\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text} %\def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}} %Tapuscrit de Denis Vergès \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie novembre 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small novembre 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie novembre 2007~\decofourright}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, strictement croissante sur l'intervalle ]0~;~2] et strictement décroissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \medskip \parbox{0.55\linewidth}{La courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé est tracée ci-dessous. Elle passe par les points A$\left(\dfrac{1}{2}~;~-2\right)$, B(1~;~0), C(2~;~1) et D$\left(\dfrac{7}{2}~;~0\right)$. E est le point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac{3}{2}\right)$. La courbe $\Gamma$ admet au point C une tangente parallèle à l'axe des abscisses. La droite (AE) est tangente à la courbe $\Gamma$ au point A.}\hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture*}(-1,-4.5)(6.5,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-4.5)(6,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-4.5)(6,3.99) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot{0.14285}{1.3571}{7 x mul 5.5 sub} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.245}{5.7}{x ln 4 mul x dup mul 0.156 mul sub x 1.3 mul sub 1.45 add} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.5,-2)(1,0)(1,1.5)(2,1)(3.5,0) \uput[dr](0,0){O} \uput[r](0.5,-2){A} \uput[dr](1,0){B} \uput[u](2,1){C} \uput[ur](3.5,0){D} \uput[ul](1,1.5){E} \psline{<->}(1,1)(3,1) \uput[ur](5,-2){$\Gamma$} \end{pspicture*}} \medskip Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse) sur l'annexe, à rendre avec la copie. Les réponses ne seront pas justifiées. NOTATION : \emph{une réponse exacte rapporte $0,5$ point; une réponse inexacte retire $0,25$ point; l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.} \medskip \begin{enumerate} \item L'équation $f(x)= - 1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ \item Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à $\dfrac{1}{7}$. \item Les fonctions $f$ et $f'$ ont le même signe sur l'intervalle [1 ; 2]. \item Les primitives de la fonction $f$ sont croissantes sur l'intervalle $\left[1~;~\dfrac{7}{2}\right]$. \item On peut calculer $\ln [f(x)]$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item La fonction $g$ définie sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^{f(x)}$ est croissante sur cet intervalle. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un club sportif a été créé au début de l'année 2000 et, au cours de cette année-là, 140 adhérents s'y sont inscrits. Le tableau cl-dessous donne le nombre d'adhérents de 2000 à 2005. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3,4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005\\ \hline rang de l'année $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline nombre d'adhérents $y_{i}$ &140 &165 &220 &240 &260 &310\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \emph{Le détail des calculs statistiques à effectuer à la calculatrice n'est pas demandé.} \begin{enumerate} \item Représenter dans un repère orthogonal \Oij{} le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique. On prendra comme unités graphiques 2~cm pour 1 année en abscisse et 1~cm pour 10 adhérents en ordonnées. Sur l'axe des ordonnées, on commencera la graduation à 120. \item Un premier ajustement du nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ \begin{enumerate} \item On désigne par G$_{1}$, le point moyen des trois points M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ du nuage et par G$_{2}$ le point moyen des trois points M$_{4}$, M$_{5}$ et M$_{6}$ du nuage. Calculer les coordonnées respectives de G$_{1}$ et de G$_{2}$ dans le repère \Oij. \item Déterminer l'équation réduite $y = Ax +B$ de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) dans le repère \Oij. Les coefficients A et B seront donnés sous la forme de fractions irréductibles. Tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sur le graphique. \item En utilisant la droite (G$_{1}$G$_{2}$) comme droite d'ajustement du nuage, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007. \end{enumerate} \item Dans cette question, on utilise la droite des moindres carrés, \begin{enumerate} \item Soit $\Delta$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $\Delta$ dans le repère \Oij. \item En utilisant la droite $\Delta$, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Si le taux d'augmentation du nombre d'adhérents d'une année à l'autre était fixe et égal à $t$\,\%, quelle serait la valeur de $t$ arrondie au centième qui donnerait la même augmentation du nombre d'adhérents entre 2000 et 2005 ? \item Avec ce même taux d'augmentation $t$, quel serait le nombre d'adhérents, arrondi à l'unité, pour l'année 2007 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \parbox{0.63\linewidth}{Sur le graphe ci-contre, les sept sommets A, B, C, D, E, F et G correspondent à sept villes. Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une liaison entre les deux villes correspondantes.}\hfill \parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,5) \psline(0.5,3)(2,4)(2.8,0.3)(3.8,3)(3.8,1.7)(0,1.7)(2,4)%ABECDGB \psline(0.5,3)(3.8,3)%AC \psline(2,4)(3.8,1.7)%BD \psline(3.8,1.7)(0.7,0.3)(2.8,0.3)%DFE \uput[ul](0.5,3){A} \uput[u](2,4){B} \uput[ur](3.8,3){C} \uput[r](3.8,1.7){D} \uput[dr](2.8,0.3){E} \uput[d](0.7,0.3){F} \uput[l](0,1.7){G} \end{pspicture}} \emph{Les questions $1,~2$ et $3$ sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item Est-il possible de trouver un trajet, utilisant les liaisons existantes, qui part d'une des sept villes et y revient en passant une fois et une seule fois par toutes les autres villes ? \item On note M la matrice associée au graphe ci-dessus. Les sommets sont rangés suivant l'ordre alphabétique. \renewcommand\arraystretch{1} On donne M$^3 =\begin{pmatrix} 0 & 7 &6 & 1 &0 &4 &2\\ 7 &2 &1 &10 &9 &1 &5\\ 6 &1 &0 &9 &8 &0 &3\\ 1 &10 &9 &2 &1 &7 &5\\ 0 &9 &8 &1 &0 &6 &3\\ 4 &1 &0 &7 &6 &0 &2\\ 2 & 5&3 &5 &3 &2 &2\\ \end{pmatrix}$ Donner le nombre de chemins de longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F. Les citer tous. Aucune justification n'est demandée. \parbox{0.6\linewidth}{\textbf{3.