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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S 11 septembre 2014}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 11 septembre 2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 11 septembre 2014~\decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé \Oij, une courbe $\mathcal{C}$ et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0~;~1) et $(-1~;~3)$.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-2.)(3,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-2.)(3,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](0,1){A}\uput[l](-1,3){B}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[d](-1,0){$- 1$}\uput[r](0,3){3}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[d](-2.1,-1.2){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{1 x add x 3 mul 2.71828 x dup mul exp div sub}
\psplot{-1.5}{1.5}{1 x 2 mul sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

On désigne par $f$ la fonction dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}$.

On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a$ tel que pour tout réel $x$,

\[f(x) = x + 1 + ax\text{e}^{- x^2}.\]

\index{fonction exponentielle}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A.
		\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
		\item Démontrer que pour tout réel $x$,

\[f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]

		\item On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.

Déterminer la valeur du réel $a$.
	\end{enumerate}
\item D'après la question précédente, pour tout réel $x$,

\[f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2}\quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 1~;~0],\: f(x) > 0$.
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ inférieur ou égal à $- 1, \:f'(x) > 0$.
		\item Démontrer qu'il existe un unique réel $c$ de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right]$ tel que $f(c) = 0$.

Justifier que $c < - \dfrac{3}{2} + 2 \cdot 10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par :

\[c \leqslant x \leqslant 0\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Écrire $\mathcal{A}$ sous la forme d'une intégrale.
		\item On admet que l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\:\text{d}x$ est une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-3}$ près.

Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$.
\index{intégrale et aire}\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou avec réservation préalable.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d'attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.

On modélise ce temps d'attente en minutes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif. On rappelle que l'espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
\index{loi exponentielle}

Une étude statistique a permis d'observer que le temps moyen d'attente pour obtenir une table est de 10~minutes.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $\lambda$.
		\item Quelle est la probabilité qu'un client attende entre 10 et 20~minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$. 
		\item Un client attend depuis 10 minutes. Quelle est la probabilité qu'il doive attendre au moins 5~minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
	\end{enumerate}
\item Le deuxième restaurant a une capacité d'accueil de 70~places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu'une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à $0,8$.

On note $n$ le nombre de réservations prises par le restaurant et $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant.

On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale.
\index{loi binomiale}
\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$.
		\item Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d'écart-type $\sigma = 3,6$.

\index{loi normale}
Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l'aide de la calculatrice. 
		\item On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(Y \leqslant 70)$ de l'évènement $\{Z \leqslant 70\}$.

Le restaurant a reçu 81 réservations.

Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.

Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		\index{suite}
		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1\,\% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5~mL, la machine réinjecte 4~mL de produit.

Au bout de 15 minutes, on arrête la machine.

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$.
 
L algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :		&$n$ est un entier naturel.\\
				&$v$ est un nombre réel.\\
Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\
Traitement :	& 	Pour $n$ allant de 1 à 15\\
				&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
					Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\
					Si $v < 5$ alors affecter à $v$ la valeur $v + 4$\\
					Afficher $v$.\\
						\end{tabular}\\
				&Fin de boucle.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\index{algorithme}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{17}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 & 15 \\ \hline
$v_{n}$ &10 
&8 &6,4 &&&&&8,15 &6,52 &5,21 &8,17 &6,54 &5,23 &8,18 &6,55 &5,24\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
		\item On souhaite programmer la machine afin qu'elle injecte 2~mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6~mL et qu'elle s'arrête au bout de 30~minutes.

Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
	\end{enumerate}
\item On programme la machine de façon que :

\begin{itemize}
\item à l'instant 0, elle injecte 10~mL de médicament,
\item toutes les minutes, elle injecte 1~mL de médicament.
\end{itemize}

On estime que 20\,\% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute.

Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$.

Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner ?\hyperlink{Index}{*}
		\index{suite}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip 

\index{géométrie dans l'espace}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées:

\[\text{A}\left(1~;~- \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{B}\left(1~;~ \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{C}(-2~;~0~;~0)\:;\: \text{D}\left(0~;~0~;~2\sqrt{2}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne $4x + z\sqrt{2} = 4$.
\index{equation de plan@équation de plan}
\item On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t\\
y&=&0\\
z&=&t\sqrt{2}
\end{array}\right.,\: t \in \R\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O.
		\item Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABD).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note L le milieu du segment [AC].

Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC).
		\item Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c'est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le cadre d'une étude sur les interactions sociales entre des souris, des chercheurs enferment des souris de laboratoire dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces compartiments est ouverte pendant dix minutes tous les jours à midi.

On étudie la répartition des souris dans les deux compartiments. On estime que chaque jour :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item 20\,\% des souris présentes dans le compartiment A avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte,
\item 10\,\% des souris qui étaient dans le compartiment B avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On suppose qu'au départ, les deux compartiments A et B contiennent le même effectif de souris. On pose $a_{0} = 0,5$ et $b_{0} = 0,5$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de souris présentes respectivement dans les compartiments A et B au bout de $n$ jours, après fermeture de la 
porte. On désigne par $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.
\index{matrices}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $U_{1} = \begin{pmatrix}0,45\\0,55\end{pmatrix}$.
		\item Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.
		\item En déduire que $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice que l'on précisera.

On admet sans démonstration que $U_{n} = M^n U_{0}$.
		\item Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours.
	\end{enumerate}
\item Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$.
		\item Vérifier que $P^{- 1} MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, 

$M^n = P D^n P^{- 1}$.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient

\[M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1 +2 \times 0,7^n}{3}&\dfrac{1 - 0,7^n}{3}
\\ \dfrac{2 - 2 \times 0,7^n}{3}&\dfrac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix}.\]

	\end{enumerate}
\item En s'aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ?
\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 11 septembre 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 11 septembre 2014~\decofourright
}}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé \Oij, une courbe $\mathcal{C}$ et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0~;~1) et $(-1~;~3)$.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2.)(3,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-2.)(3,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](0,1){A}\uput[l](-1,3){B}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[d](-1,0){$- 1$}\uput[r](0,3){3}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[d](-2.1,-1.2){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{1 x add x 3 mul 2.71828 x dup mul exp div sub}
\psplot{-1.5}{1.5}{1 x 2 mul sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

On désigne par $f$ la fonction dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}$.

On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a$ tel que pour tout réel $x$,

\[f(x) = x + 1 + ax\text{e}^{- x^2}.\]

\index{fonction exponentielle}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A.
		\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
		\item Démontrer que pour tout réel $x$,

\[f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]
 
		\item On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A. 

Déterminer la valeur du réel $a$.
	\end{enumerate}
\item D'après la question précédente, pour tout réel $x$, 

\[f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2}\quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 1~;~0],\: f(x) > 0$. 
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ inférieur ou égal à $- 1, \:f'(x) > 0$. 
		\item Démontrer qu'il existe un unique réel $c$ de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right]$ tel que $f(c) = 0$.
		
Justifier que $c <   - \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}$.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par :

\[c \leqslant x \leqslant 0\quad  \text{et}\quad  0 \leqslant y \leqslant f(x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Écrire $\mathcal{A}$ sous la forme d'une intégrale.
		\item On admet que l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\:\text{d}x$ est une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-3}$ près.

Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$.
\index{intégrale et aire}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Dans cet exercice, on s'intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou avec réservation préalable.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d'attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.

On modélise ce temps d'attente en minutes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif. On rappelle que l'espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
\index{loi exponentielle}

Une étude statistique a permis d'observer que le temps moyen d'attente pour obtenir une table est de 10~minutes.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $\lambda$.
		\item Quelle est la probabilité qu'un client attende entre 10 et 20~minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
		\item Un client attend depuis 10 minutes. Quelle est la probabilité qu'il doive attendre au moins 5~minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
	\end{enumerate}
\item Le deuxième restaurant a une capacité d'accueil de 70~places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu'une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à $0,8$.

