\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O};~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Nouvelle-Calédonie mars 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{graphicx} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Baccalauréat S} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}} \rfoot{\small{mars 2017}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x}\] et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier toutes les informations du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous. %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(7,2.5) %\psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5) %\psline(2,0)(2,2.5) %\uput[u](1,1.9){$x$} \uput[u](2.1,1.9){$0$} \uput[u](4.5,1.9){$1$} \uput[u](6.65,1.9){$+ \infty$} %\rput(1,1){$f(x)$} %\uput[u](2.1,0){$0$}\uput[d](4.5,1.9){$\frac{1}{\text{e}}$}\uput[u](6.85,0){$0$} %\psline{->}(2.4,0.4)(4.1,1.5) \psline{->}(4.9,1.5)(6.6,0.4) %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ %\hline %f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{\dfrac{1}{\text{e}}} \rule{0pt}{20pt} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \item Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[F(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}.\] Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$. On considère la droite $D_a$ d'équation $y = ax$ et $M$ le point d'intersection de la droite $D_a$ avec la courbe $\mathcal{C}_f$. On note $x_M$ l'abscisse du point $M$. On note $\mathcal{H}(a)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c'est-à-dire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}_f$ au-dessus de la droite $D_a$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = x_M$. Le but de cette partie est d'établir l'existence et l'unicité de la valeur de $a$ telle que $\mathcal{H}(a) = 0,5$ puis d'étudier un algorithme. \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=10cm} \begin{pspicture}(-0.25,-0.2)(5,0.5) \psset{yMaxValue=0.5} %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(5,0.5) \uput[l](0,0.1){0,1} \uput[d](1,0){1} \uput[dr](2,0.4){$D_a$} \uput[u](4.8,0.02){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[u](1.61,0.33){$M$} \uput[l](0,0.368){$\frac{1}{\text{e}}$} \psline[linestyle=dashed](0,0.368)(1,0.368)(1,0) \def\f{x 2.71828 x exp div} \def\g{0.2 x mul} \pscustom[fillstyle=vlines] { \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.61}{\f} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.61}{0}{\g} \closepath } \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{\f} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{4}{\g} \psline(0,0.1)(0.05,0.1) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Prouver que la droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont un unique point d'intersection $M$ distinct de l'origine. \end{enumerate} On admet dans la suite de l'exercice que le point $M$ a pour abscisse $x_M = - \ln a$ et que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D_a$ sur l'intervalle $[0~;~- \ln (a)]$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Montrer que $\mathcal{H}(a) = a \ln (a) - \frac{1}{2}a(\ln (a))^2 + 1 - a$. \item Soit la fonction $\mathcal{H}$ définie sur ]0~;~1] par $\mathcal{H}(x) = x \ln (x) - \frac{1}{2}x(\ln (x))^2 + 1 - x$. On admet que $\mathcal{H}$ est dérivable sur ]0~;~1] et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous. %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(6,2.5) %\psframe(6,2.5)\psline(0,2)(6,2) %\psline(2,0)(2,2.5) %\psline(2.15,0)(2.15,2.5)\psline(2.1,0)(2.1,2.5) %\uput[u](1,1.9){$x$} \uput[u](2.3,1.9){$0$} \uput[u](5.85,1.9){$1$} %\rput(1,1){$\mathcal{H}(x)$} %\uput[d](2.3,2){$1$}\uput[u](5.85,0){$0$} %\psline{->}(2.5,1.6)(5.5,0.4) %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{4cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{10pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| l *2{c}|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 \\ % \hline %f'(x) & & \pmb{-} & \\ \hline & \vline\:\vline \quad \Rnode{max}{1} & & \\ \mathcal{H}(x) &\vline\:\vline & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \vline\:\vline & & \Rnode{min}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max}{min} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha \in ]0~;~1[$ tel que $\mathcal{H}(\alpha) = 0,5$. \item On considère l'algorithme présenté ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|lX|}\hline VARIABLES : &$A$, $B$ et $C$ sont des nombres ;\\ & $p$ est un entier naturel.