\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{makecell} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small décembre 1996}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie décembre 1996~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} 

Un mélange de graines de fleurs contient :
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item 50 graines de type A; 
\item 90 graines de type B ; 
\item 60 graines de type C.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Toutes les graines n'ont pas le même pouvoir de germination. On conviendra qu'une graine germe correctement si celle-ci donne naissance à une plante qui fleurit.
 
On considère que la probabilité pour qu'une graine germe correctement est de :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize} 
\item $0,5$ pour une graine de type A ; 
\item $0,8$ pour une graine de type B ; 
\item $0,6$ pour une graine de type C.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On sème une graine prise au hasard dans le mélange.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que ce soit une graine de type A ? 
\item Quelle est la probabilité que ce soit une graine de type A et que celle-ci germe correctement ? 
\item Quelle est la probabilité que la graine semée soit une graine qui germe correctement ? 
\item Quelle est la probabilité que la graine semée soit une graine de type C qui ne germe pas correctement ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip 

\emph{Dans cet exercice les résultats numériques pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice, sans justification. Ils seront arrondis à $10^{-3}$ près, sauf indication contraire.} 

Le tableau suivant donne l'évolution de 1987 à 1994 de la dette extérieure des pays en développement, en milliards de dollars.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année $i$& 1987 &1988 &1989 &1990 &1991 &1992 &1993 &1994\\ \hline
Rang $x_{i}$ &1& 2& 3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
Montant $d_{i}$ de la dette& 1369 &1375 &1427 &1539 &1627 &1696 &1812 &1945\\ \hline 
\multicolumn{9}{r}{\emph{Source : Banque Mondiale.}}\\
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $y_{i}= \ln \left(d_{i}\right)$, o\`u ln désigne la fonction logarithme népérien. Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant par les valeurs de $y_{i}$.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang $x_{i}$ de l'année $i$&  1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
$y_{i}$&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 20~cm sur l'axe des ordonnées). ~ 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. 
		\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$. 
		\item Déduire de la question précédente une relation entre $d$ et $x$, de la forme : $d = \alpha \beta^x$.
	\end{enumerate}		
\item En supposant que la relation précédente soit valable pour les années à venir, estimer, pour 1996, le montant de la dette extérieure des pays en développement (arrondir le résultat à un milliard près). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip 

Soit la suite $\left(U_{n}\right)_{n \geqslant 0}$  définie par 

\[U_{n} = \displaystyle\int_{n}^{n+1} 2\text{e}^{- 2x}\:\text{d}x.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $U_{0}$. 
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,\:U_{n} = \text{e}^{-2n} \left(1 - \text{e}^{- 2}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que la suite $\left(U_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison. 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_{n} = U_{0} + U_{1} + U_{2} + ... + U_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Étudier la limite de la suite $\left(S_{n}\right)_{n \geqslant 0}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points}

\medskip
 
\emph{Utiliser le dessin ci-dessous pour tous les graphiques demandés dans ce problème.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2.75)(2,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange]
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.75)(2,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.4}{1.4}{2.71828 x dup mul exp 1 sub x mul}
\uput[r](1.1,2){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center} 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
La fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = \ln (x + 1) + 2x.\] 

Sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij{} est désignée par $\mathcal{C}_{g}$ (unités graphiques : $4$~cm en abscisse et 2~cm en ordonnée).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $g$ en $- 1$ et en $+ \infty$ ; en déduire que la courbe $\mathcal{C}_{g}$ admet une asymptote D dont on donnera une équation. 
		\item Déterminer le sens de variation de chacune des deux fonctions $h$ et $k$ définies sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par : 
		
\[h(x) = \ln (x + 1)\quad \text{et}\quad  k(x) = 2x.\]
 
En déduire le sens de variation de $g$ sur $]- 1~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variation de $g$ sur $]- 1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer $g(0)$ et en déduire le signe de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
Tracer, sur le graphique joint la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et l'asymptote $D$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $G$, définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par
		 
\[G(x) = x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x + x^2,\]

est une primitive de $g$.
		\item Calculer l'intégrale $I_{1} = \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = x\left(\text{e}^{x^2} - 1\right).\]
 
Cette fonction est représentée, sur l'intervalle $[-2~;~2]$, dans le repère 
\Oij, par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ (voir le dessin joint).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Vérifier l'égalité suivante, pour tout nombre réel $x,$
		
		\[f'(x) = \text{e}^{\left(x^2\right)} - 1 + 2x^2\text{e}^{\left(x^2\right)}.\]
		 
Quel est le signe de $\text{e}^{\left(x^2\right)} - 1$ ? 

En déduire que, pour tout nombre réel $x,\:f'(x)$ est positif ou nul.
		\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+\infty$. 
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $I_{2}$, l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. 

Montrer que $I_{2} = \dfrac{\text{e}}{2} - 1$.

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
On admettra que, sur [0~;~1], la fonction $f$ est positive et que les fonctions $f$ et $g$ vérifient : $f \leqslant g$.
 
Soit $\mathcal{A}$ la surface délimitée, sur le graphique, par les deux courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
 
Colorier la surface $\mathcal{A}$, puis calculer à l'aide des intégrales $I_{1}$ et $I_{2}$ l'aire de $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$. 

Donner la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{A}$, puis sa valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}
\end{document}