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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie  mars 2007 (spécialité)~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour tout cet exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Question de cours}

\medskip

Établir l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal $\vect{n}(a,~b,~c)$ et un point $M_{0}\left(x_{0}~;~y_{0}~;~z_{0}\right)$.
\item On considère les points A$(1~;~2~;~-3)$, B$(-3~;~1~;~4)$ et C$(2~;~6~;~-1)$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.
		\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est $2x - y + z + 3 =  0$.
		\item Soit I le point de coordonnées $(-5~;~9~;~4)$.	Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\mathcal{D}$ passant par I et perpendiculaire au plan (ABC).
		\item Déterminer les coordonnées du point J, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC).
		\item En déduire la distance du point I au plan (ABC).
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte les points attribués à la question, une réponse inexacte enlève la moitié des points attribués à la question, l'absence de réponse est comptée $0$ point.\\
Si le total est négatif la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\textbf{A.} Un sac contient 3 boules blanches, 4 boules noires et 1 boule rouge, indiscernables au toucher. On tire, au hasard, successivement, trois boules du sac, en remettant chaque boule tirée dans le sac avant le tirage suivant.

\medskip

\textbf{Question 1} : La probabilité de tirer trois boules noires est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\quad \dfrac{\binom{4}{3}}{\binom{8}{3}}$ &\textbf{b.~} $\quad \dfrac{9}{8}$&\textbf{c.~}$\quad \left(\dfrac{1}{2} \right)^3$&\textbf{d.~} $\quad \dfrac{4\times 3 \times 2}{8 \times 7 \times 6}$\\
\end{tabularx}

\textbf{Question 2} : Sachant que Jean a tiré 3 boules de la même couleur, la probabilité qu'il ait tiré 3 boules rouges est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\quad $0&	\textbf{b.~} $\quad \left(\dfrac{1}{8}\right)^3$&\textbf{c.~} $\quad \dfrac{23}{128}$& \textbf{d.~} $\quad \dfrac{1}{92}$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{B.} Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par $f(x) =  x + m$ où $m$ est une constante réelle.

\textbf{Question 3} : $f$ est une densité de probabilité sur l'intervalle [0~;~1] lorsque

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\quad m=-1$&\textbf{b.~}$\quad m=\dfrac{1}{2}$&\textbf{c.~} 	$\quad m=\text{e}^{\frac{1}{2}}$&\textbf{d.~} $\quad m = \text{e}^{-1}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{C.} La durée de vie en années d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre $0,2$.

\textbf{Question 4} : La probabilité que ce composant électronique ait une durée de vie strictement supérieure à 5 ans est

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\quad 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$&\textbf{b.~}$\quad \dfrac{1}{\text{e}}$&\textbf{c.~} $\quad \dfrac{1}{5\text{e}}$&\textbf{d.~} $\quad \dfrac{1}{0,2}(\text{e} - 1)$\\
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour coder un message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres de l'alphabet, on commence par associer un entier $n$ de l'ensemble

$\Omega = \{0~;~1~;~2~;~\ldots~;~24~;~25\}$ selon le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H	&	I&J	&K	&L	&M\\ \hline
0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12\\ \hline\hline
N	&O	&P	&Q	&R	&S	&T	&U	&V	&W	&X	&Y	&Z\\ \hline
13	&14	&15	&16	&17	&18	&19	&20	&21	&22	&23	&24	&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

$a$ et $b$ étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier $n$ de $\Omega$ le reste de la division euclidienne de $(an + b)$ par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante.

\emph{Exemple} : pour coder la lettre P avec $a = 2$ et $b = 3$, on procède de la manière suivante :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] étape 1 : on lui associe l'entier $n = 15$.
\item[ ] étape 2 : le reste de la division de $2 \times 15 + 3 = 33$ par 26 est $7$.
\item[ ] étape 3 : on associe $7$ à H. Donc P est codé par la lettre H.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que dire alors du codage obtenu lorsque l'on prend $a =  0$ ?
\item Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l'on choisit $a = 13$.
\item \emph{Dans toute la suite de l'exercice}, on prend $a = 5$ et $b = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item On considère deux lettres de l'alphabet associées respectivement aux entiers $n$ et $p$. Montrer, que si $5n + 2$ et $5p + 2$ ont le même reste dans la division par 26 alors $n - p$ est un multiple de $26$. En déduire que $n = p$.
		\item 	Coder le mot AMI.
	\end{enumerate}
\item On se propose de décoder l
a lettre E.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l'élément $n$ de $\Omega$ tel que $5n - 26y = 2$, où $y$ est un entier.
		\item  On considère l'équation $5x - 26y = 2$, avec $x$ et $y$ entiers relatifs.
		\begin{enumerate}
			\item Donner une solution particulière de l'équation $5x - 26y = 2$.
			\item Résoudre alors l'équation $5x - 26y = 2$.
			\item En déduire qu'il existe un unique couple $(x~;~y)$ solution de l'équation précédente, avec $0 \leqslant x \leqslant  25$.
		\end{enumerate}
		\item  Décoder alors la lettre E.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie sur $\N^*$ par

\[u_{n} = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n+1} + \cdots + \dfrac{1}{2n}.\]

\vspace{0,25cm}

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n$ de $\N^*$

\[u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{-3n - 2}{n(2n+2)(2n+1)}\]

\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\itemÉtablir alors que $\left(u_{n}\right)$ est une suite convergente.
\end{enumerate}

\medskip

L'objectif de la partie B est de déterminer la valeur de la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\vspace{0,25cm}

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{x} + \ln \left(\dfrac{x}{x+1}\right)\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier pour tout entier naturel $n$ non nul l'encadrement :

\[\dfrac{1}{n+1}\leqslant \displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{n}\]

		\item Vérifier que

\[\displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{n} - f(n)\]

		\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[0 \leqslant f(n) \leqslant  \dfrac{1}{n(n+1)}\]
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie sur $\N^*$ par

\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{n(n+1)} + \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} + \cdots + \dfrac{1}{2n(2n + 1)}\]
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,

\[0 \leqslant f(n) + f(n + 1) + \cdots +f(2n) \leqslant S_{n}\]

		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x$ distinct de $-1$ et de $0$, on ait

\[\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x + 1}\]

		\item En déduire l'égalité
		
\[S_{n} = \dfrac{n + 1}{n(2n + 1)}\]

		\item En utilisant les questions précédentes, déterminer alors la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de

\[\displaystyle\sum_{k=n}^{2n} f(k)  = f(n) + f(n + 1) +  \cdots + f(2n)\]

		\item Vérifier que pour tout entier $n\geqslant  1$,

\[f(n) + f(n+1) + \cdots + f(2n) = u_{n} - \ln\left(2 + \dfrac{1}{n}\right)\]
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}