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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
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\lfoot{\small{Métropole groupe I bis}}
\rfoot{\small  juin 1996}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole groupe I bis juin 1996~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la dette des pays du Tiers Monde entre 1978 et 1992 (en milliards de dollars).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 								&1978 	&1982 	&1986 		&1990 		&1992\\ \hline 
Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$& 0 	&4 		&8 			&12 		&14\\ \hline 
Dette $\left(y_{i}\right)$			&383 	&753 	&\np{1089} 	&\np{1346} 	&\np{1510}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{Source : Banque mondiale, FMI, $1993$}}
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
 
Les unités graphiques sont : 1 cm pour 2 ans, en abscisse 1~cm pour $100$~milliards de dollars, en ordonnées. 

Représenter le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, et le point moyen, M, de cette série. 
\item Aucun calcul manuel n'est demandé. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série double (on donnera le résultat à $10^{-3}$ près). 
Un ajustement affine peut-il être envisagé? Pourquoi? 
		\item Écrire une équation de la droite de régression $D$ de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés (les coefficients de l'équation seront donnés sous forme décimale approchée à $10^{-1}$ près par défaut). Tracer $D$. 
		\item Estimer, à 1 milliard de dollars près, le montant prévisible de la dette des pays du Tiers Monde en 2000. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\textbf{Étude préliminaire}

\medskip
  
On donne la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par :

\[ f(x) = \dfrac{x}{1 + x}.\] 

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de! Dresser son tableau de variation. 
\item Démontrer que : 

\[\text{si}\:\: 0 < x < \dfrac{1}{10}, \quad \text{alors}\:\: 0 < f(x) < 1.\]
 
\end{enumerate}

\textbf{Achat d'essence}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le prix d'un litre d'essence est $p$ ($p$ est exprimé en francs). Quel est le volume $V_{1}$ du carburant acheté pour 100~F ? 
		\item Le prix du litre d'essence a augmenté de 25\,\% par rapport à $p$. Quel est le volume $V_{2}$ du carburant acheté pour 100~F? 
		\item Calculer $V_{2}$, et vérifier que le pourcentage de diminution de 
$V_{1}$ volume du carburant acheté est 20\,\%.
	\end{enumerate} 
\item Plus généralement, démontrer que si le prix augmente de $t$\,\%, alors le volume baisse de $n$\,\% avec: 

\[n = \dfrac{100t}{100 + t}\] 

On pose $x = \dfrac{t}{100}$ et $y = \dfrac{n}{100}$. Exprimer $y$ en fonction de $x$. 
\item On suppose que l'augmentation du prix du litre de carburant est inférieure à 10\,\%, c'est-à-dire que $0 < x < 0,1$.
 
A-t-on raison de dire que la diminution de volume de carburant acheté, en résultant, est inférieure à 10\,\% ?
 
Justifier votre réponse. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Cinq amis nommés A, B, C, D, E achètent en commun une photocopieuse.
 
Pour des raisons de surface disponible, cette photocopieuse peut être entreposée seulement chez A ou chez B.
 
On procède à un vote à bulletin secret pour savoir chez lequel de A ou de B elle sera entreposée. Chacun des cinq amis émet un choix et un seul sur l'une des deux personnes A ou B. Ces choix ont supposés équiprobables.
 
Par exemple, le résultat d'un vote noté (A, B, B, A, A) signifie que: A a voté pour A ; B a voté pour B ; C a voté pour B ; D a voté pour A ; E a voté pour A. 

\emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel nombre de résultats différents peut-on concevoir ? 
\item On considère la variable aléatoire $X$ qui, au résultat de chaque vote, associe le nombre de voix obtenues par A lors de ce vote. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir la loi de probabilité de $X$. 
		\item Vérifier que la probabilité $p_{1}$ pour que la photocopieuse soit 
entreposée chez A est égale à $\dfrac{1}{2}$. 
	\end{enumerate}
\item À chaque début d'année, on effectue un vote, dans les mêmes conditions. On suppose que les votes sont des événements indépendants. 

Calculer la probabilité $p_{2}$ pour que A soit choisi pendant trois années consécutives. 
\item C a libéré de la place dans son logement, et peut maintenant aussi entreposer la photocopieuse. Le vote se déroule toujours de la même façon. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre de résultats possibles à l'issue de ce vote? 
		\item Quelle est la probabilité $p_{3}$ pour que C soit choisi avec exactement quatre voix ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip 

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} (unité graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées).
 
La courbe $\Omega$ (voir ci-dessous) est la représentation graphique sur l'intervalle $]0~;~4]$ d'une fonction $f$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par : 

\[f(x) = x^2(a + b \ln x),\]

où $a$ et $b$ désignent deux constantes réelles, et ln la fonction logarithme népérien.

\medskip

\psset{xunit=2.7cm,yunit=0.9cm,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.25,-1)(4,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(4,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5](0,0)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{4}{3  x ln 2 mul  sub x mul x  mul}
\psline(2.71828,0)(2.71828,7.389)
\psline{<->}(2.21828,7.389)(3.21828,7.389)
\psline{<->}(0.4,0.6)(2.25,8)
\uput[d](2.71828,0){$\beta$}
\uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. 
\item La courbe représentative de $f$ passe par le point A(1~;~3). Elle admet en A une tangente D de coefficient directeur $4$.
 
Montrer que $f(x) = x^2(3 - 2 \ln x)$. 
\item Déterminer une équation de la droite $D$. 
\item Déterminer la valeur exacte de l'abscisse $\beta$ du point B de la courbe où la tangente à $\Omega$ est parallèle à l'axe des abscisses. 
\item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[4~;~+ \infty[$. Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
 
Montrer que l'équation $f(x) = 3$ admet une solution unique sur l'intervalle [4~;~5] et donner une valeur approchée à $0,01$ près de cette solution.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par: 

\[g(x) = x^3 \left(11 - 6 \ln x\right).\]
 
\item En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $0,1$ 
près par excès, de l'aire exprimée en cm$^2$ de la partie du plan 
limitée par l'axe des abscisses, la courbe représentative de $f$, et 
les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

 Une entreprise fabrique $x$ milliers d'objets ($0 < x < 4$). Le coût de fabrication de tous ces objets, en milliers de francs, est supposé égal à $f(x)$, où $f$ désigne la fonction étudiée précédemment. 

Le coût moyen de fabrication d'un objet est, en francs : 

\[m(x) = \dfrac{f(x)}{x}.\]
  
Soit $k$ le nombre d'objets pour lequel le coût moyen de fabrication est maximal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $m$ sur l'intervalle ]0~;~4[. 
\item En déduire la valeur exacte du nombre entier $k$. 
\item Calculer le coût moyen maximal à $1$ centime près. 
\end{enumerate} 
\end{document}