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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole groupe II bis}}
\rfoot{\small juin 1996}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole groupe II bis juin 1996~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant donne la consommation finale d'énergie en millions de tonnes équivalent-pétrole dans différents secteur utilisateurs de 1986 à 1994, en France :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 						&1986 	&1988 	&1990 	&1992 	&1994\\ \hline 
Rang de l'année 
$\left(x_{i}\right)$		&1 		&3 		&5 		&7 		&9\\ \hline  
Secteurs résidentiel
 et tertiaire 
 $\left(y_{i}\right)$		& 71,6 	&74,9 	&78,1 	&83,2 	&86,3\\ \hline  
$z_{i} = y_{i} - 70$		& 1,6 	&4,9 	&8,1 	&13,2 	&16,3\\ \hline  
Transports $\left(t_{i}\right)$&38,7&42,1 	&$t_{5}$&47,5 	&48,3\\ \hline  
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{(Source : Observatoire de l'énergie)}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal ; les unités graphiques sont :

$\bullet~~$2 cm par année sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~~$1 cm pour 1~million de tonnes équivalent-pétrole, sur l'axe de ordonnées. 
\item \emph{Dans cette question, aucun calcul manuel n'est demandé. Les valeurs obtenues à l'aide de la calculatrice seront données sous forme décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut.} 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$. 
		\item Écrire une équation de la droite de régression de $z$ en $x$, par la méthode des moindres carrés. La tracer sur le graphique précédent. 
		\item Estimer la consommation d'énergie dans les secteurs résidentiel et tertiaire en 1996.
	\end{enumerate} 
\item On considère maintenant la série statistique $\left(x_{i}~;~t_{i}\right)$ ; on admet que la droite de régression de $t$ en $x$ a pour équation :
 
\[t = 1,27 x + 38,04.\]
 
Calculer l'ordonnée $\overline{t}$ du point moyen du nuage associé à la série double $\left(x_{i}~;~ t_{i}\right)$ ; en déduire la valeur $t_{5}$ non fournie, arrondie au dixième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} (sujet donné aux candidats) \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Un gérant de société a dépensé en 1995, pour l'achat du papier de son secrétariat, la somme de \np{16000,00}~F.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sachant que le papier coûte 64 F les \np{1000}~feuilles, combien le gérant a-t-il utilisé de milliers de feuilles en 1995 ? 
\item On suppose qu'au 1\up{er} janvier 1996, le prix du papier a augmenté de 5\,\%. On ne prévoit pas d'autre augmentation du prix du papier au cours de l'année.
 
Si le gérant maintient sa dépense, quel nombre de milliers de feuilles de papier pourra-t-il acheter en 1996 ? (on arrondira le résultat à $0,1$ près).
 
Quel pourcentage de diminution de consommation de papier cela représentera-t-il ? 
\item On suppose maintenant que le prix du papier a augmenté de $n$\,\% le 1\up{er} janvier 1996. On ne prévoit pas d'autre augmentation du prix du papier au cours de l'année.
 
On suppose que le gérant maintient sa dépense de papier. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le nombre de milliers de feuilles qu'il pourra acquérir en 1996 est : 
 
\[N = \dfrac{\np{25000}}{100 + n}.\]
 
		\item Calculer, en fonction de $n$, le pourcentage de diminution de la consommation de papier qu'il doit envisager pour 1996. 
		\item Le gérant ne veut pas restreindre sa consommation de papier de plus de 8\,\%. Quel pourcentage maximum d'augmentation n pourra-t-il supporter ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} (sujet remanié proposé par l'A. P{}. M. E. P{}.) \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Un gérant de société a dépensé en 1995 la somme de \np{16000}~F pour l'achat du papier de son secrétariat.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que les ramettes (paquets de $500$ feuilles) sont achetées et consommées au cours de l'année.
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que la ramette de $500$ feuilles coûte $32$~F, calculer le nombre de ramettes achetées en 1995.
		\item On suppose que le prix du papier a augmenté de 5\,\% au 1\up{er} janvier 1996.
		
Combien de ramettes le gérant pourra-t-il acheter en 1996 avec le même budget qu'en 1995 si aucune autre augmentation du prix du papier n'intervient en 1996? De quel pourcentage est diminuée dans ce cas la quantité de papier achetée?
		\item Le gérant estime que le nombre de ramettes ne peut pas diminuer de plus de 8\,\% par rapport à 1995. 
		
Quel pourcentage maximum d'augmentation du prix peut-il supporter sans être obligé d'accroître la dépense?
	\end{enumerate}
\item  On se propose de modéliser cette situation.

Le prix en 1995 est de $32$~F et la seule augmentation en 1996 est celle de $n$\,\% au 1\up{er} janvier 1996.
	\begin{enumerate}
		\item Comment peut-on déterminer la somme S à dépenser en 1996 pour acquérir $N$ ramettes avec cette augmentation de prix?
		\item Montrer qu'avec un budget de \np{16000}~F, le nombre de ramettes que le gérant peut acquérir en 1996 est: $N = \dfrac{\np{25000}}{100 + n}$.
		\item Le gérant estime que le nombre de ramettes ne peut pas diminuer de plus de $p$\,\% par rapport à 1995. Quel pourcentage maximum d'augmentation du prix pourra-t-il supporter?
		
