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%Tapuscrit Jean-Yves Le Goff ; figures Denis Verg\`es
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small BaccalauréŽat  L}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat L spécialité Métropole~\decofourright\\septembre 2006}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisŽé \hfill 3 heures

Ce sujet comporte une feuille annexe à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\bigskip

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle ]0~;~10]. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,5)
\psframe(-1,-1)(11,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(11,5)
\uput[ur](1,0){A} \uput[u](-0.8,2){T} \uput[u](9,0.5){$\mathcal{C}$}
\uput[d](10.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$} \uput[dl](0,0){O}
\psline(-1,2)(2,-1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.237}{10}{x ln 2 x div add 2 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

 On précise que la droite T est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A de coordonnées (1 ; 0) et qu'elle passe par le point de coordonnées (0 ; 1).
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Répondre aux deux questions suivantes par lecture graphique :
	\begin{enumerate}
		\item Donner $f(1)$ et $f '(1)$ en justifiant la valeur de $f'(1)$.
		\item Lire les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle ]0 ; 10].
	\end{enumerate}
\item On sait que $f(x)$ est de la forme $f(x) = \ln x + \dfrac{a}{x} + b$, où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item En utilisant les valeurs trouvées pour $f(1)$ et $f'(1)$ à la question 1 , calculer $a$ et $b$. 
		\item En déduire l'expression de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
\bigskip

\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle ]0 ; 10] par 

\[f(x) = \ln x + \dfrac{2}{x} - 2\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle ]0 ; 10]

\[f'(x) = \dfrac{ x - 2}{x^2}\]

Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item On admet que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ est $+\infty$.

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $]0~;~10]$.
	\end{enumerate}
\item Le nombre 5 est-il vraiment une solution de l'équation $f(x) = 0$  ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On admet qu'on obtient le m\^{e}me reste en divisant un nombre par 9 qu'en divisant la somme de ses chiffres par 9.

Par exemple :

\[\begin{array}{l l}
\nombre{8753} = 972\times 9 + 5,& 	\text{le reste est donc}~ 5.\\
8+7+5+3 = 23 = 2\times 9 + 5,& \text{le reste est également}~ 5.\\
\end{array}\]

\bigskip

 Sur les billets de banque en euros figure un code de 11 chiffres précédé d'une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l'alphabet habituel comportant 26 lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13 chiffres et on cherche le reste de la division de ce nombre par 9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut 8. Exemple :

\bigskip

 \parbox{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(4.3333,2.3333)
\psframe(4.3333,2.3333)
\uput[d](0.5,2.23){\huge{20}}
\uput[u](0.5,0.1){\Huge{20}}
\uput[u](3,0.1){EURO \Huge{20}}
\uput[d](3,2.1){\small s00212913862}
\uput[u](1.5,0.8){\small  s00212913862}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.6\textwidth}{\begin{tabular}{l r}
Code : &	s00212913862.\\
Rang dans l'alphabet de la lettre s ;& 19.\\
Nombre obtenu : &	1900212913862.\\
Reste pour ce billet : &8\\
\end{tabular}
}

\begin{enumerate}
\item Le code u01308937097 figure sur un billet de banque.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le nombre à 13 chiffres correspondant à ce code.
		\item Calculer le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre.
		\item Que peut-on dire de ce billet ?
	\end{enumerate}
\item Sur un billet authentique figure le code s0216644810$x,~ x$ pour le dernier chiffre	illisible. Montrer que $x + 42$ est congru à $8$ modulo $9$.

En déduire $x$.
\item Sur un autre billet authentique la partie du code formé par les 11 chiffres est 16122340242, mais la lettre qui les précède est effacée. On appelle $n$ le rang dans l'alphabet de la lettre effacée.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs possibles de $n$.
		\item Quelles sont les possibilités pour la lettre effacée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Un architecte a commencé le dessin d'un couloir (voir la figure en feuille annexe). Il a dessiné une large fenêtre rectangulaire sur le mur vertical de droite. II n'a dessiné qu'une
partie du carrelage du sol.

On admet que l'architecte respecte les règles de la perspective à point de fuite.

Toutes les constructions sont à faire sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Citer une règle de la perspective à point de fuite. La vérifier sur la figure fournie en
feuille annexe (on peut éventuellement effectuer des constructions sur la figure).
\item Sachant que le carrelage est régulier, représenter les 3 premières rangées de 5
carreaux (laisser clairement apparaître les traits de construction; aucune justification écrite n'est demandée par ailleurs).
\item La fenêtre rectangulaire du mur de droite comporte deux battants de même largeur séparés par une traverse verticale. Au milieu de cette traverse verticale est fixée une poignée. Seul le cadre de la fenêtre est représenté sur le dessin. Compléter la figure en représentant la traverse verticale par un segment et la poignée par un point M.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe de l'exercice 3 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(15,19)
\psframe(14.2,18.5) \psframe(7.1,11.5)(9,14)
\psline(0,0)(7.1,11.5) \psline(0,18.5)(7.1,14)
\psline(14.2,0)(9,11.5) \psline(14.2,18.5)(9,14)
\pspolygon(10.4,14.2)(12.6,15.1)(12.6,7.8)(10.4,10.5)
\psline(2.8,0)(5.6,6.8) \psline(1.2,2.2)(5,2.2)
\uput[u](8,9){Sol} \uput[u](11.5,12){Fen\^etre}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}