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%Tapuscrit de Denis Vergès 
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small novembre 2009}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\novembre 2009} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Pour chacune des questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Le barème sera établi comme suit : pour une réponse exacte, $0,5$ point; pour une réponse fausse ou l'absence de réponse $0$ point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item J'ouvre un livret d'épargne rémunéré à un taux annuel de 3,8\,\% et je place de l'argent pendant deux ans : 750~\euro{} dès la première année et 850~\euro{} supplémentaires la deuxième année.
 
À la fin des deux ans, je possède : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.~~} 1660,80~\euro& \textbf{b.~~} 1690,38~\euro& \textbf{c.~~} 1723,91~\euro.\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  $\ln\left(\text{e}^2 + \text{e}\right)$ est égal à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.~~} $\ln \text{e}^2 + \ln \text{e}$ 
&\textbf{b.~~} 2,31 
&\textbf{c.~~} $1 + \ln(\text{e} + 1)$\\
\end{tabularx}

\medskip 
\item  L'égalité $\ln \left(x^2 + 3x\right) = \ln x + \ln (x + 3)$ est vraie :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
\textbf{a.~~} pour tout $x$ réel 
&\textbf{b.~~} si $x > 0$ 
&\textbf{c.~~} si $x < -3$ ou si $x > 0$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On donne ci-dessous la fréquentation mensuelle des cinémas en France en 2006 en millions d'entrées :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
janv.& fév.& mars& avril &mai &juin &juil. &août &sept. &oct. &nov. &déc.\\  \hline%
14,01 &22,8 &15 &20,9 &18,4 &11,9 &10,2 &15,2 &9,9 &13,5 &16,7 &20,4\\ \hline%
\multicolumn{12}{r}{Sources : CNC/DEPS}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
On appelle M la médiane de cette série et Q$_{1}$ le premier quartile. On a : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
\textbf{a.~~} M = 2Q$_{1}$ 
&\textbf{b.~~} M $= \dfrac{(11,9+10,2)}{2}$ 
&\textbf{c.~~} M = 15,1\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{2x}\:\text{d}x$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}  
\textbf{a.~~} $\dfrac{- 1 + \text{e}^2}{2}$
&\textbf{b.~~} $1 - \text{e}^2$
&\textbf{c.~~} $2\text{e}^2 - 2$\\
\end{tabularx}

\medskip
\item $f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.
 
La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe représentative de cette fonction $f$ dans un repère du plan a comme équation réduite : $y = - x + 3 $.

Alors on peut dire que :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.~~} $f'(1) = 3$ 
&\textbf{b.~~} $f'(1) = -1$ 
&\textbf{c.~~} $f(1) = 3$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item La fonction $F : x \longmapsto 5 + \ln (2x + 10)$ est une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $f$ définie par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
\textbf{a.~~} $f(x) = \dfrac{1}{x + 5}$
&\textbf{b.~~} $f(x) = \dfrac{1}{2x + 10}$
&\textbf{c.~~} $f(x) = 5 + \dfrac{1}{x + 5}$
\end{tabularx}

\medskip 

\item  A et B sont deux évènements indépendants associés à une expérience aléatoire tels que : 

\[P(\text{A}) \neq 0~ \text{et}~ P(\text{B}) = \dfrac{1}{2} \]

\medskip

\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{XXX} 
\textbf{a.~~} $P(\text{A} \cup \text{B})=P(\text{A}) \times P(\text{B})$ 
&\textbf{b.~~} $P(\text{A} \cup \text{B})=P(\text{A})+P(\text{B})$ 
&\textbf{c.~~} $P_{\text{A}} (B)= \dfrac{1}{2}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip 
 
Le tableau ci-dessous donne les taux d'équipement des ménages français en lecteurs de DVD, de 1998 à 2006.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
année &1998 &1999 &2000 &2001&2002& 2003& 2004& 2005& 2006 \\ \hline% 
rang de l'année $x$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline%
pourcentage $y$& 0,2 &1,5 &4,9 &12,0 &23,3 &41,6 &59,9 &75,0 &76,9\\ \hline%
\multicolumn{10}{r}{Sources : GIK-CNC/DEPS}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\fbox{\textbf{PARTIE I}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter la série $(x~;~y )$ sur le graphique en annexe 1. 
\item Donner, sans justification, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $0,001$ près). 
\item Donner une estimation du taux d'équipement des ménages français en 2010 en utilisant cet ajustement. Que pensez-vous du résultat ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\fbox{\textbf{PARTIE II}}

\medskip
 
On admettra que la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par 

\[f(t) = \dfrac{82,75}{1+116,8\text{e}^{-t}}\]

représentée sur le graphique en annexe 1 réalise un bon ajustement de cette série.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de cette fonction. 
		\item Donner, en utilisant ce nouvel ajustement, le taux d'équipement prévu en 2010 et en 2012.
		
