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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small décembre 1997}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie décembre 1997~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Dans cet exercice les résultats pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice. Le tableau suivant donne l'évolution de 1955 à 1995 de l'espérance de vie des hommes et des femmes en France.
  
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{| l |*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $i$ 			&1955 	&1965 	&1975 	&1985 	&1995 \\ \hline
Rang $x_i$ de
 l'année $i$ 			&0 		&10 		&20 		&30 		&40 \\ \hline
Espérance de vie des 
hommes $h_i$ 	&65 		&67,5 	&69 		&71,3 	&73\\ \hline  
Espérance de vie 
des femmes $f_ i$ &71,2 &74,4 	&76,9 	&79,4 	&82\\ \hline  
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter les deux nuages de points
 associés aux séries statistiques $\left(x_{i},~h_{i}\right)$ et $\left(x_{i},~f_{i}\right)$, dans le plan rapporté à un repère orthogonal. Unités graphiques : sur l'axe des  abscisses 0,25~cm ; sur l'axe des ordonnées 1~cm ; de plus, sur l'axe des ordonnées, on placera 65 à l'origine. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $h$ (on donnera la valeur décimale arrondie à  $10^{-3}$ près). 
		\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation
de la droite (D) de régression de $h$ en $x$ (pour les coefficients, on donnera
les valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près).
		\item Tracer (D) dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $f$ (on donnera la valeur décimale
 arrondie à $10^{-3}$ près).
		\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation
de la droite (D$'$) de régression de $f$ en $x$ (pour les coefficients, on donnera
les valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près). 
		\item Tracer (D$'$) dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\item En supposant que les évolutions
 correspondent durant les années à venir aux équations des droites précédentes,
 déterminer par le calcul : 
	\begin{enumerate}
		\item quelle serait l'espérance de vie des hommes et des femmes en l'an 
2000 ?
		\item en quelle année l'espérance de vie des femmes deviendrait 
supérieure de 10 ans à celle des hommes ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points
 
\textbf{Enseignement obligatoire} 

\medskip

Dans un sac se trouvent 6 jetons numérotés de 1 à 6. Un jeu 
consiste à tirer au hasard l'un des jetons. 

Si le numéro obtenu est un multiple de 2, le joueur gagne 1 franc ; 

s'il obtient \og 1 \fg ou \og 3 \fg, il gagne 2 francs ;

s'il obtient \og 5 \fg il garde le jeton tiré et il tire un second jeton parmi les
cinq  restants ; 

si le second numéro obtenu est un multiple de 2, il gagne 2
francs ; si le second numéro obtenu est \og 1 \fg, il gagne 9 francs ; 

et si le second numéro est \og 3 \fg, il gagne $k$ francs, où $k$ est un nombre réel.
 
Pour jouer à ce jeu, le joueur achète au préalable un ticket à 3 francs. On
 suppose à chaque fois que les tirages sont équiprobables.
  
Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur la différence entre le
gain et le prix du ticket.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un arbre, représenter les 
différentes issues possibles. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la question précédente,
 donner les valeurs $x_{i}$, que peut prendre la variable aléatoire $X$ ; donner
 ensuite la loi de probabilité de $X$. 
		\item Montrer que l'espérance mathématique de $X$ est égale à 
$\dfrac{k - 40}{30}$. 
		\item Déterminer $k$ pour que l'organisateur du jeu gagne 0,10 franc en
moyenne par ticket vendu.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $k = 32$. 
	\begin{enumerate}
		\item Un joueur joue une fois à ce jeu. Montrer que P$(X \geqslant 0) = 
\dfrac{1}{15}$.
		\item Ce joueur joue maintenant 3 parties indépendantes. Calculer la
probabilité d'avoir un gain aux deux premières parties et une perte à la
troisième (donner la valeur arrondie de cette probabilité à $10^{-3}$ près).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
		
\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un rayon d'un magasin ouvert dix heures par jour, on peut trouver
soit un vendeur A pendant six heures de temps, soit pendant son absence, un
vendeur B pendant trois heures de temps, soit en l'absence de A et B, aucun
vendeur pendant une heure de temps. Les plages horaire de présence varient, si
bien que le fait qu'un client soit conseillé par A, par B ou ne soit pas
conseillé est aléatoire.

