\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole juin 2014}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S 19 juin 2014} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{19 juin 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par $\mathcal{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f_1$ définie sur $\R$ par : \[f_1(x) = x + \text{e}^{-x}.\] \smallskip \index{fonction exponentielle} \begin{enumerate} \item Justifier que $\mathcal{C}_1$ passe par le point A de coordonnées (0~;~1). \item Déterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$. On précisera les limites de $f_1$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'objet de cette partie est d'étudier la suite $\left(I_n\right)$ définie sur $\N$ par : \[I_n = \int_0^1 \left(x + \text{e}^{- nx}\right)\:\text{d}x.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n $ définie sur $\R$ par \[f_n(x) = x + \text{e}^{- nx}.\] Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $\mathcal{C}_n$ pour plusieurs valeurs de l'entier $n$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = 1$. \begin{center} \psset{unit=5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.3,-0.4)(1.3,1.4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.3,-0.1)(1.4,1.4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(1,0)(1,1.4)\uput[r](1,0.5){$\mathcal{D}$} \uput[dl](0,0){O}\uput[dl](0,1){A} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x neg exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 2 mul neg exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 3 mul neg exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 4 mul neg exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 6 mul neg exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 15 mul neg exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 60 mul neg exp x add} \uput[u](0.6,1.2){$\mathcal{C}_{1}$}\uput[u](0.6,0.9){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](0.5,0.72){$\mathcal{C}_{3}$}\uput[u](0.4,0.6){$\mathcal{C}_{4}$} \uput[u](0.3,0.45){$\mathcal{C}_{6}$}\uput[u](0.2,0.25){$\mathcal{C}_{15}$} \uput[u](0.1,0.15){$\mathcal{C}_{60}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Interpréter géométriquement l'intégrale $I_{n}$. \item En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer. \end{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, \[I_{n+1} - I_{n} = \int_{0}^1 \text{e}^{-(n + 1)x} \left(1 - \text{e}^{x}\right)\:\text{d}x.\] En déduire le signe de $I_{n+1} - I_{n}$ puis démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. \item Déterminer l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \index{probabilités} Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item la probabilité qu'une personne malade présente un test positif est $0,99$ ; \item la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est $0,001$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d'estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d'une métropole est égal à 0,1\,\%. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test. On note $M$ l'évènement \og la personne choisie est malade\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg. \begin{enumerate} \item Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre pondéré.\index{arbre} \item Démontrer que la probabilité $p(T)$ de l'évènement $T$ est égale à $1,989 \times 10^{-3}$. \item L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse. Affirmation : \og Si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne soit malade \fg. \end{enumerate} \item Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à $0,95$. On désigne par $x$ la proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie dans la population. À partir de quelle valeur de $x$ le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d'un médicament. \medskip \begin{enumerate} \item Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d'un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~\sigma^2\right)$, de moyenne $\mu = 900$ et d'écart-type $\sigma = 7$. \index{loi normale} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à $10^{-2}$. \item Déterminer l'entier positif $h$ tel que $P(900 - h \leqslant X \leqslant 900 + h) \approx 0,99$ à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \item La chaine de production a été réglée dans le but d'obtenir au moins 97\,\% de comprimés conformes. Afin d'évaluer l'efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de \np{1000}~comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à \np{1000}~tirages successifs avec remise. Le contrôle effectué a permis de dénombrer $53$~comprimés non conformes sur l'échantillon prélevé. Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate}\index{intervalle de fluctuation} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On désigne par (E) l'équation \[z^4 + 4z^2 + 16 = 0\] d'inconnue complexe $z$.\index{equation complexe@équation complexe} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $Z^2 +4Z + 16 = 0$. Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle. \item On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi}{3}$. Calculer $a^2$ sous forme algébrique. En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$. On écrira les solutions sous forme algébrique. \item \textbf{Restitution organisée de connaissances} \index{R. O. C.} On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $z = x + \text{i}y$ où $x \in \R$ et $y \in R$, le conjugué de $z$ est le nombre complexe $z$ défini par $z = x - \text{i} y$. Démontrer que : \begin{itemize} \item Pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,\: $\barre{z_{1}z_{2}} = \barre{z_{1}}\:\cdot\:\barre{z_{2}}$. \item Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n,\: \barre{z^{n}} = \left(\barre{z}\right)^n$. \end{itemize} \item Démontrer que si $z$ est une solution de l'équation (E) alors son conjugué $\overline{z}$ est également une solution de (E). En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions. \end{enumerate} \hyperlink{Index}{*} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans l'espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA]. \medskip\index{géométrie dans l'espace} On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}},\: \vect{\text{AD}}\right)$ de l'espace. \medskip \begin{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{P}$ le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF). On note H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (DF). \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points D et F. \item Donner une représentation paramétrique de la droite (DF).\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} \item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$. \item Calculer les coordonnées du point H. \item Démontrer que l'angle $\widehat{\text{EHG}}$ est un angle droit. \end{enumerate} \item On désigne par $M$ un point de la droite (DF) et par $t$ le réel tel que $\vect{\text{D}M} = t\vect{\text{DF}}$. On note $\alpha$ la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{\text{E}M\text{G}}$. Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ pour que $\alpha$ soit maximale. \begin{enumerate} \item Démontrer que $M\text{E}^2 = \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}$. \item Démontrer que le triangle $M$EG est isocèle en $M$. En déduire que $M\text{E}\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$. \item Justifier que $\alpha$ est maximale si et seulement si $\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right)$ est maximal. En déduire que $\alpha$ est maximale si et seulement si $M\text{E}^2$ est minimal. \item Conclure.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}p \medskip Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ; \item la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin~A. Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus $200$~poissons pour le bassin A et $100$~poissons pour le bassin B. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de $n$ années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est $a_{0} = 200$ et celui du bassin B est $b_{0} = 100$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $a_{1} = 400$ et $b_{1} = 300$ puis calculer $a_{2}$ et $b_{2}$. \item On désigne par $A$ et $B$ les matrices telles que $A = \begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}200\\100\end{pmatrix}$ et pour tout entier naturel $n$, on pose $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.\index{matrices} \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n} + B$. \item Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $Y_{n} = \begin{pmatrix}a_{n} + 400\\ b_{n} + 300\end{pmatrix}$. Démontrer que pour tout entier naturel $n,\:\: Y_{n+1} = AY_{n}$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $Z_{n} = Y_{2n}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,\:\: Z_{n+1} = A^2 Z_{n}$. En déduire que pour tout entier naturel $n, Z_{n+1} = 2Z_{n}$. \item On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel $n$, \[Y_{2n} = 2^n Y_{0}.\] En déduire que $Y_{2n + 1} = 2^nY_{1}$ puis démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[a_{2n} = 600 \times 2^n - 400\quad \text{et}\quad a_{2n+1} = 800 \times 2^n - 400.\] \end{enumerate} \item Le bassin A a une capacité limitée à \np{10000} poissons. \begin{enumerate} \item On donne l'algorithme suivant.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline Variables : & $a, p$ et $n$ sont des entiers naturels.\\ Initialisation :& Demander à l'utilisateur la valeur de $p$.\\ Traitement : & Si $p$ est pair\\ &\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p}{2}$\\ Affecter à $a$ la valeur $600 \times 2^n - 400$.\\ \end{tabular}\\ &Sinon \\ &\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p - 1}{2}$\\ Affecter à $a$ la valeur $800 \times 2^n - 400$.\\ \end{tabular}\\ &Fin de Si.\\ Sortie : & Afficher $a$.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse. \item Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}