(On arrondira le résultat au centième).
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
En utilisant ce modèle, peut-on estimer que le taux d'équipement des ménages atteindra 90\,\% ? Si oui, en quelle année? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip  
 
Le tableau ci-dessous donne, d'après un échantillon de 800~personnes interrogées en 2005, un aperçu de la lecture de la presse quotidienne en France.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline 
&\footnotesize Tous les jours ou presque &\footnotesize Une ou deux fois par semaine& 
\footnotesize Seulement pendant certaines périodes &\footnotesize Rarement &\footnotesize Jamais &\footnotesize Total \\ \hline%
Agriculteurs exploitants					& 1 &10 &2 	&8 	&79 &100 \\ \hline%
Artisans, commerçants, chefs d'entreprise 	&11 &11 &5 	&7 	&66 &100 \\ \hline%
Cadres 										&17 &16 &10 &18 &39 &100 \\ \hline%
Professions intermédiaires 					&8 	&15 &7 	&15 &55 &100 \\ \hline%
Employés 									&6 	&7 	&4 	&9 	&74 &100 \\ \hline%
Ouvriers (y compris agricoles)				& 4 &5 	&3 	&5 	&83 &100 \\ \hline%
Retraités 									&6 	&7 	&2 	&6 	&79 &100 \\ \hline%
Autres inactifs 							&5 	&9 	&4 	&9 	&73 &100\\ \hline%
Total en effectif 							&58 &80 &37 &77 &548&800 \\ \hline%
Pourcentages du total 						&7,25\:\% &10\:\% &4,625\:\%&&& \\ \hline%
\multicolumn{7}{r}{Sources : INSEE/DEPS}\\
\end{tabularx} 

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et éventuellement arrondis à $0,001$ près.}

\bigskip
 
\fbox{\textbf{PARTIE I}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La dernière ligne du tableau ci-dessus représente la part de chaque catégorie par rapport à l'échantillon total. Calculer les valeurs manquantes de cette dernière ligne. 
\item Donner la probabilité qu'une personne choisie au hasard parmi les cadres ne lise jamais.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\fbox{\textbf{PARTIE II}}

\medskip

On choisit au hasard une personne dans cet échantillon de 800~personnes. Dans cette partie, on note les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] B l'évènement : \og la personne choisie ne lit jamais \fg{}; 
\item[] R l'évènement : \og la personne choisie est retraitée\fg{} ; 
\item[] C l'évènement : \og la personne choisie est cadre \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement B $\cap$ R. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement B $\cup$ C.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\fbox{\textbf{PARTIE III}}

\medskip

On s'intéresse maintenant uniquement aux personnes lisant la presse tous les jours ou presque.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard une personne dans cet ensemble. Quelle est la probabilité que cette personne soit cadre ? 
\item On choisit au hasard et de manière indépendante trois de ces personnes. Calculer la probabilité que parmi ces trois personnes, deux exactement soient cadres. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip  
 
Par suite d'une forte augmentation du prix des carburants de 2007 à 2008, certains salariés d'une entreprise changent de mode de déplacement pour se rendre sur leur lieu de travail.
 
En 2007, 60\,\% des salariés utilisaient leur voiture personnelle.
 
En 2008, 30\,\% des salariés utilisant leur voiture en 2007 ne l'utilisent plus et 5\,\% des personnes ne l'utilisant pas en 2007 l'utilisent en 2008.

\medskip
 
On appelle les états suivants:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A l' état : \og la personne utilise sa voiture \fg{} ; 
\item[] B l' état : \og la personne n'utilise pas sa voiture \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que cette évolution se poursuit d'une année à l'autre à partir de 2008 et on appelle, pour tout entier naturel $n,~ P_{n}$, la matrice ligne donnant l'état probabiliste des moyens de déplacement des salariés de cette entreprise au cours de l'année $(2007 + n)$.
 