\\ INITIALISATION : & Demander la valeur de $p$\\ & $A$ prend la valeur $0$\\ &$B$ prend la valeur 1\\ TRAITEMENT : & Tant que $B - A > 10^{-p}$\\ &\hspace{0.25cm} \begin{tabular}{|l} $C$ prend la valeur $(A + B)/2$\\ Si $\mathcal{H}(C) > 0,5$\\ \hspace{0.5cm} \begin{tabular}{|l} Alors $A$ prend la valeur de $C$\\ Sinon $B$ prend la valeur de $C$\\ \end{tabular}\\ Fin de la boucle Si \\ \end{tabular}\\ &Fin de la boucle Tant que\\ SORTIE : &Afficher $A$ et $B$.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Que représentent les valeurs $A$ et $B$ affichées en sortie de cet algorithme ? \item Donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. \\ Les deux questions sont indépendantes l'une de l'autre.} \medskip \begin{enumerate} \item La durée de vie $T$ (exprimée en années) d'un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$. On sait qu'un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans. La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est d'environ $0,39$ à $0,01$ près. \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. L'équation $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$ admet trois solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\C$, qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Sur les 34 sujets de l'examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A. Peut-on rejeter au seuil de $95\,\%$ l'affirmation suivante : \og il y a une chance sur deux que le thème A soit évalué le jour de l'examen \fg ? \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A: \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$30\,\%$ des étudiants n'ayant pas suivi le stage ne traitent pas l'exercice ; \item[$\bullet~~$]$\dfrac{5}{6}$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On sait de plus que $20\,\%$ des étudiants participent au stage. \smallskip Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : \og Je n'ai pas du tout traité le thème A \fg. Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à $0,001$ près. \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On suppose que la variable aléatoire $T$, associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d'espérance $\mu = 225$ et d'écart-type $\sigma$ où $\sigma > 0$. La probabilité qu'un étudiant finisse son examen en moins de $235$~minutes est de $0,98$. Déterminer une valeur approchée de $\sigma$ à $0,1$ près. $\left(\text{On pourra, par exemple, intro\-duire la variable aléatoire }\: Z = \frac{T - 225}{\sigma}\right)$. \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[\left\{\begin{array}{r !{=} l} u_0&0\\ u_{n+1}&\dfrac{1}{2 - u_n}\text{ pour tout entier naturel }\:n \geqslant 0. \end{array}\right.\] On obtient à l'aide d'un tableur les premiers termes de cette suite: \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C\\ \hline 1 & &$u_n$ &$u_n$ \\ \hline 2 &$n$&(en valeurs exactes)&(en valeurs approchées)\\ \hline 3 &0 &0 &0\\ \hline 4 &1 &1/2 &0,5 \\ \hline 5 &2 &2/3 &\np{0,666666667}\\ \hline 6 &3 &3/4 &0,75 \\ \hline 7 &4 &4/5 &0,8 \\ \hline 8 &5 &5/6 &\np{0,833333333}\\ \hline 9 &6 &6/7 &\np{0,857142857} \\ \hline 10 &7 &7/8 &0,875 \\ \hline 11 &8 &8/9 &\np{0,888888889}\\ \hline 12 &9 &9/10 &0,9\\ \hline 13 &10 &10/11 &\np{0,909090909}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge. \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé (O~;~I,~J,~K). On considère les points \[\text{A}(-1~;~-1~;~0),\: \text{B}(6~;~-5~;~1),\: \text{C}(1~;~2~;~-2) \:\:\text{et S}(13~;~37~;~54).\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan. \item Prouver que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la nature du triangle ABC. \item Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle ABC est, en unités d'aire, $\dfrac{\sqrt{\np{1122}}}{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Prouver que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires. \item La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan (ABC) passant par le point S coupe le plan (ABC) en un point noté H. Déterminer les coordonnées du point H. \end{enumerate} \item Déterminer le volume du tétraèdre SABC. \emph{On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par :} \[\dfrac{\text{\emph{Aire\: de\: la\: base}} \times \text{\emph{hauteur}} }{3}.\] \end{enumerate} \end{document}