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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre  2000}}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie  décembre 2000~\decofourright}}
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On prévoit qu'une automobile, achetée neuve, aura subi une décote de 20\,\% la première année d'utilisation, puis une nouvelle décote de 15\,\% la
 deuxième année, et enfin une décote de $10\,\%$ chacune des années 
 suivantes.
 
\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Une automobile est achetée neuve \np{120000}~francs. Déterminer la
 valeur de cette automobile, au franc près, au bout :
	\begin{enumerate} 
		\item d'un an.
		\item de deux ans.
		\item de quatre ans.
	\end{enumerate}
\item Une automobile est achetée neuve au prix $P_0$ (en francs). On
 appelle $P_n$, la valeur de cette automobile, en francs, au bout de $n$ 
 années.

	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $P_n$ en fonction de $P_0$, et de $n$, lorsque $n$ est supérieur ou égal à 3.	 
		\item Au bout de quatre ans, la valeur d'une automobile est \np{75000}~francs. Quel était, au franc près, son prix initial ?
\item Quel est le plus petit entier $n$ tel que :
 
\[0,68 \times 0,9^{n-2} \leqslant 0,5 ?\]
		\item Une voiture a été achetée en l'an 2000. Déduire de la question \textbf{2. c.} l'année à partir de laquelle sa valeur sera, pour la première fois, inférieure ou égale à la moitié du prix du neuf.

Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions 
irréductibles.}

Un commerçant possède un lot de 500 pantalons de taille allant de 1 à 4
 et de couleur rouge, verte ou blanche.
  
Après l'inventaire de son lot, le commerçant constate que les tailles 
\no 1 représentent 60\,\% du stock, que les tailles \no 2 en représentent 
$20\,\%$  et qu'il y a autant de tailles \no 3 que de tailles \no 4.
 
D'autre part, parmi les tailles n$\up{o}$ 1, 30\,\% des pantalons sont blancs et 
$50\,\%$ sont verts. 

Enfin pour chacune des tailles \no 2, 
\no 3 et \no 4,  $20\,\%$ des pantalons sont blancs et $40\,\%$ sont verts.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.7cm}| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Couleur}{Taille} 	& \no 1 & \no 2 &\no 3  &\no 4 & Total \\ \hline
 							&   	&      	&     	&      &      	\\ \hline 
Blanche 					&   	&      	&     	&      &      	\\ \hline
Rouge 						&   	&      	&20   	&      &      	\\ \hline
Verte 						&   	&      	&     	&      &      	\\ \hline
Total 						&    	&   	&   	&      &500	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
\item Ce commerçant décide de vendre $200$ francs chaque pantalon vert de la taille \no 1, ainsi que chaque pantalon blanc ou rouge des tailles 
\no 2, \no 3 et \no 4. Les autres pantalons de la taille \no 1 seront vendus 250 francs l'unité, et les pantalons verts des tailles \no 2,
\no 3 et \no 4, $100$~francs l'unité.
 
Un client choisit un pantalon au hasard.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la probabilité que ce pantalon soit vert.  
		\item Sachant que ce pantalon coûte $200$~francs, déterminer la 
probabilité qu'il soit vert.
		\item On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque pantalon choisi, associe son prix.
 
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{ Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles, sauf indication contraire.}

\medskip

Dans une école maternelle, l'enseignante demande à chaque enfant de
 choisir chaque matin $3$ jouets parmi $9$ rouges, $6$ jaunes et $5$ bleus.
 
 Tous ces jouets se trouvent mélangés dans une caisse.
  
L'enseignante s'intéresse plus particulièrement à Rémi qui choisit chaque matin les 3 jouets au hasard. On suppose que tous les choix de 3 jouets sont équiprobables.
 
\medskip

\begin{enumerate} 
\item Combien y a-t-il de choix possibles de $3$ jouets ? 
\item On désigne par $A$, $B$ et $C$ les évènements suivants  :

\setlength\parindent{8mm}
$A$ \og Rémi a choisi un jouet de chaque couleur \fg.

