\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small Nouvelle-Calédonie} \rfoot{\small{décembre 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle--Calédonie décembre 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \Oijk, on considère les points A$(3~;~ 0~;~1)$, B$(0~;~- 1~;~2)$ et C$(1~;~- 1~;~ 0)$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du vecteur $\vect{n} = \vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$. En déduire une équation cartésienne du plan ABC. \item Soit D le point de coordonnées (1, 1, - 2). Calculer le produit scalaire du vecteur $\vect{\text{DA}}$ et du vecteur $\vect{\text{DB}} \wedge \vect{\text{DC}}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par D et dont un vecteur directeur est $\vect{n}$. \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection H de cette droite avec le plan ABC. \item Calculer DH (distance du point D au plan ABC). \end{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point D$'$, symétrique du point D par rapport au plan ABC. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} ; unité graphique : 2~cm. \begin{enumerate} \item Tracer les cercles de centre O et de rayons 1 et 2. Placer les points A, B, et D d'affixes respectives $\sqrt{3}$ + i,~ $\sqrt{3}$ - i et -~$\dfrac{ 1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$i. \item On considère la rotation R de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et la translation T de vecteur d'affixe 1. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$ des points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B par la rotation R. \item Déterminer l'affixe $z_{\text{D}'}$, du point D$'$, image du point D par la translation T. \item Placer les points A$'$,~ B$'$ et D$'$. \end{enumerate} \item Déterminer un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{\text{A}'} - z_{\text{B}'}}{z_{\text{D}'}}$.\\ Justifier que la droite (OD$'$) est une médiatrice du triangle OA$'$B$'$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants : $N = 9 n + 1$ et $M = 9n - 1$. \begin{enumerate} \item On suppose que $n$ est un entier pair. On pose $n = 2p$, avec $p$ entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers impairs. \item En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$. \end{enumerate} \item On suppose que $n$ est un entier impair. On pose $n = 2p + 1$ , avec $p$ entier naturel. \begin{enumerate} \item Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers pairs. \item En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère l'entier $81n^2 - 1$. \begin{enumerate} \item Exprimer l'entier $81n^2 - 1$ en fonction des entiers $M$ et $N$. \item Démontrer que si $n$ est pair alors $81 n - 1$ est impair. \item Démontrer que $81 n^2 - 1$ est divisible par 4 si et seulement si $n$ est impair. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle : \[y'- 2y = \text{e}^{ 2x}, \quad (\text{E}).\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x) = x \text{e}^{2 x}$ est une solution de (E). \item Résoudre l'équation différentielle : $y'- 2y = 0$ \quad (E$_{0}$). \item Démontrer qu'une fonction $v$ définie sur $\R$ est solution de (E) si et seulement si $v - u$ est solution de (E$_{0}$). \item En déduire toutes les solutions de l'équation (E). \item Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur $1$ en $0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude d'une fonction} \medskip Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 1) \text{e}^{2x} .\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier la limite de $f$ en + ~$\infty$ puis la limite de $f$ en $-\infty$. \item Soit $x$ un nombre réel. Calculer $f'(x)$. Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations. Préciser le signe de $f(x)$ pour tout réel $x$. \item Soit un réel $\alpha$ strictement inférieur à $- 1$. On considère le domaine plan $\mathcal{D}$ limité par $\mathcal{C}$, les droites d'équation $x = \alpha,~ x = - 1$ et l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire $\mathcal{D}(\alpha)$ du domaine $\mathcal{D}$. \item Déterminer la limite de $\mathcal{D}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $-\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Résolution d'une équation} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une solution unique $x_{0}$ dans l'intervalle [0,2~;~0,3]. \item Recopier, puis compléter le tableau suivant : \[\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0,05 & 0,1 & 0,15 & 0,2 & 0,25 & 0,3 \\ \hline $f(x)$ & & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies avec une précision de $10^{-2}$ près par défaut. \item Sur le papier millimétré, ci-dessous, où les unités sont de 10 cm en abscisses et 5 cm en ordonnées, tracer l'arc de la courbe $\mathcal{C}$ pour $x$ appartenant à $[0~;~0,3]$. Faire apparaître $x_{0}$ sur le graphique. \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=10cm,yunit=5cm} \begin{pspicture}(1,2.2) \psgrid[subgriddiv=50,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.4pt](0,0)(1,2) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,2) \uput[d](0.1,0){0,1} \uput[d](0.2,0){0,2} \uput[d](0.3,0){0,3} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[l](0,2){2} \end{pspicture} \end{center} \bigskip Démontrer que $x_{0}$ satisfait à la relation : $x_{0} = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2}{x_{0}+1}\right)$. \bigskip \textbf{Partie D - Approximation de} \boldmath $x_{0}$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur I = [0,2~;~0,3] par \[h(x) = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2}{x_{0}+1}\right).\] \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x$ de I,~ $h(x)$ appartient à I. \item Démontrer que pour tout $x$ de I,~ $|h'(x)| \leqslant 0,42$. \end{enumerate} \item Soit ($u_{n}$) la suite définie par : $u_{0} = 0,2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = h\left(u_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item En utilisant l'inégalité des accroissements finis, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $\left|u_{n+1} - x_{0}\right| \leqslant 0,42\left| u_{n} - x_{0}\right|$. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, déduire que, pour tout entier naturel $n$ on a : $\left|u_{n} - x_{0}\right| \leqslant 0,1 \times (0,42)^n$. \item Déterminer la limite de ($u_{n})$ . \item Déterminer un entier $p$ tel que $\left|u_{p} - x_{0}\right| \leqslant 10^{-5}$. \item On note $b$ la valeur de $u_{p}$ affichée sur la calculatrice. Déterminer $\beta$ valeur décimale approchée par défaut de $b$ à $10^{-5}$ près. Classer par ordre croissant les réels $f(\beta),\: f(\beta + 10^{- 5})$ et 2. En déduire la valeur décimale approchée par défaut de $x_{0}$ à $10^{- 5}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}