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%Tapuscrit Jean-Yves Le Goff ; figures Denis Verg\`es
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small BaccalauréŽat  L}
\lfoot{\small{Nouvelle-Cal\'edonie }}
\rfoot{\small{novembre 2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \gray  \decofourleft~Baccalaur\'eat L Nouvelle-Cal\'edonie~\decofourright\\
    \'Epreuve de sp\'ecialit\'e - novembre 2005\\
 Dur\'ee : 3 heures}
 \end{center}

\vspace{1cm}
\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1}\hfill 8 points}\\

\noindent \framebox{
  \begin{minipage}{12cm}
\textbf{Rappels sur la fonction logarithme n\'ep\'erien, not\'ee ln:}\\
$a$ et $b$ \'etant des r\'eels strictement positifs et $n$ un entier
naturel:

$\ln (ab)= \ln a + \ln b$ \hspace{\stretch{1}} ; \hspace{\stretch{1}} $\ln \left( \dfrac{a}{b}
\right) = \ln a - \ln b$ \hspace{\stretch{1}} ; \hspace{\stretch{1}} $\ln (a^n) = n \ln
a$. \hspace{\stretch{5}}
  \end{minipage}
}
 
\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{Partie A:}

\noindent Sur la \textbf{feuille annexe \`a rendre avec la copie} on a trac\'e dans
un rep\`ere orthonormal la courbe $(\mathscr{C})$ repr\'esentant la
fonction logarithme n\'ep\'erien et la parabole $(\mathscr{P})$ repr\'esentant la
fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par :
\[
f(x)=2x^2-3x+ \dfrac{9}{2}
\]
La fonction $f$ est d\'erivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction
d\'eriv\'ee.

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $f'(x)$ pour tout r\'eel $x$.
  \item En d\'eduire le tableau de variation de la fonction $f$. (On ne
  demande pas les limites de $f$ \`a l'infini.)
  \item Quelles sont les coordonn\'ees exactes du point $S$ sommet de la
  parabole~$(\mathscr{P})$ ?
  \end{enumerate}
 \item On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie sur l'intervalle $]0 ~;~ +
 \infty[$ par : 
  \[
  g(x)=f(x)- \ln x = 2x^2 -3x + \dfrac{9}{2} - \ln x
  \]
  La fonction $g$ est d\'erivable sur l'intervalle $]0 ; +
 \infty[$ et on note $g'$ sa fonction d\'eriv\'ee.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que, pour tout r\'eel strictement positif $x$:
 $g'(x)=\dfrac{(4x+1)(x-1)}{x}$.
 \item \'Etudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~ ;~ +
 \infty[$. \\
  Justifier que le minimum de $g$ est \'egal \`a $\dfrac{7}{2}$.
 \item En d\'eduire que pour tout r\'eel strictement positif $x$: $f(x)-
  \ln x > 0$.\\
  Quelle propri\'et\'e des courbes $(\mathscr{P})$ et $(\mathscr{C})$,
  visible graphiquement, le r\'esultat ci-dessus permet-il de justifier ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{Partie B:}

\noindent Pour tout r\'eel strictement positif $x$, on note $M$ le point
de la courbe $(\mathscr{P})$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de la
courbe $(\mathscr{C})$ de m\^eme abscisse $x$. On a ainsi : \mbox{$MN=f(x)-
\ln x = g(x)$}.\\
(la longueur $MN$ est exprim\'ee dans l'unit\'e graphique du sch\'ema de
\textbf{feuille annexe}.)
\begin{enumerate}
\item Placer les points $M$ et $N$ sur le sch\'ema de la \textbf{feuille
annexe} lorsque $x=2$.
\item Montrer que lorsque $x = \dfrac{3}{4}$ on a : $MN =
\dfrac{27}{8} + 2 \ln 2 - \ln 3$.\\
  Donner la valeur de $MN$ arrondie au centi\`eme.
\item 
  \begin{enumerate}
  \item \`A l'aide de la \textbf{partie A}, d\'eterminer pour quelle valeur de $x$, la longueur $MN$ est minimale. Que vaut alors cette longueur ?
\item Tracer en rouge sur le sch\'ema de la \textbf{feuille annexe} le
segment $[MN]$ correspondant.
\end{enumerate}
 \item Quelle est la limite de la longueur $MN$ quand $x$ tend vers
 $0$ (avec $x > 0$) ?
\end{enumerate}

\pagebreak
\vspace{1cm}
\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2}\hfill 6 points}\\

   \noindent\framebox{
    \begin{minipage}{12cm}
\textbf{Rappels:}\\
    Soit $(U_n)$ une suite g\'eom\'etrique de raison $q$ et de premier
    terme $U_1$.\\
    On a alors pour tout entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $1$: $U_n =
    U_1 \times q^{n-1}$.\\
    Soit $(V_n)$ une suite arithm\'etique de raison $r$ et de premier
terme $V_1$.\\
On a alors pour tout entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $1$: $V_n = V_1
 + (n-1)r$.
  \end{minipage}
}


\begin{multicols}{2}

\noindent Un carr\'e d'aire $1\ \text{m}^2$ est divis\'e en $9$ carr\'es \'egaux comme indiqu\'e
sur la figure ci-contre.\\
On colorie le carr\'e central. (1\ier coloriage)

\vspace{0.2cm}
\noindent Les huit carr\'es restant sont \`a leur tour divis\'es en $9$
carr\'es \'egaux comme indiqu\'e sur la figure ci-contre.\\
On colorie les huit carr\'es centraux obtenus. (2\ieme coloriage)

\vspace{0.2cm}
\noindent On poursuit avec la m\^eme m\'ethode la division et le coloriage
du carr\'e.

