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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}  
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 1998}} 
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle--Calédonie décembre 1998~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice  \hfill }
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une foire, une publicité annonce : \og Un billet sur deux est gagnant. Achetez deux billets \fg.

Dans cet exercice, on suppose qu'effectivement, sur le nombre de billets en vente, exactement un billet sur deux est gagnant. Xavier est toujours le premier acheteur de la journée.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Il est mis en vente chaque jour cent billets.

\medskip

\begin{enumerate}
\item   Xavier acheté deux billets. Calculer la probabilité qu'il achète au moins un billet gagnant. 

Le résultat sera donné sous forme d'une fraction irréductible, puis à $10^{-3}$ près. 

\item Xavier revient chaque jour, pendant trois tours, acheter deux billets Quelle est la probabilité qu'il achète au moins un billet gagnant sur les trois jours ?

Le résultat sera donné à $10^{-3}$ près.
  
\item Un autre tour, Xavier achète six billets Quelle est la probabilité qu'il achète au moins un billet gagnant Le résultat sera donné à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $n$ un entier naturel non nul.

Désormais, il est mis en vente $2n$ billets. Xavier achète deux billets.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la probabilité $p_{n}$, qu'il achète au moins un billet gagnant est
$p_{n} = \dfrac{3n - 1}{2(2n - 1)}$.
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la suite $\left(p_{n}\right)_{n \in \N}$.
		\item Déterminer la limite de $p_{n}$, quand $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice  \hfill (spécialité)}

\medskip
 
Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : $5$~cm).
 
On considère les points A d'affixe $\sqrt{2}$, et B d'affixe i. Soit C te point tel que OACB soit un rectangle. On note I le milieu du segment [OA], J le milieu du segment [BC] et K le milieu du segment [AI].

Placer ces points sur une figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère la transformation $s$ de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe  $z'$, tel que 
\[z' = - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}z + \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $s$ est une similitude dont le centre $\Omega$ a pour affixe
$\dfrac{2\sqrt{2}}{3} + \dfrac{1}{3}\text{i}$ et dont on déterminera le rapport $k$ et une mesure $\theta$ de l'angle.
		\item Déterminer les images par $s$ des points O, A, B, C.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer une mesure de l'angle $\left(\vect{\Omega \text{B}},~ \vect{\Omega \text{B}}\right)$.
		
En déduire que les points A, B et $\Omega$  sont alignés.
		\item Démontrer de même que les points I, C, $\Omega$ sont alignés.
		\item En déduire une construction de $\Omega$. Placer $\Omega$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\Omega$ appartient aux cercles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ de diamètres respectifs [BC] et [AI].
		\item Démontrer que $\vect{\text{J}\Omega}$ et $\vect{\text{JK}}$ sont colinéaires.
		\item Démontrer que la droite ($\Omega$O) est la tangente commune à $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$.
		
Représenter les cercles $\Gamma_{1}$,  $\Gamma_{2}$ et la droite  ($\Omega$O) sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm} 

\textbf{Problème  \hfill }

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}\end{center}

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{- x} (\cos x - \sin x)\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\sin \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ en fonction de $\sin x$ et $\cos x$.
		
En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a :
		
\[f(x) = \sqrt{2}\text{e}^{- x}\sin \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right).\]

		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
		\item Justifier que la limite de $f$ en $+ \infty$ est $0$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x, \:f'(x) = - 2 \text{e}^{- x} \sin x$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f'(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item On note $I$ l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{7\pi}{4}\right]$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $I$ et dresser le tableau de variation de
$f$ sur $I$.
		\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2,5~cm en abscisse et 10~cm en
ordonnée).
		
Tracer la partie de $\mathcal{C}$ correspondant aux points dont l'abscisse appartient à
l'intervalle $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B : Calcul d'intégrales}\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une primitive de $f$ est $\left(- f - \dfrac{1}{2}f'\right)$.
		\item En déduire que la fonction $G$, définie sur $\R$ par $G(x) = - \text{e}^{- x} \cos x$, est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$,\: $G(x + \pi) = - \text{e}^{- \pi}G(x)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(I_k\right)$ définie pour tout $k \in  \N$, par 
	
	\[I_k = \int_{- \frac{\pi}{4}+k\pi}^{\frac{3\pi}{4}+k\pi}f(x)\:\text{d}x.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $I_0$  et $I_1$.
		\item Interpréter géométriquement $\left|I_0\right| + \left|I_1\right|$.
		\item Démontrer que,pour tout $k \in \N,\: I_{k+1} = - \text{e}^{- \pi}I_k$.
		
En déduire l'expression de $I_k$ en fonction de $k$ et de $I_0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}