tels que : $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{BI}}$. Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ? Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les deux rectangles OABC et DEFG où les points A, B, C, D, E, F{}, G ont pour affixes respectives \[z_{\text{A}} = -2,\quad z_{\text{B}} = -2 + \text{i},\quad z_{\text{C}}= \text{i},\quad z_{\text{D}}= 1,~z_{\text{E}}= 1 + 3\text{i},\quad z_{\text{F}}= \dfrac{5}{2} + 3\text{i},\quad z_{\text{G}} = \dfrac{5}{2}.\] Voir la figure donnée en annexe 3. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la similitude directe $s$ transformant O en D et A en E. \begin{enumerate} \item Justifier que l'écriture complexe de la similitude $s$ est: $z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1$. \item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $s$. \item Quelle est l'image du rectangle OABC par la similitude $s$ ? \end{enumerate} \item On considère la similitude indirecte $s'$ d'écriture complexe $z' = -\dfrac{2}{3}\text{\,i\,}\overline{z} + \dfrac{5}{3}\text{i}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'image du rectangle DEFG par la similitude $s'$. \item On considère la similitude $g = s' \circ s$. Déterminer l'image du rectangle OABC par la similitude $g$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} La similitude $g$ a-t-elle des points fixes ? Que peut-on en conclure pour $g$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 (Exercice 1)\\ (à rendre avec la copie)} \vspace{1cm} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-1,-2.6)(5.25,2.25) \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5,comma=true](0,0)(-0.5,-2.6)(5.25,2.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.01}{4.65}{x 1 x ln sub mul} \uput[d](1.7,0){\red $a$}\uput[l](0,0.7979){\red $f(a)$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1.7,0.7979){A} \uput[ur](2.3,0.3){\blue $\mathcal{C}$} \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](1.7,0)(1.7,0.7979)(0,0.7979) \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2 (Exercice 2)} (à rendre avec la copie) \vspace{2cm} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.5)(7,4.25) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt]{-2}{4.25}{x} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x 2 add div} \uput[ul](0,0){O} \uput[ul](3.8,3.8){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 3 (Exercice 4)\\ Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{2cm} \psset{unit=2.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-2,-0.5)(3.5,4) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2,-0.5)(3.5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psframe(-2,1) \psframe(1,0)(2.5,3) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](-2,0){A} \uput[ul](-2,1){B} \uput[ur](0,1){C} \uput[d](1,0){D} \uput[ul](1,3){E} \uput[ur](2.5,3){F} \uput[d](2.5,0){G} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}