%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} % Tapuscrit Denis Vergès \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole 21 juin 2012}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 21 juin 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 21 juin 2012 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $[-3~;~2]$. On dispose des informations suivantes: \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $f(0) = - 1$. \item[$\bullet~$] la dérivée $f'$ de la fonction $f$ admet la courbe représentative $\mathcal{C}'$ ci-dessous. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3.2,-2.2)(2.2,2.2) \psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](-3,-2)(2,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=4,Dy=4](0,0)(-3.2,-2.2)(2.2,2.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2}{x 1 add 2 x sub mul 0.5 mul 2.71828 x 2 div exp mul} \uput[d](-2.7,-1.2){\blue$\mathcal{C}'$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3, -1],\: f^{\prime}(x) \leqslant 0$. \item La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[-1 ~;~ 2]$. \item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3~;~2], \:f(x) \geqslant -1$. \item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$. La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1~;~0). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\,\% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\,\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\,\% des candidats rencontrés. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard le dossier d'un candidat. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{3mm} \begin{itemize} \item $D$ : \og Le candidat est retenu sur dossier \fg, \item $E_{1}$ : \og Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien \fg, \item $E_{2}$ : \og Le candidat est recruté \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous. \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$D$~}\taput{\ldots}} { \pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{\ldots}} {\TR{$E_{2}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{\ldots} } \TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{\ldots} } \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots} } \end{center} \medskip \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$. \item On note $F$ l'évènement \og Le candidat n'est pas recruté \fg. Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$. \end{enumerate} \item Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$. On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. \item Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$. \end{enumerate} \item Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{x + 1} + \ln \left(\dfrac{x}{x + 1}\right).\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~+\infty[$, $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x(x+1)^2}$. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier strictement positif par \[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|p{2.5cm}p{6cm}|}\hline Variables:&$i$ et $n$ sont des entiers naturels.\\ & $u$ est un réel.\\ Entrée:&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ Initialisation:& Affecter à $u$ la valeur 0.\\ Traitement:&Pour $i$ variant de 1 à $n$.\\ &\hspace{0,5cm}$\left\vert \text{Affecter à}\: u\: \text{la valeur} \:u + \dfrac{1}{i}\right.$\\ Sortie : &Afficher $u$.\\ \hline \end{tabular} \end{center} Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $n = 3$. \item Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de $u_{n}$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$. \item Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à $10^{-3}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &100 &\np{1000} &\np{1500} &\np{2000}\\ \hline $u_{n}$&0,697&0,674& 0,658 &0,647 &0,638 &0,632 &0,626 &0,582 &0,578 &0,578& 0,577\\ \hline \end{tabularx} \medskip À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et son éventuelle convergence. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B. Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que pour tout entier strictement positif $n$, \[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, \[u_{n+1} - u_{n} = f(n)\] où $f$ est la fonction définie dans la partie A. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Soit $k$ un entier strictement positif. Justifier l'inégalité $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x \geqslant 0$. En déduire que $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}$. Démontrer l'inégalité $\ln (k + 1) - \ln k \leqslant \dfrac{1}{k}$ \quad (1). \item Écrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement $k$ par 1, 2, \ldots , $n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, \[\ln (n + 1) \leqslant 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}.\] \item En déduire que pour tout entier strictement positif $n,u_{n} \geqslant 0$. \end{enumerate} \item Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On appelle $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $- 1$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{z + 1}$. Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soient A, B et C les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = - \dfrac{1}{2},\quad z_{\text{B}} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \text{i}.\] \begin{enumerate} \item Placer les trois points A, B et C sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2~cm pour unité graphique. \item Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A}), \text{B}' = f(\text{B})$ et C$' = f$(C) et placer les points A', B'et C' sur la figure. \item Démontrer que les points A$'$, B$'$ et C$'$ ne sont pas alignés. \end{enumerate} \item Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $z + 1$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. \item Sans donner d'explication, placer les points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, images respectives par $g$ de A, B et C et tracer la droite $\mathcal{D}_{1}$, image de la droite $\mathcal{D}$ par $g$. \item Démontrer que $\mathcal{D}_{1}$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - 1| = |z|$. \end{enumerate} \item Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$. \begin{enumerate} \item Justifier que $h\left(\text{A}_{1}\right) = \text{A}', h\left(\text{B}_{1}\right) = \text{B}'$ et $h \left(\text{C}_{1}\right) = \text{C}'$. \item Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : \[\left|\dfrac{1}{z} - 1\right| = 1 \iff |z - 1| = |z|.\] \item En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. On admet que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est le cercle $\mathcal{C}$ privé de O. \end{enumerate} \item Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = -1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 2\text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = 1 + 3\text{i}.\] et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x + 2$. \medskip \begin{enumerate} \item Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite $\mathcal{D}$. Sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2~cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et tracer la droite $\mathcal{D}$. \item Résoudre l'équation $(1 + \text{i})z + 3 - \text{i} = 0$ et vérifier que la solution de cette équation est l'affixe d'un point qui n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$. \medskip Dans la suite de l'exercice, on appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $-1 + 2\text{i}$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}}$. \medskip Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$. \medskip \item Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. \item Calculer les affixes des points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, images respectives par $g$ des points A, B et C. \item Déterminer l'image $\mathcal{D}_{1}$ de la droite $\mathcal{D}$ par la transformation $g$ et la tracer sur la figure. \end{enumerate} \item Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, fait correspondre le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points $h\left(\text{A}_{1}\right),\: h\left(\text{B}_{1}\right)$ et $h\left(\text{A}_{1}\right)$ et placer ces points sur la figure. \item Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : \[\left|\dfrac{1}{z}- \dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2} \iff |z - 2| = |z|.\] \item En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. \item Démontrer que tout point du cercle $\mathcal{C}$ qui est distinct de O est l'image par $h$ d'un point de la droite $\mathcal{D}_{1}$. \end{enumerate} \item Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \end{document}