$B$ \og Rémi a choisi trois jouets de la même couleur \fg.

$C$ \og Rémi a choisi exactement deux jouets rouges \fg.
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité de $A$ est	$\dfrac{9}{38}$.
		\item Déterminer la probabilité de $B$.
		\item Déterminer la probabilité de $C$.
	\end{enumerate}
\item L'enseignante observe Rémi pendant 5 matins consécutifs. Elle note
 le nombre de jours où il aura choisi trois jouets de trois couleurs 
 différentes.
 
Quelle est la probabilité que ce nombre de jours soit au moins égal à 4 ? En donner une valeur décimale arrondie à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'actif net d'une mutuelle de
 1988 à 1997 :
 
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ &88 	&89 	&90 	&91 	&92 	&93 	&94 	&95 	&96 	&97\\ \hline
$y_i$ &5,89 	&6,77 	&7,87 	&9,11 	&10,56 	&12,27 	&13,92 	&15,72 	&17,91 	&22,13\\ \hline
\end{tabularx}\]

\smallskip

où $x_i$ est le nombre d'années écoulées depuis 1900, $y_i$ est l'actif net en milliards de francs, et $i$ un entier allant de 1 à 10.

On a représenté ci-après le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à la série statistique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal : unités graphiques : 1~cm pour une année en abscisse, 1 cm pour un milliard de francs en ordonnée ; l'origine correspondant au point
A de coordonnées (86~;~0).
  
\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(14,25)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](14,25)
\psaxes[linewidth=1pt,Ox=86,Dx=2,Dy=5](0,0)(0,0)(14,25) 
\uput[u](13.2,0){années}
\rput{90}(-1.2,22){milliard de francs}
\psdots[dotscale=1.1](2,5.89)(3,6.77)(4,7.87)(5,9.11)(6,10.56)(7,12.27)(8,13.92)(9,15.72)(10,17.91)(11,22.13)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On veut réaliser un ajustement affine du nuage par la méthode des moindres carrés.

\emph{Tous les calculs statistiques seront effectués à la machine et les 
résultats donnés à} $10^{-2}$ \emph{près.}

\begin{enumerate} 
\item Justifier pourquoi un ajustement affine, entre $x$ et $y$, est
 envisageable.
\item Déterminer par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y =
 ax + b$, l'équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ (ou droite de régression). 
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique fourni.
\item Estimer l'actif net prévisible de la mutuelle en l'an 2000.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On veut étudier la fonction $f$ définie dans l'intervalle $[88~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \text{e}^{ 0,143x - 10,813}.\]

On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de la fonction $f$, dans le repère orthogonal fourni.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item La fonction $f$ est la composée de deux fonctions 
croissantes.

Préciser ces fonctions.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[88~;~+ ~\infty$[ et dresser son tableau de variations.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en donnant les
 valeurs décimales approchées à $10^{-2}$ près. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{ >{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&88	&89&90&91&92&93&94 &95 	&96 &97\\ \hline
$f(x)$ 	& 	&  &  &  &  &  &   &  	&  	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Construire la courbe ($\mathcal{C}$) sur le graphique fourni ci-après.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[88~;~+ \infty$[.
		\item Déterminer une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près, de la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [88~;~97].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est aussi un modèle mathématique de
 l'évolution de l'actif net de la mutuelle.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant cette nouvelle approximation, déterminer, à $10^{-2}$ près, l'actif net prévisible de la mutuelle en l'an 2000.
		\item Comparer ce résultat avec celui obtenu dans la partie \textbf{A} : à partir de l'observation graphique, un des deux résultats est-il plus vraisemblable ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\item Interpréter le résultat obtenu dans la question \textbf{4. b.}
 de la partie \textbf{B) }.
\end{enumerate}
 \end{document}