%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{fancybox} %Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon % Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,,pstricks-add} \usepackage{colortbl} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{graphicx} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Baccalauréat S} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}} \rfoot{\small{17 novembre 2016}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2016~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x} - 0,1.\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations. \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~1]. \end{enumerate} \medskip On admet l'existence du nombre réel strictement positif $\beta$ tel que $\alpha < \beta$ et $f(\beta) = 0$. \smallskip On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\alpha~;~\beta]$ dans un repère orthogonal et $\mathcal{C}'$ la courbe symétrique de $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses. \smallskip \textbf{L'unité sur chaque axe représente 5 mètres.} \smallskip Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes. \begin{center} \psset{xunit=2.5cm,yunit=8cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.3,-0.35)(4,0.4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,griddots=10](0,-0.3)(4,0.4) \psaxes[Dx=0.5,Dy=0.1,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-0.3)(4,0.4) \psaxes[Dx=0.5,Dy=0.1,linewidth=1.25pt](0,0)(0,-0.31) \uput[u](3.9,0){$x$}\uput[r](0,0.38){$y$} \uput[u](1.75,0.2){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](1.75,-0.2){\red $\mathcal{C}'$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.112}{3.577}{x 2.71828 x exp div 0.1 sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.112}{3.577}{x 2.71828 x exp div 0.1 sub neg} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate}[resume] \item Démontrer que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $[\alpha~;~\beta]$ par \[F(x) = -(x + 1)\text{e}^{- x} - 0,1x\] est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\alpha~;~\beta]$. \item Calculer, en unités d'aire, une valeur arrondie à $0,01$ près de l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. On utilisera les valeurs arrondies à $0,001$ près suivantes : $\alpha \approx 0,112$ et $\beta \approx 3,577$. \item Sachant que l'on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de plants de tulipes nécessaire à la réalisation de ce massif. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La société \og Bonne Mamie \fg{} utilise une machine pour remplir à la chaîne des pots de confiture. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque pot de confiture produit associe la masse de confiture qu'il contient, exprimée en grammes. Dans le cas où la machine est correctement réglée, on admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 125$ et d'écart-type $\sigma$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $t$ positif, déterminer une relation entre $P(X \leqslant 125 - t)$ et $P(X \geqslant 125 + t)$. \item On sait que 2,3\,\% des pots de confiture contiennent moins de $121$ grammes de confiture. En utilisant la relation précédente, déterminer $P(121 \leqslant X \leqslant 129)$. \end{enumerate} \item Déterminer une valeur arrondie à l'unité près de $\sigma$ telle que $P(123 \leqslant X \leqslant 127) = 0,68$. \end{enumerate} \textbf{Dans la suite de l'exercice, on suppose que \boldmath$\sigma = 2$\unboldmath.} \begin{enumerate}[resume] \item On estime qu'un pot de confiture est conforme lorsque la masse de confiture qu'il contient est comprise entre $120$ et $130$ grammes. \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un pot de confiture de la production. Déterminer la probabilité que ce pot soit conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près. \item On choisit au hasard un pot parmi ceux qui ont une masse de confiture inférieure à $130$~grammes. Quelle est la probabilité que ce pot ne soit pas conforme? On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près. \end{enumerate} \item On admet que la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'un pot de confiture soit conforme est $0,988$. On choisit au hasard $900$ pots dans la production. On constate que $871$ de ces pots sont conformes. Au seuil de 95\,\% peut-on rejeter l'hypothèse suivante : \og La machine est bien réglée \fg{} ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On se place dans le plan complexe rapporté au repère \Ouv. Soit $f$ la transformation qui à tout nombre complexe $z$ non nul associe le nombre complexe $f(z)$ défini par : \[f(z) = z + \dfrac{1}{z}.\] On note $M$ le point d'affixe $z$ et $M'$ le point d'affixe $f(z)$. \medskip \begin{enumerate} \item On appelle A le point d'affixe $a = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle de $a$. \item Déterminer la forme algébrique de $f(a)$. \end{enumerate} \item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $f(z) = 1$. \item Soit $M$ un point d'affixe $z$ du cercle $\mathcal C$ de centre O et de rayon 1. \begin{enumerate} \item Justifier que l'affixe $z$ peut s'écrire sous la forme $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ un nombre réel. \item Montrer que $f(z)$ est un nombre réel. \end{enumerate} \item Décrire et représenter l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous. On définit les points I et J respectivement par $\vect{\text{HI}} = \dfrac{3}{4} \vect{\text{HG}}$ et $\vect{\text{JG}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{CG}}$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,8.25) \psframe(0.5,0.5)(5,5) \psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5) \psline(5,5)(7,7.2) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7) \psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2) \uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} \uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} \uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I} \psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5) \uput[r](5,3.875){J} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \textbf{Sur le document réponse donné en annexe, à rendre avec la copie}, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJK) où K est un point du segment [BF]. \item \textbf{Sur le document réponse donné en annexe, à rendre avec la copie}, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJL) où L est un point de la droite (BF). \item Existe-t-il un point P de la droite (BF) tel que la section du cube par le plan (IJP) soit un triangle équilatéral ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à \np{10000} le nombre de ses abeilles. Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20\,\% des abeilles de l'année précédente. Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera $c$ ce nombre exprimé en dizaines de milliers. On note $u_0$ le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a \[u_0 = 1\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+ 1} = 0,8u_n + c.\] \textbf{Partie A} \medskip On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Conjecturer la monotonie et la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$. \item Vérifier les deux conjectures établies à la question 1. en justifiant votre réponse. Interpréter ces deux résultats. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'apiculteur souhaite que le nombre d'abeilles tende vers \np{100000}. On cherche à déterminer la valeur de $c$ qui permet d'atteindre cet objectif. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: v_n = u_n - 5c$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item En déduire une expression du terme général de la suite $\left(v_n\right)$en fonction de $n$. \item Déterminer la valeur de $c$ pour que l'apiculteur atteigne son objectif. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points} \textbf{Candidats avant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On observe la taille d'une colonie de fourmis tous les jours. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ le nombre de fourmis, exprimé en milliers. dans cette population au bout du $n$-ième jour. Au début de l'étude la colonie compte \np{5000} fourmis et au bout d'un jour elle compte \np{5100} fourmis. Ainsi, on a $u_0 = 5$ et $u_1 = 5,1$. On suppose que l'accroissement de la taille de la colonie d'un jour sur l'autre diminue de 10\:\% chaque jour. En d'autres termes, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+2} - u_{n+1} = 0,9\left(u_{n+1} - u_n\right).\] \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer, dans ces conditions, que $u_2 = 5,19$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n = \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix}1,9& -0,9\\1& 0\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $V_{n+1} = AV_n$. On admet alors que, pour tout entier naturel $n,\: V_n = A^nV_0$. \item On pose $P = \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix}$. On admet que la matrice $P$ est inversible. À l'aide de la calculatrice, déterminer la matrice $P^{-1}$. En détaillant les calculs, déterminer la matrice $D$ définie par $D = P^{-1} AP$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n = PD^nP^{-1}$. Pour tout entier naturel $n$, on admet que \[A^n = \begin{pmatrix}-10 \times 0,9^{n+1} + 10& 10 \times 0,9^{n+1} - 9\\ - 10 \times 0,9^n + 10& 10 \times 0,9^n - 9\end{pmatrix}.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 6 - 0,9^n$. \end{enumerate} \item Calculer la taille de la colonie au bout du 10\up{e} jour. On arrondira le résultat à une fourmi près. \item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE} \bigskip \textbf{ANNEXE de l'exercice 4} \bigskip \textbf{Exercice 4, question 1} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,8.25) \psframe(0.5,0.5)(5,5) \psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5) \psline(5,5)(7,7.2) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7) \psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2) \uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} \uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} \uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I}\uput[r](7,3.7){K} \psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5)(7,3.7) \uput[r](5,3.875){J} \end{pspicture} \bigskip \textbf{Exercice 4, question 2} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(8,9.25) \psframe(0.5,0.5)(5,5) \psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5) \psline(5,5)(7,7.2)\psline(7,-0.5)(7,9.25) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7) \psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2) \uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} \uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} \uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I}\uput[r](7,8.4){L} \psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5)(7,8.4) \uput[r](5,3.875){J} \end{pspicture} \end{center} \end{document}