\psset{unit=0.62cm}\begin{pspicture}(9,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white](0,0)(9,9)
\multido{\n=1+3,\d=2+3}{3}{\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green](\n,1)(\d,2)}
\multido{\n=1+3,\d=2+3}{3}{\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green](\n,4)(\d,5)}
\multido{\n=1+3,\d=2+3}{3}{\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green](\n,7)(\d,8)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green](3,3)(6,6)
\end{pspicture}
%\includegraphics{exo2}

\end{multicols}
\noindent Pour tout entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $1$, on d\'esigne par $A_n$
l'aire en m$^2$ de la surface totale colori\'ee apr\`es $n$ coloriages. On
a ainsi : $A_1 = \dfrac{1}{9}$.

\noindent La surface gris\'ee sur le figure ci-dessus a donc pour aire
$A_2$.\\
\textbf{On remarquera que chaque \'etape du coloriage consiste \`a
  colorier un neuvi\`eme de la surface non colori\'ee jusque l\`a}.

\begin{enumerate} 
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Justifier que $A_2 = A_1 + \dfrac{1}{9} (1 -A_1)$ puis
  calculer la valeur num\'erique exacte de $A_2$.
  \item Expliquer pourquoi, pour tout entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a
  $1$, \\
  $A_{n+1}= \dfrac{8}{9}A_n + \dfrac{1}{9}$.
  \end{enumerate}
  \item On pose pour tout entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $1$ : $B_n =
  A_n -1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $B_1$.
\item Montrer que pour tout entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $1$,
$B_{n+1} = \dfrac{8}{9} B_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $(B_n)$ ?\\
Exprimer alors, pour tout entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $1$, le
terme g\'en\'eral $B_n$ de la suite $(B_n)$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item En d\'eduire que pour tout entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $1$:
$A_n=1-\left( \dfrac{8}{9} \right)^n$.
\item Calculer alors la limite de la suite $(A_n)$. Que peut-on en d\'eduire ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak
\vspace{1cm}
\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3}\hfill 6 points}\\

\noindent Une horloge \'electronique a \'et\'e programm\'ee pour \'emettre un
bip toutes les sept heures. Le premier bip est \'emis le 31 d\'ecembre
2004 \`a minuit.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \`A quelle heure est \'emis le dernier bip du 1\ier janvier 2005  ?
\item \`A quelle heure est \'emis le premier bip du 2 janvier 2005 ?
\item \`A quelle heure est \'emis le dernier bip du 2 janvier 2005 ?
\item \`A quelle heure est \'emis le premier bip du 3 janvier 2005 ?
\end{enumerate}

Expliquer les r\'eponses.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $24 \equiv 3 (\mathrm{ modulo } 7)$.
\item En d\'eduire le reste de la division euclidienne de $2 \times
24$ par $7$ et le reste de la division euclidienne de $3 \times 24$   par $7$. Justifier les r\'eponses.  Reproduire sur la copie et compl\'eter le tableau suivant:

 \begin{center}
\begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
Reste de la division     &&&&&&&&&&\\
euclidienne de $n\times 24$      &&&&5&1&4&0&3&6&2\\
par $7$      &&&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Expliquer pourquoi l'horloge \'emet un bip \`a minuit tous les
$7$ jours et tout les $7$ jours seulement.
\end{enumerate}
 \item On rappelle que l'ann\'ee 2005 est une ann\'ee non bissextile et
 comporte donc 365 jours.
 \begin{enumerate}
 \item D\'eterminer le plus petit entier naturel $a$ tel que: $365
 \equiv a (\mathrm{ modulo } 7)$
\item \`A quelle date l'horloge \'emettra-t-elle un bip \`a minuit pour la
derni\`ere fois en 2005 ?\\
Expliquer la r\'eponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE \`a l'exercice 1 (\`a rendre avec la copie)}\\
  
\end{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-4)(8,9.5)
\psset{fillcolor=black}
\psset{linecolor=black}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.5,-4.5)(8.5,9.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-2,-4)(8,9)
\uput[dl](0,0){O} \rput(4.5,1.85){$(\mathscr{C})$} \rput(2.5,7.2){$(\mathscr{P})$}
%\psplot{}{}{x sin}
\psplot[plotpoints=300,linecolor=blue,linestyle=solid]{-0.926}{2.425}{x 2 exp 2 mul x 3 mul  sub 4.5 add}
\psplot[plotpoints=300,linecolor=blue]{0.018}{8}{x ln}
\psset{linestyle=solid}
\psset{linecolor=black}
\psline(-2.5,0)(8,0)
\end{pspicture}
\end{document}