On note $n$ le nombre de réservations prises par le restaurant et $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant.
 
On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale.
\index{loi binomiale}
\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$.
		\item Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d'écart-type $\sigma = 3,6$.

\index{loi normale}
Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l'aide de la calculatrice.
		\item On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(Y \leqslant 70)$ de l'évènement $\{Z \leqslant 70\}$.
		
Le restaurant a reçu 81 réservations.

Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.

Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		\index{suite}
		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1\,\% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5~mL, la machine réinjecte 4~mL de produit.
 
Au bout de 15 minutes, on arrête la machine.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$.
 
L algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :		&$n$ est un entier naturel.\\
				&$v$ est un nombre réel.\\
Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\
Traitement :	& 	Pour $n$ allant de 1 à 15\\
				&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
					Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\
					Si $v < 5$ alors affecter à $v$ la valeur $v + 4$\\
					Afficher $v$.\\
						\end{tabular}\\
				&Fin de boucle.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
\index{algorithme}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{17}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 & 15 \\ \hline
$v_{n}$ &10 
&8 &6,4 &&&&&8,15 &6,52 &5,21 &8,17 &6,54 &5,23 &8,18 &6,55 &5,24\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
		\item On souhaite programmer la machine afin qu'elle injecte 2~mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6~mL et qu'elle s'arrête au bout de 30~minutes.

Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
	\end{enumerate}
\item On programme la machine de façon que :

\begin{itemize}
\item à l'instant 0, elle injecte 10~mL de médicament,
\item toutes les minutes, elle injecte 1~mL de médicament.
\end{itemize}

On estime que 20\,\% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute.

Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$.

Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner ?
		\index{suite}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\index{géométrie dans l'espace}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées:

\[\text{A}\left(1~;~- \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{B}\left(1~;~ \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{C}(-2~;~0~;~0)\:;\: 	\text{D}\left(0~;~0~;~2\sqrt{2}\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne $4x + z\sqrt{2} = 4$.
\index{equation de plan@équation de plan}
\item On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t\\
y&=&0\\
z&=&t\sqrt{2}
\end{array}\right.,\: t \in \R\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O.
		\item Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABD).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note L le milieu du segment [AC].
		 
Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC).
		\item Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c'est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

Dans le cadre d'une étude sur les interactions sociales entre des souris, des chercheurs enferment des souris de laboratoire dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces compartiments est ouverte pendant dix minutes tous les jours à midi.

On étudie la répartition des souris dans les deux compartiments. On estime que chaque jour :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item 20\,\% des souris présentes dans le compartiment A avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte,
\item 10\,\% des souris qui étaient dans le compartiment B avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On suppose qu'au départ, les deux compartiments A et B contiennent le même effectif de souris. On pose $a_{0} = 0,5$ et $b_{0} = 0,5$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de souris présentes respectivement dans les compartiments A et B au bout de $n$ jours, après fermeture de la 
porte. On  désigne par $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.
\index{matrices}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $U_{1} = \begin{pmatrix}0,45\\0,55\end{pmatrix}$.
		\item Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.
		\item En déduire que $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice que l'on précisera.

On admet sans démonstration que $U_{n} = M^n U_{0}$.
		\item Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours.
	\end{enumerate}
\item Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$.
		\item Vérifier que $P^{- 1} MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1,

$M^n = P D^n P^{- 1}$.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient

\[M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1 +2 \times 0,7^n}{3}&\dfrac{1 - 0,7^n}{3}
\\ \dfrac{2 - 2 \times 0,7^n}{3}&\dfrac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix}.\]

	\end{enumerate}
\item En s'aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ?
\end{enumerate}
\end{document}