On pose $P_{n} = \left(a_{n} ~~ b_{n}\right)$ et on a $P_{0} = (0,6 ~~ 0,4)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un graphe probabiliste représentant la situation décrite ci-dessus. 
\item Donner la matrice de transition correspondant à ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.  
\item En supposant que cette évolution se poursuive et en utilisant la question précédente, quelle est la probabilité qu'un salarié de cette entreprise utilise sa voiture personnelle en 2009 ? En 2010 ?

 (On arrondira les résultats obtenus au centième). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a la relation : $a_{n+1} = 0,7a_{n} + 0,05b_{n}$.
		
En déduire que $a_{n+1} = 0,65a_{n} + 0,05$. 
		\item  On admet que $a_{n}$ peut alors s'écrire, pour tout entier naturel $n,$
		
$a_{n} = \dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65^n$.
		
Vérifier la validité de cette formule pour $a_{0},~ a_{1}$ et $a_{2}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. 
		\item En supposant que cette évolution se poursuive, est-il possible d'envisager qu'à terme aucun des salariés de cette entreprise n'utilise sa voiture personnelle pour aller au travail ?
		 
Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 
 
\fbox{\textbf{PARTIE I : ÉTUDE D'UNE FONCTION}}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ telle que pour tout réel $x$ de cet intervalle :
 
\[f(x) = 5(1 - \ln x)(\ln x - 2)\]
 
et dont la représentation graphique est donnée en annexe 2.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation $f(x) = 0$. Les valeurs exactes sont demandées. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le signe de l'expression $5(1- X)(X - 2)$ suivant les valeurs du réel $X$. 
		\item En déduire que le signe de $f(x)$ est donné pour tout réel de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par le tableau suivant : 
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.6)
\psframe(8,2.6)\psline(0,2)(8,2)
\psline(2,0)(2,2.6) \psline(2.15,0)(2.15,2)\psline(2.2,0)(2.2,2)
\psline(4,0)(4,2) \psline(6,0)(6,2)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.175,2){$0$}\uput[u](4,2){e}\uput[u](6,2){$\text{e}^2$} \uput[u](7.6,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){signe de $f(x)$} \rput(3,1){$-$} \rput(4,1){0}\rput(5,1){$+$} \rput(6,1){$0$}\rput(7,1){$-$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
		 
Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{5(3 - 2\ln x)}{x}$		pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire les variations de $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de $f$ et la valeur exacte de $x$ pour laquelle il est atteint.
	\end{enumerate} 
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ puis donner une valeur approchée arrondie à $0,01$ près de ces solutions.
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\fbox{\textbf{PARTIE II : APPLICATION}}

\medskip
 
Une entreprise fabrique et revend des jouets.
 
$f(x)$ représente le résultat (bénéfice ou perte) en milliers d'euros qu'elle réalise lorsqu'elle fabrique $x$ centaines de jouets, pour $x$ compris entre 1 et 10, $f$ désignant la fonction étudiée dans la partie I. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, à un jouet près, les quantités à produire pour ne pas travailler à perte.
 
Interpréter concrètement le résultat de la question I. 2. Comment le lit-on sur le graphique ? 
\item Cette entreprise veut réaliser un bénéfice supérieur ou égal à \nombre{1000}~euros.
 
Combien de jouets doit-elle fabriquer ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 ( à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2 (commun à tous les candidats)}
\end{flushleft}
\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.972cm,yunit=0.13cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(12,90)
\multido{\n=-0.3333+0.3333}{37}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-2.5)(\n,90)}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-2.5)(\n,90)}
\multido{\n=-2.5+2.5}{37}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-0.3333,\n)(12,\n)}
\multido{\n=0+10}{10}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](-0.3333,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-2.5)(12,90)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1pt]{0}{12}{82.75 116.8 2.71828 x exp div 1 add div}
\uput[d](12,0){$x$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[l](0,90){$y$}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 ( à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\begin{flushleft}\textbf{Exercice 4 (commun à tous les candidats)}
\end{flushleft}
%\vspace{0,5cm}
\vfill
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-12)(15,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=8](0,0)(-1,-12)(15,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-12)(15,3)
\uput[d](15,0){$x$} \uput[l](0,3){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1pt,plotpoints=5000]{0.88}{15}{x ln 2 sub  1 x ln sub mul 5 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\vfill
\end{document}