Application numérique: $p =8$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans une fête foraine, une loterie utilise une roue circulaire tournant autour d'un axe et une flèche fixe déterminant la position d'arrêt de la roue. Cette roue est partagée en 10 secteurs tel que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item le secteur 1 occupe le premier quart de la roue ; 
\item les secteurs 2 et 3 se partagent également le deuxième quart ; 
\item les secteurs 4, 5 et 6 se partagent également le troisième quart ; 
\item les secteurs 7, 8, 9 et 10 se partagent également le dernier quart. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\pscircle(0,0){2}
\multido{\n=0+-22.5}{5}{\psline(0;0)(2;\n)}
\multido{\n=-11.25+-22.5,\na=10+-1}{4}{\rput(1.5;\n){\na}}
\multido{\n=-90+-30}{4}{\psline(0;0)(2;\n)}
\multido{\n=-105+-30,\na=6+-1}{3}{\rput(1.5;\n){\na}}
\multido{\n=-180+-45}{3}{\psline(0;0)(2;\n)}
\multido{\n=-202.5+-45,\na=3+-1}{2}{\rput(1.5;\n){\na}}
\rput(1.5;45){1}
\end{pspicture}
\end{center}

Quand la roue est lancée, elle s'arrête de façon aléatoire, et la flèche ne peut indiquer qu'un seul secteur.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre $n$ étant un entier de [1~;~10], la probabilité pour que la flèche indique le secteur $n$ est notée $p_{n}$.

On suppose qu'elle est proportionnelle à l'angle au centre de ce 
secteur.

Calculer $p_{1}, p_{2}, p_{4}, p_{7}$. (Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.) 
\item Le jeu proposé est le suivant :

Le joueur mise une certaine somme.

Il perd sa mise si la flèche indique les secteurs 1, 2, 4 ou 7. 

Sa mise lui est remboursée si la flèche indique 3, 5 ou 8.

Il gagne le double de sa mise si la flèche indique un autre secteur.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité $p'_{1}$, pour que le joueur perde est 
égale à $\dfrac{25}{48}$, et que la probabilité $p'_{2}$ pour qu'il soit remboursé 
vaut $\dfrac{13}{48}$.
		\item Calculer la probabilité $p'_{3}$ pour que le joueur gagne et celle $p'_{4}$ pour qu'il ne perde pas.

	\end{enumerate}
\item Un joueur joue 5 parties.
 
(Dans les questions suivantes les résultats seront arrondis à $0,001$~près.) 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p'_{5}$ pour qu'il gagne au moins quatre fois. 
		\item Calculer la probabilité $p'_{6}$ pour qu'il perde deux fois et qu'il ne perde pas trois fois. 
		\item Calculer la probabilité $p'_{7}$ pour qu'il gagne deux fois et qu'il ne perde pas trois fois.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 4 points}

\medskip 

\textbf{Question préliminaire}

\medskip
 
Vérifier que le nombre $\alpha = - 1 + \ln 125$ est solution de l'équation (E) : 

\[\text{e}^{x + 1} - 10^4 \text{e}^{-(x + 1)} -  45 = 0.\]
 
En donner la valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près par excès. 

On admettra que $\alpha$ est la seule solution de (E). 

\bigskip
 
\textbf{Offre et demande}

\medskip
 
D'après une étude de marché, l'offre $f(x)$ et la demande $g(x)$ d'un produit de prix unitaire $x$ sont telles que :
 
\[f(x) = 100 \left(\text{e}^{x + 1} - 45\right) ;\quad  g(x) = \text{e}^{-(x + 1)}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ et $g(x)$ sont positives ou nulles.
 
On désignera par I l'intervalle trouvé ; cet intervalle est dit \og intervalle de validité du modèle \fg. 
\item Déterminer la valeur $x$ telle que $f(x) = g(x)$, appelée \og prix d'équilibre \fg. 
\item Étudier les variations de $f$ et de $g$ sur l'intervalle I (on précisera les limites en $+ \infty$). 
\item Le plan P est rapporté à un repère orthogonal \Oij. Le unités graphiques sont : 2~cm pour unité sur l'axe des abscisses, et 1~cm pour \np{2000} unités sur l'axe des ordonnées.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer les courbes représentatives de $f$ et de $g$ dans P. 
		\item Vérifier graphiquement le prix d'équilibre trouvé à la question 2.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $E_{f}$ définie sur I par : 

\[E_{f} = x\dfrac{f'(x)}{f(x)} \quad (\text{où}\: f'\: \text{désigne la fonction dérivée de}\:f).\]
 
Le nombre Ef (x) s'appelle \og élasticité de l'offre par rapport au prix x \fg{} ; on admet qu'il indique le pourcentage de variation de l'offre pour un accroissement de 1\,\% d'un prix $x$ donné. $E_{f}(x)$ est négatif lors d'une diminution de l'offre.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $E_{f}(x)$.
		\item On considère le prix $x = 3,8$. Pour un accroissement de 1\,\% de ce prix, quel est le pourcentage de variation de l'offre ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}