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%%%Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon et Stéphanie Bercier
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~ 
\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{16 novembre 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2012~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 5\ln (x + 3) - x.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. Calculer $f^{\prime}(x)$ et étudier son signe sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Donner, dans un tableau, les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Montrer que, pour tout $x$ strictement positif on a

\[f(x) = x\left(5\frac{\ln x}{x} - 1\right) + 5 \ln \left(1 + \dfrac{3}{x}\right).\]
 
		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Compléter le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On notera $\alpha$ cette solution.
		\item Après avoir vérifié que $\alpha$ appartient à l'intervalle [14~;~15], donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
		\item En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0} &=& 4\\
u_{n+1}& =& 5 \ln \left(u_{n} + 3\right) \quad \text{pour tout entier naturel }\: n geqslant 0
\end{array}\right.\]

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par

\[g(x) = 5 \ln (x + 3).\]

En annexe 1 on a tracé dans un repère orthonormé la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ et la courbe $\mathcal{C}$, courbe représentative de la fonction $g$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur l'axe des abscisses de l'annexe 1 les termes $u_{0},\:u_{1},\:u_{2}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction.
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite $\left(u_{n}\right)$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Vérifier que $g(\alpha) = \alpha$ où $\alpha$ est défini dans la partie A question 2. a.
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a
		
		$0 \leqslant  u_{n} \leqslant \alpha$.
		\item Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b. de la partie B.
		\item En utilisant la question 2. a. de la partie A, justifier que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \alpha$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}

\begin{tabular}{|l|}\hline
$u$ prend la valeur 4\\
Répéter Tant que $u - 14,2 < 0$\\
\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur de $5\ln (u + 3)$\\
Fin du Tant que\\
Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Justifier que cet algorithme se termine. 
		\item Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à $5$ décimales).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

\emph{Tous les résultats seront donnés sous la forme de fractions.}

\medskip

On dispose d'une urne U contenant trois boules blanches et deux boules rouges indiscernables au toucher.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'expérience suivante : on tire successivement trois fois de suite une boule de l'urne U, en remettant à chaque fois la boule dans l'urne.

On appelle $X$ le nombre de fois où on a obtenu une boule rouge.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité d'avoir obtenu exactement une fois une boule rouge.
\item Déterminer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On procède maintenant à une nouvelle expérience :

$\bullet~~$ on tire une boule de l'urne U. Si elle est rouge on s'arrête, sinon on la remet dans l'urne et on tire une boule à nouveau ;

$\bullet~~$ si cette deuxième boule est rouge, on s'arrête, sinon on la remet dans l'urne et on tire une boule pour la troisième fois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre pondéré de probabilités.
\item On appelle $Y$ le nombre de boules rouges obtenues lors d'une expérience. La variable aléatoire $Y$ prend donc la valeur 1 si la dernière boule est rouge et 0 sinon.

Déterminer la loi de probabilité de $Y$ et son espérance mathématique.
\item On appelle $N$ le nombre de tirages effectués lors d'une expérience.

Déterminer la loi de probabilité de $N$ et son espérance mathématique.
\item On appelle \emph{proportion moyenne de boules rouges} le rapport de l'espérance du nombre de boules rouges obtenues sur l'espérance du nombre de tirages.

Montrer que la proportion moyenne de boules rouges dans l'expérience est la même que la proportion de boules rouges dans l'urne.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : restitution organisée de connaissances}

\medskip

On suppose connu le résultat suivant :

\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|p{11cm}}
Soit $a$ un réel.\\
Soit $\left(E_{0}\right)$ l'équation différentielle de fonction inconnue $y$ de variable réelle, dérivable de fonction dérivée $y^{\prime}$ : \\
\multicolumn{1}{|c}{$y^{\prime} = ay \quad  \left(E_{0}\right)$}\\
Les solutions de $\left(E_{0}\right)$ sont les fonctions de la forme $x \longmapsto C \text{e}^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.\\
\end{tabular}

\medskip

On considère $a$ et $b$ deux réels, avec $a$ non nul.

Démontrer que les solutions de l'équation différentielle de fonction inconnue $y$ de variable réelle, dérivable de fonction dérivée $y^{\prime}$ :

\[y^{\prime} = ay + b \quad  (E)\]

sont les fonctions de la forme $x \longmapsto  C\text{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1 :} si une fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ est solution de l'équation $y^{\prime} + 3y = 6$ alors la courbe représentant $f$ admet une asymptote horizontale en $+ \infty$.
\item \textbf{Affirmation 2 :} si une fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ est solution de l'équation $y^{\prime} = y$ alors pour tous réels $\alpha$ et $\beta,$

$f(\alpha + \beta) = f(\alpha) \times f(\beta)$. 