} On donne ci-dessous et sur le graphe ci-contre les distances exprimées en centaines de kilomètres entre deux villes pour lesquelles il existe une liaison : AB : 5 ; AC : 7 ; BD : 8 ; BE: 15 ; BG : 6 ;CD : 10 ; CE : 15 ; DF : 20 ; DG : 10 ; EF : 5 ; Un représentant de commerce souhaite aller de la ville A à la ville F.} \hfill \parbox{0.34\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,5) \psline(0.5,3)(2,4)(2.8,0.3)(3.8,3)(3.8,1.7)(0,1.7)(2,4)%ABECDGB \psline(0.5,3)(3.8,3)%AC \psline(2,4)(3.8,1.7)%BD \psline(3.8,1.7)(0.7,0.3)(2.8,0.3)%DFE \uput[ul](0.5,3){A} \uput[u](2,4){B} \uput[ur](3.8,3){C} \uput[r](3.8,1.7){D} \uput[dr](2.8,0.3){E} \uput[d](0.7,0.3){F} \uput[l](0,1.7){G} \rput(1.2,3.7){5} \rput(1.6,3.2){7} \rput(3.1,2.85){8} \rput(0.6,2.6){6} \rput(4,2.4){10} \rput(2.2,2.2){15} \rput(1.2,1.9){10} \rput(3.2,0.9){15} \rput(1.5,0.9){20} \rput(1.8,0.5){5} \end{pspicture}} \medskip En expliquant la méthode utilisée, déterminer le trajet qu'il doit suivre pour que la distance parcourue soit la plus courte possible et donner cette distance. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip Une étude réalisée auprès des élèves d'un lycée a permis d'établir que 55\,\% des élèves possèdent un ordinateur. Parmi les élèves qui ont un ordinateur, 98\,\% possèdent un téléphone portable. De plus, parmi ceux qui possèdent un téléphone portable, 60\,\% possèdent un ordinateur. Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats au centième donc les pourcentages à l'unité. \emph{Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A :} on choisit au hasard un élève de ce lycée.\\ On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $M$ l'évènement : \og L'élève possède un ordinateur \fg{} ; \item $T$ l'évènement : \og L'élève possède un téléphone portable \fg{} ; \item $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$ ; \item $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que l'élève possède un ordinateur et un téléphone portable. \item En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On prend $0,90$ comme valeur de la probabilité de l'évènement $T$. Calculer la probabilité que l'élève ne possède pas d'ordinateur mais possède un téléphone portable. \item En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable sachant qu'il ne possède pas d'ordinateur. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} on choisit trois élèves au hasard, indépendamment les uns des autres. On note E l'évènement : \og Exactement deux des trois lycéens choisis possèdent un ordinateur \fg. Calculer la probabilité de l'évènement E. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $h$ définie et dérivable sur R par \[h(x) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^{x} +6.\] On note $h'$ sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$. \item Calculer la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$ ; on pourra utiliser l'égalité vraie pour tout réel $x\::\: h(x) = \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} - 7 + 6\text{e}^{-x}\right)$. \end{enumerate} \item Calculer $h\left[\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\right],~ h(0)$ puis $h(\ln 6)$. \item Déterminer par le calcul l'image $h'(x)$ d'un réel $x$ par la fonction $h'$ et étudier les variations de la fonction $h$. Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ et faire figurer les résultats des questions précédentes dans ce tableau. \item En déduire le tableau des signes de la fonction $h$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par \[f(x) = 6 - 6\text{e}^{-x}\quad \text{et}\quad g(x)= \text{e}^{x} - 1. \] On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère du plan d'unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées. Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont données en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le point de coordonnées $(\ln 6~;~ 5)$ est un point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x,~ f(x) - g(x) = \dfrac{- h(x)}{\text{e}^{x}}$. \item Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. \end{enumerate} \item On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan limité par les courbes $\mathcal{C}_{f},~\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x= 0$ et $x= \ln 6$. \begin{enumerate} \item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe. \item Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$ puis en donner une valeur approchée arrondie au centième. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \bigskip \textbf{À compléter et à rendre avec la copie} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \multicolumn{1}{|c|}{Affirmation}& V&F\\ \hline \textbf{1.} L'équation $f(x)= -1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.&\rule[2mm]{0mm}{3mm}&\\ \hline \textbf{2.} Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à $\dfrac{1}{7}$.&&\rule[1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline \textbf{3.} Les fonctions $f$ et $f'$ ont le même signe sur l'intervalle [1 ; 2].&& \\ \hline \textbf{4.} \rule[2mm]{0mm}{3mm} Les primitives de la fonction $f$ sont croissantes sur l'intervalle $\left[1~;~\dfrac{7}{2}\right]$.&&\\ \hline \textbf{5.} On peut calculer $\ln [f(x)]$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$.&&\\ \hline \rule[2mm]{0mm}{3mm} \textbf{6.} La fonction $g$ définie sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^{f(x)}$ est croissante sur cet intervalle.&&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1,5cm} \textbf{Exercice 4} \bigskip \psset{xunit=2cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-1.25,-2)(4,6.5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(4,6) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(4,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.29}{3.5}{6 6 2.71828 x exp div sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1}{1.95}{2.71828 x exp 1 sub} \uput[dr](0,0){O} \uput[d](3.5,5.7){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[r](1.9,5.8){\cyan$\mathcal{C}_{g}$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}