Quand ils sont conseillés par A, 70\,\% des clients effectuent un achat, 
50\,\% l'effectuent quand ils sont conseillés par B et 20\,\% seulement quand personne
n'est là pour les conseiller.

Pour un client qui se présente dans ce rayon, on considère les évènements 
suivants :

A : \og Le client est conseillé par A.

B : \og Le client est conseillé par B.

C : \og Le client n'est conseillé par personne.

H : \og Le client effectue un achat.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Traduire, en terme de probabilités
 conditionnelles, les données numériques de l'énoncé à l'aide des 
 évènements  A, B, C et H.
	\begin{enumerate}
		\item Un client se présente dans le rayon.
 Quelle est la probabilité que le client soit conseillé par A et qu'il effectue un achat ? 
		\item Quelle est la probabilité que le client effectue un achat ? 
		\item Le client effectue un achat. Quelle est la probabilité qu'il n'ait pas été conseillé par A ?
	\end{enumerate}
\item Pendant $n$ jours, $n$ clients viennent dans ce rayon indépendamment les uns des autres, à raison de un client  par jour.
	\begin{enumerate}
		\item On prend $n = 7$. Quelle est la probabilité qu'au moins cinq des
clients aient été conseillés par A ? 
		\item Maintenant, $n$ est quelconque.

Montrer que la probabilité qu'au moins un des clients ait été conseillé
par A est égale à $1 - (0,4)^n$.

Calculer $n$ pour que cette probabilité soit au moins égale à 0,99.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Problème\hfill 10 points}

\textbf{Partie I}

\medskip

On considère les fonctions numériques $f$ et $g$, définies sur
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(t) = 13 t^2 + 50t \quad;\quad	g(t) = \np{2000} \text{e}^{-0,116t}.\]

On note ($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{2}$) leurs courbes représentatives
respectives dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij.
 
Unités graphiques : axe des abscisses 0,5~cm pour une unité; axe des 
ordonnées 0,5~cm pour 100~unités.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item étudier le sens de variation de la fonction $f$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item étudier le sens de variation de la
 fonction $g$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en + ~ $\infty$.
En déduire une droite asymptote à la courbe ($\mathcal{C}_{2}$) ; quelle est
la position de ($\mathcal{C}_{2}$) par rapport à cette asymptote ?
	\end{enumerate}
\item Tracer, dans le repère \Oij{} les courbes ($\mathcal{C}_{1}$)
et ($\mathcal{C}_{2}$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Une usine, fabriquant uniquement un produit B, décide la fabrication d'un produit A. Les nombres $f(t)$ et $g(t)$, définis à la partie I,  représentent les quantités respectives de produit A et de produit B  fabriquées par jour, où $t$ est la durée, exprimée en mois, écoulée depuis le lancement de A.
 
\medskip 

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $h$, définie
sur $[0~;~+ \infty[$ par : $h(t) = f(t) - g(t)$.
	\begin{enumerate}
		\item étudier le sens de variation de la fonction $h$.
		\item Montrer que l'équation $h(t) = 0$ admet une solution unique dans
l'intervalle [6~;~7].
		\item En déduire combien de mois après son lancement la fabrication de A
dépasse celle de B.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $q$, définie sur $[0~;~+~\infty[$ par : $q(t) = f(t) + g(t)$.
	\begin{enumerate}
		\item Que représente $q(t)$ ? 
		\item Donner une primitive $Q$ de $q$.
		\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $q$ sur l'intervalle [0 ; 10], 
c'est-à-dire le nombre $N = \dfrac{1}{10} \displaystyle\int_{1}^{10} 
q(t)\:\text{d}t$.

Après avoir calculé la valeur exacte de $N$, on en donnera une valeur 
approchée à 1 unité près. 
	\end{enumerate}
\item L'usine ne peut pas fabriquer une quantité journalière de produit A supérieure à \np{3000}. Par lecture graphique, déterminer au bout de combien de mois ce rythme est atteint.
\end{enumerate}
\end{document}