\parbox{0.48\linewidth}{\item La courbe d'une fonction solution de l'équation différentielle ${y^{\prime} = -2y}$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $\frac{3}{2}$ (\emph{voir figure ci-contre}).

\textbf{Affirmation 3 :} l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations 
respectives

$x = 0$ et $x = \ln (3)$, est $\dfrac{2}{3}$} \hfill
\parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=2.5cm}\def\pshlabel #1{\footnotesize $#1$}\def\psvlabel #1{\footnotesize $#1$}\begin{pspicture}(-0.3,-0.2)(2.3,2.3)
\psaxes[linewidth=1pt,comma=true,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(2.3,2.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,comma=true,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{2.3}{1.5 2.71828 2 x mul exp div}
\uput[d](1.0986,0.06){\footnotesize$\ln 3$}\psline(1.0986,0)(1.0986,0.167)\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on appelle A le point d'affixe $1$ et $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon $1$.

La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4~cm pour unité graphique.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation 

\[(E) :\quad  z^2 - 2z + 2 = 0,\]

où $z$ est un nombre complexe. On appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de $(E)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes $\C$.
\item On appelle $M_{1}$ et $M_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le repère \Ouv. Montrer que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère l'application $f$ du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de A associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par

\[z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point A et tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. 
\item Montrer que pour tout complexe $z$ distinct de 1 on a

\[\left(z' - 1\right)(z - 1) = \dfrac{1}{2}.\]

\item Montrer que pour tout point $M$ distinct de A on a :

\[\begin{array}{@{\bullet~~} l}
\text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2} ;\\
M' \neq \text{A} ;\\
\left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \text{où }\: k\:\: \text{est un entier relatif}
\end{array}\]

\item On considère le point P d'affixe $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Construire le point P.
\item En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P$'$, image de P par $f$, et réaliser cette construction.
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Soit un point $M$ appartenant à la droite D d'équation $x = \frac{3}{4}$. Soit $M'$ son image par $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$.
		\item Tout point de $\mathcal{C}'$ a-t-il un antécédent par $f$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère deux carrés directs ABCD et DCEF de côté 1. Le point I est milieu de [BC] et le point J est milieu de [EFJ (voir figure ci-dessous).

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la rotation $r$ de centre D qui transforme A en C. Justifier que $r(\text{I}) = \text{J}$. 
\item Justifier que $r$ est l'unique similitude directe qui transforme A en C et I en J.
\item On appelle $s$ la similitude directe qui transforme A en I et C en J.

On se place dans le repère $\left(\text{A}~ ;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les affixes des points A, C, I et J. 
		\item Montrer que l'écriture complexe de $s$ est 
		
		\[z' = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\right) z + 1 + \dfrac{1}{2}\text{i}.\]

		\item Montrer que le point D est le centre de $s$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(3.2,6.3)
\psframe(3,6)\psline(0,3)(3,3)
\uput[dl](0,0){A}  \uput[dr](3,0){B} \uput[r](3,3){C} \uput[l](0,3){D} 
\uput[ur](3,6){E} \uput[ul](0,6){F} \uput[r](3,1.5){I} \uput[u](1.5,6){J}
\psdots(3,1.5)(1.5,6)
\end{pspicture}
\end{center}
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct \Ouv{} on considère trois points $M, N, P$ distincts entre eux et distincts du point O. On appelle $m, n, p$ leurs affixes respectives.

On définit la similitude directe $s_{1}$ qui transforme O en $M$ et $N$ en $P$ et la similitude directe $s_{2}$ qui transforme O en $N$ et $M$ en $P$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'écriture complexe de $s_{1}$ est

\[z' = \frac{p - m}{n}z + m.\]

On admet que l'écriture complexe de $s_{2}$ est $z' = \frac{p - n}{m}z + n$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si O$MPN$ est un parallélogramme alors $s_{1}$ et $s_{2}$ sont des translations.
		\item On suppose que O$MPN$ n'est pas un parallélogramme. Justifier que $s_{1}$ et $s_{2}$ ont chacune un centre, et montrer que ces deux points sont confondus.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\textbf{(Exercice 1)}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

\emph{À rendre avec la copie}

\vspace{1,5cm}

\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(23,17)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(23,17)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(0,0)(23,17)
\psplot{0}{17}{x}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{23}{x 3 add ln 5 mul}
\uput[ul](16,16){$\mathcal{D}$}\uput[dr](22,16){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}